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2025 年九年级数学秋季开学摸底考（湖北专用）
数学•全解全析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 式子 在实数范围内有意义，
，
解得： ．
故选：A．
2．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、 符合一元二次方程的定义，正确；
B、 不是整式方程，故错误．
C、 方程二次项系数可能为 ，故错误；
D、 方程含有两个未知数，故错误；
故选：A．
3．某汽车4S店2024年1月至10月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，24，27，19，25，25，
32，37，35，40，则关于这组数据的结论错误的是（ ）
A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25
【答案】D
【详解】解：此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为：
16，19，24，25，25，27，32，35，37，40，
极差： ，
平均数： ，
众数：出现次数最多的数是25，
中位数： ．
故选：D．4．若二次函数 的图象经过点 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大，
∵点 ， ， ， ，
∴ ，
故选：A．
5．如图，在 中， 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【详解】解：设 ，则 ，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，解得： ， ，
故选：D．
6．如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于 和 两点，则下列说法错误的是（ ）
A．此函数的表达式为B．当 时，
C．当 时，y随x的增大而增大
D．将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点
【答案】C
【详解】解：设该一次函数的解析式为 ，
将 和 代入函数解析式可得 ，
解得： ，
∴该一次函数的解析式为 ，故A正确；
由图象可得，当 时， ，当 时，y随x的增大而减小，故B正确，C错误；
将此直线向下平移2个单位所得到的直线为 ，经过原点，故D正确；
故选：C．
7．如图，在 中， 、 分别是 、 边的中点， 、 两点在对角线 上，且 ，
则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． 与 互相平分 D．
【答案】A
【详解】解：连接 交 于点 ，
在平行四边形 中
∴ ， ，
∴ ，
、 分别是 、 边的中点，
，
又 ，，
∴ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
又∵
∴
∴ 与 互相平分，故C正确
∵
， ， ，故B、D正确，
没有条件证明 ，故A不正确，
故选：A．
8．平面直角坐标系 中，P点坐标为 ，且实数 ， 满足 则点 到原点 的距离
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵P点坐标为 ，
∴点 到原点 的距离为： ，
∵ ，
∴
，
故选：B．
9．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，当
时．对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值．则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D． 或
【答案】C
【详解】解：由题意，点 在函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ，
当 时，由题意得： ，
解得： ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：C．
10．如图，在矩形 中， ， 的平分线交 于点E， ，垂足为H，连接
并延长，交 于点F， 交 于点O．有下列结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ 的平分线交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ °，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，故②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故④正确，
∴正确的是①③④，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与
性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11．实数 的整数部分为 ．
【答案】
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴实数 的整数部分为 ，
故答案为：
12．已知直线 经过点 ，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】
【详解】解：在直线 中，当 时， ，
∵直线 经过点 ，
∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，
故答案为： ．
13．某校举行“共绽石榴红，同铸华夏魂” 演讲比赛，某位选手的 “演讲内容”“语言表达”和“形象
风度”三项得分分别为 分、 分、 分，若按 的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是
分．
【答案】
【详解】解： ，
该选手的平均得分是 分，
故答案为： ．
14．如图，在矩形 中， ， 为 中点， 为 上一点，将 沿 折叠后，点 恰好落到 上的点 处，则 的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ 为 中点，
∴ ，
由折叠得， ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
15．已知二次函数 的图象与 轴的一个交点是 ，顶点在第三象限，设 ，则 的
取值范围是 ．
【答案】【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴的一个交点是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴顶点为： ，即 ，
∵顶点在第三象限，
∴ ，
则 或 ，
∴ ，
∴ 恒成立，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，在 中， ，点 为边 上一动点，将 沿 折叠得到
， 与 交于点 ，则 的最大值为 ．
【答案】6
【详解】解：过A点作 于H点，如图，
∵ ，
∴ ，
在 中，∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最短时， 最大，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为：6．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算
(1) ；
(2)
【详解】（1）解：
；.........................................................................................................................................4分
（2）解：
．................................................................................................................................8分
18．（8分）如图，在 中， 平分 ，点 在边 上．(1)用圆规和无刻度的直尺作线段 的垂直平分线 ，交 于点 、交 于点 ，连接 、
（保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形 是菱形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
........................................................................................................3分
（2）证明： 是线段 的垂直平分线，
．
．
又 平分 ，
．
．
．
同理可证： ．...............................................................................................................6分
四边行 是平行四边形．
又 ，
四边行 是菱形．..........................................................................................................8分
19．（8分）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，
并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，
分为四个等级：D： ，C： ，B： ，A： ），部分信息如下：
信息一：（如图）
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，80，82，82，80，82，80，82，80，82，82，80．
请根据以上信息，解答下列问题；
(1)求所抽取的学生成绩为C等级的人数；(2)求所抽取的学生成绩在B等级数据的中位数_______分；方差_______（不写单位）．
(3)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【详解】（1）解：样本容量为： ，
（人），
即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；......................................................................2分
（2）解：把学生成绩在B等级数据从小到大排列为：80，80，80，80，80，80，82，82， 82， 82，
82，82，
位于正中间的两个数分别为80，82，
∴所抽取的学生成绩在B等级数据的中位数 分；...............................................4分
平均数为 ，
