文档文本内容
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知识点梳理
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题型一 普通费马点最值问题
题型二 加权费马点·单系数型
题型三 加权费马点·多系数型
知识点梳理
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!"#$%&如图△ABC 所有的内角都小于120 度，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，
当
的值最小时，求此时∠APB 与∠APC 的度数.'
PA
PB
PC
＋
＋
P
C
B
A
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x
x
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!"#()&+,1-.△ACP/0&C1234560678△A’CP’-9△ACP≌△A’CP’-CP:CP’-AP:A’P’-
;∵∠PCP’ :60°，∴△PCP’<=>?@A-∴PP’:PC， ∴PABPBBPC: P’A’BPBBPP’，
+,2-CDEC&BFPFP’FA’GH2-PABPBBPCIJ-IJKLA’B，M2∠BPC:∠APC＝∠APB＝
120°
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① YZ[P\@]^_120°O?@A-$%&<Y\>O`@a<120°O&-bc?@AO$%&de?
@AO=@fgh
② YZi[P@^_120°O?@A-$%&N<jPk@OQ&．
!+lm$%&'如图3-连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边
△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交
点即为费马点。nIo@JZ120p2q
图1
P'
P
C
B
A'
A
A
A'
B
C
P
P'
图2
B'
图3
P
C
B
A'
A
z
x
x
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【例1】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求PA+PB+PC 的最小值．
【练习1】 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME
的最小值为______．
!()$%&'
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<†_45‡ˆHu5‰-Š]_‹Œ•vwOxyŽ•]•O45‘’“ƒ„”
【类型一 单系数类】
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[œ<45 ¡@6X
Y¢45 90p-
Y¢45 120p
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A
B
C
P
A
B
C
D
M
E
2
3
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x
x
k
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【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求
的最小值
【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2
，P为三角形ABC内部一点，求
的最小值
2
AP BP
PC
＋
＋
!"
A
B
C
P
!"
A
B
C
P
3
3
AP
BP
PC
＋
＋
A
B
C
P
A
B
C
P
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【类型二 多系数类】
¥¦C?tHuO?Pvw§¨©ªwO«v2-a<¬-)*$%&Ot®O”
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1. .IJvw¸8¹º»h
2. f¼oJOvw½°’“¤¾h
3. Iovw½°45fgn¾+Iovw¿ PA ÀÁ-Nc A L45fgq-45vw]L 1 O›tHub
¿O?@A”
【例3】 如图，在△ABC 中，
，
，
，在△ABC 内部有一点P，连接
，
则（1）
的最小值为________；（2）
的最小值为________
60
ACB
Ð
=
°
3
BC =
4
AC =
PA
PB
PC
，
，
1
3
2
2
PA
PB
PC
+
+
3
1
2
2
PA
PB
PC
+
+
C
B
A
P
C
B
A
P
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x
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【练习3】如图，在△ABC 中，
，
，
，在△ABC 内部有一点P，连接
，
则
的最小值为________．
题型一 普通费马点最值问题
1．（2021 滨州）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P 是△ABC 内一点，则
的最小值为_________．
60
ACB
°
=
3 3
BC =
6
AC =
PA
PB
PC
，
，
2
5
PA
PB
PC
+
+
P
A
B
C
PA
PB
PC
＋
＋
C
A
B
P
z
x
x
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2．问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC 交于点P，可推出结论：PA
＋PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG 中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝
，点O 是△MNG 内一点，则点O 到△
MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．
3．如图，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P 是△ABC 内一点，求PA＋PB＋PC 的最小值．
4．已知，在△ABC 中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝
点P 是△ABC 内一动点，则PA＋PB＋PC
的最小值为________
'
'
'
4 2
O
M
N
G
图2
图1
A
B
C
D
E
P
A
B
C
P
7(
)
CB
CA
>
A
B
C
P
z
x
x
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,-如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA＋MD＋
ME 的最小值为______．'
6．A、B、C、D 四个城市恰好为一个边长为2a 正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之
间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？最小
长度是多少？
A
B
C
D
M
E
Q
P
D
A
B
C
z
x
x
k
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2023·*+,-./
7．1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平
面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，
该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，
②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角
形的某个顶点）
当
的三个内角均小于
时，如图1，将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由
，可知
为 三角形，故
，又
，故
，
由 ② 可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，如图2，最小值为
，此时
的P 点为该三角形的“费马点”，且有
；
已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
，
则该三角形的“费马点”为 点．
(2)如图4，在
中，三个内角均小于
，且
，已知点P 为
的“费
马点”，求
的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知
．现欲
建一中转站P 沿直线向A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A，B，C 的铺设成本分别为a
元/
，a 元/
，
元/
，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果
用含a 的式子表示）
ABC
!
120°
APC
△
60°
A P C
¢ ¢
!
PP¢
60
PC
P C
PCP
¢
¢
=
Ð
=
°
⾷
PCP¢
△
PP
PC
¢ =
P A
PA
¢ ¢ =
PA
PB
PC
PA
PB
PP
A B
¢
¢
¢
+
+
=
+
+
³
P¢
PA
PB
PC
+
+
A B
¢
APC
BPC
APB
Ð
= Ð
= Ð
=
ABC
!
120°
120
BAC
Ð
³
°
ABC
!
120°
3
4
30
AC
BC
ACB
=
=
Ð
=
°
⾷
⾷
ABC
!
