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专题 32 一次函数中菱形存在问题综合应用
解答方法
1．菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．坐标系中的菱形：
有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同．
3．解题思路：
（1）思路 1：先等腰，再菱形
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
为AB’
典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB： 与直线CD：
y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．（1）求直线CD的解析表达式；
（2）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，
以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点 N的坐
标．
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、
y轴于A、B两点，AB＝5，OA：OB＝3：4．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点
的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标．【变式1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线 L ：y＝﹣ x+6与L ：y＝ x
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交于点A，分别与x轴、y轴交于点B、C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表
达式；
（3）在（2）的条件下，设P是直线CD上的点，在平面内是否存在其它点
Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 Q的坐标；
若不存在，请说明理由．夯实基础
1．如图在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于
1
点B，直线l ：y＝2x与直线l 交于点P．
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（1）A点坐标为 ，P点坐标为 ；
（2）在线段AB上有一个动点M，过M点作直线MN∥y轴，与直线y＝2x
相交于点N，若△PMN的面积为 ，求M点的坐标．
（3）若点C为线段AB上一动点，在平面内是否存在点 D，使得以点O，
A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在
请说明理由．2．已知：在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B
1
两点，直线l 经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
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（1）求直线l 的解析式；
2
（2）如图1，点P为直线l 一个动点，若△PAC的面积为10时，请求出点P
1
的坐标．
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A B C ，
1 1 1
请问在平面内是否存在点 D，使得以A 、C 、C、D为顶点的四边形是菱形？
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若存在，直接写出点D的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，
直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．（1）求点P的坐标；
（2）求四边形AODP的面积；
（3）在坐标平面内是否存在一点 Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是
菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图1，直线y＝ x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与
x轴相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在直线 BC 上有两点 M，N，△AMN 是等腰直角三角形，∠MAN＝
90°，求点M的坐标；
（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点 Q，使以点A、B、P、Q为顶点的
四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
