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淘宝：学思创想
专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型
等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，
并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系
统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2
模型2.等边截等长模型（定角模型）......................................................................................................... 3
模型3.等边内接等边...................................................................................................................................... 4
....................................................................................................................................................8
淘宝：学思创想
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC 于G，结论：①DF=FE；②
。
证明：如图，过点D 作
交
于H，则
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∵
，∴
，
在
和
中,
，∴
，∴
；
∵
，∴
，∵
，
，∴
，
∴
，∴
．
例1．（23-24 八年级上·广东中山·期末）如图，
中，
，
， 点P 从点B 出发沿线
段
移动到点A 停止，同时点Q 从点C 出发沿
的延长线移动，并与点 P 同时停止． 已知点 P，Q 移
动的速度相同，连接
与线段
相交于点D(不考虑点 P 与点A，B 重合时的情况)．
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(1)求证:
；(2)求证:
；(3)如图，过点P 作
于点E，在点P，Q 移动的过
程中，线段
的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
例2．（24-25 九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在
中，
，在射线
上截取线段
，在射线
上截取线段
，连结
，
所在直线交直线
于点M．
猜想判断：（1）当点D 在边
的延长线上，点E 在边
上时，过点E 作
交
于点F，如图
①．若
，则线段
、
的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D 在边
的延长线上，点E 在边
的延长线上时，如图②．若
，判断线
段
、
的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D 在边
上（点D 不与
、
重合），点E 在边
的延长线上时，如图③．若
，
，
，求
的长．
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例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6 的等边△ABC 的边AB 上一点P，作PE⊥AC 于E，Q
为BC 延长线上一点，连PQ 交AC 边于D，当PA＝CQ 时，DE 的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在
中，边AB 上的动点D 由A 向B 运动(与A，B 不
重合)，同时点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于点F，点H 是线段AF
上一点，求
的值．
（1）初步尝试：如图①，若
是等边三角形，
，且点D､E 的运动速度相等，小王同学发现
可以过点D 作
交AC 于点G，先证
，再证
，从而求得
的值为________；
（2）类比探究：如图②，若
中，
，且点D，E 的运动速度之比
是
，求
的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在
中，
，记
，且点D､E 的运动
速度相等，试用含m 的代数式表示
的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
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模型2.等边截等长模型（定角模型）
条件：如图，在等边
中，点
，
分别在边
，
上，且
，
与
相交于点
，
于点
．结论：①
；②AD=BE；③
；④BQ=2PQ。
证明：在等边三角形
中，
，
，
在
和
中，
，
，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；
．
，
，∴BQ=2PQ．
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E 分别是等边三角形
边
、
上的点，且
，
与
交于点F．求证：
．
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例2．（2024 八年级·重庆·培优）如图，
为等边三角形，且
与
相交于点
，则
（ ）．
A．等于
B．等于
C．等于
D．大小不确定
例3．（23-24 八年级·广东中山·期中）如图，在等边
中，点
分别在边
上，且
，
与
相交于点
，
于点
．(1)求证：
；(2)若
，求
的长．
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例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形
的
，
边上各取一点
，
（均不与端
点重合），且
，
，
相交于点
，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，
，则
D．若
，
，则
模型3.等边内接等边
图1 图2
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图1，等边三角形ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，BC，CA 上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF 也是等边三角形。
证明：∵
是等边三角形，∴
，
．
∵
，∴
．
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在
和
中，
∴
（
），
∴
．同理
，∴
，∴
是等边三角形．
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图，点
、
、
分别在等边
的各边上，且
于点
，
于点
，
于点
，结论：三角形DEF 也是等边三角形。
证明：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
例1．（2024 七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形
的顶点
、
、
依次作
、
、
的垂线
、
，三条垂线围成
，若
，则
的周长为（ ）
A．12
B．18
C．20
D．24
例2．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形
，点
，
，
分别为边
上的黄金分割点（
，
，
），连接
，
，
，我们称
为
的“内含黄金三角形”，若在
中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概
率是 ．
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例3．（23-24 八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N 分别在等边三角形
的各边上，且
于点P，
于点M，
于点N．(1)求证：
是等边三角形；(2)若
，
求
的长．
例4．（2023·广西·中考真题）如图，
是边长为4 的等边三角形，点D，E，F 分别在边
，
，
上运动，满足
．(1)求证：
；(2)设
的长为x，
的面积为y，求y
关于x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述
的面积随
的增大如何变化．
1．（23-24 九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，
是等边三角形，点D，E 分别在
，
上，且
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，
，
与
相交于点F，则下列结论：①
，②
，
③
．其中正确的有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
2．（2024 广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC 中，点P，Q 分别是AC，BC 边上的动点（都不与
线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP 相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若
BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC 的最小值为
，其中正确的是（ ）
A．①③④
B．①②④
C．②③④
D．①②③
3．（2024·广西·一模）如图，在等边
中，
，点
，
分别在边
，
上，且
，连
接
，
交于点
，在点D 从点B 运动到点C 的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在
中，
，点
在边
上，点
在边
上，连接
并延长
交
的延长线于点
，连接
，且
，过点
作
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于点
交
于点
，过点
作
交
的延长线于点
，以下四个结论中：
；
；
当
时，
；
．正确的有（ ）
个．
A．
B．
C．
D．
5．（2023·福建莆田·一模）如图，
和
都是等边三角形，将
先向右平移得到
，
再绕顶点
逆时针旋转使得点
，
分别在边
和
上．现给出以下两个结论：①仅已知
的周
长，就可求五边形
的周长；②仅已知
的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（
）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
6．（23-24 九年级上·北京昌平·期末）如图，
是等边三角形，D，E 分别是
，
边上的点，且
，连接
，
相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①
； ②
；③
；④若
，则
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
7．（23-24 九年级上·四川达州·期末）如图，ΔABC是等边三角形，点
分别在边
上，且
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与
相交于点
．若
，则ΔABC的边长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边
的顶点A，B，C 依次作
的垂线
三条垂线围成
，已知
，则
的周长是
．
9．（23-24 天津九年级上期中）如图，点
分别在正三角形
的三边上，且
也是正三角形.
