文档文本内容
第 小题 立体几何问题
14
第14小题 立体几何问题..........................................................1
一、主干知识归纳与回顾......................................................2
14.1基本立体图形........................................................2
14.2立体图形的直观图....................................................3
14.3简单几何体的表面积与体积............................................3
14.4空间点、直线、平面之间的位置关系....................................4
14.4.1平面...........................................................4
14.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系...............................4
14.5空间直线、平面的平行................................................5
14.5.1直线与直线平行.................................................5
14.5.2直线与平面平行.................................................5
14.5.3平面与平面平行.................................................5
14.6空间直线、平面的垂直................................................5
14.6.1直线与直线垂直.................................................5
14.6.3平面与平面垂直.................................................6
（一）命题角度剖析..........................................................7
（二）考情分析..............................................................8
（三）高考预测..............................................................8
二、题型分类与预测..........................................................8
命题点一：几何体的结构特征、表面积和体积.................................8
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................8
一．棱柱的结构特征（共2小题）....................................8
二．棱锥的结构特征（共1小题）...................................10
三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共6小题）.......................12
四．球内接多面体（共1小题）.....................................14
五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共2小题）.................15六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共16小题）..........................16
七．球的体积和表面积（共4小题）.................................33
八．简单空间图形的三视图（共1小题）.............................35
九．由三视图求面积、体积（共6小题）.............................36
1.2解题模型.........................................................41
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................42
一．棱柱的结构特征（共3小题）...................................42
二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共6小题）.......................45
三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共2小题）.................50
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共13小题）..........................51
五．球的体积和表面积（共12小题）................................65
命题点二：空间点、线、面的位置关系......................................80
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................80
一．异面直线及其所成的角（共5小题）.............................80
二．异面直线的判定（共1小题）...................................83
三．空间中直线与直线之间的位置关系（共3小题）...................84
四．直线与平面垂直（共2小题）...................................87
五．平面与平面垂直（共1小题）...................................90
1.2解题模型.........................................................91
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................92
一．平面的基本性质及推论（共2小题）.............................92
二．异面直线及其所成的角（共5小题）.............................94
三．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）..................100
四．空间中直线与平面之间的位置关系（共3小题）..................101
五．直线与平面平行（共2小题）..................................104
六．平面与平面垂直（共1小题）..................................106
三、类题狂刷（五年区模、校模）：..........................................109
一．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共2小题）......................109
二．球内接多面体（共1小题）....................................110
三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）................110
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共20小题）.........................113五．球的体积和表面积（共13小题）...............................137
六．由三视图求面积、体积（共1小题）............................151
七．平面的基本性质及推论（共2小题）............................151
八．异面直线及其所成的角（共2小题）............................153
九．直线与平面平行（共1小题）..................................155
一十．平面与平面平行（共1小题）................................156
一十一．平面与平面垂直（共1小题）..............................157
一、主干知识归纳与回顾14.1基本立体图形
空间几何体的结构：
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球.
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行
六面体.
（3）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成
的多面体叫棱锥.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫
正棱锥.
（4）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体
叫做棱台.
（5）圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫
圆柱.
轴：旋转轴叫圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面.侧面：平行于
轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面.母线：平行于轴的边都叫圆柱侧面的母线.
（6）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围
成的旋转体叫圆锥.
（7）圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，
（8）球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的
旋转体叫球体，简称球.半圆的圆心叫球的球心.连结球心和球面上任意一点的线段叫球的半
径.连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
14.2立体图形的直观图
斜二测画法：
(1) 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的 轴和 轴,两轴相交于点 .(2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 轴和 轴, 两轴相交于点 ，且使
，它们确定的平面表示水平面.
(3) 画对应图形: 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴，长度保持不
变. 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴, 且长度为原来一半.
14.3简单几何体的表面积与体积
S =2π⋅r⋅l
（1）圆柱侧面积； 侧面 （ 是底面圆半径， 是母线长）
( 9 )
（2）圆锥侧面积： （ 是底面圆半径， 是母线长）
3n+1 3n+2 3n+3
（3）体积公式：
1+ω+ω2 =0
；
ω =ω,ω =ω
¯
,ω =1
；
y
（4）球的表面积和体积： .
14.4空间点、直线、平面之间的位置关系
14.4.1平面
1.三个事实：基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.（即不共线的三点
确定一个平面）基本事实2：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线.
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，
有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
14.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
1.空间中直线和直线的位置关系
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.
2.空间中直线和平面的位置关系
3.空间中平面和平面的位置关系
14.5空间直线、平面的平行
14.5.1直线与直线平行
1.基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行.
