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期末培优检测二
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列说法或式子中，正确的一个是（ ）
A．有理数分为正数和负数 B．﹣a一定是负数
C．﹣|﹣2|＝2 D．（﹣3）2012＞0
试题分析：根据有理数的分类、绝对值、负数的偶次幂是正数，进行判定即可解答．
答案详解：解：A、有理数分为正数、0和负数，故错误；
B、﹣a一定是负数，错误，例如当a＝0时；
C、﹣|﹣2|＝﹣2，故错误；
D、正确；
所以选：D．
2．（4分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
试题分析：根据正方体展开图的11种形式对各小题分析判断即可得解．
答案详解：解：A、B、D均是正方体表面展开图；
C、正方体有6个面，C有7个小正方形，故不是正方体表面展开图．
所以选：C．
3．（4分）学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方，公
园在学校的南偏西26°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．116° C．25° D．65°
试题分析：根据方向角的意义，结合图形中角的和差关系进行计算即可．
答案详解：解：如图，根据题意可知，
∠CAD＝26°，∠DAB＝90，
∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB
＝26°+90°＝116°，
所以选：B．
4．（4分）已知A，B，C，D四点在同一直线上，其中CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，
则AB的长为（ ）
A．15cm B．10cm或15cm C．18cm D．10cm或18cm
试题分析：分两种情况讨论，分别根据中点的定义和线段的和与差即可求出答案．
答案详解：解：当B在线段CD上时，
CD＝BC+BD＝4+7＝11（cm），
∵点D为AC的中点，
∴AC＝2CD＝22cm，
∴AB＝AC﹣BC＝22﹣4＝18（cm），
当C在线段BD上时，
CD＝BD﹣CB＝7﹣4＝3（cm），
∵点D为AC的中点，
∴AC＝2CD＝6cm，
∴AB＝AC+BC＝6+4＝10（cm）．
所以选：D．
3
5．（4分）关于多项式5x2﹣3x2y3− y3−12，下列说法正确的是（ ）
5
A．它是五次三项式
B．它的常数项是12
3
C．它的最高次项系数为−
5
D．它的二次项系数为5
试题分析：根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项
叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，
即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有 a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式可得答案．
答案详解：解：A、它是五次四项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、它的常数项为﹣12，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、它的最高次项系数为﹣3，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、它的二次项系数为5，原说法正确，故此选项符合题意；
所以选：D．
6．（4分）把一条弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，其中的道理可以解释为（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短
C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小
试题分析：因为两点之间，线段最短，把一条弯曲的河道改成直道，可以缩短航程．
答案详解：由题意把一条弯曲的河道改成直道，肯定要尽量缩短缩短两地之间的里程，就用两
点之间线段最短定理．
所以选：C．
7．（4分）中国人寿保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定
的报销细则如表，某人住院治疗后得到保险公司报销金额是 1000元，那么此人住院的医疗费是
（ ）
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分 0
超过500～1000元的部分 60
超过1000～3000元的部分 70
……
A．1000元 B．1250元 C．1500元 D．2000元
试题分析：因为报销金额是1000元，根据分段报销，超过500～1000元的部分报销60%，超过
1000～3000元的部分报销70%的情况，设住院医疗费是x元，根据题意可得等量关系：超过500
～1000元的部分报销的钱+超过1000～3000元的部分报销的钱＝1000元，根据等量关系列出方
程求解即可．
答案详解：解：设此人住院的医疗费是x元，由题意得：
（1000﹣500）×60%+70%（x﹣1000）＝1000，
解得：x＝2000．
答：此人住院的医疗费是2000元．
所以选：D．8．（4分）若﹣2amb4与5a4bn+2可以合并成一项，则mn的值是（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
试题分析：利用同类项的定义求得m，n的值，再将m，n的值代入运算即可．
答案详解：解：∵﹣2amb4与5a4bn+2可以合并成一项，
∴﹣2amb4与5a4bn+2是同类项，
∴m＝4，n+2＝4，
∴m＝4，n＝2．