若
的边长为
，
的边长为
，则
的内切圆半径为 ．
10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角
中，
为
的中点，
为
上一点，连接
并延长，交
的延长线于点
，若
，则
的长为 ．
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11．（23-24 八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a 的等边
的边
上一点P，作
于E，Q 为
延长线上一点，当
时，连
交
边于D，则
的长为
．
12．（2023 浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC 的AC，BC 边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，
BP 相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP 的长，AO 的长分别为 ．
13．（23-24 八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边
的
，
上各取一点D，E，使
，
，
相交于点M，过点B 作直线
的垂线
，垂足为H．若
，则
的长为 ．
14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形
中，
，
，
，
与
相
交于点F，若
，则E 到
的距离为 ．
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15．（23-24 九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】
数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形
中，点
，
分别在
，
边上，
，
交于点
，且
．
（1）线段
，
的数量关系为______，
的度数为______．
【类比探究】老师继续提出问题，若改变
的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？
同学们根据老师的提问画出图形，如图2，
是等腰直角三角形，
，点
，
分别在
，
边上，
，
交于点
，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段
，
的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段
，
的数量关系为______；再根据图2 写出线段
，
的数量关
系和
的度数，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，
是等腰直角三角形，
，若点
沿
边上一动点，点
是射线
上一动点，直线
，
交于点
，在（2）的条件下，当动点
沿
边从点
移动到点
（与点
重合）时，请直接写出运动过程中
长的最大值和最小值．
16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形
中，点
，
分别是边
，
上的点，且
，连结
，
交于点
．(1)求证：
；(2)连接
，若
时，①求
的值；
②设
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的值．
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17．（23-24 九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知
是等边三角形，点D、E、F 分别在边
、
、
上，且
．(1)试说明
是等边三角形的理由．
(2)分别连接
与
相交于O 点（如图（2）），求
的大小．
(3)将
绕F 点顺时针方向旋转
得到图（3），
与
平行吗？说明理由．
18．（23-24 八年级下·辽宁沈阳·开学考试）
中
，点D 是
边中点，过点D 的直线交
边于点M，交
边的延长线于点N，且
．(1)如图①，当
时，求证：
；
(2)如图②，当
时，请直接写出线段
的数量关系．
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19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，
是边长为2 的等边三角形，点D，E，F 分别在边
上运动，满足
．(1)求证：
；(2)设
的长为x，
的面积
为y，求y 关于x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述
的面积随
的增大如何变化．
20．（23-24 山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图（1），在正△ABC 中，M、N 分别是AC、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O，若∠BON＝60°，则
BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD 中，M、N 分别是CD、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O，若
∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是CD、DE 上的
点，BM 与CN 相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
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任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N 分别是CD、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O，试问当∠BON
等于多少度时，结论BM＝CN 成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是DE、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O，∠BON＝
108°时，试问结论BM＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
21．（23-24 九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形
的
边上各取一点P，Q 使
，AQ，BP 相交于点
O，求
的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰
的
边上各取一点P，Q，使
，
平分
，
，
，求
的长．小明的思路：过点A 作
交
延长线于点G，证
明
，…
（2）如图2，在
的
边上各取一点P、Q，使
，
平分
，
，
，求
的数量关系，请你解答小明提出的问题．
22．（23-24 八年级上·福建福州·阶段练习）如图：
是边长为
的等边三角形，
是
边上一动点，
由点
向点
运动（
与点
、
不重合），点
同时以点
相同的速度，由点
向
延长线方向运动
（点
不与点
重合），过点
作
于点
，连接
交
于点
．
淘宝：学思创想
(1)若设
的长为
，则
______，
______；
(2)当
时，求
的长；(3)点
，
在运动过程中，线段
的长是否发生变化？请说明理由．
23．（2023·河南开封·一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65 页的部分类容．
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个
三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角
形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形
__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】已知：如图2，在
和
中，
，
，
．
求证：
．证明：在
上取一点
，使
．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】在
中，
，点
在射线
上，点
在
的延长线上，且
，连接
DE，DE与
边所在的直线交于点
．过点
作
交直线
于点
，若
，
，则
_________．（直接写出答案）
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24．（2023 九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰
中，
，点E 是射
线
上的动点，点D 是边
上的动点，且
，射线
交射线
于点F．
(1)求证：
；(2)连接
，如果
是以
为腰的等腰三角形，求线段
的长；
(3)如图2，当点E 在边
上时，连接
，若
，线段
的长为 ．
25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1，
，A、D 在上，B、C 在
上，
，
若
，则
的长为__________；
【问题探究】（2）如图2，已知
是等边三角形，D、E 分别为
上的点，且
，连接
．求证：
；
【问题解决】（3）如图3 是某公园一块四边形空地
，其中
，
米，
米，
，P、Q 分别在
上，且
，
是平行于
的一条绿化带，E、F 是线段
上的
两个动点（点E 在点F 的左侧），
米，M 在线段
上运动（不含端点），且保持
，管
理人员计划沿
铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即
的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
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