压轴24 概率与统计中创新与融合的3 大核心题型
概率与统计中的创新问题主要涉及概率统计中的证明问题、概率统计与数列、函数的交汇问题及概率
统计中的新定义问题，考查题型多为解答题，难度中等偏上，或可作为压轴题出现.
题型01 概率、统计与数列的融合问题
1.（2025·湖北武汉·三模）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某
人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为
1
2 .若他挑战小明，
下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为3 1
4 4
、；若他挑战小红，下一次的挑战
权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为3 1
4 4
、.
(1)经过3 次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为X ，求X 的分布列及数学期望；
(2)若经过n 次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件
,
,
n
n
n
A B C .
（ⅰ）证明：
n
n
P B
P C
=
；
（ⅱ）求事件
6
A 发生的概率.
2.（2025·安徽六安二模）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或2 时得1 分，掷得的点数为3，4，5，6
时得2 分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2 次骰子，最终得分为X ，求随机变量X 的分布列与期望；
(2)若投掷n 次骰子，记合计得分恰为
1
n + 分的概率为
nP ，求
1
n
i
i
P
=å
.
题型02 统计与函数的融合问题
技法指导
概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步
骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的
准则；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，也就
是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性
质，准确应用相关公式.
3.（2025·安徽合肥一模）3 月14 日为国际数学日，也称为π 节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节
活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3 道题，
若答对题目不少于5 道题，则获得1 个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的
概率分别是
1p 和
2
p ，且每道题答对与否互不影响．
(1)若
1
4
5
p =
，
2
3
4
p =
，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1 个积分的概率；
(2)若
1
2
4
3
p
p
+
=
，且每轮比赛互不影响，进行n 轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X 分．若
(
)
5
E X ³
恒成立，求n 的最小值．
4.（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1 米、2 米、3 米的A，B，C
三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C 三个位置投篮命中分别可得1 分、2 分、3
分，总分不低于4 分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C 三处的投篮命中率分别为3 2 1
,
,
4 3 2 ，且在这三处的
投篮相互独立．
(1)求甲未获得奖品的概率；
(2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C 处先投
*,
60
n n
n
Î
£
N
个球，若这n 个球都投进，则训练结束，
否则额外在C 处投(200
3 )
n
-
个球．试问n 为何值时，甲投篮次数的期望最大？
题型03 概率、统计中的新定义问题
5.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴
性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为
阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为
0
1
p
p
<
<
．目前，我们采用K 人混
管病毒检测，定义成本函数
N
f
X
KX
K
=
+
，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．
技法指导
概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与
方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问
题应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机
事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一
是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.
技法指导
解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总
之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实
践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．
(1)证明：
2
E
f
X
p N
³
é
ù
ë
û
×
；
(2)若
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人
为阳性．
6.若随机变量X，Y 均为定义在同一样本空间W 上的离散型随机变量，则将
,
X Y 称为二维离散型随机变量，
将
,
X Y 取值为
,
i
j
x y
的概率记作
,
i
j
P X
x Y
y
=
=
，其中,
1,2,
,
i j
n
=
L
.
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1 分，不进球得1
- 分，分数
高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为
1
2 ，抽中签者点
球，进球得1 分，不进球得1
- 分；未抽中者不点球，得0 分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进
球的概率分别为
1
2 ，2
3 ，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.
(1)求
1,
0
P X
Y
=
=
，
2,
1
P X
Y
= -
=
；
(2)求
0
1
P Y
X
=
=
；
(3)已知随机事件
1
X = - 发生了，求随机变量Y 的分布列与数学期望.
1．（2025·重庆八中二模）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50 只小白鼠注射疫苗，
并将白鼠分成5 组，每组10 只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量
1,2,
,5
i
X
i =
L
表示第i 组被感染
的白鼠数，并将随机变量
i
X 的观测值
1,2,
,5
ix i =
L
绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只
白鼠被感染的概率为
0,1
p pÎ
，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记
iA 为事件
“
1,2,
,5
i
i
X
x i
=
=
L
”.
