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期末复习高频题（27 个考点 60 题）
一．算术平方根（共6小题）
1．❑√4的算术平方根是（ ）
A．±❑√2 B．❑√2 C．±2 D．2
【答案】B
【解答】解：❑√4=2，2的算术平方根是❑√2．
故选：B．
2．按如图所示的程序计算，若开始输入的 x的值是 64，则输出的 y的值是（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，❑√64=8，
∵8是有理数，
∴取其立方根可得到，√38=2，
∵2是有理数，
∴取其算术平方根可得到❑√2，
∵❑√2是无理数，
∴y=❑√2．
故选：A．
3．在草稿纸上计算：①❑√13；②❑√13+23；③❑√13+23+33；④❑√13+23+33+43，观察
你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值❑√13+23+33+⋯+283= 40 6
．
【答案】见试题解答内容【解答】解：∵①❑√13=1；
②❑√13+23=3＝1+2；
③❑√13+23+33=6＝1+2+3；
④❑√13+23+33+43=10＝1+2+3+4，
∴❑√13+23+33+⋯+283=1+2+3+4+…+28＝406．
4．若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则❑√2m+n的值为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，
解得n＝2，
所以2m+n＝2+2＝4，
❑√2m+n=❑√4=2．
故答案为：2．
5．若❑√38.09=6.172，❑√380.9=19.517，则❑√380900= 617. 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵❑√38.09=6.172，
∴❑√380900=617.2，
故答案为：617.2．
6．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）❑√m+5的平方根又是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）❑√m+5=3，则它的平方根是±❑√3．
二．立方根（共4小题）
7．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 2 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
{m−n=4
)
∴ ，
2m+n=2
{m=2
)
解方程得： ．
n=−2
∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
8．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，
∴2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+4＝﹣1+4＝3，
∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣1）＝8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
9．已知某正数的两个平方根分别是 m+4和2m﹣16，n的立方根是﹣2，求﹣n﹣m的算术
平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，
可得：m+4+2m﹣16＝0，
解得：m＝4，
∵n的立方根是﹣2，
∴n＝﹣8，
把m＝4，n＝﹣8代入﹣n﹣m＝8﹣4＝4，
所以﹣n﹣m的算术平方根是2．
10．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．
（1）求a、b的值；（2）求4a+b的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，
∴3a﹣14+a﹣2＝0，
解得a＝4，
∵b﹣15的立方根为﹣3，
∴b﹣15＝﹣27，
解得b＝﹣12
∴a＝4、b＝﹣12；
（2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b
得4×4+（﹣12）＝4，
∴4a+b的平方根是±2．
三．无理数（共1小题）
22
11． 、 ，−❑√3，√3343，3.1416，0.3 ⋅ 中，无理数的个数是（ ）
7
π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
22
【解答】解：在 、 ，−❑√3，√3343，3.1416，0.3 ⋅ 中，
7
π
无理数是： ，−❑√3共2个．
故选：B． π
四．估算无理数的大小（共1小题）
12．若a＜❑√5＜b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜❑√5＜3，
由a＜❑√5＜b，且a、b是两个连续的整数，得到a＝2，b＝3，
则a+b＝5，
故选：D．
五．二元一次方程的解（共1小题）{x=a)
13．若 是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝ 2 ．
y=b
【答案】见试题解答内容
{x=a)
【解答】解：把 代入方程2x+y＝0，得2a+b＝0，
y=b
∴6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝2．
故答案为：2．
六．二元一次方程组的解（共3小题）
{2a−3b=13
)
{a=8.3)
14 ． 已 知 方 程 组 ： 的 解 是 ： ， 则 方 程 组 ：
3a+5b=30.9 b=1.2
{2(x+2)−3(y−1)=13
)
的解是（ ）
3(x+2)+5(y−1)=30.9
{x=8.3) {x=10.3)
A． B．
y=1.2 y=2.2
{x=6.3) {x=10.3)
C． D．
y=2.2 y=0.2
【答案】C
{2(x+2)−3(y−1)=13
)
【解答】解：在方程组 中，设x+2＝a，y﹣1＝b，
3(x+2)+5(y−1)=30.9
{2a−3b=13
)
则变形为方程组 ，
3a+5b=30.9
{a=8.3)
由题知 ，
b=1.2
{x=6.3)
所以x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即 ．
y=2.2
故选：C．
{ x+2y=3k )
15．若关于x，y的二元一次方程组 ，则﹣2x﹣2y＝ ﹣ 4 ．
2x+ y=−3k+6
【答案】﹣4．
{ x+2y=3k① )
【解答】解： ，
2x+ y=−3k+6②
①+②，得3x+3y＝6，
∴3（x+y）＝6，∴x+y＝2，
∴﹣2x﹣2y＝﹣2（x+y）＝﹣2×2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
{ax+5 y=15①)
16．已知方程组 由于甲看错了方程①中的 a，得到方程组的解为
4x−by=−2②
{x=−3) {x=5)
，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试求出a，b的值．
y=−1 y=2
【答案】见试题解答内容
{x=−3)
【解答】解：甲看错了①式中x的系数a，解得 ，但满足②式的解，所以﹣
y=−1
12+b＝﹣2，解得：b＝10；
{x=5)
同理乙看错了②式中y的系数b，解得 ，满足①式的解，所以5a+10＝15，解得：
y=2
a＝1．
七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
17．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底
配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
{ x+ y=190 ) { x+ y=190 )
A． B．
2×8x=22y 2×22y=8x
{2y+x=190) {2y+x=190)
C． D．
8x=22y 2×8x=22y
【答案】A
