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第一次月考押题检测卷（基础卷）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·九年级课时练习）下列等式是一元二次方程的是（ ）
A． （ 为常数） B．
C． D．
【答案】C
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为
．根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可．
【详解】解：A. （ 为常数），若 ，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
B. 可整理得 ，不是一元二次方程，故不符合题意；
C. ，是一元二次方程，符合题意；
D. ，不是整数方程，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将该方程化为一般式，即可解答．
【详解】解： ，
，∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握 ，a为二次项
系数，b为一次项系数，c为常数项．
3．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）二次函数 的图象如图所示，那么 的值可以
是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】对于二次函数 ：① ，图象开口向上； ，图象开口向下；② 越大，开口越小．
【详解】解：∵ 的图象开口向下
∴
∵ 的图象比 的图象开口更大
∴
即
A：错误；B：正确；C：错误；D：错误．
故选：B
【点睛】本题考查 的图象和性质，熟记相关结论是解题关键．
4．（2023春·湖北襄阳·九年级统考开学考试）将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个
单位后，得到的抛物线解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位后，得到的抛物线解析式为
，即 ．
故选D．
【点睛】考查了二次函数函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得
平移后的函数解析式．
5．（2023秋·九年级课时练习）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如
图阴影部分），原空地一边减少了 ，另一边减少了2 ，剩余空地的面积为18 ，求原正方形空地的
边长，设原正方形的空地的边长为 ，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用长方形的面积等于18 和矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设原正方形的空地的边长为 ，则剩余空地的长和宽分别为 和 ，由题意，
得： ；
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键．6．（2023秋·九年级课时练习）已知方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根 B．只有一个根
C．有两个根 D．有两个根
【答案】C
【分析】先求出该方程根的判别式，再用求根公式求解即可．
【详解】解： ，
，
∴ ，
∴ ，
解得∶ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程的方
法和步骤．
7．（2023秋·九年级课时练习）在二次函数 中，若 时， 随 的增大而减小，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线的解析式可得抛物线的对称轴为直线 ，由抛物线的性质可得当 时， 随 的增
大而减小，又由当 时， 随 的增大而减小即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而减小，
，
故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解答此题的关键．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，
跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱 的高度为（ ）米．
A． 米 B．3米 C． 米 D．4米
【答案】C
【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以 所在的直线为x轴，以 的中点O为坐标
原点， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点 ，点M，N的横坐标为
5，再求出抛物线的解析式，即可求解．
【详解】解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以 所在的直线为x轴，以 的中
点O为坐标原点， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点 ，点M，N
的横坐标为5，
设抛物线的解析式为 ，
把点 代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
∴支柱 的高度为 米．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是
关键．9．（2023秋·湖北武汉·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，
则关于 的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【分析】由直线 不经过第一象限可得 ，分 时和 时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解： 直线 不经过第一象限，
，
当 时，
，
关于 的方程 的实数根的个数为2个，
当 时，方程为 ，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个，
综上所述，若直线 不经过第一象限，则关于 的方程 的实数根的个数为1或2
个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一元二次方程根的个数与判别式的关系，一元二次方程
的根与 有如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方
程有两个相等的实数根，③ ，方程没有实数根．
10．（2023·山东·九年级专题练习）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：
， ， 等都是“三倍点”．在 的范围内，若二次函数 的图象
上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为 ，根据二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”转化为 和 至少有一个交点，求 ，再根据 和 时两个函数值大小即
可求出．
【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为 ，
在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在 的范围内，二次函数 和 至少有一个交点，
令 ，整理得， ，
则 ，解得 ，
把 代入 得 ，代入 得 ，
，解得 ；
把 代入 得 ，代入 得 ，
，解得： ，
综上，c的取值范围为： ．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交
点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程 的解为 ．
【答案】 ，
【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．12．（2023秋·北京·九年级北京市八一中学校考开学考试）若关于 的一元二次方程 有一个
根为 ，则实数 的值为 ．
【答案】
【分析】将 代入方程得关于 的方程，求解即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
