文档文本内容
1
2025 年中考数学热点题型：动点问题
目录
类型一动点问题的函数图象2
类型二动点问题的函数关系4
类型三动点与全等三角形或相似三角形的存在性6
类型四等腰三角形的存在性7
类型五动点与平行四边形及特殊平行四边形的存在性8
类型六动点与最值问题10
类型七求动点所经过的路径长11
2024 中考真题动点问题精炼12
2
类型一
动点问题的函数图象
1. (2024• 昆山市一模) 如图①，点A、B 是⊙O 上两定点，圆上一动点P 从圆上一定点B 出发，沿逆时针
方向匀速运动到点A，运动时间是x(s)，线段AP 的长度是y(cm)．图②是y 随x 变化的关系图象，则
图中m 的值是(
)
A. 9
2
B. 4 2
C. 5
D. 14
3
【举一反三演练】
2. (2024 秋• 宜兴市月考) 如图①，BD 是菱形ABCD 的对角线，AD < BD，动点P 从菱形的某个顶点出
发，沿相邻的两条线段以1cm/s 的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP 的长y(cm) 随时间
t(s) 变化的函数图象如图②所示，则菱形ABCD 的周长为(
)
A. 12cm
B. 16cm
C. 20cm
D. 24cm
3. (2024 秋• 工业园区月考) 如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，连接BD，点M 从B 出发沿BD 方向
以
3 cm/s 的速度运动至D，同时点N 从B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动至C ，设运动时间为
x(s)，△BMN 的面积为y(cm2)．y 与x 的函数图象如图2 所示，则菱形ABCD 的边长为(
)
A. 2 2cm
B. 4 2cm
C. 4cm
D. 8cm
4. (2024 秋• 江阴市期末) 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，D 是边AC 上一动点(不与
3
A，C 两点重合)，沿A →C 的路径移动，过点D 作ED ⊥AC，交AB 于点E，将△ADE 沿直线DE 折叠
得到△A'DE．若设AD = x，△A'DE 与△ABC 重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y 与x 之
间函数关系的是(
)
A.
B.
C.
D.
5. (2024 秋• 崇川区月考) 如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，∠ACB = 60°，AM = AN
= 1
3 AB = 1，点P 沿BD 从点B 匀速运动到点D．设点P 的运动时间为x，PM + PN = y，图2 是点
P 运动时y 随x 变化的函数关系图象，则图2 中最低点的纵坐标a 的值为(
)
A. 2 3
B. 7
2
C.
7
D. 3
6. (2025 春• 南通月考) 如图1，等腰RtABC 中，∠C = 90°，AB = 4，点D 从点B 出发，沿B →C →A 方向
运动，DE ⊥AB 于点E，△DEB 的面积随着点D 的运动形成的函数图象(拐点左右两段都是抛物线
的一部分) 如图2 所示，以下判断正确的是(
)
4
A. 函数图象上点的横坐标表示DB 的长
B. 当点D 为BC 的中点时，点E 为线段AB 的三等分点
C. 两段抛物线的开口大小不一样
D. 图象上点的横坐标为3 时，纵坐标为3
2
类型二
动点问题的函数关系
7. (2025 春• 南通月考) 如图1，正方形ABCD 的边长为2 2 ，对角线AC ，BD 交于点O，点P 从点A 出
发，沿线段AO →OB 运动，点P 到达点B 时停止运动．若点P 运动的路程为x，△DPC 的面积为y，
探究y 与x 的函数关系．
(1)x 与y 的两组对应值如表，则m =
；
x
0
⋯
m(m ≠0)
y
n
⋯
n
(2) 当点P 在线段AO 上运动时，y 关于x 的函数解析式为y =-x + 4(0 ≤x ≤2)．当点P 在线段OB
上运动时，y 关于x 的函数解析式为
，此时，自变量的取值范围是
；
(3) ①在图2 中画出函数图象；
②若直线y = 1
2 x + b 与此函数图象只有一个公共点，则b 的取值范围是
．
5
【举一反三演练】
8. (2025 春• 东台市月考) 如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB
= 3，AD = 5．若矩形以每秒2 个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1
个单位长度沿A - B - C - D 的路线做匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随
之停止运动．
(1) 求P 点从A 点运动到D 点所需的时间；
(2) 设P 点运动时间为t(秒)．
①当t = 5 时，求出点P 的坐标；
②若△OAP 的面积为s，试求出s 与t 之间的函数关系式(并写出相应的自变量t 的取值范围)．
6
类型三
动点与全等三角形或相似三角形的存在性
9. (2024 秋• 梁溪区月考) 已知AB = 10，AC = 6，BD = 8，其中∠CAB = ∠DBA = α，点P 以每秒2 个单
位长度的速度，沿着C →A →B 路径运动．同时，点Q 以每秒x 个单位长度的速度，沿着D →B →A
路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t 秒．
①若x = 1，则点P 运动路程始终是点Q 运动路程的2 倍；
②当P、Q 两点同时到达A 点时，x = 6；
③若α = 90°，t = 5，x = 1 时，PC 与PQ 垂直；
④若△ACP 与△BPQ 全等，则x = 0.8 或4
11 ．
以上说法正确的选项为(
)
A. ①③
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