2.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
14.5.2直线与平面平行
1.线面平行判定定理（线线平行 线面平行）：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
2.线面平行性质定理（线面平行 线线平行）：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.14.5.3平面与平面平行
1.面面平行判定定理1（线面平行 面面平行）：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
2.面面平行判定定理2（线线平行 面面平行）：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.
3.面面平行性质定理（面面平行 线线平行）：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
4.面面平行的定义推论（面面平行 线面平行）：
如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
14.6空间直线、平面的垂直
14.6.1直线与直线垂直
1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线 ，经过空间任一点O分别作直线
，我们把直线 所成的角叫做异面直线 所成的角.空间两条直线所成角的取值范围是
.
2.两条异面直线互相垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线
互相垂直.
14.6.2直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 与平面
互相垂直.
2. 线面垂直定义的推论（线面垂直 线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么该
直线垂直于平面内的任意一条直线.
3.点到平面的距离的定义：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已
知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个
点到平面的距离.
4.线面垂直判定定理（线线垂直 线面垂直）：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
5.线面垂直性质定理：
（1）垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面.
6.直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直
线和这个平面所成的角.直线和平面所成的角范围是 .
7.直线到平面的距离的定义：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面
的距离，叫做这条直线到平面的距离.
8.两个平行平面间的距离的定义：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另
一个平面的距离都相等，把它叫做两个平行平面间的距离.
14.6.3平面与平面垂直
1. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角
的棱，这两个半平面叫二面角的面.
记作：例如二面角 或二面角 或二面角 .
2. 二面角的平面角：在二面角
α−l−β
的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作射线
AO⊥l,BO⊥， l 则∠AOB为二面角 α−l−β 的平面角.二面角的范围是 .
3．两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两
个平面互相垂直.
4. 面面垂直判定定理（线面垂直 面面垂直）：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么
这两个平面垂直.
5. 面面垂直性质定理（面面垂直 线面垂直）：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直
线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直（一）命题角度剖析
1.几何体的结构特征、表面积和体积★★★★☆ 2.空间点、线、面的位置关系
★★★★☆
（二）考情分析
高考频率：100% 试题难度：中等 呈现形式：以选择题或填空题呈现
（三）高考预测
常以柱、锥、台为载体考查空间几何中的点、线、面的位置关系的判断，以及几何体的
表面积、体积的计算，同时也考查与球有关的切、接问题。二、题型分类与预测
命题点一：几何体的结构特征、表面积和体积
1.1母题精析（三年高考真题）
一．棱柱的结构特征（共2小题）
1．（2023•甲卷）在正方体 中， ， 为 的中点，若该正方体的棱与球 的球
面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查正方体的结构特征、四边形的外接圆、球的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
2．（2023•甲卷）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则以 为直径的球面
与正方体每条棱的交点总数为 1 2 ．
【点评】本题考查正方体的对称性、球心到各棱距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二．棱锥的结构特征（共1小题）
3．（2023•甲卷）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ，则 的面积为
A． B． C． D．
【点评】本题考查三角形面积的求解，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，最小角定理的应用，化
归转化思想，属中档题．
三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共6小题）
4．（2022•全国）底面积为 ，侧面积为 的圆锥的体积是
A． B． C． D．
【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2 B． C．4 D．
【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，
圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力和空间思维能力，属于基础题．
6．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥
的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为
A． B． C． D．
【点评】本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
7．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为 ，则圆柱的侧面积为 ． ．
【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．
8．（2021•甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 ，则该圆锥的侧面积为 ．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．
9．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位： 为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的
底面半径（单位： 是 ．【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
四．球内接多面体（共1小题）
10．（2020•山东）已知直四棱柱 的棱长均为2， ．以 为球心， 为半径
的球面与侧面 的交线长为 ．
【点评】本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，难度比较大．
五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共2小题）
11．（2022•北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合．设集
合 ，则 表示的区域的面积为
A． B． C． D．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．
12．（2020•新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该
四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面
正方形的边长的比值为
A． B． C． D．
【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．
六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共16小题）
13．（2023•天津）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为
A． B． C． D．
【点评】本题主要考查了三棱锥体积的求解，换顶点的应用是求解问题的关键，属于中档题．
14．（2023•乙卷）已知圆锥 的底面半径为 ， 为底面圆心， ， 为圆锥的母线，
，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【点评】本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积计算公式，属于基础题．
15．（2023•全国）长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为
