33.新概念背景下复数的几点“妙用”
一．基本原理
1.
次单位根：对于方程
的解，由复数开方运算可得到它的
n
)
2
,
(,0
1
n
N
n
xn
n
个根的表示形式为：
)1
,
,2,1,0
(,
2
sin
2
cos
n
k
n
k
i
n
k
k
比如，当
时，我们得到三次单位根，根据上述性质，三次单位根有三个，可以表示
3
n
为:
，
，
0
1
z
2
3
1
1
3
2
2
i
z
e
i
4
3
2
1
3
2
2
i
z
e
i
它们在复平面上构成一个正三角形，其顶点分别为
.
1
3
1
3
(1,0),
,
,
,
2
2
2
2
一般地，几何意义：在复平面上，
个n 次单位根均匀分布在以原点为中心的单位圆上，
n
构成正
边形的顶点，其中，
始终在实轴正半轴上.
n
0
1
z
2.复数的指数形式.
由欧拉公式：
可得到复数的指数形式：
.
sin
cos
i
ei
i
re
i
r
z
)
sin
(cos
3.负数的开方运算
设
，则
（
)
sin
(cos
i
r
z
)
2
sin
2
(cos
n
k
i
n
k
r
z
n
n
1
,
,2,1,0
n
k
）.
例如，
.
2
2
2
sin
2
2
2
cos
2
sin
2
cos
k
i
k
i
i
可以看到，复数的
次方根是
个复数，它们的模都等于这个复数的模的
次算术根，它
n
n
n
们的幅角分别等于这个复数的幅角与
的
倍的和的
分之一.
2
1
,
,1,0
n
n
4.单位根基本性质：
（1）
；
1
|
|
k
（2）
；
)
(
)
)(
1
(
1
1
n
n
x
x
x
x
（3）由韦达定理可得：
，代入单位根的具体形式：
0
1
0
n
k
k
.记
,则
0
2
sin
0
2
cos
0
2
sin
2
cos
1
0
1
0
1
0
1
0
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
i
n
k
i
0
ex
z
0
0
0
1
0
1
,
,
,
n
z
z
z
是
的
次方根,由韦达定理可得：
.
i
enx
n
1
0
0
n
k
k
z
1
0
0
0
n
k
k
z
5.用复数推导旋转公式：
利用欧拉公式：
iθ
i e
i
cos
isin
cos
sin
sin
cos
i
a
b
a
b
a
b
a
b
比如
，那么
，是逆时针旋转了
2
2
i e
cos
sin
2
2
i
a
b
a
bi
i
b
ai
2
于是，我们可以得到旋转公式：
在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转
的变换称为旋转角是
的旋转变
换．设点
经过旋转角是
的旋转变换下得到的点为
，且旋转变换的表达式
,
A a b
,
A a b
为
cos
sin ,
sin
cos .
a
a
b
b
a
b
6.将上述结论应用到圆锥曲线，我们先把等轴双曲线
2
:
2
2
y
x
逆时针旋转
45 ，看
看会得到什么有趣的结果：设
)
,
(
0
0 y
x
P
是
上任意一点，
)
,
(
'
'
'
y
x
P
是
逆时针旋转
P
45
后的对应点，则有
0
0
'
0
0
'
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
y
x
x
，整理可得
2
2
'
'
0
'
'
0
x
y
y
y
x
x
，代入
的方程整理
可得：
1
'
'
y
x
，即我们在初中就已经学过的反比例函数图象.
下来就重点讨论反比例函数
的一些重要性质.
k
xy
（1）长轴所在直线为
，离心率
；
0
y
x
2
e
（2）顶点是
和
；
)
,
(
1
k
k
A
)
,
(
2
k
k
A
（3）实半轴长和虚半轴长是
，半焦距是
；
k
2
k
2
（4）焦点是
和
；
)
2
,
2
(
1
k
k
F
)
2
,
2
(
2
k
k
F
（5）若直线与反比例函数相切，同时交坐标轴分别与
，则
.
l
B
A,
k
S AOB
2
证明：设切点
因为
，所以斜率为
，所以，直线的方程为：
)
,
(
0
0 y
x
P
2
)
('
x
k
x
f
2
0x
k
l
，令
，得
，令
，得
，所以，
)
(
0
0
0
x
x
x
k
x
k
y
0
y
0
2x
xA
0
x
0
2
x
k
yB
.
k
y
x
S
B
A
OAB
2
2
1
二．典例分析
在上述铺垫基础上，前文所涉及到的广东二调压轴的命题原理，也就出来了.
