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第43 讲 电场中功能关系及图像问题
核心考点
考点一 电场中功能关系的综合问题............................................................................................1
考点二 电场中的图像问题v－t 图像...........................................................................................9
考点三 E－x 图像.........................................................................................................................13
考点四 φ－x 图像.........................................................................................................................18
考点五 Ep－x 图像、Ek－x 图像图像
考点一 电场中功能关系的综合问题
1．电场力做功的求解方法
由公式W＝Flcos α 计算
只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos α
由WAB＝qUAB计算
适用于任何电场
由电势能的变化计算
WAB＝EpA－EpB
由动能定理计算
W 电场力＋W 其他力＝ΔEk
2．几种常见的功能关系
(1)合外力做功等于动能的变化，即W 合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W 电＝Ep 电1－Ep 电2＝－ΔEp 电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W 弹＝Ep 弹1－Ep 弹2＝－ΔEp 弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W 其他力＝E 机2－E
机1＝ΔE 机。
3．电场中的能量守恒
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
【例1】（2025·山东青岛·三模）如图所示，水平向右的匀强电场中固定倾角为30°的足够长
斜面，质量为m、带电量为+q 的小球以初速度
从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平
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方向间的夹角为60°。已知匀强电场的电场强度
，重力加速度为g，不计空气阻力。
小球从抛出到落回斜面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．机械能不变
B．离斜面最远时动能最小
C．运动的时间为
D．运动的时间为
【例2】（2025·河南·三模）如图所示，长方体区域被分成了三个边长均为L 的正方体区域，
最左边的正方体区域内分布着垂直平面CDHG 向里、电场强度大小为
的匀强电场，中间的
正方体区域内分布着垂直平面EHLI 向上的匀强磁场，最右边的正方体区域内分布着垂直平
面JKON 向上、电场强度大小为
的匀强电场。现有电荷量为q、质量为m 的带正电粒子以
大小为
的初速度从A 点沿AE 方向进入电场区域，经EH 的中点进入磁场区域，最后从NJ
上的某处离开电场。已知匀强磁场的磁感应强度大小
，不计粒子重力。求：
(1)电场强度
的大小；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间t；
(3)电场强度
的大小。
【例3】（2025·福建龙岩·模拟预测）如图a 所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有
上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋
白质颗粒质量是乙的两倍，带电量与pH 值的关系如图b 所示。未接通极板电源时，甲、乙颗
粒均悬浮。现调节溶液pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白
质颗粒，正确的说法是（ ）
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A．乙比甲先到达极板
B．甲、乙的电势能均增大
C．甲、乙受到的电场力方向相同
D．增大pH 值，甲受到的电场力变大
【例4】（2025·山东济南·二模）如图所示为带等量异种电荷的两正对平行金属板
和
，
板带负电，
板接地，板长为
，两板间距离为
。大量电子从两平行板间上半区域的左侧
以平行于金属板的相同速度进入板间，靠近
板左侧边缘进入的电子恰好能打在
板右侧边
缘，电子进入板间在上半区域均匀分布，忽略电子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应。
下列说法正确的是（ ）
A．电子击中
板区域的长度为
B．电子击中
板区域的长度为
C．保持两板带电量不变，若将
板向下平移
的距离，打在
板上的电子数占进入平行
板电子总数的
D．保持两板带电量不变，若将
