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2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考四模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．将等边三角形如图放置， ， ．则 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ， ，点E、F分别是 、 中点，若
，则四边形 的周长是（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象向右平移2个单位长度后经过点
试卷第1页，共3页，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．如图， 内接于 ，连接 ，作 交 于点D，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的对称轴为直线 ，
且该抛物线与x轴交于点 ，与y轴的交点B在 ， 之间（不含端点），
则下列结论正确的有（ ）个
① ；
② ；
③ ；
④若方程 两根为 ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
试卷第2页，共3页9．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示
为 ．
11．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条
等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C
恰好是 的内心，若 ，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．
（结果保留 ）
12．点 ， 在反比例函数 （ 的常数）的图象上，若（ ，
则a的取值范围是 ．
13．如图，在矩形 中， ， ，点P从点A向点C运动，点Q同时从点
C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在 运动过程
中， 的最小值为 ．
三、解答题
14．计算： ．
试卷第3页，共3页15．解不等式组： ，并写出它的所有负整数解．
16．先化简 ，再从 ，1，2中选取一个适合的数代入求值．
17．如图，在 中， ，请用尺规作图法，求作一个等边三角形 ，使得
D，E两点在 边上．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连接 ， ，求证： ．
19．秦腔，作为我国戏曲艺术宝库里一颗璀璨的明珠，承载着深厚的历史文化底蕴．其脸
谱色彩丰富多变，每一种颜色都精准地象征着特定的人物性格：红色寓意忠勇侠义，白色
尽显阴险狡诈，黑色彰显刚正不阿．在一场秦腔演出的紧张筹备阶段，工作人员精心准备
了一个不透明的箱子，箱子内放有2张红色脸谱、1张白色脸谱以及2张黑色脸谱．这些脸
谱除颜色外，质地、大小等方面完全相同．
(1)从箱子中随机抽取一张脸谱，抽到代表忠勇脸谱的概率是______；
(2)若从箱子中随机抽取两张脸谱，请用列表或画树状图的方式，求抽到一张代表忠勇的红
色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的概率．
20．如图，已知 ．
试卷第4页，共3页(1)将 以原点为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)连接 ，则四边形 的面积为______．
21．法门寺地处陕西省宝鸡市的法门镇，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而
成为举国仰望的佛教圣地．小明想利用刚学过的测量知识来测量法门寺塔的高度．一个阳
光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到这座塔前，但他们无法
到达塔的底部 ．如图，小明先在塔前方的点 处用侧倾器测得塔顶端 的仰角为 ；
然后，他沿 方向前进 米至塔的影子顶端 处．此时，测得小明的影长为 米．已知
小明的身高为 米，测倾器的高度 为 米，且 ．求这座宝塔的高
度 ．（参考数据： ）
22．脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人
群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个
函数关系，部分数据如下表：
脚长 … 23 24 25 26 27 28 …
身高 … 156 163 170 177 184 191 …
试卷第5页，共3页(1)根据表中数据，从 和 中选择一个函数模型，使它能近似地
反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
(2)小林在某月测量自己的脚长是 ，买了一双新鞋．过了一段时间，小林明显感觉鞋
子变小，已经不合脚了．经测量，他此时的脚长达到了 ．请根据（1）中求出的函
数解析式，估算一下这段时间小林身高增长了多少．
23．某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取25名学生参赛，活动包含模型设计、
科技小论文两个项目．对九（1）班、（2）班的25名参赛学生的模型设计分数进行整理、
描述和分析，给出如下部分信息．
a．九（1）班模型设计分数频数分布直方图．
其中 这一组的数据为：86 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89
平均 众 中位
班级
数 数 数
九（1）
86.6 m n
班
九（2）
87.2 90 86
班
b．九（1）班、九（2）班模型设计的平均数、众数、中位数如上表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全九（1）班模型设计的频数分布直方图；
(2)表格中m的值为______，n的值为______．
(3)九（1）班这25名学生的科技小论文平均分为93分，九（2）班科技小论文平均分为89
分．若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照 的比例确定最终成绩，请
通过计算说明哪个班最终成绩更高．
24．如图， 是 的直径，弦 于点 是弧 上一点， 的延长线交
试卷第6页，共3页于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)已知 ，若点 是 的中点，求 的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 和点 ，与 轴交
于点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在第一象限时，过点 作 轴于点 ，
与线段 交于点 ，是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐
标；若不存在，请说明理由．
26．问题探究：
如图①，直线l与 相切于点P，点A，点B为 上两点，点Q为直线l上异于点P的
任意一点，试探究 与 的大小关系，并证明你的结论．问题解决：
某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图②， 为水鸟园的建设用地，其中
公里， 公里， ，根据修建要求， 内部为水鸟戏水区，在
边上要修建一段长为 公里的水岸 （F在左，G在右），供水鸟上岸休息；在
两边上各修建一个游客观赏点D和E，使游客在这两个点观赏水鸟上岸成群栖息的
试卷第7页，共3页美景时感到最舒适（研究发现，当我们观赏景色的视线张角最大时，观感最舒适）是否存
在满足条件的观测点D、E和水鸟休息区 ？如果存在，求此时 和 的长；如果不
存在，请说明理由．
试卷第8页，共3页《2025 年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考四模数
学试卷》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A B D D C B
9. 10. 11. 12. 13.
