文档内容
第12 章 全等三角形（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知 ， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三
角形．他的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点P是 平分线 上的一点， ， ， ，则 的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图， 于点D， 于点F， ．证明 不是利用“ ”的
条件是（ ）
A． B． C． D．5．如图，已知 ．若添加一个条件后，可得 ，则在下列条件中，可以添加的是（
）
A． B．
C． D． 平分
6．如图所示，在 中， ， ， 于点 ， 于点 ， ，
，则 的长是( )
A． B． C． D．
7．如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，
，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，
若 ， ，则 的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的 网格，图形 中各个顶点均为格点，设
， ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点 处有一激光发射器，激光照射到点 处倾斜的平面镜上发
生反射，使得反射光线照射到点 处的接收器上，若入射角 ， ，则点 处的接收器到
轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知AC平分 ， 于E， ，则下列结论① ；②
；③ ；④ ．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则
∠DBF的大小为12．如图，D，E是 外两点，连接 ，有 ， ．连接
交于点F，则 的度数为 ．
13．如图， ， 为 的中点，若 ， ，则 ．
14．如图，在 中， 平分 ， 于点P，已知 的面积为2，则阴影部分的面积为
．
15．如图， ，以 点为直角顶点在第一象限作等腰直角 ，则 点的坐标为16．如图，在 中， ．点 为 外一点， 于 ． ， ，
，则 的长为 ．
17．如图，在四边形 中，E是边 的中点， 平分 ，且 ，若 ，四边
形 的周长为18， ，则 的值为 ．
18．如图，操场上有两根旗杆相距 ，小强同学从 点沿 走向 ，一定时间后他到达 点，此时他
测得 和 的夹角为 ，且 ，已知旗杆 的高为 ，小强同学行走的速度为 ．
（1）另一旗杆 的高度为 ；
（2）小强从 点到达 点还需要的时间是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 中， ， ， ，试猜想 与 的位置关系，并说明
理由．20．（8分）如图，在 中， ，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线 ，
E，F为垂足，且 ；
求证：
(1)
(2) ．
21．（10分）如图，在 中， ， 是 的角平分线， 于 ，点 在边
上，连接 ．且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；22．（10分）如图，在 中， ， 于点 ， 平分 交 于点 ，交
于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
23．（10分）（1）【模型建立】如图1，在 与 中， ， ，
，求证： ；
（2）【模型应用】如图2，在 与 中， ， ， ，
三点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
①求 的度数；
② ，求 的面积；
24．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
（1）如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是
的“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；
（2）若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；
（3）若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对
称点为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．参考答案：
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
根据全等三角形的性质得出 ， ，求出 ，根据平行线的性质
得出 ，再求出答案即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．
【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据 即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三
角形全等（ ），
故选：B．
3．A
【分析】在 上取 ，然后证明 ，根据全等三角形对应边相等得到 ，
再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.
【详解】在 上截取 连接 ,
，，
∵点 是 平分线 上的一点，
，
在 和 中,
，
，
，
，
解得
故选A.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形
是解题的关键.
4．B
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵ 于点D， 于点F， ．
∴ ，
∵ ，
∴补充： 或 ，
可得： ，故A，C不符合题意；
补充 ，
∴ ，
∴ ，故D不符合题意；
补充 ，
∴ ，
∴ ，故B符合题意；故选B
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判
定定理有 ．
【详解】解：A、∵ ，
∴ 和 不一定全等，故A不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 和 不一定全等，故B不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C符合题意；
D、∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 和 不一定全等，故D不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明 ，又由 ， ，
得出 ， ，进而得出答案．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选B
7．A【分析】本题考查了作图−作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查
了角分线的性质．
作 于 ，利用基本作图得到 平分 ，则根据角平分线的性质定理得到 ，然
后根据三角形面积公式计算 ．
【详解】解：作 于H，
由题中作法得 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得
，从而可得 ，再根据三角形外角的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：如图， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选：B．
9．C
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作 轴于点M，证明
得出 ，进一步得出 即可
【详解】解：过点C作 轴于点M，如图，
则
根据题意得
∴
∴
又
∴
∴
∴
即点C处的接收器到 轴的距离为3，
故选：C
10．D
【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，
