z
x
x
k
.
c
o
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!"#$%&!"#'()*
知识点梳理
!"#$%&'(
!)*$%&'(
题型一 普通费马点最值问题
题型二 加权费马点·单系数型
题型三 加权费马点·多系数型
知识点梳理
!"#$%&'
!"#$%&如图△ABC 所有的内角都小于120 度，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，
当
的值最小时，求此时∠APB 与∠APC 的度数.'
!"#()&+,1-.△ACP/0&C1234560678△A’CP’-9△ACP≌△A’CP’-CP:CP’-AP:A’P’-
PA
PB
PC
＋
＋
P
C
B
A
z
x
x
k
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;∵∠PCP’ :60°，∴△PCP’<=>?@A-∴PP’:PC， ∴PABPBBPC: P’A’BPBBPP’，
+,2-CDEC&BFPFP’FA’GH2-PABPBBPCIJ-IJKLA’B，M2∠BPC:∠APC＝∠APB＝
120°
!"#*+&+$%&N<8?@AO?PQ&ORSTUIJO&．$%&VWX
① YZ[P\@]^_120°O?@A-$%&<Y\>O`@a<120°O&-bc?@AO$%&de?
@AO=@fgh
② YZi[P@^_120°O?@A-$%&N<jPk@OQ&．
!+lm$%&'如图3-连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边
△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交
点即为费马点。nIo@JZ120p2q
【例1】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求PA+PB+PC 的最小值．
!rs'
图1
P'
P
C
B
A'
A
A
A'
B
C
P
P'
图2
B'
图3
P
C
B
A'
A
A
B
C
P
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2
2
+
z
x
x
k
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!tu'+,-c AC L>vw=>xACD-yz BD-BD O{|L PA+PB+PC OIJK}~Z& P O•
€•j]‚ƒ„
+l… BD•†‡8xABC UxACD a<ˆ‰O?@A-_& D m DHŠBA ‹ BA OŒ{HZ H &-•
Ž••‘’-
|“7”V•}
【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA+MD+ME
的最小值为______．
!tu'–—vw 60p45-.?˜™Hš5›L[˜œHš}
t•c ADFAM L>vw=>xADFF=>xAMG-yz FG-
A
B
C
D
2
2
2
BD
BH
DH
=
+
H
D
C
B
A
A
B
C
D
M
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F
G
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M
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žŸxAMD xAGF-¡MD=GF
¡ME+MA+MD=ME+EG+GF
_ F m FHŠBC ‹ BC Z H &-Hš FH O{|Lb…OIJK}
!()$%&'
+•b…IKf?˜HšO¢£i]L1O¤¥-¦§¨j©ª«¬L)*$%&ª«--®¯°©±-d
<²_45³´Hš5›-µ]_ƒ•Ž¢£O¤¥¶·]¸O45¹º»¯°¼
【类型一 单系数类】
Cµi[˜Hš½i]L 1 O¢£2-¾Y¿LÀÁ-[ÂiÃÄÅ’Æš-
[Ä<45ˆ‰@6X
YÇ45 90p-
YÇ45 120p
È[Ä<45º»-YÇ?@A?>TÉ
【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求
的最小值
H
F
G
E
M
D
C
B
A
2
3
2
AP BP
PC
＋
＋
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A
B
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x
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!Àu'Ê«i 2 Ä-«ËÌ-45ˆ‰@U45º»
!ËÌ[X45ˆ‰@'+, 1-△APC /& C Í2345 90°-žÎ P’P:
PC- A’B |Lb…
¯°[X+, 2-B-P-P’-A’GH2ÏIJ-M2ÐBPC:ÐAPC:135°-žÎ BP:A’P’:2
-
PC:CHÑPH:
-¡PP’:
-PBBPP’BA’P’:
¯°ÒXm AHŠBC Z H-žÎÐA’CH:30°-¡AH:2-CH:
-Ó••“7 A’B:
!ËÌÒX45º»'“Ô+Õ¯°Ö45º»n¯°]×[q
+, 4-.?@A BPC /& B 45 45p-ØÙoLÚÛO
Ü-78
9
ÝÞXd“cÔ, 5 ¯ß45
2
!"
A'
P'
P
C
B
A
2
2 3
2
-
2 6
2 2
-
2 6
2 2
+
2 2
2 2
2
H
135°
135°
A
B
C
P
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A'
!"