A． B． C． D．
【点评】本题主要考查长方体表面积、体积公式，属于基础题．
16．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．
已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为
．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，
增加的水量约为
A． B． C． D．
【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
17．（2022•乙卷）已知球 的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为A． B． C． D．
【点评】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
18．（2022•甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和
，体积分别为 和 ．若 ，则
A． B． C． D．
【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
20．（2021•甲卷）已知 ， ， 是半径为1的球 的球面上的三个点，且 ， ，
则三棱锥 的体积为
A． B． C． D．
【点评】本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定 所在圆的圆心的位置，考查了
逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题．
21．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为
A． B． C． D．【点评】本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运
算求解能力、推理论证能力，是中档题．
22．（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： 的正方体容器（容器壁厚度忽
略不计）内的有
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
【点评】本题考查简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
23．（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， ．
记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ， ， ，则
A． B． C． D．
【点评】本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键．
24．（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中
， ， ， ，则
A．当 时，△ 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【点评】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑
推理能力与空间想象能力，属于难题．
25．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高
为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 2 8 ．
【点评】本题考查台体的体积的求解，化归转化思想，方程思想，属基础题．
26．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台 中， ， ， ，则该棱台的体积
为 ．
【点评】本题考查台体的体积公式的应用，属基础题．
27．（2020•海南）已知正方体 的棱长为2， 、 分别为 、 的中点，则三棱锥
的体积为 ．
【点评】本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．
28．（2020•江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六
边形边长为 ，高为 ，内孔半径为 ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．
【点评】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查．
七．球的体积和表面积（共4小题）
29．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【点评】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能
力要求较高，属于较难题目．
30．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地
球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面
的距离）．将地球看作是一个球心为 ，半径 为 的球，其上点 的纬度是指 与赤道平面所成
角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，该卫星信号覆盖
地球表面的表面积 （单位： ，则 占地球表面积的百分比约为
A． B． C． D．
【点评】本题考查了对题目的阅读能力和理解能力，属于基础题．
31．（2020•天津）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．
32．（2020•新课标Ⅰ）已知 ， ， 为球 的球面上的三个点， 为 的外接圆．若 的面
积为 ， ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．
八．简单空间图形的三视图（共1小题）
33．（2020•新课标Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点
为 ，在俯视图中对应的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为A． B． C． D．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换、主要考查学生的运算能力和转换能
力及思维能力，属于基础题型．
九．由三视图求面积、体积（共6小题）
34．（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表
面积为
A．24 B．26 C．28 D．30
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积，主要考查学生的
理解能力和计算能力及空间想象能力，属于基础题．
35．（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： ，则该几何体的体积（单位： 是A． B． C． D．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．
36．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： ，则该几何体的体积（单位： 是
A． B．3 C． D．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
37．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为A． B． C． D．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
38．（2020•新课标Ⅲ）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A． B． C． D．
【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能
力．
39．（2020•浙江）某几何体的三视图（单位： 如图所示，则该几何体的体积（单位： 是A． B． C．3 D．6
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
1.2解题模型
1.求几何体的表面积的策略
已知具体的几何体求表面积时，若几何体为规则几何体，直接利用相关的表面积公式求
解，或将多面体的表面积通过“裁”“展”分解为若干个平面图形的面积之和；求旋转体的
表面积时，应结合旋转体的形成特征(或者自身特征)确定底面半径、母线长、侧面展开图的
形状与边长，利用公式求解.若几何体为不规则几何体，通常将所给几何体通过“割”或
“补”转化成常规的柱、锥、台，先求这些柱、锥、台的表面积，再通过求和或作差求得原
几何体的表面积.
2.求几何体的体积的常用方法
公式法：规则几何体的体积，直接利用公式割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
3.求组合体的表面积和体积的策略
求组合体的表面积时，首先应弄清它是由哪几种简单几何体组合而成的，其表面有哪些
底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求组合
体的体积时也要先弄清它是由哪几种简单几何体组合而成的，再求出各简单几何体的体积，
最后相加或相减.
4.几何体的内切球与外接球问题
(1)常用结论①球(半径为R)与正方体(棱长为a)的位置关系有以下三种特殊情况：一是球内
切于正方体，此时2R=a;二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R= a;三是球外接于正方
体，此时2R= a.
②长、宽、高分别为a,b,c的长方体的体对角线长等于外接球(半径为R)的直径，即
③棱长为a的正四面体，斜高为 ,高为 ，外接球的半径为 ,内切球的半径为
(2)内切球与外接球半径的求解思路
①求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得
出.也可以考虑将棱锥补成长方体后，求得内切球与外接球的半径.