再由AB=AD+2BE即可求解；
②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据 即可求解；
③由②即可得解；④由②即可得解．
【详解】解：①在AE取点F，使 ．
在Rt△BCE与Rt△FCE中，
∴ ，
∴△BCE≌△FCE，
， ，
，
，
，
，故①正确；
②AB上取点F，使 ，连接CF．
在 与 中， ， ， ，
，
．
垂直平分BF，
，
．
又 ，
，
，故②正确；
③由②知， ， ，
又 ，
，故③正确；
④易证 ，，
又 ，
，
，故④正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
11．41°
【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，
即可求解．
【详解】解：∵AB = CD，
∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
，
∴在△ACE≌△DBF(SSS)，
∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°，
∴∠DBF=180°-55°-84°=41°，
故答案为：41°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题
的关键．
12． /140度
【分析】设 交 于点 ，由已知，推出 ，证明 ，得
，可求得 ，则 ，即可得到结论；此题重点考
查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明
是解题的关键．
【详解】解：设 交 于点 ，在 和 中，
，
，
故答案为： ．
13．2
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，先根据平行线的性质求出 ，
再由 可求出 ，根据全等三角形的性质即可求出 的长，再由 即可求出
的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故答案为：2．
14．1
【分析】延长 交 于 ，证明 ，利用三角形的中线的性质即可得解．
【详解】解：延长 交 于 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴阴影部分的面积 ；
故答案为：1．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三
角形是解题的关键．
15．
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由 ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计
算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠△CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出 ABO≌ BCD，由此即可得出
BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． △ △【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在 ABO和 BCD中，
△ △
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD＝4，CD＝6，
∴点C的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂
线还是垂直于y轴的垂线是解题关键．
16．5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
方法一：过 作 ，交 的延长线于 ，证 ，得 ， ，再证
，得 ，则 ，即可求解．方法二：在 上截取 ，连接 ，设 交 于 ，先证明 ，再证明
，得出 ，由等腰三角形三线合一的性质得 ，即可得出答案．
【详解】解：方法一：过 作 ，交 的延长线于 ，如图所示：
则 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
方法二：在 上截取 ，连接 ，设 交 于 ，如图2所示：， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
17．
【分析】延长DE交AB于G，根据 平分 ，且 ，证明 ≌ ，得到
， ，再利用E是边 的中点，证明 ≌ 得到 ，利用周长公
式即可求得答案．
【详解】解：延长DE交AB于G，如图∵ 平分 ，且 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌
则 ，
又∵E是边 的中点，
∴
在 和 中，
∴ ≌
则 ，
,
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定种类，解题的关键是作辅助
线．18． 9 18
【分析】（1）根据题意证明 ，进而根据 即可求得 的长；
（2）由（1）可知 ，进而根据时间等于路程除以速度即可求解．
【详解】（1） ，
又
故答案为：
（2） ，小强同学行走的速度为
（秒）
小强从 点到达 点还需要的时间是 秒
故答案为：
19． ，理由见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明 ，推出 ，可得
结论．
【详解】解：结论： ，
理由：连接 ．
在 与 中，
，
，，
，即 ．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明
是解答的关键．
（1）证明 ，利用全等三角形的对应角相等可得结论；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余证明 即可得结论．
【详解】（1）证明：∵ 于E点， 于F点
∴在 与 中
∴
∴ ；
（2）证明：在直角三角形 中，
∴
∴
∵E、C，F三点共线
∴
∴ ．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理：
（1）由角平分线的性质得到 ，再利用 即可证明 ；
（2）先由三角形内角和定理得到 ，则由全等三角形的性质可得 ，据此根据平角
的定义可得答案．
【详解】（1）证明： 是 的角平分线， ， ，，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题．
（1）证明 ，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
，
∴
∵
（2）证明：∵ ，
∴
平分 ， ，
23．（1）见解析；（2）① ；②
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
（1）首先得到 ，然后证明出 即可；（2）首先由 得到 ，然后证明出 ，得到 ，进而
求解即可；
【详解】解：（1） ，
，
在 和 中，
，
；
（2）①
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
②作 于点 ，如图所示：
，
，∵若点 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
，
又 点 为 中点，
；
24．(1)
(2) 或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：
（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）延长 交于点 ，先证明 ，再证明 ，依据题意得出
，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义， 的“边垂角”是 ；
（2）解：若 是 的“边垂角”，分两种情况
①如图， 是 的“边垂角”，
，
，
，
，②如图，
是 的“边垂角”，
，
，
，
，
综上所述， 与 的数量关系是 或 ；
（3）解：延长 交于点 ，
是 的“边垂角”，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
点 关于直线 对称点为点 ，
，
，
；
