北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§4.2 三角恒等变换
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京门头沟一模,8)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于
2√5
x轴对称.若cos α= ,则cos(α-β)= ( )
5
3 3 3
A.- B. C.1 D.
5 5 4
2√5
答案 B 由题意可知α=-β+2kπ,k∈Z,∴cos α=cos β,sin α=-sin β,又cos α= ,∴cos(α-β)=cos
5
4 3
αcos β+sin α·sin β=cos2α-sin2α=2cos2α-1=2× -1= .故选B.
5 5
思路分析 根据角α与角β的终边关于x轴对称可知cos α与cos β,sin α与sin β的关系,再利用
两角差的余弦公式展开求解,由于只给出cos α的值,为避免讨论角所在的象限,故化为只含cos α
的式子求解.
2.(2021内蒙古赤峰二中第二次月考,8)若0<α<π,-π<β<0,cos(π )=1,cos(π β)=√3,则
+α -
2 2 4 3 4 2 3
cos( β)= ( )
α+
2
5√3 √3 7√3 √6
A. B.- C. D.-
9 3 27 9
答案 A ∵0<α<π,-π<β<0,∴π<π+α<3π,π<π-β<π,故由题目条件可得sin(π )=2√2
+α
2 2 4 4 4 4 4 2 2 4 3
,sin(π β)=√6,
-
4 2 3
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cos( β)=cos[(π ) (π β)]
α+ +α - -
2 4 4 2
=cos(π )cos(π β)+sin(π )sin(π β)
+α - +α -
4 4 2 4 4 2
1 √3 2√2 √6 5√3
= × + × = .故选A.
3 3 3 3 9
方法总结 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角
之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之
间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮
助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.
3.(2021天一大联考第三次“顶尖计划”,9)已知α∈(π )且tan( π)=-1,则
,π 2α+
2 4 7
sin2α-cos2α
的值为( )
1+cos2α
3 3
A.- B.-1 C.1 D.
2 2
π
tan2α+tan
( π) 1 4 1 tan2α+1 1 4
答案 B 由tan 2α+ =- 得 =- ,得 =- ,解得tan 2α=- ,则
4 7 π 7 1-tan2α 7 3
1-tan2αtan
4
2tanα =-4,解得tan α=-1(tan α=2舍去).则sin2α-cos2α=2sinαcosα-cos2α=tan α-
1-tan2α 3 2 1+cos2α 2cos2α
1
=-1.
2
4.(2021安徽皖南八校第一次模拟,10)已知α∈( π),sin α+2cos α=√10,tan α=1+sinβ,则tan
0,
2 2 cosβ
β
= ( )
2
1 3
A. B. C.2 D.3
2 2
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答案 A 由(sin α+2cos α)2=(√10) 2 得sin2α+4cos2α+4sin α·cos α=5,由sin2α+cos2α=1可知,5=
2 2 2
sin2α+4cos2α+4sinαcosα=tan2α+4tanα+4,即3tan2α-8tan
α-3=0,解得tan α=3或tan
sin2α+cos2α tan2α+1
α=-1,因为α∈( π),所以tan α=3,
0,
3 2
( β β) 2 β β β
sin +cos sin +cos tan +1
1+sinβ 2 2 2 2 2 β β
所以tan α= = = = =3.所以tan +1=3-3tan ,
cosβ β β β β β 2 2
cos2 -sin2 cos -sin 1-tan
2 2 2 2 2
β
即4tan =2,
2
β 1
所以tan = ,故选A.
2 2
5.(2021吉林长春联合模拟,9)已知sin( 5x- π)-2sin 3x·cos 2x-π =2 ,则cos( 2x- π)= (
3 3 3 3
)
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
9 9 3 3
答案 B 因为sin( π)=sin( π)=sin 3x·cos( π)+cos 3xsin( π),所
5x- 3x+2x- 2x- 2x-
3 3 3 3
以sin(
5x-
π)-2sin 3x·cos(
2x-
π)=-sin 3xcos(
2x-
π)+cos 3xsin 2x-π =sin
3 3 3 3
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(
2x-
π
-3x
)=sin(
-x-
π)=-sin(
x+
π)=2 ,所以sin(
x+
π)=-2 ,所以cos(
2x-
π)=cos 2
3 3 3 3 3 3 3
x+π -π =-cos[
2
(
x+
π)]=2sin2(
x+
π)-1=2×(
-
2) 2 -1=-1 ,故选B.