(1)写出
1
P A （用p 表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率p 与参数(0
1)
q
q
<
<
之间的关系为
2
1
5
19
2
6
45
p
q
q
=
-
+
.在统计学中，若参数
0
q
q
=
时的p
值使得概率
1
2
3
4
5
P A A A A A
最大，称
0
q 是q 的最大似然估计，求
0
q .
2.（2025·福州二模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，
混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的
人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为
0
1
p
p
<
<
．目前，
我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数
N
f
X
KX
K
=
+
，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．
(1)证明：
2
E
f
X
p N
³
é
ù
ë
û
×
；
(2)若
4
0
10
p
-
<
<
，10
20
K
£
£
．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人
为阳性．
3．（2025 湖北七市州调研）已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A 的需求量相对稳定，
每周内对商品A 的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：
对A 的需求量
0
1
2
3
概率P
1
8
1
2
1
4
1
8
若以商品A 的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A 进行盘点存货：如果商品A 都
售出了，则在周末及时采购2 个新的商品，只要商品A 还有1 个存货，就不采购新的商品.记
n
X 为该商店第
n 周开始时商品A 的供给量，假设
1
2
X =
.
(1)求
3
X 的分布列；
(2)记
1 ,
2
n
n
n
P X
P X
j =
=
=
uur
为第n 周开始时供给量
n
X 的概率向量，随着n 的增大，若
1
n
n
j
j
+ =
uuur
uur
，则
n
j
uur
趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为jr .
（i）求商品A 的定常态分布jr ；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A 需求大于供给的概率.
4．（2025·山东潍坊·二模）有n 个依次进行的试验
1
x 、
2x 、L、
nx ，每个试验的结果为成功或失败．试验：
1
ix
i
n
£ £
成功的概率为
1
1
1
is - + ，其中
1 1
is
i
n
-
£ £
为前
1
i - 次试验中的成功次数，特别地，当
1
i = 时，
0
0
s =
，
1
x 的成功概率为
1
1
0
1 =
+
（即
1
x 必定成功），记前n 次试验中恰有m 次失败的概率为
,
P n m ．
(1)当
3
n =
时，求恰好有2 次成功的概率；
(2)令
1
1
n
n
k
H
k
=
= å
，若
2
n ³
，证明：
,1
1 !
n
n
H
P n
n
-
=
-
；
(3)当
3
n ³
时，请判断
,1
P n
与
, 0
P n
的大小关系，并说明理由．
5.（2025·山东潍坊·一模）若x ，h 是样本空间W 上的两个离散型随机变量，则称( , )
x h 是W 上的二维离散
型随机变量或二维随机向量．设( , )
x h 的一切可能取值为( ,
)
i
j
a b
，,
1,2,
i j =
×××，记
ij
p 表示( ,
)
i
j
a b
在W 中出现
的概率，其中
(
,
)
[(
)
(
)]
ij
i
j
i
j
p
P
a
b
P
a
b
x
h
x
h
=
=
=
=
=
=
I
．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3 的三个盒子中，记1 号盒子中的小球个数为x ，2 号盒子
中的小球个数为h ，则( , )
x h 是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量( , )
x h 的所有可能取值；
②若( , )
m n 是①中的值，求
(
,
)
P
m
n
x
h
=
=
（结果用m ，n 表示）；
(2)
(
)
i
P
a
x =
称为二维离散型随机变量( , )
x h 关于x 的边缘分布律或边际分布律，求证：
1
(
)
i
ij
j
P
a
p
x
+¥
=
=
=å
．
6．（2026·山东枣庄·一模）现将红色、黄色、蓝色的3 个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒
子容纳球数不限）．
(1)记甲盒中小球个数为X ，求X 的分布列和
E X ；
(2)对于两个不相互独立的事件M ，N ，
0
1
P M
<
< ，
0
1
P N
<
< ．
①若
P M N
P M
>
，则称事件M 与N 正相关（N 的发生会“促进” M 的发生）；若
P M N
P M
<
，则
称事件M 与N 负相关（N 的发生会“抑制” M 的发生）；
②定义
,
P MN
P M P N
M N
P M P M P N P N
r
-
=
为M 与N 的相关系数．
（ⅰ）若
,
0
M N
r
>
，求证：M 与N 正相关；
（ⅱ）定义事件M =“甲盒中恰有一个小球”，事件N = “甲盒中含有红球”．求
,
M N
r
，并判断事件M 与N
的相关情况．
7．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数
*
1,2,3,…, (
N )
n nÎ
从小到大排列构成一个数123
n
L ，
( )
F n 为这个数
的位数.例如：当
12
n =
时，此数为123456789101112，共有15个数字，则
(12)=15
F
.现从这个数中随机取一
个数字，( )
p n 为恰好取到0 的概率.
