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专题11 三角恒等变换及应用
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
5．tan(α－β)＝
6．tan(α＋β)＝
二、二倍角公式
1．基本公式
(1)sin 2α＝2sinαcosα；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
1
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(3)tan 2α＝．
2．公式变形
(1)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcos α＝sin 2α；
(2)升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝2；1－sin α＝2．
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan
∓
αtan β)
三、辅助角公式、半角公式
(1)辅助角公式
asin x＋bcos x＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ 为辅助
角．
(2)半角公式
sin ＝±，
cos ＝±，
tan ＝±，
tan ＝＝
拓展：万能公式：
设tan ＝t，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．
四、积化和差与和差化积公式
1．积化和差公式
2．和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin
cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒
等变换;利用三角恒等变换求值是近年来高考考查的重点，常常与三角函数的其他内容相结合，难度中等选
择题、填空题、解答题都有出现.
一、三角函数式的化简
例1 (2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α 等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 方法一 因为tan 2α＝＝，
2
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且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，
解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法归纳：
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数
公式之间的联系点．
二、三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 (1)
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式计算可得答案.
解析
.
故选：C.
(2)化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D
分析
利用正余弦的二倍角公式化简即可.
解析
原式化简为
.
3
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故选：D.
命题点2 给值求值
例3 (1)已知
，且
，则
.
答案
/
分析 根据题意，由同角三角函数的平方关系可得
，即可得到
，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果.
解析 因为
，所以
，又
，
所以
，
所以
.
故答案为：
(2)(已知
为锐角，满足
，则
，
．
答案
/
/
4
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分析 由
，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出
；再用余弦的二倍角公式求出
.
解析 因为
，所以
，
又
，所以
，
因为
为锐角，所以
为锐角，
又
，所以
，
又
，所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
[拓展]
1．已知
，则
.
答案
/
分析 利用三角恒等变换化简算式得
，已知
，由正切的倍角公
式求出
即可求得结果.
解析
，
，
5
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所以
，
而
，
因此原式
.
故答案为：
.
命题点3 给值求角
例4 已知α，β 均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .
答案
解析 因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β 均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α 为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β 为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
方法归纳： (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的
联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
三、三角恒等变换的综合应用
例5 已知函数
的图像经过点
．
(1)求实数
的值，并求
的单调递减区间；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
6
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答案 (1)
，
(2)
分析 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的单调区间；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题求出参数
的取值范围．
解析 （1）由题意得，
解得
所以
，
由
，得
，
所以
的单调递减区间为
（2）由（1）可知
因为
，所以
所以
所以
当
，即
时，
取得最小值
因为
恒成立等价于
，所以
7
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所以实数
的取值范围是
[拓展]
1．已知函数
的最小值为
.
(1)求实数
的值；
(2)将
图象上所有点向右平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不
变，得到函数
的图象，若
在
上有两个不同的解，求实数
的取值范围．
答案 (1)
(2)
分析 （1） 利用三角函数恒等变换化简
，结合函数
的最小值，列出方程，
即可求解；
（2） 根据题意，利用三角函数图象的变换，得到
，根据题意转化为
在
上有两个不同的解，画出图象，结合图象和正弦型函数的性质，即可求解.
解析 （1）解：由函数
，
因为函数
的最小值为
，可得
，解得
.
（2）解：由（1）知
，
所以
，
因为
在
上有两个不同的解，
等价于
，即
在
上有两个不同的解，
又因为
，可得
，
令
，则
，画出函数
的图形，
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如图所示，结合图象，可得
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
方法归纳： (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式
的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x 化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
9