2 3
4
2 3
BH
Þ
=
+
2 6
2 2
+
H
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"
30°
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P
C
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'
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PC
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P C
AC
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+
³
＋
＋
＋
z
x
x
k
.
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【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2
，P为三角形ABC内部一点，求
的最小值
!ËÌ[X45ˆ‰@'+, 1-△APC /& C Í2345 120°-9i PP’:
PC-
!ËÌÒX45º»'+, 2-△APC /& A Í2345 30°-ØÙoLÚÛO
Ü-
9
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PB
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P'
C'
P
C
B
A
!"
2PC
PB
P'
C'
P
C
B
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3
3
AP
BP
PC
＋
＋
A
B
C
P
3
'
'
'
2 7
AP
BP
PC
AP
BP
PP
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£
=
＋
＋
＝
＋
＋
30°
30°
2 3
3
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P'
3PC
A
B
C
P
3
3
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'
'
'
AP
BP
PC
PP
BP
P C
BC
=
+
³
＋
＋
＋
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【类型二 多系数类】
âãC?˜HšO?P¢£äå••£Oæ¢2-a<çè)*$%&O˜éO¼
c]¸O&L45fg-45]¸O?@A78O¢£<]¸O-YZê‘O¢£-¦§ë+l¶Ï45
fg앦§íVîcÕ¯°X
1. .IJ¢£ï8ðñòh
2. fóoJO¢£ô‘º»Éõh
3. Io¢£ô‘45fgnõ+Io¢£ö PA ÷ø-Nc A L45fgq-45¢£]L 1 OØHšb
öO?@A¼
【例3】如图，在△ABC 中，
，
，
，在△ABC 内部有一点P，连接
，
则（1）
的最小值为________；（2）
的最小值为________
!Àr'n1q.IJ¢£
ï8ðñò-78
C'
P'
P
C
B
A
!"
60
ACB
Ð
=
°
3
BC =
4
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PA
PB
PC
，
，
1
3
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2
PA
PB
PC
+
+
3
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2
PA
PB
PC
+
+
C
B
A
P
1
2
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3
2
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2 PA
PB
PC
+
+
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Ü-Io¢£ö PC ÷ø-ùc& C L45fg-45xPBC}
+, 1-.xPBC /& C Í2345 90p-úºoL
Ü-
-
}
}
n2q.IJ¢£
ï8ðñò-78
-
+, 2-.xAPB /& C Í2345 90p-úºoL
Ü-
-
}
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3PB
2PC
B'
P'
C
B
A
P
3
3
3
'
'
3
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'
2
PP
PC
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(
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(
)
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1
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'
'
'
2
2
2
2
PA
PB
PC
PA
PP
P B
AB
+
+
=
+
+
³
=
1
2
1 ( 3
2
)
2
PA
PB
PC
+
+
!"
3PA
A'
2PC
P'
P
A
B
C
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'
3
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AP
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'
2
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PC
=
(
)
1
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'
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PA
PB
PC
A P
BP
PP
A B
+
+
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+
+
³
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z
x
x
k
.
c
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【练习3】如图，在△ABC 中，
，
，
，在△ABC 内部有一点P，连接
，
则
的最小值为________．
!Àr'.xPAC /& C 12345 90púºo 2 Ü-78
-
-
-
-
-
- Ó • • ‘ ’ “ 7
-
OIJKL
.
题型一 普通费马点最值问题
1．（2021 滨州）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P 是△ABC 内一点，则
的最小值为_________．
60
ACB
°
=
3 3
BC =
6
AC =
PA
PB
PC
，
，
2
5
PA
PB
PC
+
+
P
A
B
C
P AC
¢
¢
△
2
5
P A
PA
PP
PC
¢
¢
¢
=
=
，
3 3
6 3
6
2PA
5PB
P'
A'
P
A
B
C
2
5
PA
PB
PC
A P
P P
PB
A B
¢
¢
¢
¢
\
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+
=
+
+
³
2
12
AC
AC
¢
=
=
!