∴mn＝42＝16，
所以选：C．
9．（4分）观察下面由正整数组成的数阵：
照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（ ）
A．2500 B．2501 C．2601 D．2602
试题分析：观察数阵可知第n行最后一个数是n2，第n+1行第一个数就是n2+1，按此规律计算
第51行第一个数即可．
答案详解：解：观察数阵可知第n行最后一个数是n2，第n+1行第一个数就是n2+1，
∴第51行第一个数就是502+1＝2501，
所以选：B．
10．（4分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为
数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64试题分析：符合条件的两个三角形数要满足二个条件：两个三角形数之和等于正方形数，两个
三角形数之差等于正方形数的平方根．
答案详解：解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠√21，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9=√81，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠√25，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠√64，所以D是错误的．
所以选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）定义一种新的运算：a☆b＝ba+ab，则2☆（﹣5）＝ 1 5 ．
试题分析：原式利用题中的新定义计算即可求出值．
答案详解：解：根据题中的新定义得：
2☆（﹣5）＝（﹣5）2+2×（﹣5）＝25﹣10＝15．
所以答案是：15．
12．（4分）对于近似数0.1830，有 四个 有效数字，精确到 万分 位．
试题分析：根据有效数字的概念求解即可．
答案详解：解：对于近似数0.1830，有四个有效数字，精确到万分位，
所以答案是：四个，万分．
13．（4分）2021年3月5日李克强总理在2020年工作总结中指出，城镇新增就业11860000人，
将数据11860000用科学记数法表示为 1.186×1 0 7 ．
试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
答案详解：解：将11860000用科学记数法表示是1.186×107．
所以答案是：1.186×107．
14．（4分）若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3＝﹣5的解互为倒数，则a的值为
15
− ．
2
试题分析：分别解方程，根据两个方程的解互为倒数得关于a的方程，求解即可．
答案详解：解：3x﹣7＝2x+a，
∴x＝7+a，
4x+3＝﹣5，∴4x＝﹣8，
∴x＝﹣2，
∵关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3＝﹣5的解互为倒数，
1
∴7+a=− ，
2
15
∴a=− ．
2
15
所以答案是：− ．
2
15．（4分）如图，射线OC的端点O在直线AB上，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余，ON
平分∠COD，若∠AON与∠COD互补，则∠AOC的度数为 45 ° 或 22.5 ° ．
试题分析：分两种情况讨论：①OD在直线AB上方；②OD在直线AB下方，再利用角之间的
关系可以求解．
答案详解：解：①当OD在直线AB上方时，如图，
∵∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠COD＝180°﹣（∠BOD+∠AOC）＝90°，
∵∠AON与∠COD互补，
∴∠AON＝90°，
∵ON平分∠COD，
∴∠CON＝45°，
∴∠AOC＝45°；
②当OD在直线AB的下方时，如图，∵∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOC，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣（90°﹣∠AOC）＝90°+∠AOC，
∵∠COD＝∠AOD+∠AOC，
∴∠COD＝90°+∠AOC+∠AOC＝90°+2∠AOC，
∵ON平分∠COD，
1
∴∠DON＝∠CON= ∠COD＝45°+∠AOC，
2
∵∠AON与∠COD互补，
∴∠AON＝180°﹣∠COD＝90°﹣2∠AOC，
∵∠BOD+∠DON+∠AON＝180°，
∴90°﹣∠AOC+45°+∠AOC+90°﹣2∠AOC＝180°，
解得：∠AOC＝22.5°．
所以答案是：45°或22.5°．
16．（4分）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣c|+|a﹣b|的值为 b ﹣ c ．
试题分析：由图可得：c＜0＜a＜b，且|c|＞|b|＞|a|，则所求式子可化为|a﹣c|+|a﹣b|＝a﹣c+b﹣a
＝b﹣c．
答案详解：解：由图可得：c＜0＜a＜b，且|c|＞|b|＞|a|，
∴|a﹣c|+|a﹣b|＝a﹣c+b﹣a＝b﹣c，
所以答案是b﹣c．
kx+a 2x+bk
17．（4分）已知a，b为定值，关于x的方程 =1− ，无论k为何值，它的解总是1，
3 6
则a+b＝ 0 ．
kx+a 2x+bk k+a 2+bk
试题分析：把x＝1代入方程 =1− ，得： =1− ，整理可得（2+b）k+2a
3 6 3 6﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
kx+a 2x+bk
答案详解：解：把x＝1代入方程 =1− ，得：
3 6
k+a 2+bk
=1− ，
3 6
2（k+a）＝6﹣（2+bk），
