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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 05 二次函数的图像和性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y），（﹣2，y），（ ，y），
1 2 3
则y，y，y的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
2 3 1 1 2 3 2 1 3 1 3 2
【思路引导】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式，根据抛物线的对称性质和增减性比较大小．
【完整解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2．
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y），（﹣2，y），（ ，y），﹣4＜﹣2＜ ＜1，
1 2 3
∴y＞y＞y，
1 2 3
故选：B．
2．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（
）
A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）
B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．当x＝1时，y有最大值是1
【思路引导】在y＝（x﹣1）2+1中，令x＝0得y＝2，可判定A不符合题意；由1＞0，对称轴直线x＝1
可判断B不符合题意；根据当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝2，可判定C符合题意；由y＝（x﹣1）
2+1，根据函数性质可判定D不符合题意．
【完整解答】解：令x＝0，则y＝（0﹣1）2+1＝2，
∴二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象与y轴的交点坐标为（0，2），
故A不符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
当x＝0时，y＝2，当x＝2时y＝（2﹣1）2+1＝2，
故C符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值，
故D不符合题意．
故选：C．
3．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到
抛物线（ ）
A．y＝（x+4）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+4）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【思路引导】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【完整解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再
向左平移4个单位，得到抛物线的表达式是y＝（x+4）2+1﹣3，即y＝（x+4）2﹣2．
故选：C．
4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
【思路引导】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【完整解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：A．
5．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图
象大致如图（ ）
A． B．
C． D．【思路引导】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
【完整解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
6．（2分）（2018秋•天心区校级期末）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时， ．则函数y＝cx2
﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【思路引导】当y＞0时， ，所以可判断a＜0，可知﹣ ＝﹣ + ＝﹣ ， ＝﹣ × ＝
﹣ ，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．
【完整解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，
所以可判断a＜0，可知﹣ ＝﹣ + ＝﹣ ， ＝﹣ × ＝﹣
所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1
则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6
即y＝（x﹣2）（x+3）
则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），
故选：A．7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函
数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下
列结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4；
⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．
其中正确结论的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【思路引导】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图
象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图
象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象
的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；
⑥根据图形判断即可；逐个判断之后，可得出答案．
【完整解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确
的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正
确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④
也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
⑥从图象上看，若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P，因此⑥也是正确
的．
故答案为：①②③④⑥．
故选：B．
8．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝
4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两
点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B． ≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【思路引导】根据题意，x＝﹣ ≤2， ≥﹣3
【完整解答】解：当对称轴在y轴的右侧时， ，
解得 ≤m＜3，
当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为m≥ ．
故选：A．
9．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的
是（ ）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【思路引导】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出
abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣
1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝
4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．
【完整解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
10．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y＝a（x+1）2+2与H：y＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点
1 2
B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，y总是负数；
2
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y﹣y的值先增大后减小；
1 2
④四边形AECD为正方形．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【思路引导】①由非负数的性质，即可证得y＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y总