【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．
{ x+ y=190 )
列方程组为 ．
2×8x=22y
故选：A．
八．三元一次方程组的应用（共1小题）
18．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千
克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1
千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天
该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销
售额为多少元？【答案】见试题解答内容
【解答】
水果
A B C
搭配
甲 2 4 0
乙 3 8 1
丙 2 6 1
解：如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套．
{ 2(2x+3 y+2z)=116 )
则由题意得 ，
8.8x+25.6 y+21.2z=441.2
{ 2x+3 y+2z=58 ① )
即
22x+64 y+53z=1103 ②
由②﹣①×11得 31（y+z）＝465，即y+z＝15
所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×10＝150（元）
答：C水果的销售额为150元．
九．不等式的性质（共2小题）
19．下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞b
a b
B．若 ＞ ，则a＞b
1+c2 1+c2
C．若a＞b，则ac＞bc
D．若a＞b，则a+3＞b+2
【答案】C
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
a b
B、若 ＞ ，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
1+c2 1+c2
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
20．下列不等式说法中，不正确的是（ ）
A．若x＞y，y＞2，则x＞2
B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2C．若x＞y，则2x＞2y
D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2
【答案】B
【解答】解：A、∵x＞y，y＞2，
∴x＞2，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，原说法错误，故本选项符合题意；
C、∵x＞y，
∴2x＞2y，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
一十．不等式的解集（共1小题）
{x+9＜5x+1)
21．不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
x＞m+1
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1
【答案】C
{x+9＜5x+1)
【解答】解：∵不等式组 的解集是x＞2，
x＞m+1
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＞m+1，
不等式组的解集是x＞2，
∴不等式，①解集是不等式组的解集，
∴m+1≤2，
m≤1，
故选：C．
一十一．解一元一次不等式（共2小题）
1
22．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜ ，则nx﹣m＜0的解集是（ ）
3
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
【答案】D
1
【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜ ，不等号方向改变，
3n 1
∴m＜0且− = ，
m 3
n 1
∴ =− ＜0，
m 3
∵m＜0．
∴n＞0；
m
由nx﹣m＜0得x＜ =−3，
n
所以x＜﹣3；
故选：D．
23．阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当
a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ﹣ 1 ；
2x−3 x+2 x+2
（2）当min{ ， }= 时，求x的取值范围．
2 3 3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
2x−3 x+2
（2）由题意得： ≥
2 3
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
13
x≥ ，
4
13
∴x的取值范围为x≥ ．
4
一十二．一元一次不等式的整数解（共1小题）
24．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 9 ≤ a ＜ 1 2 ．
【答案】见试题解答内容
a
【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x≤ ；
3其正整数解为1，2，3，
a
则3≤ ＜4，
3
所以a的取值范围9≤a＜12．
一十三．一元一次不等式的应用（共1小题）
25．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包
已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买
多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种
款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，
根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400，
解得：x＝40，
60﹣x＝60﹣40＝20，
答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．
（2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个，
根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，
解得：y≤40，
∴女款书包最多能买40个．
一十四．解一元一次不等式组（共1小题）
{ x−a＞0 )
26．已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 a ≥ 3 ．
5−2x≥−1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由x﹣a＞0，
∴x＞a，
由5﹣2x≥﹣1移项整理得，
2x≤6，
∴x≤3，{ x−a＞0 )
又不等式组 无解，
5−2x≥−1
∴a≥3．
一十五．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
{2a+3x＞0)
27．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
3a−2x≥0
2 3 4 3 4 3 4 3
A． ≤a≤ B． ≤a≤ C． ＜a≤ D． ≤a＜
3 2 3 2 3 2 3 2
【答案】B
2a 3a
【解答】解：由于不等式组有解，则− ＜x≤ ，必定有整数解0，
3 2
3a 2a
∵| |＞|− |，
2 3
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
2a
{−2≤− ＜−1)
3
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组 无解；
3a
1≤ ＜2
2
3
{ 2≤ a＜3 )
2
若三个整数解为0，1，2，则 ；
2
−1≤− a＜0
3
4 3
解得 ≤a≤ ．
3 2
故选：B．