②求一个几何体的外接球的半径，可以结合球心到各个定点的距离相等列式得出.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．棱柱的结构特征（共3小题）
1．（2022•莆田模拟）莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成 角
的次数是
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022•南平模拟）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在正方体
中，当 分别与 ， ， ， 重合时，所形成的四面体 中鳖孺共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023•莆田模拟）已知正四面体 的棱长为 ， 是 及其内部的点构成的集合．若
，集合 ，则 表示的区域可以是
A． B．
C． D．二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共6小题）
4．（2023•泉州模拟）已知圆锥 的母线长为2， 是圆 的直径，点 是 的中点．若侧面展开图
中， 为直角三角形，则该圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
5．（2023•三明三模）某社会实践小组需要对一个实心圆锥形工件进行加工，该工件底面半径为 ，高
为 ，加工方法为挖掉一个与该圆锥形工件同底面共圆心的内接圆柱，若要求加工后工件的质量最轻，
则圆柱的半径应设计为
A． B． C． D．
6．（2023•厦门模拟）已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为
A． B． C． D．
7．（2022•厦门模拟）一个斜边长为 的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为
A． B． C． D．
8．（2023•福州模拟）已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为
4和5，则该圆台的侧面积为 ．
9．（2023•南平模拟）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容
异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线
与它的渐近线以及直线 所围成的图形，将此图形绕 轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转
体的体积为 ．
三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共2小题）
10．（2023•漳州模拟）已知某圆锥的底面半径为1，高为 ，则它的侧面积与底面积之比为
A． B．1 C．2 D．4
11．（2022•泉州模拟）已知圆锥 的底面半径为1，若其底面上存在两点 ， ，使得 ，则
该圆锥侧面积的最大值为
A． B． C． D．
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共13小题）
12．（2023•宁德模拟）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九
章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式．例如在推导正四棱台（古
人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．如图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．
对应的是正四棱台中间位置的长方体； 、 、 、 对应四个三棱柱， 、 、 、 对应四个四
棱锥．若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为A．24 B．28 C．32 D．36
13．（2023•南平模拟）2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成
国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度
洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比 热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如
图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球
舱体积为
A． B． C． D．
14．（2020•福建模拟）某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个
圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是
A． B． C． D．
15．（2023•泉州模拟）已知矩形 中， ， ，将 沿 折起至△ ，当 与
所成角最大时，三棱锥 的体积等于A． B． C． D．
16．（2022•莆田模拟）甲烷是一种有机化合物，分子式为 ，其在自然界中分布很广，是天然气、沼
气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离 键长）
相等，碳原子到四个氢原子的距离 键长）均相等，任意两个 键之间的夹角为（键
角）均相等，且它的余弦值为 ，即 ，若 ，则以这四个氢原子为顶点的四面体
的体积为
A． B． C． D．
17．（2023•福州模拟）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，
为线段 上的动点，则
A．线段 长度的最小值为2
B．三棱锥 的体积为定值
C．平面 截正方体所得截面为梯形
D．直线 与 所成角的大小可能为
18．（2023•三明三模）如图，正方体 的棱长为2，点 是 的中点，点 是侧面内一动点，则下列结论正确的为
A．当 在 上时，三棱锥 的体积为定值
B． 与 所成角正弦的最小值为
C．过 作垂直于 的平面 截正方体 所得截面图形的周长为
D．当 时， 面积的最小值为
19．（2023•宁德模拟）在正方体 中， 分别为 ， ， 的中点，
则以下结论正确的是
A．直线 与平面 平行
B．直线 与直线 垂直
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．四面体 的体积为
20．（2023•漳州模拟）在正方体 中， 为线段 上的动点，则
A． 平面
B． 平面C．三棱锥 的体积为定值
D．直线 与 所成角的取值范围是
21．（2023•泉州模拟）在正三棱柱 中， ， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，则错误的是
A． 平面
B． 平面
C．三棱锥 的体积为
D．平面 截该正三棱柱所得的截面图形为五边形
22．（2023•泉州模拟）在长方体 中， ， ，点 ， 在底面
内，直线 与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且 ，则
A．
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 的体积为定值
