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第三课时——点与圆、直线与圆的位置关系（1）（答案卷）
知识点一：点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图
（1）d＞r 点在 圆外 。
（2）d ＝ r 点在圆上。
（3）d＜r 点在 圆内 。
【类型一：判断点与圆的位置关系】
1．在平面直角坐标系中，若 A的半径为5，A点的坐标是（4，0），P点的坐标是（0，3），则点P与
A的位置关系是（ ）
⊙
⊙
A．点P在 A内 B．点P在 A外 C．点P在 A上 D．不能确定
⊙ ⊙ ⊙
【分析】根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（0，3），
∴AP＝ ＝5＝半径，
∴ A的位置关系是：点P在 A上．
⊙ ⊙
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），若 P经过原点，那么点（5，0）与 P的位置关系是
（ ）
⊙ ⊙A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
【分析】先由 P经过原点和点P的坐标求得 P的半径，然后求得点（5，0）与点P之间的距离判断
点与圆的位置关系．
⊙ ⊙
【解答】解：∵ P经过原点，且P（3，4），
⊙
∴圆的半径r＝OP＝5，
∵点（5，0）到点P的距离为 ＝2 ＜5，
∴点（5，0）在 P内，
⊙
故选：A．
3．已知 O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和 O的位置关系为（ ）
⊙ ⊙
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【解答】解：∵ O的半径为2cm，点P与圆心O的距离为4cm，2cm＜4cm，
⊙
∴点P在圆外．
故选：C．
4．已知 O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，点A与圆心O的距离为6，则下列说法正确在
是（ ）
⊙
A．点A在 O外 B．点A在 O上 C．点A在 O内 D．无法判断
⊙ ⊙ ⊙
【分析】先求方程的根，可得r的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∵ O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
⊙
∴r＝4，
∵d＞r，
∴点A在 O外，
⊙故选：A．
【类型二：根据点与圆的位置关系求取值范围】
5．已知 O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
⊙
A．d＜5 B．d＝5 C．d＞5 D．0≤d＜5
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解答】解：∵点P在圆内，且 O的半径为5，
⊙
∴0≤d＜5，
故选：D．
6．若点A在 O内，点B在 O外，OA＝3，OB＝5，则 O的半径r的取值范围是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解
【解答】解：∵点A在半径为r的 O内，点B在 O外，
⊙ ⊙
∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，
∴3＜r＜5．
故选：C．
7．在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是
（ ）
A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．
【分析】由点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内知|a﹣1|＜2，据此可得答案．
【解答】解：∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜2，
则﹣2＜a﹣1＜2，
解得﹣1＜a＜3，故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作 D，
其半径长为r，要使点A恰在 D外，点B在 D内，那么r的取值范围是（ ）
⊙
⊙ ⊙
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ADC中，∠C＝90，AC＝4，CD＝3，
∴AD＝ ＝ ＝5．
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
∵以点D为圆心作 D，其半径长为r，要使点A恰在 D外，点B在 D内，
⊙ ⊙ ⊙
∴r的范围是4＜r＜5，
故选：A．
9．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，
且至少有一点在圆外，那么 A半径r的取值范围是 ．
⊙
【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案．
【解答】解：如图，连结AC，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴AC＝ ＝ ＝10，
∵以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，
∴r＞6，
∵至少有一点在圆外，
∴r＜10，
∴ A半径r的取值范围是：6＜r＜10．
⊙
故答案为：6＜r＜10．
知识点一：三角形的外接圆与外心：
1. 三角形的外接圆：
如图：若三角形的三个顶点都在 圆上 ，则此时三角形是
圆
的 内接三角形 ，圆是三角形的 外接圆 。
2. 三角形的外心：
三角形外接圆的 圆心 即是三角形的外心。是三角形三条边
的 垂直平分线 的交点。所以到三角形三个顶点的距离 相等 。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜
边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【类型一：利用外接圆与外心求角度】
10．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC＝96°，则∠A的度数为（
）A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定
【分析】利用三角形的外心及圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC，进而可求解．
【解答】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BOC＝96°，
∴∠BAC＝48°，
故选：C．
11．如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，连结CD．若∠ABE＝40°，则∠CBD的度数为（
）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据垂径定理可得 ＝ ，AE＝CE，所以AB＝CB，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC，
∴ ＝ ，AE＝CE，
∴AB＝CB，
∴∠CBD＝∠ABE＝40°，
故选B．
12．如图，△DBC内接于 O，AC为 O的直径，连接AB，若∠ACB＝40°，DB＝DC，则∠ABD的度数
⊙ ⊙为（ ）
A．40° B．50° C．25° D．65°
【分析】先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定