方差为 ；.........................................................................6分
（3）解： （人），
答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．..................................................8分
20．（8分）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园 ，一边靠墙（墙长 米），并在 边上
开一道 米宽的门（门不使用篱笆），若设 为x米．
(1) 的长为 米（用含x的代数式表示）
(2)当菜园的面积为 时，求 的长
(3)菜园的面积能为 吗？若能，求出 的长，若不能，说明理由．
【详解】（1）解：设 的长为 米，
∵要建一个矩形仓库 ，一边靠墙（墙长 )，并在 边上开一道 宽的门，现在可用的材料为
28米长的木板(全部使用完），
∴ 米，.................................................................................3分
（2）解：根据题意得， ，
解得： ， ，
当 时， （不合题意舍去），
当 时， ，∴ 米；.............................................................................................................................6分
（3）解：根据题意得， ，
∴
∴
则
该方程无实数解
∴仓库的面积不能为 ．..................................................................................................8分
21．（8分）已知二次函数 ．
(1)若二次函数的图象与x轴交于点 ，求二次函数图象与x轴的另外一个交点的坐标．
(2)若当自变量x取任意实数时，总有对应的函数值 ，求m的取值范围（用含有b的式子表示）．
(3)当 时， ，求 和 的值及 的取值范围．
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
∴ ，...................................................................................................................................1分
∴二次函数解析式为 ，
当 时， ，解得 ，
二次函数的图象与 轴的另外一个交点的坐标为 ．.................................................3分
（2）解： ，
当 时， 取最小值，最小值为 ．
取任意实数，总有 ，
．............................................................................................................................5分
（3）解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ．
又 当 时， ，
当抛物线过点 和 时，总有 ，即 的最小值，
，∴ ， ．.................................................6分
当 时， ，
当 时， 的最小值为 ，，
．............................................................................................................8分
22．（10分）如图，已知直线 经过点 ，直线 ．
(1)求直线 的解析式；并判断点 是否在直线 上？
(2)若 ，直线 与x轴交于点C，直线 与 交于点P．
①点P的坐标为________．
②求 面积．
(3)直线 上有两点 、 ，若直线 与线段 有交点，直接写出k的取值范围．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过点 ，
， ，
∴直线 的解析式为 ，...........................................................................................2分
在 中，当 时， 、
∴点 不在直线 上；..................................................................................................3分
（2）解：①当 时直线
联立得： ，解得： ，
∴点 坐标为 ，...........................................................................................................5分
②在 中，当 时， ，当 时， ，
， ，；...................................................................7分
（3）解：∵点 在直线 上，
， ，
， ，.............................................................................................................8分
当直线 过点 时，则 ，
解得： ，
当直线 过点 时，则 ，
解得： ，
∴ 的取值范围 或 ．.......................................................................................10分
23．（10分）在 和 中， ， ， ，点 分别为
的中点．
(1)当点 ， 分别在 ， 上时，如图①，直接写出四边形 的形状．
(2)当点 不在 上时，其位置如图②所示．
①（ ）中的结论成立吗？请说明理由；
②当 ___________ 时，四边形 是正方形．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ， ，............................................................................2分∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；.........................................................................................................3分
（2）解：①成立，理由如下：
如图②，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，.........................................................................................................5分
∴ ，
同理（ ）可得 ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；.........................................................................................................7分
②当 ，四边形 是正方形，理由如下：
∵ 是 的中位线， 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，......................................................................................9分
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是正方形，
故答案为： ．.......................................................................................................................10分
24．（12分）【问题背景】探究二次函数的性质与图像的变化规律．
【初步探究】如1图，我们将二次函数 的图象向下平移得到图象 ，过 图像上的动点
作 轴，交 的图像于 点．
问题（1）点 在 上运动的过程中，线段 的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，
请说明理由．
【拓展探究】如2图，线段 分别交 轴、 轴于点 ．平移 得到 ，且
使其顶点始终在线段 上．过 图像上的点 作 轴，交 的图像于 点．
问题（2）若 的顶点在线段 的中点，且 ，求点 的横坐标．
问题（3）若点 的横坐标为 的顶点横坐标为 的长为 ，求 的最大值．
【详解】解：（1） 的长度不变， ，理由如下：
是由 向下平移2个单位长度得到，
对应的函数值相差2，
．..................................................................................................................................2分
（2） 将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
顶点在 中点，
的顶点坐标为 ，
的函数解析式为 ，..................................................................................4分
设 ，当点 在点 上方时， ，则 ；
当 点在点 上方时， ，则 ；
点 的横坐标为 或 ．...................................................................................................7分
（3） 的顶点横坐标为 ，
顶点为 ，
的函数解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
，
，
当点 重合时， ，
解得 ，................................................................................................................9分
∴当 时， ，
，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增少，
当 时， 的最大值 ，
当 时， ，
，对称轴为直线 ，
当 时， 的最大值 ，
，
的最大值为26．................................................................................................................12分
