北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§12.4 统计与统计案例
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021天津新华中学第7次统练,4)2020年12月31日,国务院联防联控机制发布,国药集团中国
生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市,其保护效力达到世界卫生组织及药监局相
关标准要求,现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图(如图)估计该
地接种年龄的中位数为 ( )
A.40 B.39 C.38 D.37
答案 C 由题中的频率分布直方图得接种年龄在[18,36)内的频率为
(0.013+0.023+0.034)×6=0.42,
0.5-0.42
接种年龄在[36,42)内的频率为0.040×6=0.24,故估计该地接种年龄的中位数为36+
0.24
×6=38.故选C.
2.(2021天津南开中学第五次月考,3)棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽
测了50根棉花的纤维长度(单位:mm),其频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图,估计事件
“棉花的纤维长度大于275 mm”的概率为( )
A.0.30 B.0.48 C.0.52 D.0.70
答案 C “棉花的纤维长度大于275 mm”的概率为50×(0.004 0+0.006 4)=0.52,故选C.
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3.(2021陕西宝鸡一模,5)为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作,全面提升学生的体质健
康水平,某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生,测试了立定跳远项目,依据测试
数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远200 cm以上成绩为及格,255 cm以上成绩
为优秀,根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是 ( )
A.87%,3% B.80%,3%
C.87%,6% D.80%,6%
答案 C 由频率分布直方图可得,优秀率为0.003×20×100%=6%,∵1-
(
200-195)
0.003+0.014× ×20=0.87,∴及格率为87%,故选C.
20
4.(2021北京东城一模,3)某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层随机抽样的方法调
查学生的健康状况,在抽取的样本中,高二年级有20人,那么该样本中高三年级的人数为 ( )
年级 人数
高一 550
高二 500
高三 450
合计 1 500
A.18 B.22 C.40 D.60
答案 A 本题考查分层随机抽样,考查学生运用分层随机抽样的方法解决实际问题的能力,渗透
数据分析的核心素养,试题体现应用性.
20 n
设该样本中高三年级的人数为n,则有 = ,解得n=18,故选A.
500 450
5.(2021北京房山一模,5)“十三五”期间,我国大力实施就业优先政策,促进居民人均收入持续增
长.下面统计图反映了2016—2020年全国居民人均可支配收入(单位:元)情况.根据图中提供的信
息,下列判断不正确的是( )
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A.2016—2020年,全国居民人均可支配收入每年都超过20 000元
B.2017—2020年,全国居民人均可支配收入均逐年增加
C.根据图中数据估计,2015年全国居民人均可支配收入可能高于20 000元
D.根据图中数据预测,2021年全国居民人均可支配收入一定大于30 000元
答案 D 对于选项A:由题图可知,2016—2020年,全国居民人均可支配收入每年都超过20 000
元,所以选项A正确.
对于选项B:由题图可知,2017—2020年,全国居民人均可支配收入均逐年增加,所以选项B正确.
对于选项C:由题图可知,2016年全国居民人均可支配收入临近25 000元,上一年也就是2015年全
国居民人均可支配收入可能高于20 000元,所以选项C正确.
对于选项D:由题图可知,2020年全国居民人均可支配收入高于30 000元,下一年也就是2021年
全国居民人均可支配收入可能大于30 000元,说一定大于30 000元太绝对,所以选项D错误.
故选D.
^ ^ ^
6.(2021江西上饶一模,6)根据如下样本数据,得到回归直线方程y=bx+a,则( )
x 3 4 5 6 7 8
y -3.0 -2.0 0.5 -0.5 2.5 4.0
^ ^ ^ ^
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
^ ^ ^ ^
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
^ ^
答案 C 作出散点图(图略),由散点图可知,a<0,b>0,选C.
7.(2021江西五市九校联考,7)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率
x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位:℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观
^
测数据,建立了y关于x的线性回归方程y=0.25x+k.
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x(次数/分钟) 20 30 40 50 60
y(℃) 25 27.5 29 32.5 36
则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时,该地当时的气温预报值为 ( )
A.33 ℃ B.34 ℃ C.35 ℃ D.35.5 ℃
20+30+40+50+60
答案 A x= =40,
5
25+27.5+29+32.5+36
y= =30,
5
因为样本点的中心(x,y)在回归直线上,
^ ^ ^
所以将(40,30)代入y=0.25x+k得30=0.25×40+k,解得k=20,所以y=0.25x+20,当x=52时,y
=0.25×52+20=33.故选A.
