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2025-2026 学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题4 分，满分40 分）
1．（4 分）如图，在△ABC 中，∠A＝65°，∠B＝54°，则△ABC 的外角∠ACD 的度数是（ ）
A．109°
B．119°
C．129°
D．139°
2．（4 分）据研究，甲型流感病毒一般呈球状或丝状，其中球状甲型流感病毒的直径大约为0.000000103
米，该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.03×10﹣7
B．1.03×10﹣8
C．10.3×10﹣7
D．0.103×10﹣8
3．（4 分）若三角形三边的长分别是3，7，a，则a 的取值不可能是（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
4．（4 分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE
B．AB＝AE
C．∠B＝∠ADE
D．∠B＝∠AED
5．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12
B．（a2）3＝a6
C．a6÷a3＝a2
D．a3+a4＝a7
6．（4 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，若∠B＝40°，则∠CAD 的大小为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
7．（4 分）若a＝10﹣b，ab＝16，则a2+b2＝（ ）
A．36
B．68
C．84
D．100
2
8．（4 分）如图，在△ABC 中，AD 经过△ABC 的重心G 交BC 于点D，若△ABC 的面积为16cm2，则阴
影部分的面积为（ ）
A．8cm2
B．7cm2
C．6cm2
D．16
5 cm
2
9．（4 分）若x2+mx+9 是完全平方式，则m 的值为（ ）
A．12
B．6
C．±12
D．±6
10．（4 分）如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC，且AD＝CD，若∠CBD＝m，则∠ADC 一定等
于（ ）
A．3m
B．90°+2m
C．180°﹣2m
D．180°﹣m
二、填空题（每小题4 分，满分24 分）
11．（4 分）若分式1
x +6
有意义，则实数x 的取值范围是 ．
12．（4 分）点A（﹣1，5）关于y 轴对称的点B 的坐标为 ．
13．（4 分）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝ ．
14．（4 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB 于点M、
N，再分别以M、N 为圆心，大于1
2 MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC 于点E．若
AB＝12，△AEB 的面积为24，则CE＝ ．
15．（4 分）如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD 的周长为23cm，则△ABC
的周长为 cm．
3
16．（4 分）若1+a+a2+a3+a4＝0，则1+a+a2+a3+a4+a5+…+a2024+a2025的值为 ．
三、解答题（共9 小题，满分86 分）
17．（6 分）（1）计算：−( 1
3 )
−1
+(−2025)
0；
（2）因式分解：3ax2﹣12ay2．
18．（6 分）如图，已知点A、D、C、E 在同一直线上，AC＝DE，AB＝DF，AB∥DF．求证：∠B＝
∠F．
19．（8 分）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A，B，C 三点都在格点上．
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，点A、B、C 的对应点分别为A1、B1、C1；
（2）点B1的坐标为 ；
（3）△ACC1的面积为 ．
20．（8 分）先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a= 1
2
，b＝﹣1．
21．（8 分）某文化科技有限公司为了配合“活力大湾区”宣传活动，共推出A 和B 两款文创产品，已知
每个A 产品的成本比每个B 产品的成本便宜18 元，该公司用24000 元制作A 产品的数量和用60000 元
制作的B 产品数量相同．求生产A 产品的成本为每个多少元？
4
22．（10 分）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算{
a
c
b
d}=ac−(b+d )．
例如，{
1
3
3
1
−4}
= 1
3 ×3−(1−4)= 4．
先化简，再求值{
x−3
x
2−1
x
2+2 x +1
x−3
1
x−1
1 }
，其中x 满足方程（x﹣3）（x+5）＝x2+1．