3 3 3 3 9
sinα tanα
6.(2021河南新乡二模,10)设α,β均为锐角,且cos(α+β)+cos(α-β)= ,则 的最大值是
sinβ 2+sin2β
( )
1 √6
A. B.
6 6
√6
C.6 D.
3
sinα sinα tanα
答案 B 由cos(α+β)+cos(α-β)= ,得2cos αcos β= ,即tan α=2sin βcos β,故
sinβ sinβ 2+sin2β
2
2sinβcosβ 2 √6 3sinβ 2cosβ
= =3sinβ 2cosβ ≤ = (α,β均为锐角),当且仅当 = ,
3sin2β+2cos2β + 2√6 6 cosβ sinβ
cosβ sinβ
√6 tanα √6
即tan β= 时等号成立.故 的最大值是 .
3 2+sin2β 6
7.(2021江西南昌NCS20210607项目一模,10)已知sin 5π-2x =cos(
x-
π),则sin(2
π-x
)=(
6 6 3
)
1 1 √3 √3
A.- 或1 B. 或-1 C.- 或1 D. 或-1
2 2 2 2
答案 A 因为sin(5 π-2x )=cos( x- π),且cos x-π =sin[π - ( x- π)]=sin(2π -x ),
6 6 6 2 6 3
所以sin(5 )=sin(2 ),则2π-x=5π-2x+2kπ(k∈Z)或2π-x+5π-2x=π+2kπ(k∈Z),即x=
π-2x π-x
6 3 3 6 3 6
π π 2kπ
+2kπ(k∈Z)或x= - (k∈Z).
6 6 3
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当x=π+2kπ(k∈Z)时,sin(2
π-x
)=sin 2π-π-2kπ =sin(π
-2kπ
)=sinπ=1;当x=π-2kπ
6 3 3 6 2 2 6 3
(k∈Z)时,sin(2
π-x
)=sin(2
π-
π
+
2kπ)=sin π+2kπ =cos2kπ
,
3 3 6 3 2 3 3
当k=3n(n∈Z)时,cos2kπ=cos(2nπ)=1;当k=3n+1(n∈Z)时,cos2kπ=cos( 2 )=cos2π=-1;
2nπ+ π
3 3 3 3 2
当k=3n+2(k∈Z)时,cos2kπ=cos( 4 )=cos4π=- 1.
2nπ+ π
3 3 3 2
综上可知,sin(2π )=1或-1,故选A.
-x
3 2
π 1 4
8.(2021河南顶级名校3月联考,7)已知锐角α、β满足α+β= ,则 + 的最小
6 sinαcosβ cosαsinβ
值为( )
A.20 B.18 C.16 D.12
π 1
答案 B 因为α+β= ,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos α·sin β= ,所以2sin αcos β+2cos αsin
6 2
β=1,
因为α、β为锐角,所以sin αcos β>0,cos αsin β>0,所以
1 + 4 =( 1 4 )(2sin αcos β+2cos αsin β)
+
sinαcosβ cosαsinβ sinαcosβ cosαsinβ
2cosαsinβ 8sinαcosβ
=2+ + +8
sinαcosβ cosαsinβ
√2cosαsinβ 8sinαcosβ
≥10+2 · =18,
sinαcosβ cosαsinβ
1
当且仅当cos αsin β=2sin αcos β= 时取等号.
3
故所求最小值为18.
解题关键 ①利用两角和的正弦公式得2sin αcos β+2cos αsin β=1;②对所求表达式进行“1”
的代换,构造积为定值,这是解决本题的两个关键点.
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二、多项选择题
1
9.(2021届福建厦门外国语学校10月月考,9)下列各式中值为 的是 ( )
2
A.2sin 75°cos 75°
π
B.1-2sin2
12
C.sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°
D.tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°
1
答案 AC 对于A,2sin 75°cos 75°=sin 150°= ,
2
π π √3
对于B,1-2sin2 =cos = ,
12 6 2
1
对于C,sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin 30°= ,对于D,tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan
2
25°=tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=1.故选AC.