'
90
60
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A CB
Ð
=
° +
° =
°
1
3
6
6 3
2
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AH
AC
CH
AC
¢
¢
\
=
=
=
=
，
9 3
BH =
3 31
A B
¢
=
2
5
PA
PB
PC
+
+
3 31
PA
PB
PC
＋
＋
C
A
B
P
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x
x
k
.
c
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!rs'
!-u'.xABP /& A 12345 60°8xAB′P′-yz P′P-B′C}
9 AB′:AB:2-PB:P′B′-ÐBAB′:60°-PA:P′A-ÐPAP′:60°-
¡xP′PA <=>?@A-¡PA:P′P}
ûÐBAC:30°-¡ÐB′AC:90°-
ûÐACB:90°-¡AC:
:
-
¡B′C:
:
}
ûPABPBBPC:P′PBP′B′BPCüB′C-
∴PABPBBPC OIJKL
}
2．问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC 交于点P，可推出结论：PA
＋PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG 中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝
，点O 是△MNG 内一点，则点O 到△
MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．
!-u'_& H m HQŠNM ‹ NM Œ{HZ Q &-•ŽÐNMG:75°-ÐGMH:60°-“7ÐHMQ:45°-
¡xMHQ <=ýœ@?@A- ¡MQ:HQ:4- ¡NH:
7
3
2 AB
3
2
2
AC
B A¢
+
7
7
4 2
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M
N
G
图2
图1
A
B
C
D
E
P
2
2
100 16
2 29
NQ
HQ
+
=
+
=
H
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M
4
6
4
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H
G
N
M
P'
B'
C
A
B
P
z
x
x
k
.
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3．如图，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P 是△ABC 内一点，求PA＋PB＋PC 的最小值．
!,-&+, 1-c AD L>vw=>△ACD-yz BD-BD O{|L PABPBBPC OIJK}
†‡8△ABC U△ACD a<ˆ‰O?@A-bcvwˆ‰œ@?@A
+, 2-_& D m DHŠBA ‹ BA OŒ{HZ H &-•Ž••‘’-
'
. 1''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''. 2''''''''''''''''''''
4．已知，在△ABC 中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝
点P 是△ABC 内一动点，则PA＋PB＋PC
的最小值为________
/.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''. 1'''''''''''''''''''
'
!,-&+, 1-.△APC Í2345 30°-7△AP’C’-BC’| PABPBBPC IJK-†‡8 ∠
BCA:30°-∴∠BCC’:90°-m AH⊥BC-“7 BC:3
-∴BC’:
A
B
C
P
2
2
2= 6+ 2
BD
BH
DH
=
+
A
B
C
D
H
D
C
B
A
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)
CB
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A
B
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P
3
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2
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P'
A
B
C
P
3
43
z
x
x
k
.
c
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01如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA＋MD＋
ME 的最小值为______．'
!-u'+, 1-–—vw 60°45-.?˜™Hš5›L[˜œHš}t•c ADFAM L>vw=>△ADFF
=>△AMG-yz FG-žŸ△AMD xAGF-¡MD:GF¡MEBMABMD:MEBEGBGF
+, 2-_ F m FHŠBC ‹ BC Z H &-Hš FH O{|Lb…OIJK}FG:4B
6．A、B、C、D 四个城市恰好为一个边长为2a 正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之
间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？最小
长度是多少？
!-u'+, 1-△ABP /& B Í2345 60°-78△A’P’Bh¸þ-.△DCQ /& C 12345 60°-78
△D’CQ’-yV A’AFD’D-9△ABA’F △DCD’ÿL=>?@A-yV PP’FQQ’-9△BPP’-
△QCQ’ÿL=>?@A- APBBPBPQBDQBCQ:A’P’BPP’BPQBQQ’BDQ’
A
B
C
D
M
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2 3
F
G
E
M
D
C
B
A
H
F
G
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M
D
C
B
A
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P
D
A
B
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+, 2-C& A’-P’-P-Q-Q’-D’GH2-!P"#¢$Oí{Ï8IJK-LHš A’D’O{-M2& P-
Q ö A’D’%-IJKL
}
2023·*+,-./
7．1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平
面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，
该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，
②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角
形的某个顶点）
当
的三个内角均小于
时，
如图1，将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
!"
A'
P'
D'
Q'
C
B
A
D
P
Q
(
)
2
2 3 a
+
A'
D'
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D
A
B
C
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!"
ABC
!
120°
APC
△
60°
A P C
¢ ¢
!
PP¢
z
x
x
k
.
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由
，可知
为 ① 三角形，故
，又
，故
，
由 ② 可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，如图2，最小值为
，此时
的P 点为该三角形的“费马点”，且有
③ ；
已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
，
则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在
中，三个内角均小于
，且
，已知点P 为
的“费
马点”，求
的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知
．现欲
建一中转站P 沿直线向A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A，B，C 的铺设成本分别为a
元/
，a 元/
，
元/
，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果
用含a 的式子表示）
!rs'(1)&=>h'Ã&TóHšI(h)
h*A}
(2)
(3)
!-«+#'n1q•Ž45O,-UÃ&TóHšI(³´.’tu|“7”VWh
n2q•Žn1qO¯°.
