北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§7.2 简单的线性规划
— 专题检测 —
一、单项选择题
{x+2≥ y,
1.(2021四川南充二模,6)已知实数x,y满足 x≤2, 若z=x+my(m>0)的最大值为10,则m= (
y-1≥0.
)
A.1 B.2 C.3 D.4
{ x=2,
答案 B 在平面直角坐标系中,作出可行域,如图中阴影部分所示,由 解得
x+2= y,
1 z 1 z
A(2,4),z=x+my(m>0)可化为y=- x+ ,由图可知,当直线y=- x+ 过点A时,直线在y轴上的截距
m m m m
最大,z取得最大值10,即2+4m=10,解得m=2,故选B.
{
x- y+2≥0,
2.(2021河南中原名校联盟4月联考,8)设x,y满足约束条件 x+2y-6≤0,若z=ax+y取得最大值
x-2y≤0,
的最优解不唯一,则实数a的值是 ( )
1 1 1
A. B.-1 C. 或-1 D.- 或1
2 2 2
答案 C 画出可行域(如图中阴影部分),由z=ax+y,得y=-ax+z,所以z的几何意义是直线y=-ax+z
在y轴上的截距.z取最大值时的最优解不唯一,则直线y=-ax+z与直线x-y+2=0平行或与直线
1 1
x+2y-6=0平行,∴-a=1或-a=- ,∴a=-1或a= .
2 2
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{x+2y-4≤0,
3.(2021河南安阳二模,8)已知x,y满足约束条件 2x- y+2≤0,则z=ax+y(a为常数,且1<a<3)的
3x+ y+3≥0,
最大值为( )
A.-a B.2a C.-2a+3 D.2
答案 D 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z=ax+y可化为y=-ax+z,结合图
可知,直线y=-ax+z过直线2x-y+2=0与直线x+2y-4=0的交点A(0,2)时,z取得最大值,z =0+2=2.
max
4.(2021安徽合肥二模,11)已知f(x)=ex-e-x-sin 2x,单调递增等差数列{a}满足f(a-3)≤0, f(4a)+f(7-
n 2 1
a)≥0,则a 的取值范围是 ( )
2 3
A.(0,3] B.(0,7)
C.( 7 ] D.( 7 ]
- ,3 - ,7
3 3
答案 D 因为f(x)=ex-e-x-sin 2x,所以f '(x)=ex+e-x-2cos 2x≥0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-x)=e-x-
ex-sin(-2x)=-(ex-e-x-sin 2x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,由f(a-3)≤0=f(0),可得a-3≤0,由f(4a)+f(7-a)≥0,
2 2 1 2
{a +d-3≤0,
1
知f(4a)≥-f(7-a)=f(a-7),可得4a≥a-7,设{a}的公差为d,则有a=a+2d, 画出不等
1 2 2 1 2 n 3 1 3a -d+7≥0,
1
d>0,
1 1
式组对应的可行域如图中阴影部分所示(不包括线段BC上的点),当直线d=- a+ a 过点A(-1,4)
1 3
2 2
时,a
3
有最大值,即(a
3
)
max
=7,当直线d=-1a
1
+3a
3
过点B(
-
7
,0
)时,a
3
有最小值,即最小值为-7,但是
2 2 3 3
可行域不包括边界BC,所以a
3
的取值范围为(
-
7
,7
],故选D.
3
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{x- y+1≥0,
5.(2021浙江“9+1”联盟4月联考,8)已知实数x,y满足不等式组 2x+3 y≤6,设z=2|x|-y,则z的
y+1≥0.
取值范围为 ( )
A.[-1,10] B.[-1,1] C.[-10,1] D.[-1,5]
答案 A 作出不等式组所表示的可行域,如图所示.由{2x+3 y=6,得点C(9 ).
,-1
y+1=0 2
由z=2|x|-y得y=2|x|-z,画出y=2|x|的图象,如图,为折线.
当该折线沿y轴向上平移经过点(0,1)时,-z取最大值,为1;
当该折线沿y轴向下平移经过点C(9 )时,-z取最小值,为-10,所以-10≤-z≤1,从而-1≤z≤10,
,-1
2
故选A.
易错警示 本题考查的是简单的线性规划,属于易错题目.平面区域的最值问题是线性规划问题中
的一类重要题型,在解题时,关键是正确画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后数形结合,分析
图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.要注意发现目标函数的几何意义,主要有两点间连
线的斜率,两点间距离,平行直线系的截距变化等,画图时注意边界的实虚.