2k+2a＝6﹣2﹣bk，
2k+bk+2a﹣4＝0，
（2+b）k+2a﹣4＝0，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴2+b＝0，2a﹣4＝0，
解得：b＝﹣2，a＝2．
则a+b＝0．
所以答案是：0．
18．（4分）寒假到来，某书店开展学生优惠购买名著活动，凡一次性购买不超过100元的，一律
九折优惠；超过100元的，其中100元按九折优惠，超过100元的部分按八折优惠．小青第一次
去购买时付款36元，第二次又去购买时享受到了八折优惠．他查看了所买名著的定价，发现两
次共节省了17元，则小青第二次购买时实际付款 10 2 元．
试题分析：先求出第一次购书时的实际定价，再根据第二次购书节省的钱数列出方程，再求解
即可．
答案详解：解：第一次购书付款36元，享受了九折优惠，实际定价为36÷0.9＝40元，省去了4
元钱．
依题意，第二次节省了：17﹣4＝13元．
设第二次所购书的定价为x元．（x﹣100）×0.8+100×0.9＝x﹣13，
解得x＝115．
故第二次购书实际付款为：115﹣13＝102元．
所以答案是：102．
三．解答题（共7小题，满分68分）
19．（8分）计算：
1
（1）8+（− ）﹣（﹣0.25）；
4
（2）﹣22﹣（﹣2）3﹣32÷（﹣1）；3 11 3 13 3 14
（3）（− ）×（− ）− ×（− ）+ ×（− ）．
2 15 2 15 2 15
试题分析：（1）利用加法的运算律进行运算更简便；
（2）先算乘方，再算除法，最后算加减即可；
（3）逆用乘法的分配律进行运算更简便．
1
答案详解：解：（1）8+（− ）﹣（﹣0.25）
4
＝8+（﹣0.25）+0.25
＝8+（﹣0.25+0.25）
＝8；
（2）﹣22﹣（﹣2）3﹣32÷（﹣1）
＝﹣4﹣（﹣8）﹣9÷（﹣1）
＝﹣4+8+9
＝13；
3 11 3 13 3 14
（3）（− ）×（− ）− ×（− ）+ ×（− ）
2 15 2 15 2 15
3 11 13 14
=− ×（− − + ）
2 15 15 15
3 2
=− ×(− )
2 3
＝1．
1
20．（8分）已知代数式A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy+x− ．
2
（1）当x＝﹣1，y＝2时，求A﹣2B的值；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
试题分析：（1）将A，B的值代入，去括号，合并同类项，最后将x，y的值代入计算即可；
（2）将（1）中的化简结果整理，令含x的项系数的和为0，即可求得y的值．
1
答案详解：解：（1）A﹣2B＝（2x2+3xy+2y﹣1）﹣2（x2﹣xy+x− ）
2
＝2x2+3xy+2y﹣1﹣2x2+2xy﹣2x+1
＝5xy﹣2x+2y，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝5×（﹣1）×2﹣2×（﹣1）+2×2＝﹣10+2+4
＝﹣4．
（2）由（1）知：A﹣2B＝5xy﹣2x+2y＝（5y﹣2）x+2y，
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴5y﹣2＝0，
2
解得：y= ．
5
2
∴当y= 时，A﹣2B的值与x的取值无关．
5
21．（8分）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然
后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 （ m ﹣ n ） ；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．并写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
试题分析：（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即（m﹣n）；
（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长
方形的面积，得阴影部分的面积．
答案详解：解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（m﹣n）；
（2）方法一：阴影部分的面积＝（m+n）2﹣2m•2n，
＝m2+n2+2mn﹣4mn，
＝m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2；
方法二：阴影部分的边长＝m﹣n，
故阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
三个代数式之间的等量关系是：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn．
22．（10分）抗击新冠肺炎期间，某小区为方便管理，为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1；将第i行第j列表示的数
记为a
i，j
（其中i，j都是不大于4的正整数），如图1中当i＝3，j＝2时表示为a
i，j
＝a
3，2
＝1．
对第i行使用公式A
i
＝a
i，1
×23+a
i，2
×22+a
i，3
×21+a
i，4
进行计算，所得结果A
1
、A
2
、A
3
、A
4
分别表
示居民楼号、单元号、楼层、房间号．如图 1 中 A 3 ＝a 3，1 ×23+a 3，2 ×22+a 3，3 ×21+a 3，4 ＝
0×8+1×4+1×2+0＝6，A ＝1×8+1×4+0×2+0＝12，说明该居民住在6层，12号房间，即612号．
4
（1）图1中，a 2，3 ＝ 0 ；
（2）图1代表的居民居住在 4 号楼 1 3 单元；
（3）请仿照图1，在图2中画出3号楼6单元508号居民的身份识别图案．