选择题、填空题解法提示
8．B
由图可知抛物线开口向上，
，
对称轴为直线 ，
符号相同，
，
与y轴的交点 在 之间（不含端点），
，
，
故①不正确；
对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
与 轴交于另一点为 ，
当 时， ，
故②不正确；
由题意可得方程 的两个根为 ，
答案第1页，共2页，
，
，
，
，
故③正确；
若方程 两根为 ，
则直线 与抛物线的交点的横坐标为 ，
直线 过第一、二、三象限且过点 ，
直线 与抛物线的交点在第一，三象限，
如图所示，
由图象可知 ，
故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，有 个，
故选：B．
13．
如图，作 关于 对称的对称点 ，连接 ，在 上截取 ，过点G作
交 延长线于点H，连接 ，
答案第2页，共2页∵点P、Q分别从点A、C同时出发以相同的速
度运动，
∴ ，
由对称的性质得 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点B，点Q，点G三点共线时， 有最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
答案第3页，共2页由勾股定理可得： ，
解答题参考答案
14．解：
．
15．解；
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的负整数解为
16．解：
，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
答案第4页，共2页∴当 时，原式 ．
17．解；如图所示，作线段 的垂直平分线交 于D，再以C为圆心， 的长为半径
画弧交 于E，则 即为所求；
可得 ，则 ，
由 ，则 是等边三角形．
18．证明： 四边形 为菱形，
， ，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是利用菱形的性质得到 ， 解
答．
19．（1）解：∵箱子中一共有五张脸谱，其中代表忠勇脸谱的有2张，且每张脸谱被抽到
的概率相同，
∴从箱子中随机抽取一张脸谱，抽到代表忠勇脸谱的概率是 ；
（2）解：设用A、B表示忠勇脸谱，C表示阴险狡诈脸谱，D、E表示刚正不阿脸谱，列表
如下：
答案第5页，共2页由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代
表奸诈的白色脸谱的结果数有4种，
∴抽到一张代表忠勇的红色脸谱与一张代表奸诈的白色脸谱的概率为 ．
20．（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：由题意得， ．
21．解：如图所示， ， 米，过点 作 于点 ，
答案第6页，共2页∴四边形 是矩形，
∴ 米， ， 米， 米，
设 米，则 米，
在 中， ，
∴ ，
∴ （米），
∵同一时刻，塔的影子为 ， 的影子为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
∴ ，
检验，当 时，原分式方程有意义，
∴ 米，
∴ 米，
∴这座宝塔的高度 为62米．
22．（1）解：根据表格信息得到，当脚长 逐渐增大时，身高 也在逐渐增大，
答案第7页，共2页∴选择 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
检验，当 时， ，符合题意，
∴ 能近似地反映身高和脚长的函数关系；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴他此时的脚长达到了 时，这段时间小林身高估计增长了 ．
23．（1）解：由题意得，九（1）班 这一组的频数为12，
∴九（1）班 这一组的频数为 ，
补全统计图如下所示：
（2）解：∵九（1）班数据中得分为86分有5人，人数最多，
∴九（1）班数据的众数为86分，即 ,
，
把九（1）班25人的得分按照从低到高排列处在第13名的得分为87分，
∴九（1）班数据的中位数为87分，即 ；
答案第8页，共2页（3）解：九（1）班的成绩为 分，
九（2）班的成绩为 分，
∵ ，
∴九（1）班最终成绩更高．
24．（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 是直径， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，设 的半径为 ，
答案第9页，共2页∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
由（1）可知 ，且点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，则 ，
∴ ，整理得， ，
解得， （负值舍去），
∴ 的长为 ．
25．（1）解：二次函数的图象经过点 和点 ，与 轴交于点 ，
答案第10页，共2页∴设二次函数解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
第一种情况，如图所示， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
点 是二次函数图象上的一个动点，点 在第一象限，过点 作 轴于点 ，与线段
交于点 ，
∴设 ，则 ， ，
∴ ，
答案第11页，共2页∴ ，
解得， （舍去）， ，
∴ ，
∴ ；
第二种情况，如图所示， ，作点 作 与点 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， （舍去）， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，存在点 ，使得 与 相似点 坐标为 或 ．
26．（1）解：记 与 交于点 ，
∴ ，
答案第12页，共2页∵ ，
∴ ；
（2）解：存在，理由如下：如图，作 的外接圆，记为 ，由（1）可知 最
大，则 同时与 相切，切点即为符合题意的点 ，
如图， 同时与 相切时，切点记为点 ，连接 ，
延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，
则设 ， ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第13页，共2页∵ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍），
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答案第14页，共2页