理可得∠D＝∠A＝50°，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AC是 O的直径，
⊙
∴∠ABC＝90°．
∵∠ACB＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠D＝∠A＝50°，
∵DB＝DC，
∴∠DCB＝∠DBC＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝65°﹣40°＝25°，
∴∠ABD＝∠DCA＝25°．
故选：C．
13．如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠4，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故选：C．
14． O是△ABC的外接圆，若BC长等于半径，则∠A的度数为（ ）
⊙
A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或30°
【分析】连接OB，OC，证明△OBC是等边三角形可得∠BOC＝60°，再分两种情况，利用圆周角定理
可求解．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
当点A在优弧上时，∠A＝ ∠BOC＝＝30°；
当点A在劣弧上时，∠A＝180°﹣30°＝150°，故选：C．
【类型二：利用外接圆与外心求长度】
15．如图， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，AC＝2 ，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可求解∠AOC＝90°，可证明△AOC是等腰直角三角形，利用
等腰直接三角形的性质及勾股定理可求解．
【解答】解：连接OA，OC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC＝ ，∴OA＝OC＝2．
故选：B．
16．如图， O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则 O的半径是（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【分析】连接OB，过点O作OE⊥BC，结合三角形外心和垂径定理分析求解．
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，
∵ O是等边△ABC的外接圆，
⊙
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴BE＝ BC＝ AB＝ ，
∵BE：OB＝ ：2
∴OB＝ ，
故选：C．17．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）cm．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定
理易求得斜边AB的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm；
由勾股定理，得：AB＝ ＝10cm；
斜边上的中线是 AB＝5cm．
因而外心到直角顶点的距离等于斜边的中线长5cm．
故选：A．
18．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ．
【分析】根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的斜边等于其外接圆的直径可得这个三角形的
外接圆的半径．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴直角三角形的斜边＝ ＝10，
所以这个三角形的外接圆的半径＝ ×10＝5，
故答案为：5．
19．如图，△ABC内接于 O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若 O的半径为2，则CD
的长为 ．
⊙ ⊙
【分析】连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，得到△BOC是等边三角形，求得BC＝2，根据等腰直角
三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵ O的半径为2，
⊙
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝ BC＝ ，
故答案为： ．
知识点一：直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图（1）d＜r 直线与圆 相交 ，有 2 个交点，直线叫圆的 割线 。
（2）d ＝ r 直线与圆相切，与圆只有 1 个交点，此时直线叫做圆的 切线 ，
交点叫做直线与圆的 切点 。
（3）d＞r 直线与圆 相离 ，与圆 没有 公共点。
【类型一：判断直线与圆的位置关系】
20．已知 O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与 O的位置关系是 ．
⊙ ⊙
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与 O的位置关系为相交．
⊙
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于 O的半径为3cm，
⊙
∴直线l与 O相交．
⊙
故答案为：相交．
21．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
22．已知同一平面内有 O和点A与点B，如果 O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么
直线AB与 O的位置关系为（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵ O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，
⊙
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在 O外．点B在 O上，
⊙ ⊙
∴直线AB与 O的位置关系为相交或相切，
⊙
故选：D．
23．平面直角坐标系中有点A（3，4），以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y＝﹣x与 A
的位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上情况都有可能
【分析】先画出图形，由勾股定理求出AO＝5，再直角三角形AOB中，AO＞AB，从而判断出直线和圆
相交．
【解答】解：如图，
∵A（3，4），∴AO＝5，
∵点A到直线y＝﹣x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB＜AO，
∴直线y＝﹣x与 A的位置关系是相交，
⊙
故选：C．
【类型二：根据直线与圆的位置关系求取值范围】24．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，
那么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即
可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝ ，
当直线与圆如图所示也可以有交点，∴ ≤r≤4．
故选：C．
