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专题 21.4 一元二次方程（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·八年级课时练习）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的
值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
2．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数
根 ， ，且 ，则 （ ）
x x (x +2)(x +2)−2x x =17 m=
1 2 1 2 1 2
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
1
3．（2022秋·广东汕尾·九年级统考阶段练习）P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣ ．已知OP=1．
5
y
则 的值为（ ）
x
4 4 3 4 3
A．− B．− C．− D．− 或−
5 3 4 3 4
{ 6x−a≥−10 )
4．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）使得关于x的不等式组 1 1 3 有且只有4个整数解，
−1+ x<− x+
2 8 2
且关于x的一元二次方程 有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
(a−5)x2+4x+1=0
A．35 B．30 C．26 D．21
5．（2023春·海南儋州·九年级专题练习）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每
盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会
减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒
x(x>60)元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ）A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元
6．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个
相等的实数根k．（ ）
k k k k
A．若﹣1＜a＜1，则 > B．若 > ，则0＜a＜1
a b a b
k k k k
C．若﹣1＜a＜1，则 < D．若 < ，则0＜a＜1
a b a b
7．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长
为a，宽为b的长方形（a>b），密铺成正方形ABCD，已知ab=2，正方形ABCD的面积为S，
（ ）
A．若a=2b+1，则S=16 B．若a=2b+2，则S=25
C．若S=25，则a=2b+3 D．若S=16，则a=2b+4
8．（2023春·浙江·八年级期中）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x 、x 满足
1 2
x 2+x 3=4−(x 2+x 3)
，则实数p的所有值之和为（ ）
1 1 2 2
3 5
A．0 B．− C．−1 D．−
4 4
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知四个多项式A=x2+1，B=x+1，C=mx−1，D=nx+1，下列
说法中正确的个数为（ ）
①若A=B2，则x=1
②若A−D=B+C，则x=m+n+1
A−2
③若x为正整数，且 为整数，则x=1
B2
1
④若对任意x都有2B⋅D=2nx2−nx+2，则当x> 时，D<B
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023春·安徽·八年级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a−b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
x ax2+bx+c=0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0 0
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022·江西赣州·统考二模）已知正整数x满足x2+5x+30是完全平方数，则x的值是_________．
12．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程
x2+ax+b=0的两个根都大1，则a+b+c的值是______．
xy−x+ y=7
13．（2022秋·九年级课时练习）已知正实数x,y,z满足{yz+ y−z=11，则x+ y+z+xy+ yz+xz+xyz=
xz+x+z=14
_________．
14．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于x的一元二次方程 有两个不等的整数
mx2−(m+1)x+1=0
根，m为整数，那么m的值是_________．
15．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，已知AG∥CF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3
，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的
中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形
时，t的值为_____．
评卷人 得 分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（10分）（2023春·上海·八年级专题练习）解方程：
2x 1
（1）❑√x+2−❑√8−x=2； （2） − =1；
x2−2x−3 x−3
（3） ； （4）(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48；
2x2−3❑√2x2−1+1=0
（5） ．
x4−10x3−2(a−11)x2+2(5a+6)x+a2+2a=0
17．（6分）（2023春·浙江·八年级专题练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方
程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
（1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣❑√5x＋1＝0；
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大
值．
18．（6分）（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；
（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．
19．（6分）（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑
步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的
1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步
开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的
热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用
多少分钟．
20．（6分）（2022秋·广东江门·九年级台山市武溪中学校考期中）如图，在边长为12cm的等边三角形
ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每
秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运
动，求：
（1）经过6秒后，BP=_______，BQ=（2）经过几秒△BPQ的面积等于10❑√3？
（3）经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值．
21．（7分）（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
的两个实数根，若 ，且 x ，则称这个方程为“限根方程”．如：一
ax2+bx+c=0(a≠0) x <x <0 3< 1<4
1 2 x
2
−10
元二次方程x2+13x+30=0的两根为x =−10，x =−3，因−10<−3<0，3< <4，所以一元二次
1 2 −3
方程x2+13x+30=0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x 、x 满足
1 2
x +x +x x =−1，求k的值；
1 2 1 2
（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．
22．（7分）（2023春·安徽·八年级期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x的方程，且方程①的解
为非正数；方程②：(k−1) x2+2mx+3− k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x ，x 满足(x +x )(x −x )+2m(x −x +m)=n+5，且k为正整数，试判断
1 2 1 2 1 2 1 2
m2≤4是否成立？并说明理由．23．（7分）（2022秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系
中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，连接AB．若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位
每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）求线段AB的长．
（2）连接OP，当△OBP为等腰三角形时，过点P作线段AB的垂线与直线OB交于点M，求点M的坐标；
（3）已知N点为AB的中点，连接ON，点P关于直线ON的对称点记为P′(如图2)，在整个运动过程中，
若P′点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出t的取值范围．