试题分析：（1）根据白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，第i行第j列表示的数记
为a
i，j
，观察图形可得答案；
（2）A ，A ，分别表示居民楼号，单元号，按照题中公式计算即可；
1 2
（3）按照题中公式及3号楼6单元508房间画图即可．
答案详解：解：（1）根据题意a
2，3
＝表示第②行，第三格，为白色，白色表示0，从而图1
中，a
2，3
＝0．
所以答案是：0；
（2）A
1
＝a
1，1
×23+a
1，2
×22+a
1，3
×21+a
1，4
×20
＝0×8+1×4+0×2+0×1
＝4，
A 2 ＝a 2，1 ×23+a 2，2 ×22+a 2，3 ×21+a 2，4 ×20
＝1×8+1×4+0×2+1×1
＝13，
∴图1代表的居民居住在4号楼13单元；
所以答案是：4，13；
（3）3号楼6单元508房间居民的身份识别图案如图：23．（10分）为增强同学们身体素质，某校举行一分钟仰卧起坐强化训练活动，某小组10名学生
的一分钟仰卧起坐成绩以50次为准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，记录如下
（单位：次）：
﹣2，2，0，0，4，﹣3，﹣1，6，2，10．
（1）本小组中最好成绩与最差成绩相差多少？
（2）学校规定，小组的平均成绩达到51次及以上，可评为“优秀小组”，请你通过计算判断
这个小组是否为“优秀小组”？
试题分析：（1）用记录中的最大的数减去最小的数即可；
（2）根据算术平均数的公式计算即可．
答案详解：解：（1）10﹣（﹣3）＝10+3＝13（次），
答：本小组中最好成绩与最差成绩相差13次；
1
（2）50+ （﹣2+2+0+0+4﹣3﹣1+6+2+10）
10
＝50+1.8
＝51.8（次），
∵51.8＞51，
∴这个小组是“优秀小组”．
24．（12分）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方
程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的
值．
试题分析：（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
答案详解：解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，m
∴ =m+3，
3
9
解得：m=− ．
2
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
2
解得m＝﹣3，n=− ．
3
25．（12分）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板
（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线
AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．
①求t的值；
②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图
3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．
试题分析：（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根
据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t
值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；
（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知
∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；
（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t
表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOP度数，同理再把
∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．答案详解：解（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°．
∵OP平分∠BOC，
1
∴∠COP= ∠BOC＝75°．
2
∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°．
∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°．
所以t＝15°÷3°＝5秒；
②是，理由如下：
∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，
∴OQ平分∠AOC；
（2）∵OC平分∠POQ，
1
∴∠COQ= ∠POQ＝45°．
2
根据旋转的速度，设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，
由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30°+6t﹣3t＝45°，
解得t＝5秒；
所以5秒时OC平分∠POQ；
（3）设经过t秒后OC平分∠POB．
∵OC平分∠POB，
1
∴∠BOC= ∠BOP．
2
∵∠AOQ+∠BOP＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣3t．
又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，
1
∴180°﹣30°﹣6t= （90°﹣3t），
2
70
解得t= 秒．
3