25．圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．圆最长弦为12，则可知圆的直径为12，那么圆的半径为6．
至此可确定直线与圆相交时，d的取值范围．
【解答】解：由题意得
圆的直径为12，那么圆的半径为6．
则当直线与圆相交时，直线与圆心的距离d＜6cm．
故选：A．
26．如图两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取
值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公
共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此
时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【解答】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△ADO中，OD＝3，OA′＝5，
∴A′D＝4，
∴A′B′＝8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB＝10，所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
知识点一：切线的判定与性质：
1. 切线的判定：
经过半径的 外端 且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线。
特别说明：在判定一条直线为圆的切线时，若“无交点，作垂线段，证半径”；若
“有交点，作半径，证垂直”。
2. 切线的性质：
①圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 。
特别说明：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直。这三个条件满足
其中两个则第三个一定成立。
【类型一：切线的证明】
27．如图，直线AB经过 O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是 O的切线．
⊙ ⊙
【分析】连接OC，如图，由于OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性
质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：连接OC，如图，∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∴直线AB是 O的切线．
⊙
28．如图，AB是 O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是 O的切线吗？（写出详细的过程）
⊙ ⊙
【分析】由∠B＝45°，AC＝AB，得到∠C＝45°，因此∠BAC＝90°，又因为
AB是 O的直径，得到OA⊥AC．
⊙
【解答】解：AC是 O的切线．
⊙
证明如下：
∵∠B＝45°，AC＝AB，
∴∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
而AB是 O的直径，
⊙
∴OA⊥AC，
所以AC是 O的切线．
⊙
29．如图，AB∥CD，AD与BC相交于O点，以O点为圆心的圆过A、B两点及CD的中点E，
求证：直线CD是 O的切线．
⊙
【分析】连接OE，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠C＝∠D，证出OC＝OD，由等腰三角形的性质得出OE⊥CD，即可得出直线CD是 O的切线．
⊙
【解答】证明：连接OE，如图所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠D，
∴OC＝OD，
∵E是CD的中点，
∴OE⊥CD，
∴直线CD是 O的切线．
⊙
30．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．
求证：直线EF是半圆O的切线．
【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得
EF是圆的切线．
【解答】证明：连接OF，CF．
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，∵OC＝OF，
∴∠OFC＝∠FCO，
∵∠ACB＝∠FCO+∠ECF＝90°，
∴∠EFC+∠OFC＝90°，即∠EFO＝90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是 O的切线．
⊙
【类型一：切线的性质求角度】
31．如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，BC∥OP交 O于点C．若∠B＝70°，则∠OPC的度
数为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由切线的性质可得∠PAO＝90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠AOP＝∠B＝
70°，∠POC＝∠OCB＝70°，由“SAS”可证△AOP≌△COP，即可求解．
【解答】解：如图，连接OC，
∵PA与 O相切，
⊙
∴∠PAO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝70°，
∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠B＝70°，∠POC＝∠OCB＝70°，
∴∠APO＝20°，
在△AOP和△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠APO＝∠CPO＝20°，
故选：B．
32．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作 O交BC于点M、N，
O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则 O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
【分析】根据等腰直角三角形，的性质得BC＝ AB＝4 ，∠B＝45°，则OB＝2 ，再根据切线的
性质得∠ODB＝90°，则可判定△ODB为等腰直角三角形，所以OD＝ OB＝2，∠BOD＝45°，然后
根据圆周角定理得到∠MND的度数．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝ AB＝4 ，∠B＝45°，
∵点O为BC的中点，
∴OB＝2 ，
∵AB为切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，∴△ODB为等腰直角三角形，
∴OD＝ OB＝ ×2 ＝2，∠BOD＝45°，
∴∠MND＝ BOD＝22.5°．
故选：A．
33．如图，AB是 O的切线，点B为切点，连接AO并延长交 O于点C，连接BC．若∠A＝26°，则∠C
的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．26° B．32° C．52° D．64°
【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，根据直角三角形的性质求出∠AOB，再根据圆周
角定理解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵AB是 O的切线，
⊙
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝26°，