板向下平移
的距离，靠近
板左侧边缘进入的电子出
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电场时的电势能为进电场时电势能的
【例5】（2025·河南·模拟预测）如图甲所示，足够长的均匀带电直杆和同轴的金属圆筒之间
的电场可看成径向电场，其方向与轴线垂直，图乙为其截面图。某点径向电场强度大小可表
示为
，r 为该点到轴线O 的距离，a 为常量。现从截面上P 点向筒内射入大量比荷相
同的带电粒子，粒子速度方向与OP 连线垂直且速度方向与轴线不平行。忽略边缘效应，不
计粒子间的相互作用及粒子重力，射入筒内的所有粒子均能顺利通过圆筒，且在截面内做匀
速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在筒内运动时加速度不变
B．粒子在筒内运动时动能不变
C．OP 距离越大，粒子从筒内出来时速度越小
D．所有粒子沿垂直轴线方向的分速度大
小相等
1．动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。
2．能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。
若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力
势能、动能之和保持不变。
考点二 电场中的图像问题v－t 图像
1.v－t 图像
(1)由v－t 图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a 的大小变化。
(2)根据牛顿第二定律a＝＝，判断电场强度E 的大小变化。
(3)根据v－t 图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场
强度的方向。
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(4)由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变
化等。
【例6】（2025·辽宁丹东·二模）如图甲所示，A、B 是某电场中一条电场线上的两点，一个
负电荷从A 点静止释放，仅在静电力的作用下从A 点运动到B 点，若电荷运动的v-t 图像如图
乙所示，以下判断正确的是（ ）
A．A、B 两点的电场力
B．A、B 两点的电场强度
C．A、B 两点的电势
D．从A 到B 的过程中电场力做正功
【例7】（2025·吉林长春·模拟预测）如图甲所示、A、B 是一条电场线上的两点，若在电场
线上某点释放一初速度为零的电子，电子仅受电场力作用，并沿电场线从A 运动到B、其速
度随时间变化的规律如图乙所示。则（ ）
A．A、B 两点的电势
B．A、B 两点的电场强度
C．电子在A、B 两点受到的电场力
D．电子在A、B 两点的电势能
【例8】（2025·江西上饶·二模）如图甲所示，A、B 是某电场中一条电场线上的两点，一个
负电荷仅在静电力的作用下从A 点运动到B 点，其运动的
图像如图乙所示。设A、B 两
点电场强度大小分别为
、
，电势分别为
、
，则以下判断正确的是（ ）
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例9】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图甲所示，均匀带电圆环处于水平面上，其过圆心垂
线上有
、
、
三点，一个带正电荷的小球（可视为质点）从
点静止释放，
到
运动
过程中的
图像如图乙所示，
时刻运动到
点位置，下列说法正确的是（ ）
A．圆环带负电
B．小球由
点到
点过程中小球机械能守恒
C．
点为圆环上方
、
点间电场强度最大的点
D．小球由
点运动到
点过程中电势能先增大后减小
【例10】（2025·安徽蚌埠·三模）两个带电小球a、b 在光滑绝缘的水平面内沿同一直线运动，
图为两小球的v－t 图像，若在运动过程中a、b 始终未接触，则下列说法正确的是（ ）
A．两小球一定带异种电荷
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B．a 球质量小于b 球的质量
C．
时刻两球的电势能最大
D．
时间内两小球动能之和先变大后变小
由E＝U
d 在非匀强电场中作定性判断
1.判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。
2.判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E 越大，U 越大，进而判断
电势的高低。
考点三 E－x 图像
1.E－x 图像
(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0 表示场强沿正方向；E<0 表示场强沿负方向。
(3)图线与x 轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的
正负表示始末两点电势的高低。
【例11】（2025·湖南·三模）如图所示，水平固定的绝缘玻璃管轴线与
轴重合，在
轴上
点和坐标原点
分别固定两个不等量异种点电荷（图中未画出），这两个电荷在
轴正半
轴形成电场的
图像如图所示，场强向右为正方向，无穷远处电势为零。管中
点右侧
放有电偶极子，可看作两个等量异种电荷用一根绝缘刚性杆连接，正电荷在右侧，可在管中
无摩擦地滑动。下列说法正确的是（ ）
A．
处为正电荷，