【举一反三演练】
10. (2023 春• 莱州市期末)△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，P 为BC 上的动点，小慧拿含45° 角的透明
三角板，使45° 角的顶点落在点P，三角板可绕P 点旋转．
(1) 如图a，当三角板的两边分别交AB、AC 于点E、F 时．求证：△BPE ∽△CFP；
(2) 将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E、F．
△BPE 与△CFP 还相似吗？(只需写出结论)
(3) 在(2) 的条件下，连接EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？若不相似，则动点P 运动到什么位置时，
△BPE 与△PFE 相似？说明理由．
7
类型四
等腰三角形的存在性
11. (2024 秋• 高邮市期中) 如图，已知△ABC 中，∠B = 90°，AB = 16cm，BC = 12cm，M ，N 是△ABC 边
上的两个动点，其中点N 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为2cm/s，点M 从点B 开始沿B →C
→A 方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s．
(1) 出发2s 后，求MN 的长；
(2) 当点M 在边BC 上运动时，出发几秒钟，△MNB 是等腰三角形？
(3) 当点M 在边CA 上运动时，求能使△BCM 成为等腰三角形的t 的值．
8
类型五
动点与平行四边形及特殊平行四边形的存在性
12. (2025 春• 盐城月考) 如图，在矩形ABCD 中，AB = 4cm，BC = 8cm，点P 从点D 出发向点A 运动，运
动到点A 即停止；同时点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止．点P、Q 的速度的速度都是
1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q 运动的时间为t(s)．
(1) 当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形？
(2) 当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形？
(3) 分别求出(2) 中菱形AQCP 的周长和面积．
9
【举一反三演练】
13. (2024 春• 镇江期中) 如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6cm，AD = 10cm，点P 在AD 边上以每秒
1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上以每秒2.5cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运
动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止运动，同时点Q 也停止运动．设运动时间为t s，开始运
动以后，当t 为何值时，以P，D，Q，B 为顶点的四边形是平行四边形？(
)
A. 20
3
B. 40
7
C. 20
3 或40
7
D. 40
3 或40
7
14. (2025 春• 高新区月考) 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD，∠BCD = 90°，AB = AD = 10cm，BC
= 8cm．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒
2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P、Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P、Q 运动
停止，设运动时间为t．
(1) 求CD 的长；
(2) 当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；
(3) 在点P、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ 的面积为20cm2？若存在，请求出所
有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
10
类型六
动点与最值问题
15. (2024 秋• 沛县期中) 如图，在△ABC 中，∠A = 90°，AB = 6，AC = 8，BC = 10，CD 平分∠BCA 交
AB 于点D，点P，Q 分别是CD，AC 上的动点，连接AP，PQ，则AP + PQ 的最小值是(
)
A. 6
B. 5
C. 4.8
D. 4
【举一反三演练】
16. (2022 秋• 如东县期末) 如图，边长为a 的等边△ABC 中，BF 是AC 上中线且BF = b，点D 在BF 上，
连接AD，在AD 的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF 周长的最小值是(
)
A. 1
2 a + 2
3 b
B. 1
2 a + b
C. a + 1
2 b
D. 3
2 a
17. (2020 秋• 常州期中) 已知⊙O 的半径为2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以AP 为边作等腰
Rt△APG，P 点在圆上运动一周的过程中，OG 的最大值为
．
18. (2023• 崇川区三模) 如图，边长为a 的等边△ABC 中，BF 是AC 上中线，点D 是线段BF 上的动点，连
接AD，在AD 的右侧作等边△ADE，连接BE，则AE + BE 的最小值是(
)
A. ( 3 + 1)a
B. 3a - 1
C.
5a
D.