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PC
P C
PCP
¢
¢
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Ð
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¢ ¢ =
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¢
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¢
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BPC
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Ð
= Ð
= Ð
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!
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120
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Ð
³
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+
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⾷
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km
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5
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8．如图，在
中，
，点
为
内部一点，则点
到
三个顶点
之和的最小值是 ．
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9．问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC 交于点P，可推出结论：
PA+PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG 中，MN=6，∠M=75°，MG=
，点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG
三个顶点的距离和的最小值是______．
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10．如图，抛物线
经过点
，顶点为
，且抛物线与
轴的交点B 在
和
之间（不含端点），则下列结论：
①当
时，
；
②当
的面积为
时，
；
③当
为直角三角形时，在
内存在唯一点P，使得
的值最小，最小值的平方为
．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
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G
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2
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11．背景资料：在已知
所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是
法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图
1，当
三个内角均小于120°时，费马点P 在
内部，当
时，则
取得最小值．
(1)如图2，等边
内有一点P，若点P 到顶点A、B、C 的距离分别为3，4，5，求
的度数，为
了解决本题，我们可以将
绕顶点A 旋转到
处，此时
这样就可以利用旋转变换，
将三条线段
、
、
转化到一个三角形中，从而求出
_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问
题．
2
2
'
2
3
3 3
3 2
54
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2
2
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Ð
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(2)如图3，
三个内角均小于120°，在
外侧作等边三角形
，连接
，求证：
过
的费马点．
(3)如图4，在
中，
，
，
，点P 为
的费马点，连接
、
、
，
求
的值．
(4)如图5，在正方形
中，点E 为内部任意一点，连接
、
、
，且边长
；求
的最小值．
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h(4)
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2
1
3
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3
2
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BE
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¢ ¢
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AE
BE
CE
AE
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¢ ¢
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+
+
1
1
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B F
¢
¢
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+
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学科网（北京）股份有限公司
ö△P′PC f-PC=5-
-
¡xPP′C <œ@?@A-ÐPP′C=90°-
¡ÐAP′C=ÐAPP+ÐPPC=60°+90°=150°-
¡ÐAPB=ÐAP′C=150°-
ùrsL 150°h
n2qŸ/X.△APB Í2345 60°-78△AB′P′-yV PP′-
ûxAPB △AB′P′-
¡AP=AP′-PB=PB′-AB=AB′-
ûÐPAP′=ÐBAB′=60°-
¡xAPP′U△ABB′ÿL=>?@A-
¡PP′=AP-
û
-
¡& C-& P-& P′-& B′X&GH2-
!"=CB′-
¡& P ö CB′%-
¡
_
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n3q-X.△APB Í2345 60°-78△AP′B′-yV BB′-PP′-
¡xAPB xAP′B′-
¡AP′=AP-AB′=AB-
ûÐPAP′=ÐBAB′=60°-
¡xAPP′U△ABB′ÿL=>?@A-
¡PP′=AP-BB′=AB-ÐABB′=60°-
û
¡& C-& P-& P′-& B′X&GH2-
!"=CB′-
û
-
-
-
¡AB=2AC=2-•Ž••‘’ BC=
¡BB′=AB=2-
2
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25
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¢
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¢ ¢
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¢ ¢
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+
PA
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+
+
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1
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Ð
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-
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学科网（北京）股份有限公司
ûÐCBB′=ÐABC+ÐABB′=30°+60°=90°-
¡ö Rt△CBB′f-B′C=
¡
!"=CB′=
h
n4q-X.△BCE Í2345 60°78△CE′B′-yV EE′-BB′-_& B′m B′FŠAB-‹ AB Œ{HZ F-
¡xBCE xCE′B′-
¡BE=B′E′-CE=CE′-CB=CB′-
ûÐECE′=ÐBCB′=60°-
¡xECE′C△BCB′ÿL=>?@A-
¡EE′=EC-BB′=BC-ÐB′BC=60°-
û
-
¡& C-& E-& E′-& B′X&GH2-
!"=AB′-
ûX>A ABCD LN¯A-
¡AB=BC=2-ÐABC=90°-
¡ÐFBB′=180°-ÐABC-ÐCBB′=180°-90°-60°=30°-
ûB′FŠAF-
¡BF=
-BF=
-
¡AF=AB+BF=2+
-
¡AB′=
-
¡
!"=AB′=
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2
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2
2
3
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+
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PB
PC
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+
7
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BE
CE
AE
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¢
¢ ¢
+
+
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+
+
AE
BE
CE
AE
EE
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¢
¢ ¢
+
+
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+
+
1
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2
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学科网（北京）股份有限公司
题型二 加权费马点·单系数型
2023·89·EF,GHI-
12．如图，
中，
，
，点P 为
内一点，连接
，则
的最小值为 .