二、多项选择题
8.(2021届辽宁锦州渤大附中、育明高中第二次月考,10)PM2.5是衡量空气质量的重要指标,如图
是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位:μg/m3)的折线图,则下列关于这10天中PM2.5日均
值的说法正确的是 ( )
A.众数为30
B.中位数是31
C.平均数小于中位数
D.后4天的方差小于前4天的方差
答案 AD A项,由题图可知30出现的次数最多,所以众数为30.故A项正确.
31+32
B项,将日均值从小到大排列,所以中位数为 =31.5.故B项错误.
2
C项,平均数为
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38+25+17+30+34+126+42+31+32+30
=40.5.
10
因为40.5>31.5,所以平均数大于中位数.故C项错误.
D项,方差判断一组数据的稳定程度,方差越小数据越稳定,由题图可知前4天的数据没有后4天的
数据稳定,所以前4天的方差比后4天的方差大.故D项正确.
9.(2020山东夏季高考模拟,9)下图为某地区2006年—2018年地方财政预算内收入、城乡居民储
蓄年末余额折线图.
根据该折线图可知,该地区2006年—2018年( )
A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同
C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大
答案 AD 本题主要考查学生读图获取信息的能力,考查学生识图能力,分析问题能力,同时考查
数据分析的核心素养.
由题图可知两条折线均在上升,因此A正确;图中两条折线中每条小线段所在直线的斜率均不相
同,且两折线间间隔呈现逐渐增大趋势,差额逐年增长,故B不正确,D正确.从图中可以看出,地方财
政预算内收入年平均增长量小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量.
10.(2021届五省新高考联合质量检测12月联考,10)2020年上半年受疫情影响,我国居民人均消费
支出情况也受到了影响,现统计出2015—2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示,则
下列说法正确的是 ( )
A.从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少
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B.若2020年下半年居民消费水平与上半年相当,则全年消费与2018年基本一致
C.若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20%,则全年消费支出将超过2019年
D.随着疫情被有效控制,若2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高,则居民人均消费支出
较2019年减少不会超过10%
答案 BD A显然错误;9 718×2=19 436(元),因此,2020年全年消费与2018年基本一致,B正确;
9 718×2.2=21 379.6<21 559,因此,2020年全年消费不会超过2019年,C错误;
21 559-9 718×2
×100%≈9.8%,不会超过10%,D正确.
21 559
11.(2021届山东济南外国语学校月考,10)下列说法正确的是 ( )
A.将一组数据中的每个数据都乘同一个非零常数a后,方差变为原来的a倍
^
B.设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ>1)=0.5
答案 BD 对于选项A:将一组数据中的每个数据都乘同一个非零常数a后,方差变为原来的a2
倍,故A中说法错误.
^
对于选项B:设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位,故B中说法正
确.
对于选项C:线性相关系数|r|越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱,故C中说法
错误.
对于选项D:在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则正态曲线关于直线x=1对称,
所以P(ξ>1)=0.5,故D中说法正确.故选BD.
三、填空题
12.(2021江西南昌六校联考,15)在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控
制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感
染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各个选项中,一定符合上述指标的是
.
①平均数x≤3;②标准差s≤2;③平均数x≤3且标准差s≤2;
④平均数x≤3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于4.
答案 ④⑤
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解析 ①错,举反例:0,0,0,0,0,0,7,其平均数x≤3,但不符合指标;
②错,举反例:7,7,7,7,7,7,7,其标准差s=0≤2,但不符合指标;
③错,举反例:0,3,3,3,3,3,6,其平均数x≤3且标准差s≤2,但不符合指标;
④对,若极差小于或等于2,有可能(1)0,1,2;(2)1,2,3;
(3)2,3,4;(4)3,4,5;(5)4,5,6,
在平均数x≤3的条件下,只有(1)(2)(3)成立,符合指标;
⑤对,在众数等于1且极差小于或等于4,则最大数不超过5,符合指标,所以填④⑤.
13.(2021北京平谷质量监控,15)从2008年京津城际铁路通车运营开始,高铁在过去几年里快速发
展,并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程
数的折线图(图中的数据均是每年12月31日的统计结果).