PA
PB
PC
+
+
4km
2 3km
60
AC
BC
ACB
=
=
Ð
=
°
⾷
⾷
km
km
2a
km
z
x
x
k
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01234567
8．如图，在
中，
，点
为
内部一点，则点
到
三个顶点
之和的最小值是 ．
89,-
9．问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC 交于点P，可推出结论：
PA+PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG 中，MN=6，∠M=75°，MG=
，点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG
三个顶点的距离和的最小值是______．
2023·:;<=·,-./
10．如图，抛物线
经过点
，顶点为
，且抛物线与
轴的交点B 在
和
之间（不含端点），则下列结论：
③ 当
时，
；②当
的面积为
时，
；
③当
为直角三角形时，在
内存在唯一点P，
使得
的值最小，最小值的平方为
．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
ABC
!
90 ,
5,
2 3
BAC
AB
AC
Ð
=
=
°
=
P
ABC
!
P
ABC
!
4 2
O
M
N
G
图2
图1
A
B
C
D
E
P
2
y
ax
bx
c
=
+
+
(
)
3 0
A - ,
(
)
1,
M
m
-
y
(
)
0
2
-
，
(
)
0
3
-
，
3
1
x
- £
£
0
y £
ABM
!
3 3
2
3
2
a =
ABM
!
AOB
!
PA
PO
PB
+
+
18 9 3
+
z
x
x
k
.
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6/:>?@ABC6D
11．背景资料：在已知
所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是
法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图
1，当
三个内角均小于120°时，费马点P 在
内部，当
时，则
取得最小值．
(1)如图2，等边
内有一点P，若点P 到顶点A、B、C 的距离分别为3，4，5，求
的度数，为
了解决本题，我们可以将
绕顶点A 旋转到
处，此时
这样就可以利用旋转变换，
将三条线段
、
、
转化到一个三角形中，从而求出
_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问
题．
(2)如图3，
三个内角均小于120°，在
外侧作等边三角形
，连接
，求证：
过
的费马点．
(3)如图4，在
中，
，
，
，点P 为
的费马点，连接
、
、
，
求
的值．
(4)如图5，在正方形
中，点E 为内部任意一点，连接
、
、
，且边长
；求
的最小值．
ABC
!
ABC
!
ABC
!
120
APB
APC
CPB
Ð
= Ð
= Ð
=
°
PA
PB
PC
+
+
ABC
!
APB
Ð
ABP
!
ACP¢
△
ACP
ABP
¢
!
!
≌
PA
PB
PC
APB
Ð
=
ABC
!
ABC
!
ABC
!
ABB¢
!
CB¢
CB¢
ABC
!
RT ABC
!
90
C
Ð
=
°
1
AC =
30
ABC
Ð
=
°
ABC
!
AP
BP
CP
PA
PB
PC
+
+
ABCD
AE
BE
CE
2
AB =
AE
BE
CE
+
+
z
x
x
k
.
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题型二 加权费马点·单系数型
2023·89·EF,GHI-
12．如图，
中，
，
，点P 为
内一点，连接
，则
的最小值为 .
JK5L6,M7
13．已知，如图在
中，
，
，
，在
内部有一点D，连接DA、DB、DC．则
的最小值是 ．
2023NOP5QPR,-M7
14．如图，矩形
中，
，
，点
是
的中点，点
是
边上一动点．将
沿着
翻折，使得点
落在点
处，若点
是矩形内一动点，连接
、
、
，则
的最
小值为 ．
Rt
ABC
△
30
CAB
Ð
=
°
3
2
BC =
ABC
!
,
,
PA PB PC
3
PC
PB
PA
+
+
ABC
!
30
ACB
Ð
=
°
5
BC =
6
AC =
ABC
!
2
DA
DB
DC
+
+
ABCD
2
AB =
3
BC =
E
AB
F
BC
ABEF
EF
B
B'
P
PB¢
PC
PD
'
2
PB
PC
PD
+
+
z
x
x
k
.
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题型三 加权费马点·多系数型
15．在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（
AP＋BP＋
PC）²的最小值
16．在等边三角形ABC 中，边长为4，P 为三角形ABC 内部一点，求3AP＋4BP＋
PC 的最小值
1
2
5
2
!"
A
B
C
P
5
!"
A
B
C
P
z
x
x
k
.
c
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OPS,TUGHI-
17．在
中，
，
，
的角平分线交
于
，过
作射线
的垂线，垂足为
，连
接
，当
取大值时，在
内部取点
，则
的最小值是 ．
6/V>?WCX
18．如图，在
中，
，在
内部有一点P，连接
、
、
．（加权
费马点）求：
（1）
的最小值；
（2）
的最小值
（3）
的最小值；
ABC
!
3
AB =
4
AC =
BAC
Ð
BC
E
C
AE
D
BD
ACE
BED
S
S
-
△
△
ACD
!
P
3
4
5
4
PC
PD
PA
+
+
ABC
!
30 ,
6,
5
ACB
BC
AC
Ð
=
°
=
=
ABC
!
PA
PB
PC
PA
PB
PC
+
+
2
PA
PB
PC
+
+
3
PA
PB
PC
+
+
z
x
x
k
.
c
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（4）
的最小值
（5）
的最小值；
（6）
的最小值
（7）
的最小值；
（8）
的最小值.
2
3
PA
PB
PC
+
+
1
3
2
2
PA
PB
PC
+
+
2
4
2 3
PA
PB
PC
+
+
4
2
2 3
PA
PB
PC
+
+
3
4
5
PA
PB
PC
+
+