例1.（广东省25 届高三二调） 已知集合
，
，设函数
1
2
,
,
,
n
M
*
n N
.
2
2
1
2
( )
sin
sin
nf
x
x
x
2
sin
n
x
（1）当
和
时，分别判断函数
是否是常数函数？说明理由；
0, 2
M
,
4 2
2( )
f
x
（2）已知
，求函数
是常数函数的概率；
,
,
12
12
k
M
k
k
N
3( )
f
x
（3）写出函数
是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
( )(
2)
nf
x n
注：具体解答请见推文，命制原理以上上面解决.
例2.已知双曲线
的左、右焦点分别为
和
，
为坐标原
)
0
,0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
1F
2
F
O
点，过
作渐近线
的垂线，垂足为
，若
，则双曲线的离心率为
2
F
x
a
b
y
P
6
1
PO
F
________；又过点
作双曲线的切线交另一条渐近线于点
，且
的面积
P
Q
OPQ
，则该双曲线的方程为_________.
3
2
OPQ
S
解析：第一个空较简单，
.
3
21
,
2
3
2
2
2
a
b
a
a
c
e
b
a
第二个空：将双曲线压缩再旋转后得到反比例函数，于是
2
'
'
'
3
2
a
S
S
b
a
Q
OP
OPQ
，
由于
且
，可解得：双曲线方程为：
.
b
a
2
3
3
2
ab
1
4
3
2
2
y
x
例3.（布里安香定理）（23 届南京盐城一模）已知双曲线
的
)
0
,0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
离心率
，直线
2
与双曲线
仅有一个公共点.
3
4
2
:
1
x
y
l
C
（1）求双曲线
的方程；
C
（2）设双曲线
的左顶点为
，直线
平行于
，且交双曲线于
两点，求证：
C
A
2l
1l
N
M ,
的垂心在双曲线
上.
AMN
C
下证：若
的顶点在反比例函数
的图像上，则
的垂心也在反比例函数
ABC
m
xy
ABC
的图像上.
证明：由于点
在反比例函数
的图像上，所以
.
B
A、
)
0
(
m
m
xy
m
y
x
m
y
x
B
B
A
A
,
故
，则
.
B
A
A
B
B
A
B
A
x
x
x
x
m
x
m
x
m
y
y
)
(
m
y
y
x
x
m
x
x
y
y
k
B
A
B
A
B
A
B
A
AB
由于
，则过点
与直线
垂直的直线
的斜率为
，所以
为.
B
A
AB
x
x
m
k
C
AB
Cl
m
x
x
B
A
Cl
)
(公众号：凌晨讲数学
C
C
B
A
B
A
my
x
x
x
my
x
x
x
同理，过点
且与直线
垂直的直线
为
.
B
AC
Bl
B
C
B
A
C
A
my
x
x
x
my
x
x
x
联立
的方程解得
C
B
A
C
B
A
C
B
H
x
x
x
m
x
x
x
y
y
m
x
2
)
(
)
(
C
B
A
C
B
A
H
y
y
y
m
m
x
x
x
y
2
，.
C
B
l
l 、
故
，即垂心
也在反比例函数图象上.
m
y
x
H
H
H
下面再看复数在三角恒等式中的应用
例4.设复数
对应复平面内的点Z，设
，则任何一个复
i
,
z
a
b
a b
R
0,
XOZ
OZ
r
数
都可以表示成
的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r
i
z
a
b
cos
si in
z
r
是复数z 的模，
称为复数z 的辐角，若
，则
称为复数z 的辐角主值，记为
0
2π
．
arg z
（1）若
，证明：
，并写出
的三角形式（无需
cos
si in
z
r
3
3 cos3
isin3
z
r
nz
证明）；
（2）求方程
虚根的实部：
5
1
x
（3）证明：
时，
*
nN
π
2π
3π
π
2
1
sin
sin
sin
sin
2
1
2
1
2
1
2
1
2n
n
n
n
n
n
n
参考数据：
．
5
1
sin18
4
解析：（1）若
，则：
cos
isin
z
r
，
2
2
2
2
2
2
2
cos
isin
(cos
i sin
2isin
cos )
z
r
r
，
2
2
2
2
(cos
sin
2 sin
cos )
(cos2
sin 2 )
i
i
r
r
3
2(cos2
sin 2 ) (cos
sin )
i
i
z
r
r
A
2
3(cos2 cos
sin
i
)
i
i
sin
2 sin
cos2 sin
cos
2
r
3[cos2 cos
sin 2 sin
cos2 sin
c
s
]
i(
2
o
n
s )
i
r
，得证.