D． 与该长方体的每个面所成的角都相等
23．（2023•莆田模拟）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，
盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖
内均铸一“爰”字．通高 ，口长 ，口宽 ，底长 ，底宽 ．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约 ，下部分看作台体．则其体积约为 2774. 9 （精确到 ．（参考
数据： ，
24．（2023•福州模拟）在平行四边形 中， ， ， ， ， 分别为直线
， 上的动点，记 ， 两点之间的最小距离为 ，将 沿 折叠，直到三棱锥 的
体积最大时，不再继续折叠．在折叠过程中， 的最小值为 ．
五．球的体积和表面积（共12小题）
25．（2023•莆田模拟）某校科技社利用 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部
分是圆台．其中半球的体积为 ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密
度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为
A． B． C． D．
26．（2023•厦门模拟）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具
（如图 ．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积
为球缺所在球的半径， 为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为 ，壶口直径为（如图 ，则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度， 取
A． B． C． D．
27．（2023•厦门模拟）一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个
球表面积的最大值是
A． B． C． D．
28．（2023•龙岩模拟）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则
该正八面体的内切球表面积为
A． B． C． D．
29．（2023•漳州模拟）已知正三棱锥 的侧面与底面所成的二面角为 ，侧棱 ，则该正
三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
30．（2023•龙岩模拟）正方体 的棱长为2，若点 在线段 上运动，当 的周长最小时，三棱锥 的外接球表面积为
A． B． C． D．
31．（2023•福州模拟）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ，
，则球 的体积为
A． B． C． D．
32．（2023•福建模拟）在正四棱台 中， ，且各顶点都在同一球
面上，则该球体的表面积为
A． B． C． D．
33．（2023•厦门模拟）如图的六面体中， ， ，则
A． 平面
B． 与 所成角的大小为
C．
D．该六面体外接球的表面积为
34 ． （ 2023• 泉 州 模 拟 ） 已 知 正 四 棱 台 的 所 有 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 ，
， 为 内部（含边界）的动点，则A． 平面
B．球 的表面积为
C． 的最小值为
D． 与平面 所成角的最大值为
35．（2023•漳州模拟）已知正四棱台 的上底面的边长为 ，下底面的边长为 ，记
该正四棱台的侧面积为 ，其外接球表面积为 ，则当 取得最小值时， 的值是 ．
36．（2023•泉州模拟）在 中， ， ， ， 是边 上的一动点，沿 将
翻折至△ ，使二面角 为直二面角，且四面体 的四个顶点都在球 的球面上，
当线段 的长度最小时，球 的表面积为 ．
命题点二：空间点、线、面的位置关系
1.1母题精析（三年高考真题）
一．异面直线及其所成的角（共5小题）
1．（2021•乙卷）在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为
A． B． C． D．
【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2018•新课标Ⅱ）在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为
A． B． C． D．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（2018•新课标Ⅱ）在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的
正切值为
A． B． C． D．
【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，是基础题．
4．（2022•新高考Ⅰ）已知正方体 ，则
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解
能力，是基础题．
5．（2022•全国）在正三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的大小
为 ．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，属中档题．
二．异面直线的判定（共1小题）
6．（2018•上海）如图，在直三棱柱 的棱所在的直线中，与直线 异面的直线的条数为A．1 B．2 C．3 D．4
【点评】本题考查异面直线的条数的求法，考查异面直线的判断等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，是基础题．
三．空间中直线与直线之间的位置关系（共3小题）
7．（2022•上海）如图正方体 中， 、 、 、 分别为棱 、 、 、 的中
点，连接 ， ．空间任意两点 、 ，若线段 上不存在点在线段 、 上，则称 两点
可视，则下列选项中与点 可视的为
A．点 B．点 C．点 D．点
【点评】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．
8．（2021•浙江）如图，已知正方体 ， ， 分别是 ， 的中点，则A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理与性质，考查了逻辑推理核心素养，属于
中档题．
9．（2019•新课标Ⅲ）如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 ，
是线段 的中点，则
A． ，且直线 ， 是相交直线
B． ，且直线 ， 是相交直线
C． ，且直线 ， 是异面直线
D． ，且直线 ， 是异面直线
【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查推理能力与计算能力，是中档题．
四．直线与平面垂直（共2小题）
10．（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方体的顶点，则满足 的是
A． B．
C． D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查数学运算、
