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2019 全国高考Ⅱ卷21 题“一题多解”
——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化
【方法策略简述】
一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、
定点、定值等问题及存在探索性问题.
二、解决此类问题的方法策略主要有三种：
1、根与系数的关系法（主流方法）．
设出动直线的方程（
），与圆锥曲线方程
联立消元得到关于
的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾
的
要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解．
2、多变量多参数联动变换法．
此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直
线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体
变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式
的驾驭能力及变换技巧是一种考验．
3、设点求点法．
方法1、2 均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求
出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标
可直接求出；再如动直线
与椭圆
的交点易求出．
【2019 全国高考Ⅱ卷‧21】
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−
.记M 的轨迹为曲
线C.
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE
并延长交C 于点G.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求
面积的最大值.
【解析】
（1）直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，由题意可知：
，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在
轴上，
1
不包括左右两顶点的椭圆，其方程为
；
（2）法一：斜率单参，设点求点
【分析】（i）设出直线
的方程
，与椭圆方程联立，求出P，Q 两点的坐标，进而求
出点
的坐标，求出直线
的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出
的坐标，
再求出直线
的斜率，计算
的值，就可以证明出
是直角三角形；
（ii）由（i）可知
三点坐标，
是直角三角形，求出
的长，利用面积公式
求出
的面积，利用导数求出面积的最大值.
【解析】（i）设直线
的方程为
,由题意可知
,直线
的方程与椭圆方程
联立,即
或
,点P 在第一象限，所以
，因此点
的坐标为
直线
的斜率为
，可得直线
方程：
，与椭圆方程联立，
，消去
得，
（*），
设点
，显然
点的横坐标
和
是方程（*）的解
2
所以有
，代入直线
方程中，
得
，所以点
的坐标为
，
直线
的斜率为：
,
因为
所以
，因此
是直角三角形；
（ii）由（i）可知：
，
的坐标为
，
，
,
,因为
，所以当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，因此当
时，函数
有最大值，最大值为
.
3
【评析】引入参数
控制动态过程，思路简单.直接算出点的坐标，直线方程，弦长，运算量
大，但可以接受.
思路二、多参联动，设而不求
【分析】（i）设
，则
，
再设出直线
的方程为
，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，充分利用变量
之间的关系去化简计算
的值，就可以证明出
是直角三角形；
（ii）
，充分利用变量
之间的关系，
将面积化为变量
的函数，再利用导数求出面积的最大值.
【解析】(ⅰ)设
，则
，
设直线
的方程为
，由题意可知
，
由
联立消去
得
，
则
将点
代入直线
的方程为
得
，
于是
，
，
故
，因此
是直角三角形；
(ⅱ)
4
而由
，
故
，
，
所以
时
，
单调递增；
时
，
单调递减；
故
时，
最大为
，
最大为
.
【评析】引入
等5 个相关量控制动态过程，贯彻设而不求整体变形的思想，巧
妙地解决问题，运算量不大，但对多个相关变量协调掌控的能力要求极高.
5
6