3
3
o
is
)
in(
o
2
i
3
[c s(2
)
s
si
)]
3
n
(c
r
r
（2）设
，则
cos
isin
,
0,
[0,2 )
x
r
r
r
R，
，所以：
5
5
5
5
cos5
isin5
cos5
i
sin5
1
x
r
r
r
5
5
cos5
1,
sin5
0,
sin5
0,
r
r
故：
或
，所以
或
或
或
或
cos5θ
1
1
r
cos5θ
1
1
r
0
1
r
2π
5
1
r
4π
5
1
r
π
5
1
r
3π
5
1
r
故方程
虚根有四个，其实部分别为
.
5
1
x
π
2π
3π
4π
cos
,cos
,
cos
,cos
5
5
5
5
（3）由于
，利用二项展开式，比较虚部得：
2
1
cos 2
1
isin 2
1
cos
isin
n
n
n
1
2
3
3
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
sin 2
1
=C
sin
cos
C
sin
cos
1
C
sin
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，令
1
1
2
3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
C
sin
1 sin
C
sin θ 1 sin
1
C
sin
θ
n
n
n
n
n
n
n
n
由于
则
为方程
,
1,2,
,2
1.
2
1
k
k
θ
k
n
n
sin(2
1)
0,1
2
1,
k
n
θ
k
n
sin
,1
2
1
kθ
k
n
的
个根，
1
1
2
3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
C
1
C
1
1
C
0
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
2
1
n +
于是
为方程
的
个
sin
,1
2
kθ
k
n
1
2
3
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
(1
)
(1
)
( 1)
0
n
n
n
n
n
n
n
n
C
x
C
x
x
C
x
2n
根，
又
，于是
为方程
2
2
2
1
sin
sin
,1
2
k
n
k
θ
θ
k
n
2
sin
,1
kθ
k
n
的
个根，而上述多项式最高项系数为
1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(1
)
(1
)
( 1)
0
n
n
n
n
n
n
n
n
C
t
C
t
t
C
t
n
，末项系数（常数项）为
，
1
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
( 1) (
)
( 1) 2
n
n
n
n
n
n
n
C
+C
C
1
2
1
C
2
1
n
n
于是，由韦达定理得：
，又
，所以
2
2
2
2
1
2
3
2
2
1
sin
sin
sin
sin
2
n
n
n
θ
θ
θ
θ
sin
0,1
kθ
k
n
，即：
，
1
2
3
2
1
sin
sin
sin
sin
2
n
n
n
θ
θ
θ
θ
π
2π
3π
π
2
1
sin
sin
sin
sin
2
1
2
1
2
1
2
1
2n
n
n
n
n
n
n
得证.
例5．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数
对应复平面内的点
，设
i
z
a
b
Z
，
，则任何一个复数
都可以表示成：
的形
XOZ
OZ
r
i
z
a
b
cos
isin
z
r
式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数
的模，
称为复数
的辐角，若
r
z
z
，则
称为复数
的辐角主值，记为
.复数有以下三角形式的运算法则：若
0
2
z
arg z
，则：
i
i
i
i
cos
isin
,i
1,2,
z
r
n
，特别地，如果
1
2
1 2
1
2
1
2
cos
isin
n
n
n
n
z
z
z
rr
r
，那么
，这个结论叫
1
2
cos
isin
n
z
z
z
r
cos
isin
cos
isin
n
n
r
r
n
n
做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数
，
的模
和辐角主值
（用
表示）；
1 cos
isin
z
π,2π
z
arg z
（2）设
，
，若存在
满足
，那么这样的
2024
n
N
n
R
sin
icos
sin
icos
n
n
n
有多少个？
n
（3）求和：
cos20
2cos40
3cos60
2034cos 2034 20
S
解析：（1）由复数
，
，
，得
1 cos
isin
z
(π,2π)
π ,π
2
2
；而
，则
2
2
2
|
|
(1
cos )
sin
2
2cos
4cos
2cos
2
2
z
1
cos
0,sin
0
，
，又
，
3π
arg
2π
2
z
2
2sin
cos
sin
2
2
tan(arg )
tan
1 cos
2
2cos 2
z
π
(
,π)
2
2
，所以
.