一十六．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
28．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 7棵，还剩9棵，若每人平均植树9
棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出
同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
{7x+9−9(x−1)≥0)
C．
7x+9−9(x−1)＜8{7x+9−9(x−1)≥0)
D．
7x+9−9(x−1)≤8
【答案】C
【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，
{ 7x+9≥9(x−1) )
∴可列不等式组为： ，
7x+9＜8+9(x−1)
{7x+9−9(x−1)≥0)
即 ．
7x+9−9(x−1)＜8
故选：C．
一十七．一元一次不等式组的应用（共2小题）
29．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4．对于任意实数
x，下列式子中错误的是（ ）
A．[x]＝x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]（n为整数）
【答案】C
【解答】解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴当x是整数时，[x]＝x，成立；
B、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]＝[﹣8.6]＝﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]＝﹣6+（﹣4）＝﹣10，
∵﹣9＞﹣10，
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，
∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]＝n+[x]（n为整数），成立；
故选：C．
30．在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立
方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往
E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地
的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方
米，则A、C两地运往D、E两地有哪几种方案？
（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：
A地 B地 C地
运往D地（元/立方 22 20 20
米）
运往E地（元/立方 20 22 21
米）
在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10＝140，
解得：x＝50，
∴2x﹣10＝90．
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；
（2）由题意可得，
{ 90−(a+30)＜2a )
，
50−[90−(a+30)]≤12
解得：20＜a≤22，
∵a是整数，
∴a＝21或22，
∴有如下两种方案：
第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；
第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；
（3）第一种方案共需费用：
22×21+20×29+30×20+22×10+39×20+11×21＝2873（元），
第二种方案共需费用：
22×22+28×20+30×20+22×10+38×20+12×21＝2876（元），所以，第一种方案的总费用最少．
一十八．点的坐标（共4小题）
31．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的
坐标为（ ）
A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）
【答案】A
【解答】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，
所以点M的坐标为（4，﹣6）．
故选：A．
32．在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4）
【答案】A
【解答】解：∵点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4，
点M的坐标为（﹣4，0）．
故选：A．
33．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然
后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，
且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 （ 5 ， 0 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，
1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6
秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．
故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．
34．已知点P的坐标为(2−a，3a+6)．
（1）若点P在y轴上，求P点坐标．
（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．
【答案】（1）P点坐标为（0，12）；
（2）点P的坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
【解答】解：（1）由题意得：
2﹣a＝0，
解得：a＝2，
当a＝2时，2﹣a＝0，3a+6＝12，
∴P点坐标为（0，12）；
（2）由题意得：
|2﹣a|＝|3a+6|，
∴2﹣a＝3a+6或2﹣a＝﹣3a﹣6，
∴a＝﹣1或a＝﹣4，
当a＝﹣1时，2﹣a＝3，3a+6＝3，
∴点P的坐标为（3，3）；
当a＝﹣4时，2﹣a＝6，3a+6＝﹣6，
∴点P的坐标为（6，﹣6）；
综上所述，点P的坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
一十九．坐标确定位置（共1小题）
35．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到
右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 2 3 ．
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：从图中可以发观，第n排的最后的数为： n（n+1）
2
1
∵第6排最后的数为： ×6（6+1）＝21，
2∴（7，2）表示第7排第2个数，则第7排第二个数为21+2＝23．
故答案填：23．
二十．坐标与图形性质（共1小题）
36．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴
的距离等于4，那么点M′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，
∴M′的纵坐标y＝﹣2，
∵“M′到y轴的距离等于4”，
∴M′的横坐标为4或﹣4．
所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选：B．
二十一．点到直线的距离（共1小题）
37．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（
）
A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm
【答案】D