逻辑思维等核心素养，是中档题．
11．（2020•全国）在空间直角坐标系中，已知点 ，0， ， ，1， ，则经过点 且与直线
垂直的平面方程为 ．
【点评】本题考查平面方程的求法，属基础题．
五．平面与平面垂直（共1小题）
12．（2022•乙卷）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
1.2解题模型
1.判断空间直线、平面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并
结合有关定理进行判断
2.作截面应遵循的三个原则
(1)在同一平面上的两点可引直线；
(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；
3.作交线的两种方法
(1)利用基本事实3(即“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过
该点的公共直线”)作交线；
(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出
交线。
4.求解空间角的步骤
（1）作：利用定义作出所求的角——异面直线所成的角：在空间任取一点，分别作两异面直
线的平行线，往往采用平移法：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或
中点)作平行线平移；③补形平移
直线与平面所成的角：在斜线上选取恰当的点，过该点向平面引垂线作出所求角，其中确定
垂足的位置是关键。
二面角的平面角：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射
线，这两条射线构成的角为所求角。
（2）证：证明上述所作的角是所求的角(特别注意异面直线所成的角也可能是所作角的补角)
（3）算：在立体图形中，寻找或者作出含有上述所作角的三角形，利用正、余弦定理或其他
三角形的有关知识计算所作的角的某一三角函数值
（4）答：正确回答所求的角是多少，这里要注意空间三种角的取值范围(线线角的取值范围
是[0°,90°],线面角的取值范围是[0°,90°],二面角的平面角的取值范围是[0°,180°]),这一步不可少.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．平面的基本性质及推论（共2小题）
1．（2023•厦门模拟）在四面体 中， ， ， ，同时平行于
， 的平面 分别与棱 ， ， ， 交于 ， ， ， 四点，则
A．B．
C．四边形 的周长为定值
D．四边形 的面积最大值是3
2．（2022•莆田模拟）已知正四面体 的棱长为 ，点 ， 满足 ，用过 ，
， 三点的平面截正四面体 的外接球 ，当 ， 时，截面的面积可能为
A． B． C． D．
二．异面直线及其所成的角（共5小题）
3．（2021•泉州一模）在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为
A． B． C． D．
4．（2023•龙岩模拟）如图，已知 平面 ， ， ， 为 的中点，
，则
A．
B．
C． 平面
D．直线 与 所成角的余弦值为
5．（2022•厦门模拟）四棱台 的底面 是正方形， 平面 ，则A．直线 与直线 所成角为
B．直线 与直线 异面
C．平面 平面
D．
6．（2021•莆田二模）在直三棱柱 中，各棱长均为2， ， 分别为线段 ， 的中点，
则
A．平面 平面
B．
C．直线 和 所成角的余弦值为
D．该棱柱外接球的表面积为
7．（2022•莆田模拟）在正方体 中， ， ， ， 分别是棱 ， ， ，
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是 ．
三．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）
8．（2022•龙岩模拟）若 和 是异面直线， 和 是异面直线，则 和 的位置关系是
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
9．（2022•福州模拟）在底面半径为1的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面 ，其中母线
， 是 的中点， 是 的中点，则
A． ， 与 是共面直线 B． ， 与 是共面直线C． ， 与 是异面直线 D． ， 与 是异面直线
四．空间中直线与平面之间的位置关系（共3小题）
10．（2022•厦门模拟）已知平面 ， ，直线 ， 满足 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
11．（2023•福建模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点 为线段 上的动点（含端
点），则
A．存在点 ，使得 平面
B．存在点 ，使得 平面
C．不存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为
D．存在点 ，使得平面 与平面 所成的锐角为
12．（2021•漳州模拟）已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列结论正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则五．直线与平面平行（共2小题）
13．（2022•泉州模拟）在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则
A． 平面 B． 平面 C． 平面 D． 平面
14．（2021•福州一模）如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱
的中点，则在这四个正方体中，直线 平面 的是
A． B．
C． D．
六．平面与平面垂直（共1小题）
15．（2021•厦门模拟）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如图），则
A．正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体
B．直线 与 是异面直线
C．平面 平面
D．平面 平面三、类题狂刷（五年区模、校模）：
一．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共2小题）
1．（2022•福建模拟）已知某圆台的高为 ，上底面半径为 ，下底面半径为 ，则其侧面展开图的
面积为
A． B． C． D．
2．（2022•三明模拟）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱
形，圆楼直径为 ，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为
，高为 的圆锥的侧面积的 ，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为
A． B． C． D．二．球内接多面体（共1小题）
3．（2022•涵江区校级模拟）若正三棱台 的各顶点都在表面积为 的球 的表面上，且
，则正三棱台 的高为
A． B．4 C． 或3 D．3或4
三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）