(1)求
(101)
p
；
(2)当
2025
n £
时，求
( )
F n 的表达式；
(3)令
( )
f n 为这个数中数字 0 的个数，( )
g n 为这个数中数字9 的个数，( )= ( )- ( )
h n
g n f n ，
*
={
( )=1,
100,
N }
S
n h n
n
n
£
Î
∣
，求当n
S
Î
时( )
p n 的最大值.
8．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，
比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为a （0
1
a
<
< ），乙每次射击命中目标的
概率均为b （0
1
b
<
< ），各次射击结果互不影响．
(1)若甲先射击，甲第2 次射击且获胜的概率为p ，求p （用a ，b 表示）；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求b 的最小值．
参考公式：若0
1
q
<
< ，则
2
3
0
1
1
1
i
i
q
q
q
q
q
¥
=
= +
+
+
+××× = -
å
．
9．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相
互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为1
3 ，规定先达到净胜3 局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的
净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）．
(1)记经过n 局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为
np ，求
3p ．
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k 时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概
率为
kq ，求证：
1
3
2
k
k
q
q
k
k
+ -
- £
£
ÎZ
，
是等比数列；
(3)求甲获得训练赛胜利的概率．
10．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1 个单位的正方体
-
ABFD
CGHE 中，一个质点从顶点A 出发，每隔1
秒等可能地沿着棱移动1 个单位，移动的方向是随机的．设第n 秒
*
nÎN
后，质点回到A 点的概率为
na ．
(1)求
2a 和
3a ；
(2)设第n 秒后，质点移动到B 点的概率为
nb ，移动到E 点的概率为
nc ，移动到H 点的概率为
n
d ．
（i）证明：存在常数x ，使得
1
1
1
,
1
n
n
n
n
n
n
b
xa
x c c
x b
xd
+
+
=
+
-
=
-
+
；
（ii）记
na
的前n 项和为
n
S ，证明：存在常数M ，使得
8
<
+
n
n
S
M ．
11．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放
入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3 次遇到黑色障碍物，
已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1
2 ，最后落入A 袋或B 袋中．一次游戏中
小球落入A 袋记1 分，落入B 袋记2 分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（
*
nÎN ）分的概率为
np ．
(1)求
1
2
3
p
p
p
，，
；
(2)写出
np 与
1
np -
*
2,
n
n
³
ÎN
之间的递推关系，并求出
np
的通项公式．
12．（2026·山东济宁·一模）2026 年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有
, ,
A B C 三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，A 盒中有1 个红球，2 个
黄球；B 盒中有1 个红球，3 个黄球；C 盒中有5 个红球，3 个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，
游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从A 盒中随机摸出1 个小球，记录颜色后再放回A 盒内，然后，乙根
据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从B 盒中摸球；若甲摸到黄
球，则乙从C 盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的
小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰
骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第n 轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为
*
nP nÎN
，且
1
1
P = .
（i）求
3
4
,
P P ；
（ii）求
nP ，并判断：当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 是否无限趋近于一个常数a ？若是，求出a 的值；若不是，请说明
理由.