【解答】解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB
的长为7﹣3＝4cm，其它情况下大于4cm，
当A、B在直线l的两侧时，AB＞4cm，
故选：D．
二十二．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
38．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，
是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
二十三．平行线的判定（共4小题）
39．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝
∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：C．
40．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯
的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
【答案】D
【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：D．
41．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 B、D重合，若固定三角形AOB，改变三
角板 ACD 的位置（其中 A 点位置始终不变），当∠BAD＝ 30° 或 150° 时，
CD∥AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
42．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二
次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝ 145 ° 时，道路CE才能恰好与AD平行．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长AB，EC，交于点F，
当AD∥EF时，∠F＝∠A＝110°，
∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°，
∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°，
即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行．
故答案为：145°．
二十四．平行线的性质（共12小题）
43．如图，AB∥CD，有图中 ， ， 三角之间的关系是（ ）
α β γ
A． + + ＝180° B． ﹣ + ＝180°
C．α+β﹣γ ＝180° D．α+ β+ γ＝360°
【答案】αCβ γ α β γ
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠ +∠AFD＝180°，
α∵∠AFD＝∠ ﹣∠ ，
∴∠ +∠ ﹣∠β ＝1γ80°，
故选α：C．β γ
44．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在
直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝ ，∠DCE＝ ．下列各式：① + ，② ﹣ ，
③ ﹣ ，④360°﹣ ﹣ ，∠AEC的度α数可能是（ β ） α β α β
β α α β
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE ＝ ，
1
∵∠AOC＝∠BAE 1 +∠AE 1 C， β
∴∠AE C＝ ﹣ ．
1
（2）如图，β过Eα2 作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE
2
＝ ，∠2＝∠DCE
2
＝
， α
β∴∠AE
2
C＝ + ．
（3）如图，α由βAB∥CD，可得∠BOE
3
＝∠DCE
3
＝ ，
∵∠BAE 3 ＝∠BOE 3 +∠AE 3 C， β
∴∠AE C＝ ﹣ ．
3
（4）如图，α由AβB∥CD，可得∠BAE
4
+∠AE
4
C+∠DCE
4
＝360°，
∴∠AE C＝360°﹣ ﹣ ．
4
∴∠AEC的度数可能α 为β ﹣ ， + ， ﹣ ，360°﹣ ﹣ ．
（5）当点E在CD的下β方时α，同α 理β可α得，β∠AEC＝α﹣β或 ﹣ ．
故选：D． α β β α45．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，
则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
46．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，
则∠BED的度数为 55 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
1 1
∴∠ABE＝∠CBE= ∠ABC，∠ADE＝∠CDE= ∠ADC，
2 2∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE，
∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，
∴∠BAD+∠BCD＝2∠E，
∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，
1 1
∴∠E= （∠BAD+∠BCD）= （70°+40°）＝55°．
2 2
故答案为：55°．
47．如图，AB∥CD，P E平分∠P EB，P F平分∠P FD，若设∠P EB＝x°，∠P FD＝y°
2 1 2 1 1 1
则∠P ＝ （ x + y ） 度（用x，y的代数式表示），若P E平分∠P EB，P F平分
1 3 2 3
∠P FD，可得∠P ，P E平分∠P EB，P F平分∠P FD，可得∠P …，依次平分下去，
2 3 4 3 4 3 4
1
则∠P ＝ （ ） n ﹣ 1 （ x + y ） 度．
n 2
1
【答案】（1）（x+y）；（2）（ ）n﹣1（x+y）．
2
【解答】解：（1）如图，分别过点P 、P 作直线MN∥AB，GH∥AB，
1 2
∴∠P EB＝∠MP E＝x°．
1 1
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P FD＝∠FP M＝y°．
1 1
∴∠EP F＝∠EP M+∠FP M＝x°+y°．
1 1 1
（2）∵P E平分∠BEP ，P F平分∠DFP ，
2 1 2 1
1 1 1 1
∴∠BEP = ∠BEP = x°，∠DFP = ∠DFP = y°．
2 2 1 2 2 2 1 21 1 1
同理可证：∠EP F=∠BEP +DFP = x°+ y°= (x°+ y°)．
2 2 2 2 2 2
1 1 1
以此类推：P =( ) 2 (x°+ y°)，P =( ) 3 (x°+ y°)，...，P =( ) n−1 (x°+ y°)．
3 2 4 2 n 2
1
故答案为：（x+y），（ ）n﹣1（x+y）．
2
48．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，
则∠F的度数为 3 6 °．
【答案】36．
【解答】解：延长FB交CD于点G，如图：
∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，
∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，
∵AB∥CD，
∴∠FBA＝∠3，
∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，
∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，
设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，
∴x+4x＝180，解得，x＝36，
即∠F的度数为36°．
故答案为：36．