根据上述信息,有下列结论:
①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;
②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010年到2013年高铁运营里程平均增长率;
③从2010年至2016年,新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;
④从2010年至2016年,新增高铁运营里程数逐年递增.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ②③
解析 本题考查折线统计图,考查学生运用统计的知识分析与解决实际问题的能力,渗透数据分析
的核心素养,试题体现应用性.
对于①,看2014年,2015年对应的纵坐标之差,小于2-1.5=0.5,①错误;
对于②,连线看斜率即可,2013年到2016年两点连线斜率更大,②正确;
对于③,看哪两点纵坐标之差最大,③正确;
对于④,看相邻纵坐标之差是否逐年增加,显然不是,有增有减,④错误.
故填②③.
14.(2021安徽合肥质检,14)在文明城市创建过程中,某市创建办公室对市区内从事小吃、衣帽、果
蔬、玩具等6类商户数进行了统计并绘成如图所示的条形统计图,对商户进行了文明城市知识教
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育培训.2021年年初,该市创建办公室计划从2 000户商户中,按照商户类型进行分层抽样,随机抽
取100户进行文明城市知识教育培训效果调查,则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别为
.
答案 25,15
100 1
解析 共有2 000户,需要抽取100户,故抽取的比例为 = ,
2 000 20
由题中条形统计图可知,衣帽类有500户,果蔬类有300户,
1 1
则衣帽类抽取的户数为500× =25,果蔬类抽取的户数为300× =15.
20 20
15.(2021天津南开中学统练(23),10)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都
在50到350度之间,频率分布直方图如图所示,则用电量低于150度的户数为 .
答案 30
解析 由频率分布直方图得,用电量低于150度的频率为(0.002 4+0.003 6)×50=0.3,
∴用电量低于150度的户数为100×0.3=30.
四、解答题
16.(2021河南3月适应性测试,19)直播带货是扶贫助农的一种新模式,这种模式是利用主流媒体的
公信力,聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条,切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困
地区有统计数据显示.2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1
所示.一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示.若将销售主播按照年龄分为“年轻人”
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(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或
6次以上的称为“经常使用直播销售用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播
5
销售用户”,则“经常使用直播销售用户”中有 是“年轻人”.
6
直播销售主播年龄等级分布
图1
直播销售使用频率分布
图2
(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法,抽
取一个容量为200的样本,请你根据图中的数据,完成2×2列联表,并根据列联表判断是否有85%
的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关;
使用直播销售情况与年龄列联表
年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
(2)某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上,现有两
种销售方案供选择.
方案一:线下销售.根据市场调研,利用传统的线下销售,到年底可能获利30%,可能亏损15%,也可能
7 1 1
不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 , , ;
10 5 10
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方案二:线上直播销售.根据市场调研,利用线上直播销售,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可
3 3 1
能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 , , .
5 10 10
针对以上两种销售方案,请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案,并说明理由.
参考数据:独立性检验临界值表
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
0
n(ad-bc)2
其中,K2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
解析 (1)由题图1知,“年轻人”占比为80%,“非年轻人”占比为20%.
由题图2知,“经常使用直播销售用户”占比为60%,“不常使用直播销售用户”占比为40%.
∴补全的列联表如下:
年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户 100 20 120
不常使用直播销售用户 60 20 80
合计 160 40 200
200×(100×20-60×20)2 25
∴K2= = ≈2.083>2.072,即有85%的把握认为经常使用网络直播
120×80×160×40 12
销售与年龄有关.
(2)若按方案一,设获利X 万元,可取的值为300,-150,0.X 的分布列为
1 1
X 300 -150 0
1
7 1 1
P
10 5 10
7 1 1
E(X)=300× +(-150)× +0× =180,
1 10 5 10
7 1 1 7 1 1
D(X)=(300-180)2× +(-150-180)2× +(0-180)2× =1202× +3302× +1802× =35 100.
1 10 5 10 10 5 10
∴X 的期望E(X)=180,方差D(X)=35 100.
1 1 1
若按方案二,设获利X 万元,则X 可取的值为500,-300,0.X 的分布列为
2 2 2
X 500 -300 0
2
3 3 1
P
5 10 10
3 3 1
E(X)=500× +(-300)× +0× =210,
2 5 10 10
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3 3 1 3 3 1
D(X)=(500-210)2× +(-300-210)2× +(0-210)2× =2902× +5102× +2102× =132 900.
2 5 10 10 5 10 10
∴X 的期望E(X)=210,方差D(X)=132 900.