处为负电荷，且正电荷电荷量较大
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B．
处的两个固定电荷在
处引起的电势为零
C．移动电偶极子，当两个电荷分别位于
两侧时，受到的合外力大小可能为零
D．电偶极子从图示位置由静止释放，将做往复运动
【例12】（2025·江西萍乡·三模）在光滑绝缘的水平面上建立坐标轴x，沿x 轴方向上的电场
强度E 的变化情况如图所示。已知x 轴上从0 到0.1m 以及从1.0m 到1.4m 对应的图线为直线，
其余为曲线。若在O 点以0.8m/s 的初速度沿x 轴的正方向释放一个质量为3×10-2kg、电荷量
为-1×10-6C 的带电小球，小球运动到x=1.4m 处速度刚好减为0，下列说法正确的是（ ）
A．x=1.0m、x=1.4m 两点间的电势差为1.6V
B．x=0.1m、x=1.0m 两点间的电势差为7.5×103V
C．小球运动到x=0.1m 处的速度大小为0.5m/s
D．该小球将在原点和x=1.4m 间做往复运动
【例13】（24-25 高三下·辽宁·期中）如图所示，正点电荷置于
轴上的
点，现将一正的试
探电荷由
轴上
点右侧的
点静止释放，试探电荷只在电场力作用下运动，则电势
随位
置
变化的
图像、电场强度
随位置
变化的
图像，电荷运动速度
随时间变
化的
图像、电势能
随位移
变化的
图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例14】（2025·广东广州·三模）在竖直平面内存在一电场，其电场线分布如图甲所示，其
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中
轴竖直向下。一带电小球从
点由静止释放后沿
轴正向运动，从
到A 运动的过程
中，小球的机械能
随小球运动的位移
变化的图像如图乙所示，则小球（ ）
A．带负电
B．从
到A，所受合外力先减小后增大
C．从
到A，电势能不断增大
D．从
到A，速度不断增大
【例15】（2025·山西·三模）某电场的电场强度E 随位置x 的变化关系如图所示，O 点为坐
标原点，a、b、c、d 为x 轴上的四个点。一带正电粒子从a 点由静止释放，仅在静电力作用
下沿x 轴运动，已知粒子可通过d 点，则（ ）
A．粒子在a 点与c 点所受静电力的方向相同
B．粒子在b 点的电势能小于在c 点的电势能
C．粒子将以b 为中心做周期性运动
D．粒子将沿x 轴正方向一直运动
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
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2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向
轨迹曲线的凹侧且与电场线相切，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正
功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
考点四 φ－x 图像
1．φ－x 图像
(1)电场强度的大小等于φ－x 图线切线的斜率大小，电场强度为0 处，φ－x 图线存在极值，
其切线的斜率为0。
(2)在φ－x 图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的
方向。
(3)在φ－x 图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，
然后作出判断。
【例16】（2025·河北秦皇岛·三模）两点电荷M、N 分别固定在
和坐标原点处，
若取无穷远处电势为0，则两点电荷所形成电场的电势在x 轴正半轴上的分布如图所示，图线
与x 轴交于x0处，x=40cm 处电势最低。现有一正点电荷q 从x0处由静止释放，其只在电场力
作用下运动。下列说法中正确的是（ ）
A．点电荷M 带正电、N 带负电
B．x0处的电场强度为0
C．点电荷M、N 所带电荷量大小之比为4 1∶
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D．正点电荷q 沿x 轴正方向运动的过程中，电势能先减小后增大
【例17】（2025·浙江金华·三模）试探电荷q 在点电荷Q 的电场中所具有电势能可以用
来计算（式中k 为静电力常量，r 为试探电荷与场源电荷间的距离）。真空中两个点
电荷相距15cm 固定在x 轴的两个点上，取无限远处的电势为零，x 轴正方向上各点的电势随
x 的变化关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．两个点电荷可能带同种电荷
B．两个点电荷的电量之比为2 1∶
C．x=5cm 处电场强度等于零
D．两个点电荷之间电势为零的位置坐标为x=-3cm
【例18】（2025·山东德州·三模）某静电场中x 轴上各点电势
随坐标x 变化的关系如图所示，
处电势最低，
处电势为
，
处电势为
。一质量为m、带电量绝对
值为q 的带电粒子仅在电场力作用下，从
沿x 轴正方向运动，运动至
处时速
度恰好减小为0。下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电
B．粒子在
处的初速度大小为
C．粒子经过坐标原点时的动能为
D．自
至
粒子的电势能先增大后减小
【例19】（2025·福建三明·三模）如图甲，xOy 坐标系中，y 轴上固定有两个与原点O 距离相