49．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG
＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图 3，若点 E 是 AB 上方一点，连接 EM、EN，且 GM 的延长线 MF 平分
∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝ ，
∵GK∥AB，AB∥CD， α
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝ ，
∵GK∥AB，∠BMG＝α30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝ ，
∵AB∥CD， α
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝ ，
∴∠MGN＝30°+ ，∠αMPN＝60°﹣ ，
∴∠MGN+∠MPαN＝30°+ +60°﹣ ＝α90°；
α α
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
1 1
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE= ∠CNG＝90°− y，
2 2
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
1
∴∠TEN＝∠CNE＝90°− y，
21
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°− y﹣2x，∠MGN＝x+y，
2
∵2∠MEN+∠G＝105°，
1
∴2（90°− y﹣2x）+x+y＝105°，
2
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
50．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线
EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；
1
（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC= ∠EFC，求∠AEP
2
的度数；
（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与 EF相交于点H，则
∠EPG与∠EHG之间的数量关系为 ∠ EPG + 2 ∠ EHG ＝ 180 ° ． ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠AEP＝∠GMP，
∵∠EPG是△PGM的外角，
∴∠EPG＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP+∠PGC；
（2）如图1，连接EG，
∵GE平分∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
设∠AEP＝ ，∠PGC＝ ，则∠PGE＝110°﹣ ，∠EFG＝2 ，
∵AE∥CG，α∠AEP+∠PβGE＝110°， α β
∴∠PEG+∠PGC＝180°﹣110°＝70°，即∠PEG＝70°﹣ ，
∵∠CGE是△EFG的外角， β
∴∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝ +（110°﹣ ）﹣2 ＝110°﹣ ﹣ ，
70°﹣ ＝110°﹣ ﹣ ， β α β α β
解得 β＝40°， α β
∴∠AαEP＝40°；
（3）如图2，∵EF平分∠PEB，
∴可设∠BEF＝∠PEF＝ ，
∵AB∥CD， α
∴∠GFE＝∠BEF＝ ，
∴四边形PGFE中，α∠PGF＝360°﹣∠P﹣2 ，
∴∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2 ）＝∠Pα+2 ﹣180°，
∵∠EFG是△FGH的外角， α α∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝ ﹣∠EHG，
又∵QG平分∠PGC， α
∴∠PGC＝2∠FGH，
即∠P+2 ﹣180°＝2（ ﹣∠EHG），
整理可得α，∠P+2∠EHαG＝180°．
故答案为：∠P+2∠EHG＝180°．
51．如图①，直线l ∥l ，直线EF和直线l 、l 分别交于C、D两点，点A、B分别在直线
1 2 1 2
l 、l 上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
1 2
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为
55 度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关
系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、
∠PBD之间的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：猜想：如图①，过点P作PG∥l ，
1∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l ，
1
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，过点P作PG∥l ，
1
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝
∠APB+∠PBD．
52．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的
度数；
（2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF
之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图 3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝ ，∠PEA的平分线和
∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含 的式子表示α）．
α
【答案】（1）∠EPF的度数为64°；
（2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由见解答；
1
（3）∠G的度数为 ．
2
α
【解答】解：（1）过点P作PG∥AB，∴∠BEP＝∠EPG＝36°，
∵AB∥CD，
∴GP∥CD，
∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°，
∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°，
∴∠EPF的度数为64°；
（2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，
理由：过点P作PG∥AB，
∴∠EPG＝∠PEA，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠PFC＝∠FPG，
∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG，
∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA；
（3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP，
1 1
∴∠GFC= ∠PFC，∠GEA= ∠AEP，
2 2
由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA，
∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝
∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA α
1 1
= ∠PFC− ∠AEP
2 21
= （∠PFC﹣∠PEA）
