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专题 03 二次根式的加法与减法
（九大题型）
【题型1 同类二次根式】......................................................................................................1
【题型2 二次根式的加减运算】..........................................................................................2
【题型3 二次根式的混合运算】..........................................................................................3
【题型4 分母有理化】.........................................................................................................5
【题型5 已知字母的值，化简求值】..................................................................................5
【题型6 已知条件式，化简求值】......................................................................................6
【题型7 比较二次根式的大小】..........................................................................................6
【题型8 二次根式的应用】.................................................................................................7
【题型9 复合二次根式的化简】........................................................................................9
【题型1 同类二次根式】
1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
√3
A．❑√2与❑√12 B．❑ 与❑√3 C．❑√4与❑√8 D．❑√6与❑√3
4
❑√2
2．下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
2
√1
A．❑√12 B．❑√18 C．❑√9 D．❑
3
3．下列各式与❑√8可以合并的是（ ）
A．❑√12 B．❑√24 C．❑√50 D．❑√75
4．若最简二次根式❑√m−1与❑√8可以合并，则❑√2m−1的值是（ ）
A．❑√5 B．❑√2 C．❑√7 D．❑√3
5．已知最简二次根式❑√3a−4与另一个二次根式合并后的结果为❑√20，则a的值为
．【题型2 二次根式的加减运算】
1．计算：
3❑√2+❑√3−(5❑√2−2❑√3)
2．计算：
√3
(1)❑√12−4❑ +❑√18． (2)❑√8+2❑√3−(❑√27−❑√2)．
4
(3)❑√50+❑√45−❑√18+4❑√2． (4)❑√12+❑√24+❑√36+❑√48．
3．计算下列各式：
(1) ； (2) ( √ 1 )．
2❑√3−3❑√12+5❑√27 ❑√8+❑√0.5− ❑√0.2−❑
32
4.计算下列各式：
1 √3 √1
(1)❑√48+2❑√3−❑√75； (2) ❑√3+❑ −6❑ ；
2 4 3
√ 1
(3)2❑√8−5❑√32−3❑√5； (4)❑√40−2❑ +❑√90．
10
5．计算：
(1) ． (2)( √2) (√1 )．
❑√3−4❑√3+❑√27 ❑√24−❑√0.5+2❑ − ❑ −❑√6
3 8(3) √1 (1 )．
|2❑√2−3)+6❑ − ❑√32+3
2 2
6．计算：
(1) ❑√3(❑√8−❑√12) ； (2) √38+|−❑√3)+(❑√3−1) 2 ．
【题型3 二次根式的混合运算】
1．计算：
(❑√3−1) 2 −❑√5×❑
√24
÷
❑√18
5 ❑√3
√1
2．计算：❑√18÷❑√6−❑√12+❑√24×❑ ．
6
3．计算：
(1) (❑√8−❑√3)×❑√12 (2) (❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2)−(❑√6) 24．计算：
(1)(3❑√2+❑√5) 2 −(❑√5+❑√11)(❑√11−❑√5)； (2)❑√27−❑
√1
×❑√6+❑√45÷❑√5．
2
5．计算：
(1)❑√12×❑
√3
−❑√10÷❑√5+❑√8 (2)(❑√5−❑√3)(❑√5+❑√3)−(❑√2−1) 2
2
6．计算：
(1)❑√8−4❑
√1
+❑√2； (2)(❑√7+❑√3) 2 −(❑√7+❑√3)(❑√7−❑√3)．
2
1 1
7．已知X= ；Y = ，求：X+Y的值
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
6 6
8．已知x= ,y= ．
❑√7−1 ❑√7+1
1 1
(1)计算x+ y=________；xy=________； + =________．
x y
(2)求x2−4xy+ y2的值．【题型4 分母有理化】
1．阅读下列解题过程： 1
=
1×(❑√5−❑√4)
=
❑√5−❑√4
=❑√5−❑√4
，
❑√5+❑√4 (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4) (❑√5) 2 −(❑√4) 2
1 = 1×(❑√6−❑√5) = ❑√6−❑√5 =❑√6−❑√5 ，请回答下列问题：
❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5) (❑√6) 2 −(❑√5) 2
1
(1)观察上面的解答过程，请写出 =_____；
❑√n+1+❑√n
(2)利用上面的解法，请化简：
1 1 1 1 1
+ + +……+ +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
2．先阅读，再解答．由
(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)=(❑√5) 2 −(❑√3) 2=2
可以看出，两个含有二次
根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二
次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
1 ❑√3−❑√2 ，请完成下列问题：
= =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
3
(1)❑√2−1的有理化因式是______；化简 =______；
3−❑√6
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋯+ =______；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
(3)比较❑√2023−❑√2022与❑√2024−❑√2023的大小，并说明理由．【题型5 已知字母的值，化简求值】
√a √b
1．已知a+b=2，ab=1，则化简❑ +❑ 的值是（ ）
b a
A．1 B．❑√2 C．2 D．2❑√2
❑√3−1
2．已知：a= ，则−2a2+8a+2024的值为 ．
❑√3+1
3．设a=❑√7+❑√6，b=❑√7−❑√6，则a2025b2026的值是 ．
❑√2−1 ❑√2+1
4．已知x= ，y= ，求x2y+x y2的值．
2 2
【题型6 已知条件式，化简求值】
1．已知a=3+❑√2，b=3−❑√2，求代数式a2−ab+b2的值．
2．已知a=❑√11+4，b=❑√11−4，求下列代数式的值.
