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2022 新高考Ⅰ卷21 题解析几何压轴题解法探究
2022 新高考Ⅰ卷数学试题，据称是近20 年来史上第二难高考数学试题(史上最难
2003)．本文将对该卷21 题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法
规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023 届高考师生提供有益的参考和帮助．
【2022 新高考1 卷21 题】
已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于P，Q 两点，直线
的斜率之和为0．
（1）求l 的斜率；
（2）若
，求
的面积．
【答案】（1）
（2）
方法一： 直线双参+韦达法
【解析】(1) 将点
代入
解得
，所以双曲线为
设直线
的方程为
，设
，
联立
消去
得
，
由
可得
即
展开整理得
即
1
即
，
故
或
当
时的方程为
，其恒过定点
，与题意不符
故直线
的斜率
.
(2) 不妨设
，其倾斜角为
， 由
可知
而
，故
，
即
，解得
或
因为双曲线
渐近线斜率为
，故舍去
因为
，故舍去
，所以
故
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
消去
得
方程的两根为点
的横坐标，所以
，
消去
得
方程的两根为点
的横坐标，所以
，
于是
，
而由
可得
2
所以
.
【点评】联立方程韦达定理，是解析几何压轴大题最流行的方法套路．本题引入直线
的双参方程
，参与计算变形，使得运算过程相对繁复，产生了较大的运算量．
要想变形到
这一步，没有过硬的计算能力是很难达到的．
方法二： 直线单参+设点求点
【解析】(1) 将点
代入
解得
，所以双曲线为
设
，设直线
的倾斜角为
，不妨设其斜率
，
则直线
的斜率为
直线
的方程为
，代入
整理得
点
的横坐标为方程的两根，故
，
，
于是点
坐标为
，
用
代换
可得
故
(2) 由
可知
而
，故
，
3
即
，解得
或
因为双曲线
渐近线斜率为
，故舍去
因为
，故舍去
，所以
故
在
的坐标中令
可得
于是
，
而由
可得
所以
.
【点评】直线过圆锥曲线上已知一点时，可尝试设点求点的套路求出另一点的坐标．本题
引入直线
的单参方程
，可直接求出点
的坐标，用
代换
立即可
得点
的坐标，从而顺利求得
的斜率．本解法思路清晰自然，单参变形所产生的运算
量适中，无需特殊方法技巧．
方法三：点差法+整体代换
【解析】(1)将点
代入
解得
，所以双曲线为
设
，则
，
代入
化简整理得
点
在双曲线上，故
4
整理得
即
同理
可得
代入
化简整理得
得
，所以
所以
.
(2)不妨设
，其倾斜角为
，由
可知
而
，故
，
即
，解得
或
因为双曲线
渐近线斜率为
，故舍去
因为
，故舍去
，所以
故
由
解得
由
解得
故
，
而由
可得
所以
.
【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用
点差法及两点斜率公式，得到直线
斜率的两种表达形式进行整体变形，轻松求得
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直线
的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．
方法四：齐次化
【解析】(1)将点
代入
解得
，所以双曲线为
双曲线可化为
即
设直线
的方程为
联立
可得
即
两边同除
整理得
其中
表示直线
与
的斜率
由于
所以
，直线
的斜率为
.
(2)不妨设直线
的斜率
，设其倾斜角为
由
可知
而
，故
，
即
，解得
或
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因为双曲线
渐近线斜率为
，故舍去
因为
，故舍去
，所以
故
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
消去
得
方程的两根为点
的横坐标，所以
，
消去
得
方程的两根为点
的横坐标，所以
，
于是
，
而由
可得
所以
.
【点评】齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．本题直线
的斜率具有相
同的结构，即
的形式，于是可考虑构造关于
与
的二次齐次方程．直接将直
线
的方程设为
，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解
法思路奇巧，运算简洁明了．但需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！
方法五： 坐标平移+齐次化
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【解析】(1)将点
代入
解得
，所以双曲线为
对坐标系进行平移，使坐标原点与点
重合，在新坐标系下：
双曲线方程为
即
设直线
的方程为
联立
可得
即
两边同除
得
其中
表示直线
与
的斜率
由于平移不改变直线的斜率，故
所以
，直线
的斜率为
.
(2)不妨设直线
的斜率
，设其倾斜角为
由
可知
而
，故
，
即
，解得
或
因为双曲线
渐近线斜率为
，故舍去
因为
，故舍去
，所以
故
在新坐标系下，直线
的方程分别为
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联立
解得
，于是
联立
解得
，于是
而由
可得
所以
.
【点评】坐标平移后，在新坐标系下的齐次化过程更加直观自然．运算也变得简单明了了
方法六： 参数方程法
【解析】(1)将点
代入
解得
，所以双曲线为
设直线
：
，其中
为
的倾斜角
则直线
：
，即
代入双曲线方程得
解得
直线
的斜率
(2)不妨设直线
的斜率
，其倾斜角为
由
可知
而
，故
，
即
，解得
或
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因为双曲线
渐近线斜率为
，故舍去
因为
，故舍去
，所以
可得
于是
而由
可得
所以
.
【点评】直线参数方程的介入，使问题转化为对两参数
的讨论，思路自然，运算量适
中．新教材《选择性必修第一册》
探究与发现栏目，对直线的参数方程进行了简单的
介绍．所以新高考使用直线参数方程解题是被允许的．此方法同样需要考生付出大量训练
才能掌握精髓和技巧！
方法七：点差法+分式合分比定理
【解析】(1)将点
代入
解得
，所以双曲线为
设
，则
，
点
在双曲线上，故
整理得
同理
可得
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由
可得
由分式合分比定理可得
变形得
结合
得
即
.
(2)不妨设
，其倾斜角为
，由
可知
而
，故
，
即
，解得
或
因为双曲线
渐近线斜率为
，故舍去
因为
，故舍去
，所以
故
由
解得
由
解得
故
，
而由
可得
所以
.
【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用
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点差法及两点斜率公式，得到直线
斜率的两种表达形式，结合分式合分比定理进
行整体变形，求得直线
的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．
但要求考生对分式合分比定理有较深刻的认识并能较熟练的应用．
【总结】
解决解析几何压轴题的方法策略主要有三种：
1、根与系数的关系法（主流方法）．
设出动直线的方程：①
，②
，③
，
④
，与圆锥曲线方程联立消元得到关于
的一元二次方
程，得两根之和两根之积，同时兼顾
的要求，利用两根之和两根之积进行
整体代换整体变形而求解．
2、多变量多参数联动变换法．
此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线
（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行
整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．同构问题齐次化处理．此种方
法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验．
3、设点求点法．
方法1、2 均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接
求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐
标可直接求出；再如动直线
与椭圆
的交点易求出．
以上七种解决方案中，本人最青睐的是方法三点差整体变形法，轻巧灵动四两拔千斤！
其次是方法二设点求点法，思路清晰自然运算简单明了！
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