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专题 27.4 相似三角形的应用
【典例1】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于
点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒
衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．
发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；
探究：若EF=32cm，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?
【思路点拨】
发现：证明△AOC∽△EOF，得到∠OAC=∠OEF，即可证明AC∥EF；
探究：过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股
定理求出ON的值，再证明△ABM∽△OEN，利用相似比求出AM的值，即可获得答案．
【解题过程】
解：发现：AC∥EF，
理由如下：连接AC，如下图，
∵立杆AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠EOF，OA OC 51 3
又∵ = = = ，
OE OF 34 2
∴△AOC∽△EOF，
∴∠OAC=∠OEF，
∴AC∥EF；
探究：如下图，过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N，
∵OE=OF=34cm，
∴△OEF是等腰三角形，
1
∴∠OEF= (180°−∠EOF)，
2
∵ON⊥EF，EF=32cm，
1
∴EN=FN= EF=16cm，
2
在 中，根据勾股定理可得 ，
Rt△OEN ON=❑√OE2−EN2=❑√342−162=30cm
∵ON⊥EF，AM⊥BD，
∴∠ONE=∠AMB=90°，
∵OA=OC，AB=CD，
∴OB=OD，
1
∴∠OBD= (180°−∠BOD)，
2
∴∠OBD=∠OEF，
∴△ABM∽△OEN，
OE ON 34 30
∴ = ，即 = ，
AB AM 136 AM
解得AM=120cm．
答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上．1．（21·22上·南京·期末）如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影
子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
2．（22·23下·深圳·模拟预测）如图是物体AB在焦距为acm（即OE=OF=acm）的凸透镜下成倒立放大
实像的光路示意图．从点A发出的平行于BD的光束折射后经过右焦点F，而经过光心O点的光束不改变方
向，最后A点发出的光汇聚于点C，B点发出的光汇聚于点D，从而得到最清晰的实像．若物距OB=bcm
，则像距OD为（ ）cm．
a2 b2 b2 ab
A． B． C． D．
b−a b−a a b−a
3．（21·22上·佛山·期末）如图，一人站在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，
BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短4．（22·23·松原·三模）一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②
所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．（22·23下·宁波·阶段练习）有一块锐角三角形余料△ABC，边BC的长为20cm，BC边上的高为16cm
，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和4cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不
计），使最底层的小长方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有
（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6．（22·23上·阳泉·期末）如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8m，CD=12m，两树底部的距
离BD=5m，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前
进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C．此时，她与左边较低的树AB的水平距离
（ ）A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m
7．（22·23下·厦门·模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们
小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不
动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
3 3 5 5
A．减少 米 B．增加 米 C．减少 米 D．增加 米
2 2 3 3
8．（22·23上·临汾·期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被
楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM=4
米，CO=5米，DO=3米，AO=❑√73米，则汽车从A处前行的距离AB= 米时，才能发现C
处的儿童．
9．（22·23上·南通·期末）《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后
表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰AB的
5
高度，在D处和F处树立高都是3丈(1丈= 步）的标杆CD和EF，D，F相隔1000步，并且AB，CD和
3
EF在同一平面内，从D处后退123步到G处时，A，C，G在一条直线上；从F处后退127步到H处时，
A，E，H在一条直线上，则山峰的高度AB为 步．
10．（22·23上·湖州·期末）如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，
已知踏板宽BF=20cm，BC=CD=DE=EL=25cm，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，
此时，踏板可以看作与支架AL重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度AL为 cm．图3
是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面LM的高度是 ．
11．（20·21下·温州·一模）如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示.灯柱BC=6cm，灯臂
绕着支点 可以旋转，灯罩呈圆弧形（即 ⏜ 和 ⏜ ）在转动过程中， 总是与桌面 平行 当
AC C AD(EF) BH .
AD EF
AC⊥BH时，AB=46cm，DM⊥MH，测得DM=37.5cm(点M在墙壁MH上，且MH⊥BH)；当
灯臂AC转到CE位置时，FN⊥MH测得FN=13.5cm，则点E到桌面BH的距离为 cm.若此时点
， ， 在同一条直线上， ⏜ 的最低点到桌面 的距离为 ，则 所在圆的半径为 ．
C F M BH 35cm EF cm
EF12．（2023下·台州·一模）A、B两人位于东西朝向的大道上，相距6米，如图所示，在靠近B的区域，离
大道2米处有一摄像机C，镜头可视角度为90°，此时B恰好位于视野边缘，而A需向东前进1米才能刚好
出现在视野边缘；若A、B两人保持原位置不变，摄像机需往北移动 米，再适当旋转镜头，使A、
B两人刚好处于视野边缘．
13．（21·22下·金华·一模）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中
（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书
角H的对应点H′恰为CD中点．
（1）收纳盒的长BC= ；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公
共点．14．（23·24上·榆林·期中）九（1）班同学到野外上数学活动课，为测量河的宽度(河的两岸平行)，设计了
如下方案：如图，同学们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在
AB，AC的延长线上取点D，E，使得DE∥BC．经测量，BC=12米，DE=21米，且点E到河岸BC
的距离为6米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算河的宽度AF．
15．（23·24上·榆林·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下方案：在点C处
放一面平面镜，从点C处后退到1m点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移
动4m放在F处（即FC=4m），从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点
的像，测得眼睛距地面的高度ED、GH均为1.5m，已知点B,C，D,F,H在同一水平线上，且
GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH．求灯柱AB的高度．（平面镜的大小忽略不计）16．（23·24上·西安·期中）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G、C、A在同一水平直线
上，MG⊥PA，先是小红在C处竖立一根标杆BC(BC⊥PA)，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条
直线上（N在MG上），BC=1.5米，AC=1米，AG=8米；后是贺小明在P处手持自制直角三角纸板
DEF(DP⊥PA)，其中EF=0.1米，DF=0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点
时点D、E、M在一条直线上，DP=1.5米，PG=23.6米，请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度
MN．
17．（21·22上·雅安·期末）如图，在希望小学长80m，宽60m的长方形足球场上，小亮从A点出发，沿着
A→B→C的路线以5m/s的速度跑向C地．当他出发8s后，小冰有东西需要交给他，就从A地出发沿小
亮走的路线追赶，当小冰跑到距B地8m的D处时，他在阳光下的影子恰好和E处的小亮的影子在同一条直
线DE上．此时，A处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．求：
（1）他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）小冰追赶小亮的速度是多少？18．（20·21·鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组
的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为
1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站
在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔（2）请求出丙树的高度．
19．（22·23上·浙江·单元测试）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B=90°，BC=6cm，AB=8cm，
要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边
长．20．（22·23上·巴中·阶段练习）有一块直角三角形木板如图所示，两直角边长为：
BC=3cm，AC=4cm．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样
裁剪才能使正方形的面积最大？