(1)a2−b2；
(2)a2+b2+ab.
3．已知x=❑√3+2，求代数式x2−4x+3的值．
4．已知x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，求下列各式的值：
(1)x2−y2
(2)x2+ y2【题型7 比较二次根式的大小】
1．比较大小：❑√7 2❑√2（填“>”“<”或“=”）．
2．比较大小：−2❑√3 −❑√15（填“>”“<”或“=”）
8 ❑√5−1
3．比较大小 ．
13 2
❑√19−2 2
4．课堂上，数学老师出了一道题：比较 与 的大小．小明的解法如下：
3 3
❑√19−2 2 ❑√19−2−2 ❑√19−4
解： − = = ．
3 3 3 3
因为19>16，所以❑√19>4，所以❑√19−4>0，
❑√19−4 ❑√19−2 2
所以 >0，所以 > ．
3 3 3
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小：
(1)1−❑√5和1−❑√3；
6−❑√7 3
(2) 和 ．
5 5
5．先观察解题过程，再解决问题．
比较❑√3−❑√2与❑√2−1的大小．
解：∵ ， ，
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)=1 (❑√2−1)(❑√2+1)=1
1 1
∴❑√3−❑√2= ，❑√2−1= ．
❑√3+❑√2 ❑√2+1
又∵❑√3+❑√2>❑√2+1，
∴❑√3−❑√2<❑√2−1．
试用以上方法，比较❑√4−❑√3与❑√3−❑√2的大小．【题型8 二次根式的应用】
1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是
v=16❑√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：
m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得d=40m，f =0.9，则肇事
汽车行驶的速度约为（ ）
A．16km/h B．32km/h C．48km/h D．96km/h
2．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为15cm2和24cm2的两个小正方形，剩余部分的
面积是（ ）
A．6❑√10cm2 B．9❑√10cm2 C．12❑√10cm2 D．20❑√10cm2
3．如图，将一个半径为3❑√2的圆环铁丝展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为❑√8π，
则矩形的宽是（ ）
A．❑√8π B．❑√2π C．2❑√3π D．3❑√2π
4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长
分别为a，b，c，则其中三角形的面积 S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2+c2 ))．此公式与古希
4 2
a+b+c
腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p= ，那么其三角形的面积
2．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
式”．若a=5，b=6，c=7，则此三角形面积为（ ）
A．6❑√6 B．9❑√6 C．6❑√3 D．9❑√3
5．如图，李明家有一块矩形空地ABCD，已知BC=❑√108m，AB=❑√27m．现要在空地
中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为
，宽为 ．
(❑√19+1)m (❑√19−1)m
(1)求矩形空地ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)已知李明家种植的草莓售价为7元/kg，且每平方米产草莓15kg．若李明家将所收
获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
【题型9 复合二次根式的化简】
1．阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小李同学进行了以下探索：
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
设
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2
（其中a、b、m、n均为整数），则有
a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小李同学就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2
，用含m、n的式子分别表
示a、b，得：a=______，b=______；(2)若
a+4❑√3=(m+n❑√3) 2 ,
且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：❑√25+4❑√6．
2．观察下面的运算，完成计算：
❑√5−2❑√6=❑√3−2❑√6+2=❑√ (❑√3) 2 −2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2=❑√ (❑√3−❑√2) 2
=|❑√3−❑√2)=❑√3−❑√2
(1)❑√3−2❑√2
(2) ．
❑√3+4❑√4+2❑√3
3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现
有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么
，如何将双重二次根式 化简．我们可以把 转
❑√a2±2ab+b2=|a±b) ❑√5±2❑√6 5±2❑√6
化为 完全平方的形式，因此双重二次根式
(❑√3) 2 ±2❑√6+(❑√2) 2=(❑√3±❑√2) 2
得以化简．
❑√5±2❑√6=❑√(❑√3±❑√2) 2=❑√3±❑√2
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y
′=
{ y(x≥0) )则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变
−y (x<0)
点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点 的“横负纵变点”为 ，点 的“横负纵变点”为
(❑√2,−❑√3) (−3❑√3,−2)
；
（2）化简：❑√7+2❑√10
1．下列二次根式与❑√3是同类二次根式的是（ ）
A．❑√2 B．❑√6 C．❑√9 D．❑√12
2．下列计算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．2❑√2−❑√2=2 C．❑√2×❑√3=❑√6 D．❑√12÷❑√2=2❑√3
3．5❑√7+2❑√7= ；❑√20−❑√45= ．
4．计算： ．
|1−❑√2)−❑√18+(❑√3+1)(❑√3−1)
5．已知a=2+❑√3，b=2−❑√3，分别求下列代数式的值：
(1)a2−b2；
(2)a2−3ab+b2．