23．（12 分）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，∠ACB＝45°，点E 为AC 边上一点，连接BE，过点C 作
CD⊥BE 与BE 的延长线交于点D，与BA 的延长线交于点F．
（1）AB 与AC 的数量关系为 ．
（2）尺规作图：在AB 边上截取AG＝CE，过点G 作GM⊥AB，垂足为G．
（3）在（2）的条件下，在GM 上截取GH＝AC，连接BH，求证：BH＝CF．
24．（14 分）在△ABC 中，∠A＝90°，AC＝2，∠ACB＝60°，D 为AB 的延长线上一点，E 为线段BC，
BD 的垂直平分线的交点，连接EC，EB，ED．
（1）如图1，BC 的长为 ．
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE 的形状，并说明理由．
（3）如图3，过点B 作直线BF，使得∠BFD＝∠BCE，P 为直线BF 上的一个动点，求PE﹣PD 的最
大值．
5
25．（14 分）【阅读材料】如果三个实数m、n、k 使得关于x 的分式方程m
x =n+k 的解和分式方程m
x =−
n+k 的解互为倒数，那么我们称实数对[m，n]是该组方程的一个“k 的伴生数对”．例如：取m＝3，n
＝4，k＝5，分式方程m
x =n+k 的解为x= 1
3
，而分式方程m
x =−n+k 的解为x＝3，所以[3，4]是该组方程
的一个“5 的伴生数对”；又如：取m＝5，n＝12，k＝13，分式方程m
x =n+k 的解为x= 1
5
，而分式方
程m
x =−n+k 的解为x＝5，所以[5，12]是该组方程的一个“13 的伴生数对”．
【解决问题】
（1）下列实数对是关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“10 的伴生数对”的有
（填序号）；
①[8，6]②[7，3]③[﹣4，﹣6]
（2）若实数对[t﹣2，t+2]是关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“20 的伴生数对”，求
t 的值；
（3）若整数对[n，n﹣5]是关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“k 的伴生数对”，且满
足2k2﹣56n+200＝d2﹣114（d 为整数），求整数n 的值．
6
2025-2026 学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A．
D
C
B
C
B
A
D
C
11.x≠﹣6 12.（1，5） 13.（x﹣1）（a﹣3） 14.4 15.31 16.1
选择题、填空题解法提示
10．解：作DF⊥BC 于点F，DE⊥AB 交BA 的延长线于点E，则∠E＝∠BFD＝∠DFC＝90°，
∵BD 平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠ABD＝∠CBD＝α，
在Rt△ADE 和Rt△CDF 中，
{
AD =CD
DE = DF ，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADC＝∠CDF+∠ADF＝∠ADE+∠ADF＝∠EDF，
∵∠EDF＝360°﹣∠E﹣∠BFD﹣∠ABC＝180°﹣2m，
∴∠ADC＝180°﹣2m，
故选：C．
16．解：∵1+a+a2+a3+a4＝0，
∴1+a+a2+a3+a4+a5+…+a2024+a2025
＝（1+a+a2+a3+a4）+（a5+a6+a7+a8+a9）+…+（a2020+a2021+a2022+a2023+a2024）+a2025
＝（1+a+a2+a3+a4）+a5（1+a+a2+a3+a4）+…+a2020（1+a+a2+a3+a4）+a2025
＝0+0+…+0+a2025
＝a2025，
∵a5﹣1＝（a﹣1）（1+a+a2+a3+a4）＝0，
7
∴a5＝1，
∴a2025＝（a5）405＝1，
故答案为：1．
解答题参考答案
17．解：（1）−( 1
3 )
−1
+(−2025)
0
＝﹣3+1
＝﹣2；
（2）3ax2﹣12ay2
＝3a（x2﹣4y2）
＝3a（x+2y）（x﹣2y）．
18．证明：∵AB∥DF，
∴∠A＝∠FDE，
在△ABC 和△DFE 中，
{
AB = DF
∠A =∠FDE
AC = DE
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠B＝∠F．
19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，点B1的坐标为（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
（3）△ACC1的面积为1
2 ×2×3=3．
故答案为：3．
8
20．解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2，
＝﹣2ab，
当a= 1
2
，b＝﹣1 时，原式＝﹣2× 1
2 ×（﹣1）＝1；
21．解：由题意，设生产A 产品的成本为每个x 元，则B 产品的成本为每个（x+18）元，
∴24000
x
= 60000
x +18
．
∴x＝12．