4．（2022•芗城区校级模拟）宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如
图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上下层正棱柱的底面周长均为 ，高为 ，中间
一层角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为 ，高为 ，中间一层的正
棱柱高为 ．设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为
A． B． C． D．
5．（2022•鼓楼区校级模拟）已知一个直三棱柱的高为 2，如图，其底面 水平放置的直观图（斜二测
画法）为 ，其中 ，则此三棱柱的表面积为
A． B． C． D．
6．（2022•福州模拟）如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为 ，高为 ，则这个茶叶盒的表
面积约为 1719. 6 ．（精确到0.1，四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共20小题）
7．（2022•荔城区校级模拟）如图1，在高为 的直三棱柱容器 中， ， ．
现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某
一位置时，水面恰好为 （如图 ，则容器的高 为
A．3 B．4 C． D．6
8．（2023•福州模拟）已知菱形 的边长为2， ，则将菱形 以其中一条边所在的直
线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为
A． B． C． D．
9．（2023•思明区校级模拟）已知半径为4的球 ，被两个平面截得圆 、 ，记两圆的公共弦为 ，
且 ，若二面角 的大小为 ，则四面体 的体积的最大值为
A． B． C． D．10．（2023•蕉城区校级模拟）“辛普森 公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的
体积 等于其上底面的面积 、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积 的4倍、下底面的面
积 之和乘以高 的六分之一，即 ．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称
为拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面．中国古代名词“刍
童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体．已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为
，则它的高为
A． B． C． D．4
11．（2023•台江区校级模拟）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长均为2，
活动弹子 在线段 上移动（包含端点），弹子 ， 分别固定在线段 ， 的中点处，且
平面 ，则当 取最大值时，多面体 的体积为
A． B． C． D．
12．（2023•思明区校级模拟）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该
截角四面体的体积为
A． B． C． D．
13．（2023•鼓楼区校级模拟）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在
圆的半径分别是1和3，且 ，则该圆台的体积为
A． B． C． D．
14．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥 的各顶点都在球 的球面上，球心 在该正六
棱锥的内部，若球 的体积为 ，则该正六棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
15．（2023•福建模拟）如图，正六边形 的边长为6，设边 ， 的中点分别为 ， ，已
知某几何体是由此正六边形 绕直线 旋转一周而成，则该几何体的体积为A． B． C． D．
16．（2023•福鼎市校级一模）已知 是边长为3的等边三角形，三棱锥 全部顶点都在表面积
为 的球 的球面上，则三棱锥 的体积的最大值为
A． B． C． D．
17．（2022•鼓楼区校级三模）已知 ， 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且 ． ， 分别
为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥 的体积为18，则该圆柱的侧
面积为
A． B． C． D．
18．（2023•福建模拟）如图，在棱长为2的正方体 中，点 ， ， 分别为 ， ，
的中点，若点 在线段 上运动，则下列结论正确的为
A． 与 为共面直线
B．平面 平面C．三棱锥 的体积为定值
D． 与平面 所成角的正切值为
19．（2023•蕉城区校级一模）如图，在多面体 中， 平面 ，四边形 是正方形，
且 ， ， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段 上的一个动点（含
端点 ， ，则下列说法正确的是
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为
C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角逐渐增大
20．（2023•泉州模拟）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， ， 为圆柱上
下底面的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则
A．球与圆柱的体积之比为B．四面体 的体积的取值范围为 ，
C．平面 截得球的截面面积最小值为
D．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
21．（2023•思明区校级一模）已知正四面体 的棱长为 ，其外接球的球心为 ．点 满足
， ，过点 作平面 平行于 和 ，平面 分别与该正四面体
的棱 ， ， 相交于点 ， ， ，则
A．四边形 的周长为定值
B．四棱锥 的体积的最大值为
C．当 时，平面 截球 所得截面的周长为
D．当 时，将正四体 绕 旋转 后与原四面体的公共部分体积为
22．（2023•新罗区校级模拟）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 沿 向上翻折，
得三棱锥 ，设 ，点 ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段 上的动点，下列说法
正确的是
A．不存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥 体积取得最大值时， 与平面 成角的正弦值为D．当 时， 的最小值为
23．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在矩形 中， ， ， 为 中点，现分别沿
、 将 、 翻折，使点 、 重合，记为点 ，翻折后得到三棱锥 ，则
A．三棱锥 的体积为
B．直线 与直线 所成角的余弦值为