3a
11
19. (2023• 张家港市模拟) 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB，垂足为D，AD = 2，点E
是⊙O 上的动点(不与C 重合)，点F 为CE 的中点，若在E 运动过程中DF 的最大值为4，则CD 的值
为(
)
A. 2 3
B. 2 2
C. 3 2
D. 7
2
类型七
求动点所经过的路径长
20. (2025• 淮安一模) 如图，A(-1，1)，B(-1，4)，C(-5，4)，点P 是△ABC 边上一动点，连接OP，以OP
为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ．当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 运动的路径长为
．
【举一反三演练】
21. (2024• 东海县模拟) 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2 的线段QR 的两端放在正方形的相邻的
两边上同时滑动、如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A ⇒B ⇒C ⇒D ⇒A 滑动到A 止，同时点
R 从B 点出发，沿图中所示方向按B ⇒C ⇒D ⇒A ⇒B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点
M 所经过的路线的长为
．
22. (2024 秋• 高邮市月考) 如图，在矩形ABCD 中，AB = 1，AD =
3 ，点P 在线段BC 上从点B 出发向
点C 运动，同时点Q 在线段AD 上以相同速度从点D 出发向点A 运动，过点A 作AM ⊥PQ 交直线
12
PQ 于点M ，当点P 从点B 运动到点C 的过程中，点M 的运动路径长是
．
2024 中考真题动点问题精炼
23. (2024• 兰州) 如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，连接BD，点M 从B 出发沿BD 方向以
3 cm/s
的速度运动至D，同时点N 从B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动至C ，设运动时间为x(s)，
△BMN 的面积为y(cm2)．y 与x 的函数图象如图2 所示，则菱形ABCD 的边长为(
)
A. 2 2cm
B. 4 2cm
C. 4cm
D. 8cm
24. (2024• 苏州) 如图，矩形ABCD 中，AB =
3 ，BC = 1，动点E，F 分别从点A，C 同时出发，以每秒1
个单位长度的速度沿AB，CD 向终点B，D 运动，过点E，F 作直线l，过点A 作直线l 的垂线，垂足为
G，则AG 的最大值为(
)
A.
3
B.
3
2
C. 2
D. 1
25. (2024• 甘肃) 如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．
设点P 的运动路程为x，PO 的长为y，y 与x 的函数图象如图2 所示，当点P 运动到BC 中点时，PO
的长为(
)
13
A. 2
B. 3
C.
5
D. 2 2
26. (2024• 长沙) 如图，在菱形ABCD 中，AB = 6，∠B = 30°，点E 是BC 边上的动点，连接AE，DE，过点
A 作AF ⊥DE 于点F．设DE = x，AF = y，则y 与x 之间的函数解析式为(不考虑自变量x 的取值范
围) (
)
A. y = 9
x
B. y = 12
x
C. y = 18
x
D. y = 36
x
27. (2024• 绵阳) 如图，在边长为2 的正六边形ABCDEF 中，连接BE，点H 在BE 上运动，点G 为EF 的中
点，当△AGH 的周长最小时，AH + GH = (
)
A. 2 3
B.
13
C. 12
D. 13
28. (2024• 自贡) 如图，在▱ABCD 中，∠B = 60°，AB = 6cm，BC = 12cm．点P 从点A 出发，以1cm/s 的
速度沿A →D 运动，同时点Q 从点C 出发，以3cm/s 的速度沿C →B →C →⋯往复运动，当点P 到达
端点D 时，点Q 随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ = CD 出现的次数是(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
29. (2024• 泸州) 如图，在边长为6 的正方形ABCD 中，点E，F 分别是边AB，BC 上的动点，且满足AE
14
= BF，AF 与DE 交于点O，点M 是DF 的中点，G 是边AB 上的点，AG = 2GB，则OM + 1
2 FG 的最
小值是(
)
A. 4
B. 5
C. 8
D. 10
30. (2024• 乐山) 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，AB = 1，点P 是BC 边上一个动点，在BC 延长线
上找一点Q，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连结DP、AQ 交于点M．当点P 从B 点运动到C 点时，
点M 的运动路径长为(
)
A.
3
6
B.
3
3
C.
3
2
D.