2 2
是负数；
②由抛物线l：y＝a（x+1）2+2与l：y＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后
1 1 2 2
由抛物线的平移的性质，即可得l可由l向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
2 1
③由 y﹣y＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y﹣y的值减小；
1 2 1 2
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为
正方形．
【完整解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴y＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，
2
∴无论x取何值，y总是负数；
2
故①正确；
②∵抛物线G：y＝a（x+1）2+2与抛物线H：y＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），
1 2
∴当x＝1时，y＝﹣2，
即﹣2＝a（1+1）2+2，
解得：a＝﹣1；
∴y＝﹣（x+1）2+2，
1
∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故②正确；
③∵y﹣y＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，
1 2
∴随着x的增大，y﹣y的值减小；
1 2
故③错误；
④设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，﹣2），
当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝1，
∴点C（3，﹣2），
∴AF＝CF＝3，AC＝6，
当x＝0时，y＝1，y＝﹣5，
1 2
∴DE＝6，DF＝EF＝3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC＝DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故④正确．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，
0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面
积S的取值范围是 3 ≤ S ≤ 1 5 ．【思路引导】根据坐标先求AB的长，所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小，因此只要讨
论当0≤m≤3时，P的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标D（1，4），由对称性可知：x＝1
时，P的纵坐标最大，此时△PAB的面积S最大；当x＝3时，P的纵坐标最小，此时△PAB的面积S最小．
【完整解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0），
∴AB＝3，
y＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
∴顶点D（1，10），
由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，
当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，即m＝3，P的纵坐标最小，
y＝﹣2（3﹣1）2+10＝2，
此时S ＝ ×2AB＝ ×2×3＝3，
△PAB
当x＝1时，即m＝1，P的纵坐标最大是10，
此时S ＝ ×10AB＝ ×10×3＝15，
△PAB
∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；
故答案为：3≤S≤15．
12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，
0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值
随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 ①③⑤ ．（填序
号）
【思路引导】由抛物线的对称轴为直线x＝2可得a与b的关系，从而判断①，由x＝﹣3时y＞0可判断
②，由抛物线经过（﹣1，0）及a与b的关系可判断③，由抛物线对称轴及开口方向可判断④，由x＝2
时y取最大值可判断⑤．
【完整解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．
由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，②错误．
∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝a+4a+c＝5a+c＝0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴3a+c＝5a+c﹣2a＞0，③正确．
由图象可得x＜2时，y随x增大而增大，
∴④错误．
∵x＝2时，函数取最大值，
∴4a+2b+c≥am2﹣bm+c，
即4a+2b≥am2﹣bm，⑤正确．
故答案为：①③⑤．
13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣ ，0），对称
轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m
（am+b）．其中正确的结论为 ②⑤ ．（注：只填写正确结论的序号）
【思路引导】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【完整解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②将点（﹣ ，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；
④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣ ，故2c﹣3b＝ ＞0，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．
14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列
结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③ 2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤ 3a+c＞0．其中正确结论的序号是
①④⑤ ．
【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后
根据对称轴x＝﹣1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【完整解答】解：∵图象和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，∴①正确；
∵从图象可知：a＞0，c＜0，﹣ ＝﹣1，b＝2a＞0，
∴abc＜0，∴②错误；
∵b＝2a＞0
∴2a+b＝4a＞0，∴③错误；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，∴④正确；
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
把b＝2a代入得：3a+c＞0，选项⑤正确；
故答案为①④⑤．
15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与y
轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，
且M为线段AB的中点，则a的值为 2 ．【思路引导】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为
线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代
入即可求解出a的值．
【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0， ），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1， ﹣a），点M坐标为（2， ）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4， ）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1， ）代入得 ＝k
∴y＝（ ）x
将点B（4， ）代入得 ＝（ ）×4
解得a＝2
故答案为：2．
16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x
轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．【思路引导】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣ ）2+ ．根据二次函数的
性质来求最值即可．
【完整解答】解：设P（x，x2﹣2x﹣3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2 + ．