{3x+ y-3≥0,
2x+ y-3
6.(2021山西太原一模,8)已知实数x,y满足 2x+3 y-9≤0,则z= 的取值范围是 (
x-2
x-2y-1≤0,
)
A.(-∞,1]∪(2,4] B.[1,2)∪(2,4]
C.[1,2)∪[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)
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答案 D 本题主要考查简单的线性规划问题,考查的学科素养是理性思维.
2x+ y-3 y+1 y+1
z= =2+ ,画出可行域如图中阴影部分所示,其中A(0,3),B(1,0),C(3,1),设z= ,则
x-2 x-2 1 x-2
y+1
其几何意义是可行域内的点与点D(2,-1)连线的斜率.因为k =2,k =-1,所以z= ∈(-
CD BD 1 x-2
∞,-1]∪[2,+∞),即z∈(-∞,1]∪[4,+∞).故选D.
{y-2x-1≤0,
7.(2021浙江“超级全能生”3月模拟,3)若实数x,y满足约束条件 2y-x+1≥0,则z=x+2y的取
x+ y-1≤0,
值范围是( )
A.[-3,2] B.[-3,1] C.[2,+∞) D.[-3,+∞)
答案 A 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示,
1
目标函数表示斜率为- 的平行直线,且易知z=x+2y在A,C两点处取到最值,故-3≤z≤2,故选A.
2
{
x+ y-1≥0,
y
8.(2021浙江新高考研究卷(一),3)已知实数x,y满足 2x- y-2≤0,则z= 的取值范围是 (
x+1
x-2y+2≥0,
)
2
A.0≤z≤1 B.0≤z≤
3
2
C. ≤z≤1 D.z≥0
3
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答案 A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界),
y
其三个顶点坐标分别是A(1,0),B(0,1),C(2,2),目标函数z= 表示可行域内的点(x,y)与点(-1,0)连
x+1
线的斜率,由图易知过A(1,0)时,z =0,过B(0,1)时,z =1,
min max
故0≤z≤1.选A.
二、填空题
{
x- y≤0,
9.(2021四川绵阳二模,14)已知实数x,y满足 x+ y+2≥0, 则z=x2+y2-2x+2y+3的最小值为
x-2y+2≥0,
.
答案 3
{
x- y≤0,
解析 由 x+ y+2≥0,画可行域如图中阴影部分所示,
x-2y+2≥0
由z=x2+y2-2x+2y+3=(x-1)2+(y+1)2+1,知z表示可行域内的点到(1,-1)的距离的平方加1,结合图形得
|1+1| 2
到z =( )+1=3.
min
√12+(-1)2
x+3 y≤15,
{
2x+ y≤12,
10.(2020云南师大附中第七次月考,14)已知x,y满足 则z=3x+2y的最大值为
x∈N,
y∈N,
.
答案 19
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解析 本题主要考查处理线性规划中整点问题的基本方法,考查的核心素养为直观想象和数学运
算.
根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点,由图可知z=3x+2y在点M处取得最大值,由
{2x+ y=12,得M(21 18),但M点的坐标不是整数,经过平移可知经过点(5,2)满足要求,且代
,
x+3 y=15 5 5
入得z=19,故最大值为19.
{2x- y-3≤0,
11.(2021浙江稽阳联谊4月模考,13)若实数x,y满足约束条件 x+ y≤0, 则z=x+2y的最大值
x+2≥0,
是 ,ω=x2+(y+4)2的最小值是 .
1
答案 2;
5
解析 作出可行域,如图中阴影部分所示,
{x+ y=0, {x=-2, { x=-2, {x=-2,
由 得 由 得
x=-2 y=2, 2x- y-3=0 y=-7.
显然,当直线z=x+2y经过点(-2,2)时,目标函数z=x+2y取得最大值,最大值为2.
ω=x2+(y+4)2的几何意义为点(0,-4)到可行域内点的距离的平方,由点到直线的距离最短可知ω的最
小值为 [|2×0-(-4)-3|] 2 =( |1| ) 2 = 1 .
√22+(-1)2 √5 5
{x- y+1≥0,
12.(2021浙江杭州高级中学高考仿真模拟,12)实数x,y满足 x+ y-1≥0,
x≤2.
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(1)x-2y的最大值为 ;
(2)若-1≤y-ax≤5恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案 (1)4 (2)[-1,0]
解析 (1)依题意作出可行域如图,为封闭的△ABC区域(含边界),三个顶点分别为A(0,1),B(2,-
1),C(2,3).将三个顶点坐标分别代入x-2y得-2,4,-4,故x-2y的最大值为4.
{
-1≤1≤5,
(2)设z=y-ax,z=y-ax的最值也在三个顶点处取得,故 -1≤-1-2a≤5,解得-1≤a≤0
-1≤3-2a≤5,
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