2 2 2
∵E(X)=180<E(X)=210,D(X)=35 100<D(X)=132 900,
1 2 1 2
∴从获利的均值方面看方案二线上直播销售获得的利润更多些,但是,方案二的方差要比方案一的
方差大得多,从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥.
∴从获利角度考虑,应该选择方案二;从规避风险角度考虑,应该选择方案一.
17.(2021安徽合肥质检,19)人类已经进入大数据时代.目前,数据量级已经从TB(1TB=1 024GB)级
别跃升到PB(1PB=1 024TB),EB(1EB=1 024PB)乃至ZB(1ZB=1 024EB)级别.国际数据公司(IDC)
研究结果表明,2008年全球产生的数据量为0.49ZB,2009年数据量为0.8ZB,2010年增长到
1.2ZB,2011年数据量更是高达1.82ZB.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的
数据量(单位:ZB)及相关统计量的值:
a 2014 2015 2016 2017 2018 2019
序号x 1 2 3 4 5 6
年数据量y 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
6 6 6 6
x y z ∑ x ∑ z ∑ x y ∑ x z
(xi- )2 (zi- )2 (xi- )(yi- ) (xi- )(zi- )
i=1 i=1 i=1 i=1
3.5 21.15 2.85 17.5 13.82 125.35 6.73
1 6
表中z=ln y,z= ∑z.
i i 6 i
i=1
(1)根据上表数据信息判断,方程y=c 1 ·ec 2 x(e是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量
y关于年份序号x的回归方程类型,试求此回归方程(c 精确到0.01);
2
(2)有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据(1)中的回归方程,说明这
种判断是否准确,并说明理由.
^ ^ ^ ^
参考数据:e4.56≈95.58,e4.58≈97.51,回归方程y=a+bx中,b=
n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y
i i i i
i=1 =i=1
,a
^
=y-b
^
x.
n n
∑(x -x)2 ∑x2-nx2
i i
i=1 i=1
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6
∑(x -x)(z -z)
i i 6.73
解析 (1)由y=c 1 ·ec 2 x 得ln y=c 2 x+ln c 1 ,即z=c 2 x+ln c 1 ,∴c 2 = i= 6 1 = 17.5 ≈0.38.
∑(x -x)2
i
i=1
又∵z=c x+ln c,0.38×3.5+ln c=2.85,ln c=1.52.
2 1 1 1
∴ln y=0.38x+1.52,即y=e0.38x+1.52为所求的回归方程.
95.58
(2)根据(1)知回归方程为y=e0.38x+1.52.当x=8时,y=e0.38×8+1.52≈95.58, ≈52.52.
1.82
据此可以判断2021年全球产生的数据量超过2011年的50倍,因此,这种判断是准确的.
思路分析 (1)将函数两边同时取自然对数,变形为ln y=cx+ln c,即z=cx+ln c,利用题中的数据
2 1 2 1
以及公式进行求解即可得到答案;
(2)由(1)中的回归方程,令x=8,求出y的值,然后进行判断即可.
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18.(2021四川成都二诊,18)某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值
逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”.某种机械设备的
使用年限x(单位:年)与失效费y(单位:万元)的统计数据如下表所示:
使用年限x(单位:年) 1 2 3 4 5 6 7
失效费y(单位:万元) 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90
(1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;(精确到0.01)
(2)求出y关于x的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费.
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
参考公式:相关系数r= .
√ n n
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
n
∑(x -x)(y - y)
i i
线性回归方程y
^
=b
^
x+a
^
中斜率和截距最小二乘估计计算公式:b
^
=
i=1
,a
^
=y-b
^
x.
n
∑(x -x)2
i
i=1
7 7
参考数据:∑(x-x)(y-y)=14.00,∑(y-y)2=7.08,√198.24≈14.10.
i i i
i=1 i=1
1+2+3+4+5+6+7
解析 (1)由题意,知x= =4,
7
2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90
y= =4.30,
7
7
∑(x-x)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,
i
i=1
14.00 14.00 14.00
∴r= = ≈ ≈0.99.
√28×7.08 √198.24 14.10
因为y与x的相关系数近似为0.99,所以y与x的线性相关程度相当大,从而可以用线性回归模型
拟合y与x的关系.
7
∑(x -x)(y - y)
^ i=1 i i 14
(2)∵b = = =0.5,
7 28
∑(x -x)2
i
i=1
^ ^
∴a=y-bx=4.3-0.5×4=2.3.