∴∠AOB＝90°﹣26°＝64°，
由圆周角定理得，∠C＝ ∠AOB＝32°，
故选：B．34．如图，AB为 O的直径，点C为 O上的一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长线于点D，
若∠A＝25°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．25° B．40° C．50° D．65°
【分析】连接OC．由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC＝50°，接下来，由切线的
性质可证明∠OCD＝90°，最后在△OCD中依据三角形内角和定理可求得∠D的度数．
【解答】解：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝25°．
∴∠DOC＝∠A+∠ACO＝50°．
∵CD是 的切线，
⊙
∴∠OCD＝90°．
∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故选：B．
35．如图，PA，PB是 O的切线，A，B为切点，点C在 O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于 度．
⊙ ⊙
【分析】连接OA、OB，先由切线的性质得∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再由四边形的内角和为360°，得出∠AOB+∠APB＝180°，然后利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系，得出∠AOB＝110°，从而求得
答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA，PB是 O的切线，A，B为切点，
⊙
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠APB＝360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠APB＝360°，
∴∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
【类型一：切线的判定与性质】
36．如图、AB是 O的直径，点C、D在 O上，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BC、交BC延长线于E．
⊙ ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若CE＝2，DE＝5，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）先证明OD∥BC，可得∠ODE＝90°，即可证DE是 O的切线；
⊙
（2）连 AD、CD，过点 D作DF⊥AB于F．证明 Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），则 AF＝CE，证明
Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），可得出DE＝DF，在Rt△ODF中，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）如图，连OD，∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即OD⊥DE．
∵OD是 O的半径，
⊙
∴DE是 O的切线；
⊙
（2）连接AD、CD，过点D作DF⊥AB于F，
在 O中，∠ABD＝∠CBD，
⊙
∴AD＝CD，
又∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△ADF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），
∴AF＝CE＝2，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝DF＝5，
在Rt△ODF中，设OD＝x，则OF＝x﹣2，
由勾股定理得，
OF2+DF2＝OD2，
即（x﹣2）2+52＝x2，
解得x＝ ，
即 O的半径为 ．
⊙
37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的 O经过点E，且
交BC于点F．
⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙
（2）若BF＝6， O的半径为5，求CE的长．
⊙
【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可；
（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股
定理计算出OH的长，进而求出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是 O的切线；
⊙
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE，
∵BF＝6，
∴BH＝3，
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝ ＝4，
∴CE＝4．
38．如图，AB为 O的直径，C，D是 O上的点，P是 O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PD是 O的切线；
⊙
（2）若DE＝ ，∠BAC＝60°，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE，根据
等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，由垂直的定义得到∠AEP＝
90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE＝30°，推出AB＝2BD，设BD＝x，则AB＝
2x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴∠AEP＝90°，
∴∠ODP＝∠AEP＝90°，
∴OD⊥PE，
∵OD是 O的半径，
⊙
∴PD是 O的切线；
⊙
（2）解：连接BD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∵AC⊥PE，DE＝ ，
∴AD＝2DE＝2 ，
∵AB为 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴x2+（2 ）2＝（2x）2，∴BD＝2，AB＝4，
∴AO＝2，
∴ O的半径为2．
⊙
39．如图， O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E， O过AB上一点D，且DE∥AO，CE
是 O的直径．
⊙ ⊙
⊙
（1）求证：AB是 O的切线；
⊙
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，
∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得
△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
（2）由切线的性质得到∠BDO＝90°，由勾股定理求得BE＝2，可得BC＝BE+EC＝8，由切线长定理得
到AD＝AC，设AD＝AC＝x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是 O的切线；