∴当x＝ 时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为 ．
故答案为 ．
17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P
是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S ＝ ．
△PAB
【思路引导】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
【完整解答】解： ，
解得， 或 ，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝ ＝3 ，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得 ，
∴直线A′B的函数解析式为y＝ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
即点P的坐标为（0， ），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（ ﹣1）×sin45°＝ ＝ ，
∴△PAB的面积是： ＝ ，
故答案为： ．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y）、（﹣2，
1
y），（1，y），则y、y、y的大小关系是 y ＜ y ＜ y ．
2 3 1 2 3 2 3 1
【思路引导】把三点的坐标分别代入可求得y、y、y，再比例其大小即可．
1 2 3
【完整解答】解：
∵抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y）、（﹣2，y），（1，y），
1 2 3
∴y＝16a﹣8a+m＝8a+m，y＝4a﹣4a+m＝m，y＝a+2a+m＝3a+m，
1 2 3
∵a＞0，
∴m＜3a+m＜8a+m，
即y＜y＜y，
2 3 1
故答案为：y＜y＜y．
2 3 1
19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝
﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a
＞1，其中所有正确结论的序号是 ①②③⑤ ．
【思路引导】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【完整解答】解：①由图象可知：x＝1时，y＜0，
∴y＝a+b+c＜0，故①正确；
②由图象可知：Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
③由图象可知： ＜0，
∴ab＞0，又∵c＝1，
∴abc＞0，故③正确；
④由图象可知：（0，0）关于x＝﹣1对称点为（﹣2，0）
∴令x＝﹣2，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故④错误；
⑤由图象可知：a＜0，c＝1，
∴c﹣a＝1﹣a＞1，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤
20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c
＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 2 个．
【思路引导】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，
y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【完整解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故答案是：2．三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B
（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
【思路引导】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．
【完整解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴顶点坐标M（2，﹣1），
（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：
，
∴ ．
∴y＝﹣2x+3．
22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和
直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）求出直线l的解析式；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的
值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．【思路引导】（1）利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可；
（3）分a＜0、a＞0两种情况，分别求解即可．
【完整解答】解：（1）把点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b中，
得 ，解得 ，
∴直线l的解析式为y＝ x﹣ ；
（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，
∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，
∴x＝﹣1或x＝3，
①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；
综上所述：m＝﹣3或m＝3；
（3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a+1≤﹣1，
∴a≤﹣2；
②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即9a﹣7≥﹣3，
∴a≥ ，
直线AB的解析式为y＝ x﹣ ；
抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝ x﹣ ，
∴ax2+ x+ ＝0，△＝ ﹣2a＞0，
∴a＜ ，
∴a的取值范围为 ≤a＜ 或a≤﹣2．
23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．
（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；
（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y），Q（7，y）（其中y
1 2 1
＜y）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．
2
【思路引导】（1）将点（1，m+7）代入函数解析式即可；
（2）设符合题意的两点分别是（x，y），（﹣x，﹣y），代入解析式，两式相加即可得到2（2m﹣
0 0 0 0
1）x2+6＝0，根据二次函数的性质即可求得；
0
（3）当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣ ≤﹣5②当2m﹣1＜0时，
﹣ ＞1．
【完整解答】解：（1）抛物线经过点（1，m+7），
∴m+7＝2m﹣1+m+1+3，
∴m＝2；
（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x，y），（﹣x，﹣y），
0 0 0 0
代入解析式可得： ，
∴两式相加可得：2（2m﹣1）x2+6＝0，
0
化简得：x2＝﹣ ，
0
又∵x≠0，
0
∴﹣ ＞0，
∴2m﹣1＜0，
∴m＜ ，故满足条件的最大整数m＝0；
（3）∵新抛物线经过P（﹣5，y），Q（7，y）（其中y＜y）两点，
1 2 1 2
∵当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，
①当2m﹣1＞0时，﹣ ≤﹣5，
∴ ＜m≤ ，
②当2m﹣1＜0时，﹣ ＞1，
∴ ＜m＜ ；
综上所述： ＜m≤ 且m≠ ；
24．（8分）（2017春•雨花区校级期末）如图，抛物线y＝﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出
P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置
时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【思路引导】（1）直接把A点和C点坐标代入y＝﹣ x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出
m、n即可得到抛物线解析式；（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ，则D（ ，0），则利用勾股定理
计算出CD＝ ，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P （ ，4）；当
1
DP＝DC时，易得P （ ， ），P （ ，﹣ ）；
2 3
（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝
﹣ x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设 E（x，﹣ x+2）