3
二．填空题(共8 小题)
31. (2024• 甘南州) 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不
断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，⋯那么点A2020 的坐标为
．
32. (2024• 广东) 如图，菱形ABCD 的面积为24，点E 是AB 的中点，点F 是BC 上的动点．若△BEF 的
面积为4，则图中阴影部分的面积为
．
33. (2024• 内江) 如图，在△ABC 中，∠ABC = 60°，BC = 8，E 是BC 边上一点，且BE = 2，点I 是△ABC
15
的内心，BI 的延长线交AC 于点D，P 是BD 上一动点，连接PE、PC ，则PE + PC 的最小值为
．
34. (2024• 凉山州) 如图，⊙M 的圆心为M(4，0)，半径为2，P 是直线y = x + 4 上的一个动点，过点P 作
⊙M 的切线，切点为Q，则PQ 的最小值为
．
35. (2024• 扬州) 如图，已知两条平行线l1、l2，点A 是l1 上的定点，AB ⊥l2 于点B，点C、D 分别是l1，l2 上
的动点，且满足AC = BD，连接CD 交线段AB 于点E ，BH ⊥CD 于点H ，则当∠BAH 最大时，
sin∠BAH 的值为
．
36. (2024• 宜宾) 如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 2，AD = 4，E、F 分别是边CD、AD 上的动点，且
CE = DF．当AE + CF 的值最小时，则CE =
．
37. (2024• 宜宾) 如图，正方形ABCD 的边长为1，M 、N 是边BC、CD 上的动点．若∠MAN = 45°，则
MN 的最小值为
．
16
38. (2024• 广安) 如图，在▱ABCD 中，AB = 4，AD = 5，∠ABC = 30°，点M 为直线BC 上一动点，则MA
+ MD 的最小值为
．
三．解答题(共6 小题)
39. (2024• 威海) 如图，在菱形ABCD 中，AB = 10cm，∠ABC = 60°，E 为对角线AC 上一动点，以DE 为
一边作∠DEF = 60°，EF 交射线BC 于点F，连接BE，DF．点E 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2cm
的速度运动至点A 处停止．设△BEF 的面积为y cm2，点E 的运动时间为x 秒．
(1) 求证：BE = EF；
(2) 求y 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；
(3) 求x 为何值时，线段DF 的长度最短．
17
40. (2024• 黑龙江) 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，
OA 的长度是一元二次方程x2 - 5x - 6 = 0 的根，动点P 从点O 出发以每秒2 个单位长度的速度沿折
线OA - AB 运动，动点Q 从点O 出发以每秒3 个单位长度的速度沿折线OB - BA 运动，P、Q 两点
同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒(0 < t < 3.6)，△OPQ 的面积为S．
(1) 求点A 的坐标；
(2) 求S 与t 的函数关系式；
(3) 在(2) 的条件下，当S = 6 3 时，点M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O、P、M 、N
为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
18
41. (2024• 无锡) 如图，AB 为半圆O 的直径，AB = 1，BM 为半圆O 的切线，点C 为BM 上的一个动点，
连接AC 交半圆O 于点D，作DE ⊥BM 于点E．
(1) 当点O 关于AC 的对称点O′ 恰好在半圆上时，求BC 的长；
(2) 设DE = x，CE = y，求y 关于x 的函数表达式．
19
42. (2024• 兰州) 综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在
△ABC 中，点M ，N 分别为AB，AC 上的动点(不含端点)，且AN = BM．
【初步尝试】(1) 如图1，当△ABC 为等边三角形时，小颜发现：将MA 绕点M 逆时针旋转120° 得到
MD，连接BD，则MN = DB，请思考并证明；
【类比探究】(2) 小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC =
90°，AE ⊥MN 于点E，交BC 于点F，将MA 绕点M 逆时针旋转90° 得到MD，连接DA，DB．试猜想
四边形AFBD 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】(3) 孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC 中，AB = AC = 4，∠BAC = 90°，连接
BN ，CM ，请直接写出BN + CM 的最小值．
20
43. (2024• 吉林) 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 3cm，AD 是△ABC 的角平分线．动点
P 从点A 出发，以
3 cm/s 的速度沿折线AD - DB 向终点B 运动．过点P 作PQ ∥AB，交AC 于点
Q，以PQ 为边作等边三角形PQE，且点C，E 在PQ 同侧．设点P 的运动时间为t(s) (t > 0)，△PQE
与△ABC 重合部分图形的面积为S(cm2)．
(1) 当点P 在线段AD 上运动时，判断△APQ 的形状(不必证明)，并直接写出AQ 的长(用含t 的代数
式表示)．
(2) 当点E 与点C 重合时，求t 的值．
(3) 求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．
21
44. (2024• 河北) 已知⊙O 的半径为3，弦MN = 2 5．△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 3 2．在
平面上，先将△ABC 和⊙O 按图1 位置摆放(点B 与点N 重合，点A 在⊙O 上，点C 在⊙O 内)，随后
移动△ABC，使点B 在弦MN 上移动，点A 始终在⊙O 上随之移动．设BN = x．
(1) 当点B 与点N 重合时，求劣弧AN
的长；
(2) 当OA ∥MN 时，如图2，求点B 到OA 的距离，并求此时x 的值；
(3) 设点O 到BC 的距离为d．
①当点A 在劣弧MN
上，且过点A 的切线与AC 垂直时，求d 的值；
②直接写出d 的最小值．