检验：将x＝12 代入原方程分母，x＝12≠0，x+18＝30≠0，且此时A 产品数量24000
12
=2000B 产品数
量60000
30
=2000，数量相等，
∴x＝12 是原分式方程的解．
答：生产A 产品的成本为每个12 元．
22．解：原式= x−3
x
2−1
• x
2+2 x +1
x−3
−（
1
x−1 +1）
=
x−3
( x +1)( x−1)•( x +1)
2
x−3 −1+ x−1
x−1
=
x−3
( x +1)( x−1)•( x +1)
2
x−3 −
x
x−1
= x +1
x−1 −
x
x−1
=
1
x−1
；
（x﹣3）（x+5）＝x2+1，
整理得：2x﹣15＝1，
解得：x＝8，
原式=
1
8−1 = 1
7
．
23．（1）解：∵∠CAB＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC，
9
故答案为：AB＝AC；
（2）解：如图所示，以A 为圆心，CE 为半径画弧交AB 于G，
则AG＝CE；
∵CD⊥BE，
∴∠BAC＝∠FAC＝∠CDE＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴∠ABE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵FG＝AC，
∴AG＝CE；
（3）证明：∵AB＝FG，
∴AF＝BG，
∵MG⊥AB，
∴∠BGM＝∠FAC＝90°，
∵GH＝AC，
∴△BGH≌△FAC（SAS），
∴BH＝CF．
24．解：（1）在△ABC 中，∠A＝90°，AC＝2，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，
故答案为：4；
（2）△CDE 是等边三角形，
理由：∵E 为线段BC，BD 的垂直平分线的交点，
10
∴BE＝EC＝ED，
∴∠ECB＝∠ECA，∠ECD＝∠D，
∵∠CAB＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣30°＝150°，
∴∠ECB+∠CBD+∠D＝300°，
∴∠CED＝360°﹣300°＝60°，
∴△CDE 是等边三角形；
（3）点P 在ED'的延长线上时，PE﹣PD 的值最大，理由如下：
如图3 中，作点D 关于直线BF 的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'．
当点P 在ED'的延长线上时，PE﹣PD 的值最大，此时PE﹣PD＝ED'，
∵∠BFD+∠BFE＝180°，∠BFD＝∠BCE，
∴∠BCE+∠BFE＝180°，
∴∠CBF+∠CEF＝180°，
∵∠CED＝60°，
∴∠CBF＝120°，
∴∠CBA＝∠FBD＝30°，
∴∠DBF＝∠FBD'＝30°，
∴∠DBD'＝60°，
∵BD＝BD'，
∴△BDD′是等边三角形，
∴DB＝DD'，∠BDD'＝∠CDE＝60°，
∴∠CDB＝∠EDD'，
∵DC＝DE，
11
∴△CDB≌△EDD'（SAS），
∴CB＝ED'，
∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，
∴CB＝2AC，
∴PE﹣PD＝2AC＝4．
∴点P 在ED'的延长线上时，PE﹣PD 的值最大，最大值为4，
25．解：（1）设关于x 的分式方程m
x =n+k 的解为x1，分式方程m
x =−n+k 的解为x2，
则x1= m
n+ k
，x2=
m
k −n
，
∵关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“k 的伴生数对”，
∴x1x2＝1，
∴m
n+k
• m
k −n =1，
整理得：m2+n2＝k2，
若关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“10 的伴生数对”，
则m2+n2＝100，
∵82+62＝100，72+32≠100，（﹣4）2+（﹣6）2≠100，
∴[8，6]是关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“10 的伴生数对”，
故答案为：①；
（2）∵实数对[t﹣2，t+2]是关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“20 的伴生数对”，
∴（t﹣2）2+（t+2）2＝400，
整理得：2t2+8＝400，
解得：t＝±14；
（3）∵整数对[n，n﹣5]是关于x 的分式方程m
x =n+k 和分式方程m
x =−n+k 的“k 的伴生数对”，
∴n2+（n﹣5）2＝k2，
整理得：2n2﹣10n+25＝k2，
∵2k2﹣56n+200＝d2﹣114（d 为整数），
∴2（2n2﹣10n+25）﹣56n+200＝d2﹣114，
12
整理得：4n2﹣76n+364＝d2，
变形得：（2n﹣19）2+3＝d2，
那么（d+2n﹣19）（d﹣2n+19）＝3，
∵d，n 均为整数，
∴d+2n﹣19＝1，d﹣2n+19＝3 或d+2n﹣19＝3，d﹣2n+19＝1 或d+2n﹣19＝﹣1，d﹣2n+19＝﹣3 或
d+2n﹣19＝﹣3，d﹣2n+19＝﹣1，
解得：n＝9 或10．