三、填空题
10.(2021北京丰台二模,11)函数f(x)=sin x+cos x的值域为 .
答案 [-√2,√2]
解析 ∵f(x)=sin x+cos x= sin( π),x∈R,∴f(x)的值域为[- , ].
√2 x+ √2√2
4
11.(2021天津一中月考,6)已知sin α=2√2,cos(α+β)=-1,且α,β∈( π),则sin β= .
0,
3 3 2
4√2
答案
9
解析 ∵sin α=2√2,α∈( π),∴cos α= =1,∵α,β∈( π),∴α+β∈(0,π),
0, √1-sin2α 0,
3 2 3 2
1 2√2
又cos(α+β)=- ,∴sin(α+β)=√1-cos2(α+β)= .
3 3
则sin β=sin [(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=2√2×1-( 1)×2√2=4√2.故答案为4√2.
-
3 3 3 3 9 9
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12.(2021浙江绍兴新昌高三上期末,12)已知cos(π+θ)=1,θ∈[0,π],则sin θ= ,tan( π)=
θ+
3 4
.
2√2 4√2-9
答案 ;
3 7
1 1
解析 由cos(π+θ)=-cos θ= ,得cos θ=- .
3 3
2√2
因为θ∈[0,π],所以sin θ=√1-cos2θ= ,
3
sinθ
所以tan θ= =-2√2,
cosθ
所以tan( π)=tanθ+1=-2√2+1=4√2-9.
θ+
4 1-tanθ 1+2√2 7
13.(2021浙江新高考研究卷(一),13)已知sin α+cos α=1,α∈(π ),则sin 2α= ;cos
,π
5 2
( π)= .
2α-
4
24 31√2
答案 - ;-
25 50
4
{ 1 { sinα= ,
解析 因为α∈(π ),所以sin α>0,cos α<0,由 sinα+cosα= , 解得 5
,π 5
2 3
sin2α+cos2α=1, cosα=- ,
5
24 7
所以sin 2α=2sin αcos α=- ,cos 2α=cos2α-sin2α=- .
25 25
cos( π)=cos 2αcosπ+sin 2αsinπ=-31×√2=-31√2.
2α-
4 4 4 25 2 50
14.(2020广东深圳第二次教学质量检测,13)若tan(2α+β)=5,tan(α+β)=4,则tan α= .
1
答案
21
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tan(2α+β)-tan(α+β)
解析 依题意,得tan α=tan[(2α+β)-(α+β)]= ,将
1+tan(2α+β)tan(α+β)
5-4 1
tan(2α+β)=5,tan(α+β)=4代入,原式= = .
1+5×4 21
15.(2020江苏南通一模,9)已知x∈( π),tan( π)=-3,则2sin(π-x)+sin2x= .
0, x+
2 4 1+cosx
4√5
答案
5
解析 本题考查了两角和的正切函数公式,同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦公式在三角函
数化简求值中的应用,考查了转化思想.
∵tan( π)=1+tanx=-3,∴tan x=2,即sin x=2cos x,
x+
4 1-tanx
∴sin2x+cos2x=(2cos x)2+cos2x=5cos2x=1,
又∵x∈( π),∴cos x=√5,sin x=2√5.∴2sin(π-x)+sin2x=2sinx+2sinxcosx=
0,
2 5 5 1+cosx 1+cosx
2sinx(1+cosx) 4√5
=2sin x= .
1+cosx 5
四、解答题
16.(2021安徽五校联考,17)在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边作两个钝角α,β,它们
3√10 √2
的终边分别与单位圆交于点A,B.已知点A,B的横坐标分别为- ,- .
10 10
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求2α-β的值.
3√10 √2
解析 (1)因为点A,B的横坐标分别为- ,- ,
10 10
3√10 √2
所以结合三角函数的定义得cos α=- ,cos β=- .
10 10
因为α,β均为钝角,
√10 7√2
所以sin α=√1-cos2α= ,sin β=√1-cos2β= ,
10 10
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所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=( 3√10)×( √2)+√10×7√2=√5.