（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+ x+2），则FE＝﹣ x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为
4，则S△BCF ＝S△BEF +S△CEF ＝ ×4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD ＝ ，所以S四边形CDBF ＝S△BCF +S△BCD ＝﹣
x2+4x+ （0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．
【完整解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入 y＝﹣ x2+mx+n得 ，解得
，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）存在．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
则D（ ，0），
∴CD＝ ＝ ＝ ，如图1，当CP＝CD时，则P （ ，4）；
1
当DP＝DC时，则P （ ， ），P （ ，﹣ ），
2 3
综上所述，满足条件的P点坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）当y＝0时，﹣ x2+ x+2＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，则B（4，0），
1 2
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，
设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+ x+2），
∴FE＝﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）＝﹣ x2+2x，
∵S△BCF ＝S△BEF +S△CEF ＝ ×4×EF＝2（﹣ x2+2x）＝﹣x2+4x，
而S△BCD ＝ ×2×（4﹣ ）＝ ，
∴S四边形CDBF ＝S△BCF +S△BCD
＝﹣x2+4x+ （0≤x≤4），
＝﹣（x﹣2）2+
当x＝2时，S四边形CDBF 有最大值，最大值为 ，此时E点坐标为（2，1）．25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，
与y轴交于点C．
（1）求线段BD的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．
【思路引导】（1）分别求出D（﹣1，0），B（3，0），则可求BD；
（2）连接AO，求出顶点坐标为（1，﹣4），C（0，﹣3），再由S ＝S +S ﹣S 即可求解；
△CAB △OAB △OCA △OCB
（3）连接BC交对称轴与点P，由题意可知B点与D点关于对称轴x＝1对称，则当P、B、C三点共线时，
PC+PD的值最小，求出BC＝3 即为所求．【完整解答】解：（1）当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，则（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝﹣1，x＝3，
1 2
∴D（﹣1，0），B（3，0），
∴BD＝4；故答案为：4．
（2）连接AO，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴S ＝S +S ﹣S ＝ ×3×4+ ×3×1﹣ ×3×3＝3；故答案为：3．
△CAB △OAB △OCA △OCB
（3）连接BC交对称轴与点P，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵B点与D点关于对称轴x＝1对称，
∴DP＝PB，
∴PC+PD＝PC+BP≥BC，
∴当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3 ，
∴PC+PD的最小值即BC＝ ．
26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝
x+1的定顶抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝
kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
【思路引导】（1）由抛物线解析式可得顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解．
（2）由抛物线解析式可得顶点坐标，由抛物线顶点坐标及（1，3）可得直线解析式，进而求解．
（3）由线y＝x2+2x+n可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，由抛物线与x轴两个交点间的距离为4可得抛
物线与x轴交点坐标，进而可得n的值，将抛物线顶点坐标代入直线解析式可得m的值．
【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），
∴（0，﹣4）在直线y＝﹣x+p上，
∴p＝﹣4．
（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线顶点坐标为（2，11），
将（2，11），（1，3）代入y＝kx+t得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为y＝8x﹣5．
将x＝0代入y＝8x﹣5得y＝﹣5，
将y＝0代入y＝8x﹣5得0＝8x﹣5，
解得x＝ ，
∴一次函数与坐标轴交点坐标为（0，﹣5），（ ，0），
∴直线y＝8x﹣5与坐标轴围成的三角形面积为 × ＝ ．
（3）∵y＝x2+2x+n，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∵抛物线与x轴的两个交点之间距离为4，﹣1+2＝1，﹣1﹣2＝﹣3，
∴抛物线经过（1，0），（﹣5，0），将（1，0）代入y＝x2+2x+n得0＝1+2+n，
解得n＝﹣3．
∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），
将（﹣1，﹣4）代入y＝mx﹣3得﹣4＝﹣m﹣3，
解得m＝1．
27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若
OA＝OC＝2OB＝2．
（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；
（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；
（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动
点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若
不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）由已知求出A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），再由待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线AC的解析式，再由铅锤法求出三角形△ACP面积；
（3）求出直线AD的解析式，从而求出交点D的横坐标，即可求H点的坐标，设M（m，0），再由已知
可确定GH和MN分别为正方形的边，则有MN＝|﹣m2+m+2|＝MH＝|m+ |，求出M即可．
【完整解答】解：（1）∵OA＝OC＝2OB＝2，
∴A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），
将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，可得
，解得 ，
∴y＝﹣x2+x+2，
设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B、C代入可得，
，
解得 ，
∴y＝2x+2；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
1 1
将点A（2，0），C（0，2）代入可得，
，
解得 ，
∴y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），过P点作x轴的垂线交直线AC于点Q，
则Q（t，﹣t+2），
∴△ACP面积＝ ×2×（﹣t2+t+2+t﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
∴当t＝1时，△ACP面积的最大值为1；
（3）存在点M得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形，理由如下：
∵AD⊥BC，DH⊥x轴，
∴∠DAO＝∠BCO，
∵tan∠BCO＝ ，
∴AD与y轴的交点为（0，1），
∴AD直线解析式为y＝﹣ x+1，
联立﹣ x+1＝2x+2，解得x＝﹣ ，
∴H（﹣ ，0），
设M（m，0），
∵GH⊥x轴，以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形时，GH为正方形的边，
∴MN也是正方形的边，
∴N（m，﹣m2+m+2），
∴MN＝|﹣m2+m+2|，MH＝|m+ |，
∵|﹣m2+m+2|＝|m+ |，
∴m＝± 或m＝1± ，
∴M（ ，0）或M（﹣ ，0）或M（1+ ，0）或M（1﹣ ，0）