!rs'
!tu'm[\H+5-,-•Ž=ý?@AO,-U••‘’“…7
-Z<b…
OIJK5›L…
OIJK-•ŽÃ&TóHšI(“7
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3
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PA
+
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2
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PC
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PB
+
+
DE
PD
PB
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△
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BA
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DP
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120
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PM
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PA
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-
¡
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JK5L6,M7
13．已知，如图在
中，
，
，
，在
内部有一点D，连接DA、DB、DC．则
的最小值是 ．
!rs'
}
!tu'¨△CDB 12345 90°8△CD′B′-_ B′m B′EŠAC-‹ AC Œ{Z E-9 CD=CD′-BD=B′D′-Ð
CDD′=ÐCD′D=45°-“… DD′=
-ö Rt△CEB′f-“… CE
-AE=
-BE=
-C& AFDF
D′FB′X&ö[œH2-AB′I(-“… AB′=BD+
+AD=
}
!5-'-X¨△CDB 12345 90°8△CD′B′-_ B′m B′EŠAC-‹ AC Œ{Z E-
9 CD=CD′-BD=B′D′-ÐCDD′=ÐCD′D=45°-
¡DD′=CD÷cos45°=
-
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-
-
¡
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ö Rt△CEB′f-
¡CE=B′C·cos60°=5
-
¡AE=AC+CE=6+
-
¡BE= B′C·sin60°=5
-
C& AFDFD′FB′X&ö[œH2-AB′I(-
¡AB′!#=
-
AB′=B′D′+D′D+AD=BD+
+AD=
}
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120
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Ð
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91
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ACB
Ð
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¢
Ð
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°
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180
30
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ACB
BCB
¢
¢
Ð
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°-
°-
° =
°
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91
91
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学科网（北京）股份有限公司
2023NOP5QPR,-M7
14．如图，矩形
中，
，
，点
是
的中点，点
是
边上一动点．将
沿着
翻折，使得点
落在点
处，若点
是矩形内一动点，连接
、
、
，则
的最
小值为 ．
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12345
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+
+
'
'
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CDP
△
C
90°
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CDP
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'
PP
'
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B
C
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CD
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CD
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ùrsLX
}
题型三 加权费马点·多系数型
15．在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（
AP＋BP＋
PC）²的最小值
!-u'+, 1-△APC /& C Í2345 90°-Ï P’C-A’C Of& M-N
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PC- MN:
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'
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'
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+
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2
26 1
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9
APBBPB
PC:MNBBPBPM≤BN-BN²:20B
|Lb…
16．在等边三角形ABC 中，边长为4，P 为三角形ABC 内部一点，求3AP＋4BP＋
PC 的最小值
!-u'+, 1-△APC /& C Í2345 90°-ö P’C-A’C %Ï M-N-d CM:
CP’-CN:
CA’-
žÎ PM:
PC- MN:
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PA- 3APB4BPB5PC:4nMNBBPBPMq≤ BN
N
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P
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17．在
中，
，
，
的角平分线交
于
，过
作射线
的垂线，垂足为
，连
接
，当
取大值时，在
内部取点
，则
的最小值是 ．
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2
2
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AD
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+
=
+
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2
2
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2
2
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¢
¢
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+
=
+
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x
x
k
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c
o
m
学科网（北京）股份有限公司
6/V>?WCX
18．如图，在
中，
，在
内部有一点P，连接
、
、
．（加权
费马点）求：
（1）
的最小值；
（2）
的最小值
（3）
的最小值；
（4）
的最小值
（5）
的最小值；
ABC
!
30 ,
6,
5
ACB
BC
AC
Ð
=
°
=
=
ABC
!