故将 代入 ，得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的
未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
13．（2023秋·九年级课时练习）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，关于 的方程
的一个根为 ，则另一个根为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线 的对称轴是 ，设 的另一根为x，利用二次函数的对
称性即可求出x．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是 ，
设 的另一根为x，
，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 与x轴的交点坐标问题转化为解关
于x的一元二次方程．14．（2023秋·九年级课时练习）已知二次函数 ，则当 时， 的最大值与最小值的差
为 ．
【答案】 / /
【分析】首先根据二次函数的性质得到开口向上，对称轴为 ，然后将 和 代入求解
即可．
【详解】∵二次函数 ，
∵ ，
∴开口向上，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，
∴当 时，y取得最小值，即 ，
∵当 时，即 ，
当 时，即 ，
∴当 时，y取得最大值4，
∴ ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
15．（2023春·广西崇左·八年级校联考阶段练习）已知实数x满足 ，则代数式
的值是 ．
【答案】5【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即
可．
【详解】解：已知方程分解因式得： ，
可得 或 （无解），
．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数 与一次函数
的图象相交于点 和 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数图象的位置关系即可求解．
【详解】解：由图象可知：当 时，二次函数 的图象在一次函数
图象的下方
故当 时，有
故答案为：
【点睛】本题考查函数图象与不等式的关系．根据函数图象的位置求解是“数形结合”思想的体现．
17．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，M，N两点
分别从A，B两点以 和 的速度在矩形 边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停
止，当运动时间为 秒时， 为等腰三角形．【答案】 或 或
【分析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：①当点M在 上，点N在 上时；②点M在 上，
点N在 上时；③点M、N都在C、D上时；④当点M在 上，N在 上时，分别画出图形，利用勾
股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可．
【详解】解：根据 为等腰三角形，分以下四种情况：
①如图1，当点M在 上，点N在 上时， ， ， ，
由 得 ，解得 ；
②如图2，点M在 上，点N在 上时， ， ，
， ，
在 中，
由 得 ，整理得： ，
解得 ， (舍去)；
③如图③，点M、N都在C、D上时，若点M在点N的右边时，则 ， ， ，
∴ ，此时 ，
由 得 ，整理得 ，
∵ ，∴该方程无解；
若点M在点N的左边时，则 ， ， ，
∴ ，此时 ，
由 得 ，
解得 ，不符合题意，舍去；
④如图④，当点M在 上，N在 上时， ， ， ，
过N作 于T，则四边形 是矩形，
由 得 ，则 ，
解得 ，
综上，满足条件的t值为 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方
程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．18．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）二次函数 的对称轴为 ，若关于 的一元二
次方程 （为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由对称轴求b的值，则二次函数 ，关于 的一元二次方程 （ 为实数）
在 的范围内有解， ，在 时， ，当 时， ，
当 时， ，用 与 有交点即可解答．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得： ，
∴二次函数 ，
∵关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，
∴ ，解得： ，
∵ ，当 时， ，当 时， ，
∴ 与 有交点，t满足条件为 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质与一元二次方程的解的条件
是解答本题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
整理得， ，
∴ ，
则 或 ，
解得 ， ，
（2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法并灵活选择是解题的关键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程 ．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为 ，若 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据根的判别式即可验证；
（2）利用根与系数的关系可得 ，据此即可求解．【详解】（1）证明：根据题意可知： ，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
∴ ，
解得
【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
21．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知二次函数 ， 的图象如图所示．
(1)求y的取值范围；
(2)若直线 与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）先配方，求出二次函数的最小值，然后计算 时 的值即可确定 的范围；
（2）根据 的最小值和当 、 时， 的值即可确定 的取值范围．
【详解】（1）解：配方得： ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围为： ；
（2）二次函数 的顶点坐标为 ，
当 时， ，
即直线 与该函数图象只有一个交点，
当 时， ，当 时， ，
当 时，直线 与该函数图象只有一个交点，
的范围为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用二次函数的顶点式正确确定顶点坐标是解题的关键．
22．（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为 元，当
这款电子产品按每个 元出售时，一天可售出 个．经过市场调查，发现这款电子产品的销售单价每降
低 元，其日销售量可增加 个．设该电子产品每个降价 元，网店一天可通过该电子产品获利润 元．
(1)求 与 的函数解析式（不必写出自变量 的取值范围）．
(2)当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)这款电子产品销售单价为 元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为 元．
【分析】（1）利润 是降价 的函数，根据总利润 每个电子产品的利润 销售量，即可求得答案．
（2）电子产品每个降价应大于等于 ，每个电子产品的利润应大于等于 ，可得 ，求解可
得 的取值范围；二次函数 的开口向下，对称轴为 ，据此即可求得答案．
【详解】（1）根据题意可知，利润 是降价 的函数，根据总利润 每个电子产品的利润 销售量，得
．
化简，得
．
（2）根据题意可知，电子产品每个降价应大于等于 ，每个电子产品的利润应大于等于 ，可得
．
解得
．
二次函数 的开口向下，对称轴为 ，
所以，当 时，二次函数可以取得最大值．当 时，这款电子产品的销售单价为： (元)．
将 代入 ，得
．
