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2022-2023 学年九年级数学上册第一单元检测卷（A 卷）
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】C
【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：C．
2．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则
OH的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【答案】A
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH＝ AB＝ ×7＝3.5．
故选：A．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝ cm，则AB边上的中线为（ ）
A．1cm B．2cm C．1.5cm D． cm
【答案】D
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝ cm，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2 ，
∴AB边上的中线CD＝ AB＝ cm．故选：D．
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；
故选：D．
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】A
【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：A．
6．如图， ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF＝60°，AE＝2cm，则AD＝（
）
▱
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠C，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
∵AE＝2，
∴AD＝2×2＝4（cm）；
故选：A．
8．能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组邻边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．四条边都相等
【答案】D
【解答】解：四条边都相等四边形是菱形，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
故选：D．
9．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分
的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB＝ ，
同理：BC＝ ，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝ ，
∴S菱形ABCD ＝AD•BE＝ ．
故选：D．
10．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 、S ，则S +S 的
1 2 1 2
值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解答】解：如图，
设正方形S 的边长为x，
1
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，
∴sin∠CAB＝sin45°＝ ＝ ，即AC＝ BC，同理可得：BC＝CE＝ CD，
∴AC＝ BC＝2CD，
又∵AD＝AC+CD＝6，∴CD＝ ＝2，
∴EC2＝22+22，即EC＝2 ；
∴S 的面积为EC2＝2 ×2 ＝8；
1
∵∠MAO＝∠MOA＝45°，
∴AM＝MO，
∵MO＝MN，
∴AM＝MN，
∴M为AN的中点，
∴S 的边长为3，
2
∴S 的面积为3×3＝9，
2
∴S +S ＝8+9＝17．
1 2
解法二：设正方形四个顶点分别为ADFN，由勾股定理易得AF＝ AN＝6 ，
图中所有的三角形都是等腰直角三角形，
易得S 的边长为 AF＝2 ，所以S ＝（2 ）2＝8，S ＝（ ）2＝9，
1 1 2
所以答案为17．
故选：B．
二、填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5，则AC的长为
．
【答案】5
【解答】解：∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
又∵AC、BD相等且互相平分，∴△ABO为等边三角形，
因此AC＝2AO＝2AB＝2×2.5＝5．
故答案为：5．
12．在平行四边形ABCD中，请你添加一个条件，使它成为矩形，则你添加的条件是 ．
【答案】 ∠ A ＝ 90 °
【解答】解：答案不唯一，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．
故答案为：∠A＝90°．
13．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方
形．
【答案】 AC ＝ BD 或 AB ⊥ BC
【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．
14．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是 ．
【答案】4
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝ AC＝3，DO＝ BD＝2，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝ ＝ ，
∴菱形ABCD的周长为4 ．
故答案为：4 ．
15．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 、O 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面
1 2
积是 ．【答案】2
【解答】解：连接O B、O C，如图：
1 1
∵∠BO F+∠FO C＝90°，∠FO C+∠CO G＝90°，
1 1 1 1
∴∠BO F＝∠CO G，
1 1
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O BF＝∠O CG＝45°，
1 1
在△O BF和△O CG中
1 1
∴△O BF≌△O CG（ASA），
1 1
∴O
1
、O
2
两个正方形阴影部分的面积是 S正方形 ，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形 ，
∴S阴影部分 ＝ S正方形 ＝2．
故答案为：2．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC
上一个动点，则PF+PE的最小值为 ．【答案】
【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，
过F作FG⊥CD于G，
在Rt△E′FG中，
GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，
所以E′F＝ ＝ ．
故答案为： ．
三、解答题（本题共6题，17、18题8分，19-22题10分）。
17．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF．求证：∠AEF＝∠AFE．
【解答】证明：∵ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
又∵EB＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝ ，AE⊥BD于点E，求
OE的长．【解答】解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝ AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝ OD＝ AD＝1，
答：OE的长度为 1．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使
CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x在Rt△DCF中，
∵x2＝（8﹣x）2+42 ，
∴x＝5，
∴CD＝5．
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线
于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【解答】解：（1）BD＝CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD（三线合一），
∴∠ADB＝90°，
∴ AFBD是矩形．
▱21.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋
转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠ABE＝180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．
（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM+DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2，
∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得，x＝6或﹣1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于
点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝ ＝13，
∴OC＝ EF＝6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