PA
PB
PC
PA
PB
PC
+
+
2
PA
PB
PC
+
+
3
PA
PB
PC
+
+
2
3
PA
PB
PC
+
+
1
3
2
2
PA
PB
PC
+
+
z
x
x
k
.
c
o
m
学科网（北京）股份有限公司
（6）
的最小值
（7）
的最小值；
（8）
的最小值
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hn2q
hn3q
hn4q
hn5q
hn6q26hn7q
hn8q
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2
4
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PB
PC
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PB
PC
+
+
3
4
5
PA
PB
PC
+
+
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2
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△
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¢ ¢
△
BP
BP
¢ =
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PC
¢
=
60
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Ð
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!
BP
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PA
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PC
PA
PP
PC
¢
¢
+
+
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+
+
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PA
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PC
+
+
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=
=90
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ACB
BCC
¢
¢
+
o
∠
∠
∠
BPC
△
90!
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△
2
PP
PC
¢ =
2
PA
PB
PC
PA
PP
PB
¢
¢
+
+
=
+
+
P¢
B¢
PA
PB
PC
+
+
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B C
¢
2
2
5 3
2
AE
AC
CE
=
-
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17
2
B E
B C
EC
¢
¢
=
+
=
BPC
△
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B PC
¢
¢
△
3
PP
CP
¢ =
3
PA
PB
PC
PA
PP
P B
¢
¢ ¢
+
+
=
+
+
P¢
B¢
3
PA
PB
PC
+
+
AB¢
B C
¢
2
2
5 3
2
CE
AC
AE
=
-
=
12
5 3
2
B E
CE
CB
+
¢
¢
=
+
=
BPC
△
60!
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V
CP A¢ ¢
V
CP A
¢¢ ¢¢
V
PP¢
3
P P
CP
¢¢ =
2
3
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PB
PC
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P P
PB
¢¢ ¢¢
¢¢
+
+
=
+
+
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P
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+
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ACB
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¢¢
¢¢
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o
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V
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V
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V
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P
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+
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=90
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¢¢
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+
o
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∠
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PC
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PC
PA
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+
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+
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PA
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PC
+
+
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V
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V
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V
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+
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!
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+
¢
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¢
o
∠
∠
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4
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¢¢
A¢¢
A E
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△
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BP
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¢
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Ð
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!
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PP
PC
¢
¢
+
+
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+
+
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PA
PB
PC
+
+
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!
6
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BC
¢ =
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=60
BCC¢
o
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=90
ACC
ACB
BCC
¢
¢
+
o
∠
∠
∠
2
2
61
AC
AC
CC
¢
¢
=
+
=
PA
PB
PC
+
+
61
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△
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△
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BP
¢ ¢ =
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PC
¢
=
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¢
¢
∠
∠
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CB
¢ =
=
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2
2
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PC
¢
¢
=
+
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PA
PB
PC
PA
PP
PB
¢
¢
+
+
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+
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ACP
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¢
¢
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+ Ð
= Ð
+ Ð
o
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¢
¢
¢
¢
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
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o
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1
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2
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¢
¢
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+
=
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AE
B E
¢
¢
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=
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PC
+
+
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△
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¢
¢
△
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BP
¢ ¢ =
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PC
¢
=
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¢
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CB
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¢
¢
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PC
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PB
PC
PA
PP
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¢
¢ ¢
+
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+
P¢
B¢
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PA
PB
PC
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+
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PCB
ACP
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¢
¢
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+ Ð
= Ð
+ Ð
o
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¢
¢
¢
¢
+
+
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AC
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=
-
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¢
¢
=
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=
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2
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AE
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¢ =
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+
+
61 30 3
+
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CP A¢ ¢
V
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¢¢ ¢¢
V
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CP
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¢
¢
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¢
¢
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¢ ¢¢
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P P
¢
¢
¢ ¢¢
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¢
o
∠
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=30
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P PP
¢¢
¢¢
¢
o
∠
∠
=90
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¢¢
o
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2
2
3
P P
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CP
CP
¢¢
¢¢
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PC
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P P
PB
¢¢ ¢¢
¢¢
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+
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+
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P¢¢
P
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+
+
A B
¢¢
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ACA
¢¢
¢¢
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+
o
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∠
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2
2
2 34
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BC
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¢¢
¢¢
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+
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2
3
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+
+
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+
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+
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¢
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Ð
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¢¢
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Ð
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¢¢
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2
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3
4
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+
+
21
