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压轴13 与球有关的切、接问题的4 大核心题型
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体
的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题
位置
题型01 空间几何体的外接球
1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3 和4 3 ，其顶点
都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．100π
B．128π
C．144π
D．192π
2.已知三棱锥P
ABC
-
的四个顶点均在球O 上，
π
π
,
,
3,
2
6
BAC
ACB
AC
PB
Ð
=
Ð
=
=
^ 平面ABC ．若
tan
2 3
PAB
Ð
=
，则球O 的体积为（ ）
A．4π
3
B．16π
3
C．32π
3
D．64π
3
3.已知四面体ABCD 的4 个面为全等的等腰三角形，且
2
4
CA
CB
AB
=
=
=
，A，B，C，D 四点在同一个球面
上，则该球的表面积等于（ ）
A．8π
B．12π
C．18π
D．24π
4.（2023·全国乙卷T16）已知点, , ,
S A B C 均在半径为2 的球面上，
ABC
V
是边长为3 的等边三角形，SA ^
平面ABC ，则SA =
．
题型02 空间几何体的内切球
技法指导
（1）求几何体外接球半径的方法
①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：
球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.
（2）确定球心的常用结论
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心
连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球
心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
5.（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2 的正四棱锥的内切球半径为（ ）
A．
2
3
B．
3
3
C．
6
2
2
-
D．
6
2
4
+
6.（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥P
ABC
-
的体积为
3
3m ，侧面积为
2
2m ，底面积等于
2
1m ，则这
个正三棱锥内切球的体积为（
）
A．
3
36π m
B．
3
12π m
C．
3
108π m
D．
3
4 π m
3
7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3 倍，一个半径为3 的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个
圆台的体积为（ ）
A．39π
B．60π
C．78π
D．117π
8.（2025 新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为4cm ，高为9cm 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内
有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
cm ．
题型03 空间几何体的棱切球
9．（2026·江西南昌·期末）正三棱锥P
ABC
-
的底面边长为2 3 ，侧棱长为2 2 ，若球H 与正三棱锥所有
的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A．17
4 p
B．(44 16 6)p
-
C．9
2p
D．32p
技法指导
空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求
半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.
技法指导
解决棱切球问题的常用方法
（1）外形：转化为内切球求解；
（2）找切点⇒定球心⇒构造直角三角形求解.
10．（2026·山东菏泽二模）已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为18，若存在球O 与三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的各
棱均相切，则球O 的表面积为（ ）
A．8p
B．12p
C．16p
D．18p
题型04 与球切、接有关的最值问题
11.（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O 的球
面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
12.（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为2 3 的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球
2
O 后，
还可以放入一个半径为1 的小球
1
O ，则小球
2
O 的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．4
243
B．1
243
C．4
81
D．1
81
1．
（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱
1
2
O O 内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若
1
2
2
O O =
，
则圆柱
1
2
O O 的表面积为（ ）
A．4π
B．5π
C．6π
D．7π
2．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为
5 ，侧面展开图的面积为2 5π ，则该圆锥的外接球的表面积为
（ ）．
技法指导
求解与球切、接有关的最值问题的策略
（1）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的
最值问题来解决；
（2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他
条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；
（3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.
A．25π
B．10π
C．9π
D．4π
3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，
,
AB
AC PA
^
^ 平面ABC，
3,
1,
2
PA
AB
AC
=
=
=
，
D，E，F 分别是棱PB，PC，BC 的中点，则三棱锥A
DEF
-
的外接球的表面积为（ ）
A．5π
2
B．7π
2
C．9π
2
D．3π
4．（2025·江西·二模）在三棱锥P
ABC
-
中，平面ABC ^ 平面PAC ，PA
PC
^
，AC
AB
^
，
10
AB
AC
=
=
，
若点P 、A 、B 、C 均在球O 的表面上，则球O 的体积为（ ）
A．200π
B．200 2π
C．1000 2π
3
D．1000 2π
5．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥A
BCD
-
中，
ABC
V
和
BCD
△
均为边长为
3 的等边三角形，若
二面角A
BC
D
-
-
的大小为90o，则三棱锥A
BCD
-
外接球的表面积为（ ）
A．5π
B．8π
C．6π
D．9π
6．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八
面体的内切球表面积为
1S ，外接球表面积为
2
S ，则
2
1
S
S 的值为（ ）
A．4
3
B．3
2
C．3
D．4
7．（多选）（2025·甘肃金昌·二模）如图，在圆柱
1
2
O O 中，轴截面ABCD 是边长为2 的正方形，M 是以
2
AO
为直径2 的圆上一动点（异于点
2
,
A O ），AM 与圆柱的底面圆交于点N ，则（ ）
A．
2
MO ∥平面
1
NBO
B．平面
1
2
MO O ^ 平面
1
ANO
C．直线NB 与直线
1
AO 有可能垂直
D．三棱锥
1
2
M
AO O
-
的外接球体积为定值
8．（多选）（2025·四川自贡·三模）如图1，在
ABC
V
中，AC
BC
^
，
3
B
p
Ð
=
，
8
AB =
，D 、E 分别在AB，
AC 上，且4
3
DE
BC
=
uuur
uuur
.将
ADE
V
沿DE 翻折得到图2，其中AC
CE
^
.记三棱锥A
BCD
-
外接球球心为
1
O ，
球
1
O 表面积为
1S ，三棱锥A
ECD
-
外接球球心为
2
O ，球
2
O 表面积为
2
S ，则在图2 中，下列说法正确的有
（ ）
A．BD
AD
^
B．直线AB 与DE 所成角的正弦值为10
5
C．
1
2 / /
O O
平面BCDE
D．
1
2
78
S
S
p
+
=
9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1 和2，它的两个底面的圆
周在同一个球的球面上，则该球的表面积为
．
10.（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱
1
1
1
A B C
ABC
-
中，
1
1
,
2
4
AB
BC AC
AA
^
=
=
，则该三棱柱的体积的最
大值为
．
11．（2025·上海徐汇·一模）如图，在
ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
o，
30
ABC
Ð
=
o ，
3
BC =
，在三角形内挖去一
个半圆，圆心O 在边BC 上，半圆与
,
AC AB 分别相切于点
,
C M ，与BC 交于另一点N ，将
ABC
V
绕直线BC
旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积.
12．（2025·四川成都·模拟）已知球内接正四棱锥P
ABCD
-
的高为3，AC 、BD 相交于O ，球的表面积为
169π
9
，若E 为PC 中点.
(1)求证：
//
OE
平面PAD ；
(2)求三棱锥C
EOB
-
的体积.
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上
盒盖．可放小球的最大半径为2．若是放入一个正方体，合上盒盖，则可放正方体的最大棱长为（ ）
A．2
2
+
B．3 2
C．
4
2
1
3
+
D．
4
2
1
3
-
14.（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取
值范围为
.