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同的等量同种点电荷Q，x 轴上各点的电势
随x 坐标变化的图像如图乙所示。a、b 是x 轴上
两点，其电势分别为
和
，对应
图线上的a＇、b＇ 两点，这两点切线斜率的绝对
值均为k。现将一质量为m、电荷量为q 的正点电荷M 从a 点由静止释放，M 运动过程中仅
受电场力作用，下列说法正确的是（ ）
A．a、b 两点场强相同
B．M 从a 点运动到b 点的过程中加速度先增大后减小
C．M 从a 点运动到b 点的过程中电势能先减小后增大
D．M 运动到b 点时克服电场力做功的功率为
【例20】（2025·天津·二模）静电喷涂是一种利用高压静电场使带负电的涂料微粒定向运动，
并吸附在工件表面的喷涂方法。某一静电喷涂装置接上高压电源后在喷口和被涂物间产生强
电场，电场线分布如图所示，一微粒从M 点沿直线运动到N 点，以喷口为原点，以MN 连线
向右方向为正方向建立x 轴，该过程中微粒重力不计，那么电场强度E，微粒的电势φ、速度
大小v、电势能Ep随x 变化的图像可能正确的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
考点五 Ep－x 图像、Ek－x 图像
1．Ep－x 图像、Ek－x 图像
(1)Ep－x 图像
由静电力做功与电势能变化关系F 电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x 图像的切线斜率k＝Δ E p
Δ x 。
①其绝对值等于静电力大小。
②正负代表静电力的方向：若斜率为正，说明电势能增加，静电力沿x 轴正方向做负功，静
电力方向沿x 轴负方向；若斜率为负，说明电势能减小，静电力沿x 轴正方向做正功，静电
力方向沿x 轴正方向。
(2)Ek－x 图像
当只有静电力对带电体做功，由动能定理F 电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x 图像的切线斜率k＝
Δ Ek
Δ x ，斜率表示静电力。
【例21】（2025·黑龙江·二模）如图甲所示，竖直平面内等高固定着两个带电量均为q
（q>0）电荷连线的中点，A、B、C、D 处于同一竖直线上，AB=BD=h，C 为BD 中点。质量
为m、带电量为q 的小球从A 点由静止释放，从A 运动到D 的过程中，小球动能
随下降高
度y 的变化图像如图乙所示。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（ ）
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A．在
的位置两点电荷产生的电场强度大小为
B．C、A 两点间电势差
大于C、D 两点间电势差
C．小球下降高度
时加速度大小为2g
D．小球下降高度
时动能为
【例22】（2025·河北·三模）质子仅在电场力的作用下从O 点开始沿x 轴正方向运动，其在
O 点处的初动能为4eV。该质子的电势能Ep随位移x 变化的关系如图所示，其中O~x2段是关
于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线。下列说法正确的是（ ）
A．该质子在O~x2段做匀变速直线运动，在x2~x3段做匀速直线运动
B．该质子在x1处的动能为6 eV
C．若x1、x2、x3处的电势分别为φ1、φ2、φ3，则φ1最高
D．该质子最终停在x3处
【例23】（2025·河北·模拟预测）在纸面内存在电场强度大小
，与x 轴正方
向的夹角为30°的匀强电场。规定O 点电势为零，现将电荷量为+2×10-3C 电荷从O 点沿x 轴
正方向移动，该电荷的电势能Ep与位移x 的关系图像正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【例24】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）长为
的绝缘轻细线一端连接质量为
、电荷量为
的带正电小球，另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的
点，整个空间内存在着平行于桌面
的匀强电场，带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动，俯视图如图甲所示，
为轨
迹圆的一条直径。以
点为起始点，小球运动过程中的电势能
与小球运动的路程之间的
关系如图乙所示，其中
。下列说法正确的是（ ）
A．小球做简谐运动
B．B．从
点到
点电场力对小球不做功
C．小球运动过程中速度的最小值为
D．小球运动过程中所受细线拉力的最大值为
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【例25】（2025·山东·一模）竖直平面内固定有两个电荷量均为
的点电荷，两点电
荷相距0.6m，O 为两点电荷水平连线的中点。一电荷量为
的带电小球自
点开始向下运
动，初动能大小为
，其动能
与位移
的关系如图乙中曲线I 所示，
处为曲线
的最低点，此时动能大小为
。直线II 为计算机拟合的曲线I 的一条渐近线，其斜率大小
为
。已知小球可视为质点，运动过程中电荷量保持不变，空气阻力不计，重力加速
度
，静电力常量
，则（ ）
A．小球的质量为
B．小球的电荷量为
C．下落到
的过程中，小球的加速度先减小后增加
D．下落到
的过程中，小球的电势能增加了约
16