⊙
（2）解：∵AB是 O的切线，
⊙
∴∠BDO＝90°，
∴BD2+OD2＝OB2，
∴42+32＝（3+BE）2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD，AC是 O的切线，
⊙
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+x）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴AC＝6．
40．如图，AB＝AC，点O在AB上， O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
⊙
（1）求证：DF是 O的切线；
⊙
（2）若AC与 O相切于点G， O的半径为3，CF＝1，求AC长．
⊙ ⊙
【分析】（1）连接OD，由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由
OB＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平
行得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可确定出DF为圆O的切线；
（2）连接OG，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OG垂直于AC，利用三个角为直角且邻边
相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形，且边长为3，设AB＝AC＝x，表示出OA与AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；
（2）解：连接OG，
∵AC与圆O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，
∴四边形ODFG为边长为3的正方形，
设AB＝AC＝x，则有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32，
解得：x＝8，
则AC＝8．一．选择题（共10小题）
1．有四个命题，其中正确的命题是（ ）
①经过三点一定可以作一个圆
②任意一个三角形有且只有一个外接圆
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①、②、③、④ B．①、②、③ C．②、③、④ D．②、③
【分析】利用垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断．
【解答】解：①不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题错误；
②不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题正确；
③三角形的外心是三角形的三边的中垂线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等，故命题正确；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故命题错误．
则正确的是：②③．
故选：D．2．平面直角坐标系中， O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．无法确定
⊙ ⊙ ⊙
【分析】本题根据题意可作图可知d＜r，即可判定点P与 O的位置关系．
⊙
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
∵d＝4＜5，
∴点P在 O内．
⊙
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
3．如图，点A是 O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在 O上且平分弧BC，则CD的长为（
）
⊙ ⊙
A． B． C．2 D．2
【分析】先利用圆周角定理得到∠BAC＝∠D＝90°，再利用勾股定理计算出BC＝2 ，接着利用
得到BD＝CD，然后利用勾股定理得到2DC2＝20，从而可求出CD的长．
【解答】解：∵BC是 O的直径，
⊙∴∠BAC＝∠D＝90°，
在Rt△ACB中，∵AC＝2，AB＝4，
∴BC＝ ，
∵点D在 O上且平分 ，
⊙
∴ ，
∴BD＝CD，
在Rt△BDC中，∵DC2+BD2＝BC2，
∴2DC2＝20，
∴DC＝ ．
故选：A．
4．如图， O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交 O于点D，连接
BD，则∠CBD的大小为（ ）
⊙ ⊙
A．20° B．21° C．23° D．25°
【分析】连接 CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到
OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝ （180°﹣∠BDC）＝25°，
故选：D．
5．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列
条件中能判别CE是切线的是（ ）
A．∠E＝∠CFE B．∠E＝∠ECF C．∠ECF＝∠EFC D．∠ECF＝60°
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠B，推出∠OCB+∠ECF＝90°，于是得到结论．
【解答】解：连接OC，∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠B+∠DFB＝90°，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴∠B+∠EFC＝90°，
∵∠ECF＝∠EFC，∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴CE是 O的切线．
⊙
故选：C．
6．如图，BM与 O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OB，OA，如图，根据切线的性质得∠OBM＝90°，则可计算出∠OBA＝50°，利用等腰三
角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OB，OA，如图，
∵BM与 O相切于点B，
⊙
∴OB⊥BM，
∴∠OBM＝90°，
∴∠OBA＝∠ABM﹣∠OBM＝140°﹣90°＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝40°．故选：A．
7．如图，△ABC内接于 O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是 O的直径，BD交AC于点E，连接CD，
则∠AEB等于（ ）
⊙ ⊙
A．70° B．90° C．110° D．120°
【分析】先利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝40°，则利用互余计算出∠DBC＝50°，再计
算出∠ABE，然后根据三角形内角和可计算出∠AEB的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°，
∵BD是 O的直径，
⊙
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，故选：D．
8．如图，点A、B、C分别表示三个村庄，AB＝13千米，BC＝5千米，AC＝12千米．某社区拟建一个文