3π
π
(
,2π)
2
2
arg
π
2
z
（2）由
，因此
π
π
π
π
(sin
icos )
cos(
)
isin(
)]
cos(
)
isin(
)
2
2
2
[
2
n
n
n
n
n
n
，则
，
π
π
cos(
)
isin(
)
sin
icos
2
2
n
n
n
n
n
n
π
cos(
)
sin
2
π
sin(
)
cos
2
n
n
n
n
n
n
则
，解得
，而
，
，即
π
π
2 π
,
Z
2
2
n
n
k
n
k
4
1
n
k
2024
n
N
n
0
4
1
2024
k
，于是
，显然符合条件的
有506 个，所以这样的
有506 个.
0
505,
Z
k
k
k
n
（3）令
，而
，则
，令
cos20
isin 20
2034 20
113 360
2034
1
，则
sin 20
2sin 40
3sin 60
2034sin 2034 20
T
，两边同乘
，得
2
3
2034
i
2
3
2034
S
T
，两式相减得
2
3
4
2035
(
i )
2
3
2034
S
T
，因
2
3
2034
2035
(1
)(
i )
2034
S
T
2034
2034
(1
)
2034
2034
1
此
，
2034
i
1
S
T
2
2
cos20
isin 20
(cos20
isin 20 )(1 cos20
isin 20 )
1
1 cos20
isin 20
(1 cos20 )
sin 20
，因此
，所以
1 cos20
isin 20
1
sin 20
i
2
2cos20
2
2
2cos20
1
sin 20
i
2034(
i)
2
2
2cos20
S
T
.
1017
S
例6．复数除了代数形式
之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的
i
a
b
欧拉公式
体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运
i
cos
isin
e
算，我们可以定义旋转变换．根据
，我们定义：在直角坐
iθ
i e
i
cos
isin
cos
sin
sin
cos
i
a
b
a
b
a
b
a
b
标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转
的变换称为旋转角是
的旋转变换．设点
经过旋转角是
的旋转变换下得到的点为
，且旋转变换的表达式为
,
A a b
,
A a b
曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数
图象上每一点
cos
sin ,
sin
cos .
a
a
b
b
a
b
x
x
y
1
绕原点逆时针旋转
后就得到双曲线：
．
π
8
2
2
1
2
2
1
2
2
1
y
x
（1）求点
在旋转角是
的旋转变化下得到的点的坐标；
1,
3
π
4
（2）求曲线
在旋转角是
的旋转变化下所得到的曲线方程；
1
xy
π
4
（3）等边
中，
在曲线
上，求
的面积．
ABC
V
1, 1 , ,
B
A C
1
xy
ABC
V
解析：（1）由题可设所求点的坐标为
，由
得所求点的坐标为
,x y
π
π
cos
3sin
,
4
4
π
π
sin
3cos
,
4
4
x
y
．
6
2
6
2
,
2
2
（2）设曲线
上任意一点
在旋转角是
的旋转变换下所得点坐标为
．
1
xy
,x y
π
4
,
x y
则
即
，得
，所求曲线方程为
π
π
cos
sin
,
4
4
π
π
sin
cos
,
4
4
x
x
y
y
x
y
2
,
2
2
,
2
x
x
y
y
x
y
2
2
2
2
y
x
xy
．（凌晨讲数学）
2
2
1
2
2
y
x
（3）由题点
在旋转角是
的旋转变换下所得的点为
．设
在旋转
1, 1
B
π
4
0,
2
B
,
A C
角是
的旋转变换下所得的点分别为
和
．设曲线
在旋转角是
的旋转变换下所
π
4
A
C
1
xy
π
4
得曲线为
，则
方程为
．则
是曲线
的下顶点．由题，
为等边
M
M
2
2
1
2
2
y
x
B
M
A B C
A
三角形，
的面积即为
的面积．设
的边长为
，由双曲线的对称
A B C
A
ABC
V
ABC
V
(
0)
t t
性：
当
和
同在曲线
的下支时，则
，代入
的方程得无解．
A
C
M
3
,
2
2
2
t
A
t
M
t
当
和
同在曲线
的上支时，则
，代入
的方程得
A
C
M
3
,
2
2
2
t
A
t
M
2 6.
t
ABC
△
的面积为
．综上所述，
的面积为
．
6 3
ABC
V
6 3