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．三棱锥 外接球的半径为
24．（2023•思明区校级模拟）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点
在线段 上，且 ， 为线段 上的动点，则下列结论正确的是
A．当 为 的中点时，直线 与平面 所成角的正切值为B．当 时， 平面
C． 的周长的最小值为
D．存在点 ，使得三棱锥 的体积为
25．（2023•思明区校级三模）已知圆锥 是圆锥底面圆的圆心， 是圆锥的顶点）的母线长为3，底
面半径为 ．若 ， 为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是
A．圆锥 的侧圆积为
B． 面积的最大值为
C．三棱锥 体积的最大值为
D．圆锥 的内切球的体积为
26．（2023•南平模拟）如图，在正方体 中，点 是底面 （含边界）内一动点，
且 平面 ，则下列选项正确的是
A．
B．三棱锥 的体积为定值
C． 平面D．异面直线 与 所成角的取值范围为
五．球的体积和表面积（共13小题）
27．（2023•蕉城区校级模拟）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为
A． B． C． D．
28．（2023•鼓楼区校级模拟）已知正三棱台 的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，
以下底面顶点 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
A． B． C． D．
29．（2023•鼓楼区校级模拟）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮
革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球 年5月20日，
蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠的表面上有五个
点 、 、 、 、 恰好构成一正四棱锥 ，若该棱锥的高为8，底面边长为 ，则该鞠的
表面积为
A． B． C． D．
30．（2016•福安市校级模拟）已知一个平放的棱长为 4的三棱锥内有一小球 （重量忽略不计），现从
该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该三棱锥各
侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于
A． B． C． D．
31．（2023•鲤城区校级模拟）如图，棱长为2的正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，为线段 的中点，球 的表面正好经过点 ，则下列结论中正确的是
A． 平面
B．球 的体积为
C．球 被平面 截得的截面面积为
D．过点 与直线 ， 所成角均为 的直线可作4条
32．（2023•思明区校级四模）已知三棱锥 的体积为 ，其外接球的表面积为 ，若 ，
， ， ， ，则 为 ．
33．（2023•晋安区校级模拟）已知三棱锥 ，平面 平面 ， 为 中点，
，则过点 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
34．（2023•福建模拟）如图，正四面体 的棱长为3， ， ， 分别是 ， ， 上的点，
， ， ，截去三棱锥 ，同理，分别以 ， ， 为顶点，各截去一个棱长为1
的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为 ．35．（2023•沙县模拟）设轴截面为正三角形的圆锥的体积为 ，它的外接球的体积为 ，则 ．
36．（2023•沙县模拟）棱长为12的正四面体 与正三棱锥 的底面重合，若由它们构成的多
面体 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 的体积为 ，该正三棱锥内切球的半
径为 ．
37．（2022•福建模拟）《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成
果．《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在
同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．该原理常应用于计算某些几何体的体
积．如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为 ，
下底直径为 ，上下底面间的距离为 ，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是 5 ；卧足杯的容
积是 （杯的厚度忽略不计）．
38．（2022•荔城区校级模拟）如图，在四面体 中， 和 都是等腰直角三角形， ，
，平面 平面 ，则四面体 外接球的表面积为 ．39．（2022•漳州模拟）在平行四边形 中， ， ， ，点 在边 上，且
．将 沿 折起后得到四棱锥 ，则该四棱锥的体积最大值为 9 6 ；该四棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积为 ．
六．由三视图求面积、体积（共1小题）
40．（2019•福州一模）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该
几何体的体积为
A．32 B．16 C． D．
七．平面的基本性质及推论（共2小题）
41．（2023•新罗区校级模拟）已知 ， 是两个不同的平面，则下列命题错误的是A．若 ， 且 ，则
B．若 ， ， 是平面 内不共线三点， ， ，则
C．若直线 ，直线 ，则 与 为异面直线
D．若 且 ，则直线
42．（2022•三明模拟）已知正方体 的棱长为4， ， 分别是棱 ， 的中点，则平
面 截该正方体所得的截面图形周长为
A．6 B． C． D．
八．异面直线及其所成的角（共2小题）
43．（2023•蕉城区校级二模）在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为 和 ，
则异面直线 和 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
44．（2022•龙岩模拟）已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与
所成角的正弦值为
A． B． C． D．
九．直线与平面平行（共1小题）
45．（2023•思明区校级四模）直三棱柱 中， ， ，点 是线段
上的动点（不含端点），则A． 与 不垂直 B． 平面
C． 的最小值为 D． 的取值范围为
一十．平面与平面平行（共1小题）
46．（2023•鲤城区校级模拟）如图，在棱长为2的正方体 中， 是线段 的中点，点
， 满足 ，其中 ， ，则
A．存在 ，使得平面 平面
B．存在 ， ，使得平面 平面
C．对任意 ， ， 的最小值为
D．当 时，过 ， ， 三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为
一十一．平面与平面垂直（共1小题）
47．（2023•鲤城区校级模拟）设 ， 为两条直线， ， 为两个平面，则 的充分条件是
A
． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