化活动中心．要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出
即可．
【解答】解：∵AB＝13千米，BC＝5千米，AC＝12千米，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，
故选：A．
9．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作 M，与x轴的另一
个交点为B，点C是 M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得
⊙
最大值时，点D的坐标为（ ）
⊙
A．（0，1＋ ） B．（1，1＋ ） C．（2，2） D．（2，4）
【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝ BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三
角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．
【解答】解：∵OM⊥AB，
∴OA＝OB，
∵AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝ BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐标为（2，2），
故选：C．
10．如图∠BAC＝60°，半径长1的 O与∠BAC的两边相切，P为 O上一动点，以P为圆心，PA长为半
径的 P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ）
⊙ ⊙
⊙A．3 B．6 C． D．
【分析】连接AO并延长，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆O与AB相切
于点M，连接OM，PD，由对称性得到AF为角平分线，得到∠FAD为30度，根据切线的性质得到OM
垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出 AO的长，由
AO+OP求出AP的长，即为圆P的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角
三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，
由DE＝2FD求出DE的长，即为DE的最大值．
【解答】解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，
连接OM，PD，可得F为ED的中点，
∵∠BAC＝60°，AE＝AD，
∴△AED为等边三角形，
∴AF为角平分线，即∠FAD＝30°，
在Rt△AOM中，OM＝1，∠OAM＝30°，
∴OA＝2，
∴PD＝PA＝AO+OP＝3，
在Rt△PDF中，∠FDP＝30°，PD＝3，
∴PF＝ ，
根据勾股定理得：FD＝ ＝ ，
则DE＝2FD＝3 ．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．点P是非圆上一点，若点P到 O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则 O的半径是
．
⊙ ⊙
【分析】点P应分在位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半径r＝2.5cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．
故答案为：6.5cm或2.5cm．
12．如图，△ABC是圆O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝∠ABC，弦AC＝6 ，则圆O的半
径为 ．
【分析】作 所作的圆周角∠APC，过O点作OH⊥AC于H，如图，利用圆周角定理得到∠P＝
∠AOC，∠P+∠ABC＝180°，再利用∠AOC＝∠ABC可计算出∠AOC＝120°，则∠OAC＝30°，根据垂径定理得到AH＝CH＝3 ，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．
【解答】解：作 所作的圆周角∠APC，过O点作OH⊥AC于H，如图，
∵∠P＝ ∠AOC，∠P+∠ABC＝180°，
∴ ∠AOC+∠ABC＝180°，
∵∠AOC＝∠ABC，
∴ ∠AOC+∠AOC＝180°，解得∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝ （180°﹣120°）＝30°，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝ AC＝ ×6 ＝3 ，
在Rt△AOH中，OH＝ AH＝ ×3 ＝3，
∴OA＝2OH＝6，
即圆O的半径为6．
故答案为6．
13．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，根据直角三角形的外心的特点解答即可．【解答】解：∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的外接圆半径是 ＝5，
故答案为：5．
14．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝6cm，O为直线b上一动点，若以2cm为半径的
O与直线a相切，则OP的长为 ．
⊙
【分析】分点O在点H的左侧、点O在点H的右侧两种情况，根据切线的性质计算即可．
【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴ O与直线a相切时，切点为H，
⊙
∴OH＝2cm，
当点O在点H的左侧， O与直线a相切时，如图1所示：
⊙
OP＝PH﹣OH＝6﹣2＝4（cm）；
当点O在点H的右侧， O与直线a相切时，如图2所示：
⊙OP＝PH+OH＝6+2＝8（cm）；
∴ O与直线a相切，OP的长为4cm或8cm，
⊙
故答案为：4cm或8cm．
15．如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转 （0°＜ ＜180°）后与 O相切，则 的
值为 ．
α α ⊙ α
【分析】线段AB绕点A顺时针旋转 （0°＜ ＜180°）后与 O相切，切点为C′和C″，连接OC′、
OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出
α α ⊙
∠OAC′＝30°，从而得到∠BAB′＝60°，同理可得∠OAC″＝30°，则∠BAB″＝120°．
【解答】解：线段AB绕点A顺时针旋转 （0°＜ ＜180°）后与 O相切，切点为C′和C″，连接
OC′、OC″，
α α ⊙
则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，
在Rt△OAC′中，∵OC′＝1，OA＝2，
∴∠OAC′＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
同理可得∠OAC″＝30°，
∴∠BAB″＝120°，
综上所述， 的值为60°或120°．
α
故答案为60°或120°．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3 ，点D是AB的中点，点E是以点B为圆
心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是 ．
【分析】如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．证明CF＝ ET，求出ET的最大值即
可．