^
∴y关于x的线性回归方程为y=0.5x+2.3.
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^
将x=10代入线性回归方程,得y=0.5×10+2.3=7.3.
∴估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元.
19.(2021吉林调研测试,18)2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年,面对新冠肺炎
疫情和严重洪涝灾害的考验,党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇,全党全社会勠力同心
真抓实干,取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土
地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如下表所示:
土地使用面积x(单位:
1 2 3 4 5
亩)
管理时间y(单位:月) 8 11 14 24 23
并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管
不愿意参与管理
理
男性村民 140 60
女性村民 40
(1)作出散点图,判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关;并根据相关系数r说明相关关系
的强弱;(若|r|≥0.75,则认为两个变量有很强的线性相关性,r的值精确到0.001)
(2)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该贫困县的情况,且每位村民参与管理的意
愿互不影响,则从该贫困县村民中任取3人,记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X,求X
的分布列及数学期望.
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
参考公式:r= .
√ n n
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
5
参考数据:y=16,∑(y-y)2=206,√515≈22.7.
i
i=1
解析 (1)散点图如图.
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由散点图可知,管理时间y与土地使用面积x线性相关.
1+2+3+4+5
依题意得x= =3,又y=16,
5
5
∑(x-x)(y-y)=(-2)×(-8)+(-1)×(-5)+0×(-2)+1×8+2×7=43,
i i
i=1
5
∑(x-x)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,
i
i=1
5
∑(y-y)2=206,
i
i=1
n
∑(x -x)(y - y)
i i 43 43 43 43
i=1
则r= = = ≈ = ≈0.947,
√ n n √10×206 2√515 2×22.7 45.4
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
由于0.947>0.75,故管理时间y与土地使用面积x线性相关性较强.
(2)由题知调查的300名村民中不愿意参与管理的女性村民人数为300-(140+40+60)=60.
60 1
该贫困县中任选一人,取到不愿意参与管理的女性村民的概率为 = ,X的所有可能取值为
300 5
0,1,2,3,
P(X=0)=C0×
(4) 3
=
64
,P(X=1)=C1×
1
×
(4) 2
=
48
,
3 5 125 3 5 5 125
P(X=2)=C2×
(1) 2
×
4
=
12
,P(X=3)=C3×
(1) 3
=
1
,
3 5 5 125 3 5 125
也可以写如下形式:
X~B
( 3, 1) ,P(X=k)=Ck
×
(1) k
×
(4) 3-k
,k=0,1,2,3
5 3 5 5
X的分布列为
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X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125125125125
64 48 12 1 3
E(X)=0× +1× +2× +3× = .
125 125 125 125 5
( 1 3)
或E(X)=np=3× =
5 5
20.(2021河南顶级名校联考,19)某地的一个黄金楼盘售楼中心统计了2020年1月到5月来本楼盘
看楼的人数,得到如下的相关数据.其中“x=1”表示1月份,“x=2”表示2月份,依此类推;y表示
人数:
x 1 2 3 4 5
y(百人) 20 50 100 150 180
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测从几月开始,来该楼盘看楼的人数能
超过30 000;
(2)该楼盘为了吸引购楼者,特别推出“玩掷硬币游戏,送购楼券”活动,购楼者可根据抛掷硬币的
结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则购楼者可获得购楼
券5 000元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则购楼者可获得购楼券2 000元,已知抛掷一枚均
匀的硬币,出现正面(印有中国人民银行)朝上与反面朝上的概率是相等的,方格图上标有第0格、
第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格,购楼者每抛掷一次硬币,遥控车向前移动一
次.若正面朝上,遥控车向前移动一格(从k到k+1),若反面朝上,遥控车向前移动两格(从k到k+2),
直到遥控车移到第19格(胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束.设遥控车移到第
n(1≤n≤19)格的概率为P,试证明{P-P }是等比数列,并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5 000
n n n-1
元的概率.
n
∑x y -nx y
i i
附:线性回归方程中的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为b
^
=
i=1
,a
^
=y-b
^
x.
n
∑x2-nx2
i
i=1
1+2+3+4+5 20+50+100+150+180
解析 (1)由题意知x= =3,y= =100,
5 5
5
∑xy=1×20+2×50+3×100+4×150+5×180=1 920,
i i
i=1
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5
∑x2 =12+22+32+42+52=55,
i
i=1
5
∑x y -5x y
i i 1 920-5×3×100
则b ^ = i=
5
1 =
55-5×32
=42,从而a ^ =y-b ^ x=100-42×3=-26,
∑x2-5x2
i
i=1
^
所以所求线性回归方程为y=42x-26.