所以，这款电子产品销售单价为 元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为 元．
【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
23．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程 有实根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)方程的两个实数根分别为 ， ，若 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)k的值为
【分析】（1）一元二次方程有实根时 ，由此可解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】（1）解： 关于x的一元二次方程 有实根，
，
；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，符合题意．
故所求k的值为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程 有两个实数根 ， ，则 ， ， ，掌握上述知识点是解题的关键．
24．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， ， ，动点P从点B出发，沿射线 的方向以每秒 的速度运动，动
点Q从点A出发，在线段 上以每秒 的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q
运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．
(1)则 ， （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于 ？
(3)是否存在点P，使 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ， 或
(2)当 或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等 ；
(3)存在这样的P,当 秒或 秒时， 是等腰三角形
【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于 ，可以分为两种情况，利用梯形面积公式，即
，代入数据，列方程即可求得时间t；
（3）分 、 、 三种情况讨论求出t值即可；
【详解】（1）解：根据题意， ，
当点P未到点C时， ；当点P在点C右边时， ；
故答案为： ， 或 ；
（2）解：若点P、Q分别沿延线段 运动时，
，
即 ，
解得： （秒），
若点P在点C右边时， ，
则 ，
解得： （秒）．
故当 或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等 ；
（3）解：当 时，作 于H，则 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
，
，
（秒）；
当 时， ， ，
，
，
解得 （秒）；当 时， ，
，
，
即 ，
，
∴方程无实根，
综上可知，当 秒或 秒时， 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的性质及动点问题，一元二次方程的应用，掌握相
关知识并灵活应用是解题的关键．
25．（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，
两侧墙 和 与路面 垂直，隧道内侧宽 米．工程人员在路面 上取点E，测量点E到墙面
的距离 ，点E到隧道顶面的距离 ．设 米， 米．通过取点、测量，工程人员得到
了x与y的几组值，如表：
x/米 0 2 4 6 8
4.7
y/米 2.5 4.75 5.5 2.5
5
(1)若以点A为坐标原点， 所
在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式；
(2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且
到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？
【答案】(1)(2)隧道需标注的限高应 米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在 时，y有最大值5.5，然后运用待定系数法求出解析式即
可；
（2）把 代入解析式，求出函数值即可解题．
【详解】（1）根据二次函数的对称性可知，当 时，y有最大值5.5，
∴设隧道满足的关系式为 ．
把 ， 代入解析式，得 ，
解得 ．
∴隧道满足的关系式为 ．
（2）当 时， ，∴ （米）．
答：隧道需标注的限高应3.25米．
【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系，
求得解析式是解题的关键．
26．（2023春·重庆江北·九年级校考阶段练习）如图1，已知二次函数 的图象与y轴交于
点A．与x轴交于点B，C，连接 、 ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点B作 交抛物线于点N，点M为抛物线上位于 上方一点，求四边形 面积
的最大值及此时点M的坐标；(3)如图3，将抛物线沿着射线 平移 个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为
顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标．
【答案】(1) 是直角三角形；
(2)四边形 面积的最大值为36，点M的坐标为 ；
(3) 或 ， ， ，
【分析】（1）令 ，则 ，得到 ；令 ，则 ， ，得到 ， ，
则 ， ， ，则 ，利用勾股定理在 中，求得
，在 中，求得 ，因此 ，根据勾
股定理的逆定理得到 是直角三角形；
（2）采用待定系数法设直线 的函数解析式为 ，把点 ， 代入可求得直线 的函
数解析式为 ．设点M的坐标为
过点M作 轴于点E，交 于点F，则点F的坐标为 ，根据两点间距离可求得
，因此 ；由于 ， ，根据
平行线间距离处处相等可得 ，所以
，根据二次函数的性质即可求得四边形 面
积的最大值，进而求得此时点M的坐标；
（3）由原抛物线 可得对称轴为 ，将抛物线沿着射线 平移 个单位，即相当于
将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，因此新抛物线的对称轴为 ，设点P的坐标为 ，根据两点间距离公式可得 ，
， ．若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以
下三种情况：① ，② ，③ ，分别代入即可得到方程，求解即可解答．
【详解】（1）令 ，则 ，
∴点A的坐标为 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（2）设直线 的函数解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，∴直线 的函数解析式为 ．
设点M的坐标为
过点M作 轴于点E，交 于点F，则点F的坐标为
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，为 ，
此时 ，即点M的坐标为 ．
（3）原抛物线 的对称轴为 ，
∵在 中， ， ， ，
∴将抛物线沿着射线 平移 个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，
原抛物线的对称轴也作同样的平移，
∴新抛物线的对称轴为
∵点P是新抛物线对称轴 上的一点，
∴设点P的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
，
．
若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：
① ，则 ，
解得 ，
此时点P的坐标为 ；
② ，则 ，
解得 ，
此时点P的坐标为 或 ；
③ ，则 ，解得 ，
此时点P的坐标为 或 ．
综上所述，若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为 或 ，
， ， ．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，勾股定理与其逆定理，二次函数的性质，二次函数的平移，
等腰三角形的性质，综合运用各个知识，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．