【解答】解：如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．
∵AC＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3 ，
∴∠BAT＝60°，AC＝BC•tan30°＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴△ABT是等边三角形，∴BT＝AB＝6，
∵AD＝BD＝BE，
∴BE＝3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC＝CT，AF＝FE，
∴CF＝ ET，
∴CF的最大值为 ．
故答案为： ．
三．解答题（共4小题）
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作半圆 O交AB于点D，点E为AC的中点，连接
DE，DC．
⊙
（1）求证：DE是半圆 O的切线；
⊙
（2）若∠BAC＝60°，DE＝4，求BD的长．
【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB＝90°，根据直角三角形性质得出DE＝CE＝AE，
求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出 AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC，在
Rt△BCD中，根据勾股定理即可求出BD．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC为 O的直径，
⊙
∴∠BDC＝90°，∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，
∴ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠ACB＝∠ECD+∠OCD＝90°，
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝90°，
∵OD是 O的半径，
⊙
∴DE为 O的切线；
⊙
（2）∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，
∴AC＝2DE＝8，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝16，
∴BC＝ ＝ ＝8 ，
∴CD＝ BC＝4 ，
∴BD＝ ＝ ＝12．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，
以DB的长为半径画圆．
求证：（1）AC是 D的切线；
⊙
（2）AB+EB＝AC．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是 D
的切线．
⊙（2）根据HL先证明Rt△BDE≌Rt△DCF，再根据全等三角形对应边相等及切线的性质得出AB＝AF，
即可得出AB+BE＝AC．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为 D的切线，
⊙
∴∠B＝90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC与 D相切；
⊙
（2）在△BDE和△DCF中，
∵BD＝DF，DE＝DC，
在Rt△BDE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以OB为半径的 O与边AB、BC交于点D、E，连接DC、DE，AC＝DC．
⊙
（1）求证：DC为 O切线；
⊙
（2）若∠A＝60°， O的半径为1，则△DEC的面积为 ．
⊙
【分析】（1）连接OD，由OD＝OB，推出∠B＝∠BDO，由AC＝DC，得到∠ADC＝∠A，根据
∠ACB＝90°，得到∠A+∠B＝90°，由等量代换得到∠ADC+∠BDO＝90°，再根据平角定义，得到
∠CDO＝90°，根据切线的判定可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可证得∠OCD＝30°，由勾股定理求得DC＝ ，根据
三角形的面积公式求出三角形OCD的面积，再根据等边三角形和等腰三角形的性质证得 CE＝ED＝
OE，则△DEC的面积等于OCD的面积的一半即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∵AC＝DC，
∴∠ADC＝∠A，
在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADC+∠BDO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是 O的半径，
⊙
∴DC为 O切线；
⊙
（2）解：∵AC＝DC，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∵DC为 O切线，
⊙
∴∠CDO＝90°，
∴OC＝2OD＝2，∠DOC＝60°，
∴DC＝ ＝ ＝ ，
∴S△OCD ＝ OD•DC＝ ，
∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴OE＝ED，∠OED＝60°，
∵∠OCD＝30°，
∴∠CDE＝∠OED﹣∠OCD＝30°，
∴∠CDE＝∠ECD，
∴CE＝ED＝OE，
∴S△DEC ＝ S△OCD ＝ × ＝ ，
∴△DEC的面积为 ．
20．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．
（1）求证：EC是圆O的切线；
（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，
①求证：AC＝CF；
②若AD＝1，求线段FG的长．
【分析】（1）连接OC，证得OC⊥CE，即可证得结论；
（2）①通过证得∠AOC＝45°＝∠COF＝45°，得出 ＝ ，即可证得AC＝CF；
②作CM⊥OE于M，首先证得CF＝CG，得出CM垂直平分FG，然后通过三角形平分线的性质证得
CM＝CD，即可证得Rt△ACD≌Rt△FCM，从而证得FM＝AD＝1，即可证得FG＝2FM＝2．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B＝90°，
∵EG＝EC，
∴∠ECG＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是圆O的切线；
（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，
∴∠AOC＝45°，
∵EO⊥AB，
∴∠COF＝45°，∴ ＝ ，
∴AC＝CF；
②解：作CM⊥OE于M，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，
∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，
∴∠FGC＝67.5°，
∵∠COF＝45°，OC＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，
∴∠GFC＝∠FGC，
∴CF＝CG，
∴FM＝GM，
∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，
∴CD＝CM，
在Rt△ACD和Rt△FCM中
∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），
∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．