2
1
= ，
2
α
1
∴∠G的度数为 ．
2
α
53．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD
分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请
求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
54．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角
尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点 C始终在两条平行线之间，
∠GEN
点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 的值．
∠BDF
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∠GEN 180°−2x
∴ = = 2．
∠BDF 90°−x
二十五．平行线的判定与性质（共4小题）
55．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有 AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必
有∠4＝∠C；正确的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
又∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，
又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误；
∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，
∴∠CAD+∠D＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，故④正确．
故选：A．
56．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠CBE+∠EDB＝90°；
④∠DEB＝2∠ABC，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，
∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，
∴∠EDB＝∠DBE，
∵BC⊥BD，
∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，
∴BC平分∠ABE，①正确；
∵∠EBC＝∠BCA，
∴AC∥BE，②正确；
∴∠CBE+∠EDB＝90°，③正确；
∵∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故④正确；
故选：D．
57．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比
∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分
∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；
若改变，请说明理由．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）100°；
（3）40°．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
1
∴∠ABG= ∠ABE，
2
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠ ＝∠3，
1 β
∴ ∠ABE+∠ ＝∠3，
2
β
∵DH平分∠EDF，
1
∴∠3= ∠EDF，
2
1 1
∴ ∠ABE+∠ = ∠EDF，
2 2
β
1
∴∠ = （∠EDF﹣∠ABE），
2
β
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠ ，
β设∠DEB＝∠ ，
∵∠ ＝∠1+α∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣
2∠ ，α
∵∠βDEB比∠DHB大60°，
∴∠ ﹣60°＝∠ ，
∴∠α＝180°﹣2β（∠ ﹣60°）
解得α∠ ＝100° α
∴∠DEαB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
1
∴∠EBM＝∠MBK= ∠EBK，
2
1
∠CDN＝∠EDN= ∠CDE，
2
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
1
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN= ∠CDE，
2
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK1 1
= ∠EBK− ∠CDE
2 2
1
= （∠EBK﹣∠CDE）
2
1
= ×80°
2
＝40°．
58．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．
∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若 + ＝50°，求
∠B+∠F的度数； α β
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究
∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠B+∠F的度数为150°；
（3）∠NBM的值不变，∠NBM的值为20°．
【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD，
∴∠ABP＝∠HAB，
∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，
∴∠CBP＝∠BCG，
∴BP∥CE，
∴AD∥CE；
（2）解：∵AF平分∠HAB，∴∠HAF＝∠FAB＝ ，
∴∠HAB＝2∠FAB＝β2 ，
∵∠BCF＝∠BCG＝ ，β
∴∠FCG＝2∠FCB＝α2 ，
∵∠B＝∠HAB+∠BCGα，
∴∠F＝∠HAF+∠FCG，
∵ + ＝50°，
∴α∠Bβ+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG
＝2 + + +2
＝3β+α3 β α
＝3α（ +β ）
＝150α°，β
∴∠B+∠F的度数为150°；
（3）解：∠NBM的值不变，
理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∴∠BCG＝2∠MBC，
∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°，
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG
＝2∠NBC﹣2∠MBC
＝2（∠NBC﹣∠MBC）
＝2∠NBM，
1
∴∠NBM= ∠HAB＝20°，
2
∴∠NBM的值为20°
二十六．平移的性质（共1小题）
59．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为
30 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．
故答案为：30．
二十七．扇形统计图（共1小题）
60．如图，甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下面对全年食
品支出费用判断正确的是（ ）
A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多
C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多
【答案】D
【解答】解：∵甲、乙两户全年支出总数无法确定，
∴两户食品支出的多少也无法确定．
故选：D．