^
令y=42x-26>300,x为正整数,所以x≥8,
故预计从8月份开始,来该楼盘看楼的人数能超过30 000.
(2)遥控车开始在第0格为必然事件,所以P=1,
0
1 1
若第一次掷硬币正面朝上,则遥控车移到第一格,其概率为 ,即P= ,遥控车移到第n(2≤n≤19)格
2 1 2
的情况有且只有两种:
1
①遥控车先移到第(n-1)格,又掷出正面朝上,其概率为 P ;
2 n-1
1
②遥控车先移到第(n-2)格,又掷出反面朝上,其概率为 P ,
2 n-2
1 1 1
所以P= P + P ,所以P-P =- (P -P ),
n 2 n-1 2 n-2 n n-1 2 n-1 n-2
1
又P-P=- ,
1 0 2
1 1 ( 1) n
所以当1≤n≤19时,数列{P-P }是首项为- ,公比为- 的等比数列,所以P-P = - ,
n n-1 2 2 n n-1 2
所以P =P+(P-P)+(P-P)+(P-P)+…+(P -P )
19 0 1 0 2 1 3 2 19 18
[ ( 1) 20]
1× 1- -
( 1) ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 19 2
=1+ - + - + - +…+ - =
2 2 2 2
( 1)
1- -
2
2[ ( 1) 20] 2[ (1) 20]
= 1- - = 1- ,
3 2 3 2
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2[ (1) 20]
所以购楼者参与游戏一次获得购楼券5 000元的概率为 1- .
3 2
21.(2021北京房山一模,18)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛中的一个项目,进入决赛阶段的12
名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行,裁判员根据运动员的腾空高度、
完成的动作难度和效果进行评分,最终取单次最高分作为比赛成绩.
现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U形池世界杯分站比赛成绩如下表:
运动员甲的三次滑行
运动员乙的三次滑行成绩
成绩
分站
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立.
(1)从5站中随机选取1站,求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率;
(2)从5站中任意选取2站,用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数,求X的分布列和数学
期望;
(3)假如从甲、乙二人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U形池比赛,根据以上数据信
息,你推荐谁参加?并说明理由.
1
注:方差s2= [(x-x)2+(x-x)2+…+(x-x)2],其中x为x,x,…,x 的平均数.
n 1 2 n 1 2 n
解析 本题考查古典概型的概率、随机变量的分布列、随机变量的期望、样本的方差,考查学生
综合运用所学的概率与统计的知识分析与解决实际问题的能力,渗透数据分析的核心素养,试题体
现应用性.
(1)由题意可知,甲、乙二人在5站中最好的成绩依次为
甲:86.20,92.80,87.50,89.50,86.00;
乙:88.40,88.60,89.10,88.20,87.70.
C1
2
2
所以5站中随机选取1站,在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为 = .
C1 5
5
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C2
3
C1C1
3
C2
3 3 2 2
(2)由题意可得,X的所有可能取值为0,1,2,所以P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= =
C2 10 C2 5 C2
5 5 5
1
,
10
所以X的分布列为
X 0 1 2
3 3 1
P
10 5 10
3 3 1 4
数学期望为E(X)=0× +1× +2× = .
10 5 10 5
(3)由(1)可知,
甲:86.20,92.80,87.50,89.50,86.00;
乙:88.40,88.60,89.10,88.20,87.70.
所以甲的平均成绩为88.4,乙的平均成绩也为88.4,
1
甲的方差为 ×[(86.20-88.40)2+(92.80-88.40)2+(87.50-88.40)2+(89.50-88.40)2+(86.00-88.40)2]=6.396
5
0,
1
乙的方差为 ×[(88.40-88.40)2+(88.60-88.40)2+(89.10-88.40)2+(88.20-88.40)2+(87.70-88.40)2]=0.212
5
0,
所以乙的成绩更稳定,故推荐乙参加.
解题方法 (1)用古典概型概率公式求解;(2)分别求出X的所有可能取值所对应的概率,然后列出
分布列并计算数学期望;(3)计算平均数与方差,根据方差的性质进行回答.
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