- -
10 10 10 10 5
(2)解法一:由(1)得sin 2α=2sin αcos α=-3,cos 2α=cos2α-sin2α=4,因为α∈(π ),所以
,π
5 5 2
2α∈(π,2π),
又sin 2α<0,cos 2α>0,所以2α∈(3 ).
π,2π
2
又β∈(π ),所以2α-β∈(π 3 ).
,π , π
2 2 2
又sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=( 3)×( √2)-4×7√2=-√2,所以2α-β=5π.
- -
5 10 5 10 2 4
解法二:因为α,β∈(π ),cos α=-3√10<cos β=-√2,
,π
2 10 10
π π
所以 <β<α<π,所以0<α-β< ,
2 2
2√5
结合(1)知sin(α-β)=√1-cos2(α-β)= ,
5
所以sin(2α-β)=sin[(α-β)+α]=sin(α-β)cos α+cos(α-β)sin α=2√5×( 3√10)+√5×√10=-√2.
-
5 10 5 10 2
因为0<α-β<π,π<α<π,所以2α-β∈(π 3 ),
, π
2 2 2 2
5
所以2α-β= π.
4
17.(2021浙江“超级全能生”3月模拟,18)已知锐角△ABC中,asin A+√3bsin C=csin C+bsin B.
(1)求A;
(2)求sin B+cos C的取值范围.
解析 (1)由正弦定理和已知得a2=b2+c2-√3bc①,
又a2=b2+c2-2bccos A②,
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联立①②得cos A=√3.又A∈( π),所以A=π,
0,
2 2 6
(2)sin B+cos C=sin B-cos(B+A)
=sin B-( π π)
cosBcos -sinBsin
6 6
=3sin B-√3cos B= sin( π).
√3 B-
2 2 6
因为△ABC为锐角三角形,
π π π
所以0<B< ,0<C< ,又A= ,
2 2 6
π π π π π
所以 <B< ,所以 <B- < ,
3 2 6 6 3
所以1<sin( π)<√3.
B-
2 6 2
故sin B+cos C的取值范围为(√3 3).
,
2 2
1
18.(2021浙江杭州二模,18)设函数f(x)=√3sin xcos x+sin2x- .
2
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若A∈( π π), f(A)=1,求cos( 5π)的值.
, 2A-
12 3 3 6
解析 (1)f(x)= sin xcos x+sin2x-1=√3sin 2x-1·cos 2x=sin( π),
√3 2x-
2 2 2 6
π π π
令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,
2 6 2
π π
解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
6 3
故函数f(x)的单调递增区间为[ π π ](k∈Z).
- +kπ, +kπ
6 3
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(2)由(1)可得f(A)=sin( π)=1.
2A-
6 3
∵A∈( π π),∴2A-π∈( π),
, 0,
12 3 6 2
∴cos( 2A- π)=√ 1-sin2( 2A- π)=2√2.
6 6 3
因此,cos(
2A-
5π)=cos[(
2A-
π)
-
2π]=cos(
2A-
π)·cos2π+sin(
2A-
π)sin2π=
6 6 3 6 3 6 3
√3-2√2
.
6
19.(2021浙江新高考研究卷(一),18)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin2C-
sin2B=sin2A-√3sin Asin B.
(1)求角C的大小;
(2)求sin A+cos B+tan C的取值范围.
解析 (1)因为sin2C-sin2B=sin2A-√3sin Asin B,
所以由正弦定理得c2-b2=a2-√3ab,
a2+b2-c2 √3
所以由余弦定理的推论得cos C= = .
2ab 2
π π
因为0<C< ,所以C= .
2 6
π
(2)因为在锐角△ABC中,C= ,
6
π
{ 0<A< ,
2
所以 π 得π<B<π.
0<B< ,
2 3 2
5π
A+B= ,
6
√3
sin A+cos B+tan C=sin(B+C)+cos B+
3
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=√3sin B+3cos B+√3= sin( π)+√3.
√3 B+
2 2 3 3 3
因为π<B<π,所以2π<B+π<5π,所以1<sin( π)<√3,所以5√3<sin A+cos B+tan C<3+
B+
3 2 3 3 6 2 3 2 6 2
√3
.
3
即sin A+cos B+tan C的取值范围是(5√3 3 √3).
, +
6 2 3
12 / 12
