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第7 讲 直线与方程重点题型全归纳
目 录
题型01 直线与线段有交点问题
题型02 斜率公式及几何意义
题型03 两条直线平行与垂直
题型04 截距式方程与直线过定点
题型05 直线的交点坐标
题型06 距离公式及最值范围问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 直线与线段有交点问题
题型点拨
倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于
轴
由左向右上升
垂直于
轴
由左向右下降
的大小
的取值范围
不存在
的增减性
—
随
的增大而增大
—
随
的增大而增大
【典例1】（25-26·广东阳江）已知点
.若直线
与线段
相交，则
的
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】经过点
作直线，若直线与连接点
，
的线段没有公共点，则直线的倾
斜角
的取值范围是 ．
题型2 斜率公式及几何意义
题型点拨
解决三点共线的步骤
第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等
时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步；
第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线．
【典例1】（25-26·河南周口）已知
，平面内三点
共线，则
．
题型3 两条直线平行与垂直
题型点拨
1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②
与
不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，
与
的倾斜角都是
，则
.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或
，
斜率都不存在.
2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)
成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②
且
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3、一般式方程下的平行与垂直
（1）平行与垂直的系数关系
已知直线
的方程分别是
（
不同时为0），
（
不同时为0）
①若A1 A2+ B1B2=0⇔l1⟂l2 ②l1∥l2⇔{
A1B2−A2B1=0,
A1C2−A2C1≠0或B1C2−B2C1≠0.
（2）平行与垂直的直线系方程
①平行直线系：与直线A x + B y +n=0平行的直线方程可设为A x + B y +m=0,m≠n，否则m=n时两
直线重合，不是平行直线．
②垂直直线系：与直线
垂直的直线方程可设为
【典例1】（25-26·广西南宁）若
，直线
，直线
，则“
”
的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·福建龙岩）若直线：
与直线
：
平行，则实数
为（ ）
A．-3
B．3
C．3 或-3
D．1 或-1
【变式2】（25-26·湖南衡阳）已知
，直线
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 截距式方程与直线过定点
题型点拨
1、截距式方程应用的注意事项
（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式方程的逆向应用．
2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择
（1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于
轴的直线的斜率
为0，垂直于
轴的直线的斜率不存在．
（2）若已知直线的斜率，通常用斜截式．
（3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合．
（4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形
式的互化．
【典例1】（25-26·湖南）已知直线经过点
，与两坐标轴的正半轴分别交于
、
两点，
为坐标
原点，则
的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】已知直线l1:m x−y =0(m∈R)过定点A，直线l2: x +m y + 4−2m=0过定点B，l1与l2的交点
为C，则△A BC面积的最大值为( )
A．
B．
C．5
D．10
【变式1】（25-26·福建泉州）当点
到直线
的距离最大时，
此时的直线方程为 .
题型5 直线的交点坐标
题型点拨
过两条直线交点的直线系方程
设两条不平行的直线方程分别为
（
不同时为0），
（
不同时为0），则我们将直线方程
（其中
为
参数，且
）称为经过直线
与
交点的直线系方程．当
时，此方程即为直线
的方程；当
时，此方程即为直线
的方程．
【典例1】若
既是
的中点，又是直线
与直线
的
交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·上海）已知直线
，
，
，
三条直线围成
，则当
面积取得最大时
的值为 .
题型6 距离公式及最值范围问题
题型点拨
1、平面上两点间的距离公式的应用
平面内两点
，
间的距离公式为：
.
【注意】公式中
和
位置没有先后之分，也可以表示为：
．
（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距
离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解．
（2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或
等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形．
2、点到直线距离公式的应用
点P( x0, y0)到直线l: A x + B y +C =0( A
2+ B
2≠0)的距离d =| A x0+ B y0+C |
√A
2+ B
2
（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点
到直线的距离公式求解即可．
（2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即
可．
（3）点到直线的距离，是直线外一点到直线上各点所连线段长度的最小值，某些距离的最值问题可以
转化为点到直线的距离问题来求解．
（4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线
的问题．
3、平行线间距离公式的应用
两条平行直线
，
，
它们之间的距离为：
【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且
和
的系数对应相等．
（1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求
平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一
个特殊的点，转化点到直线的距离求解．
（2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为
，
，那么两条平行直线间
的距离
．
【典例1】若动点
，
分别在直线
与
上移动，则
的
中点
到原点的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，
，则
的最小
值为 .
【变式2】设直线
，
，其中实数
，
满足
．
(1)证明直线与
相交；
(2)证明直线与
的交点到原点的距离为定值．
强化训练（共10 题）
1．（25-26·广东惠州）已知点
，过点
的直线与线段
（含端点）有公共点，则
直线的斜率
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26·山东临沂）点
到直线
的距离最大时，其最大值以
及此时的直线的方程分别为（ ）
A．
；
B．；
C．
；
D．；
3．（25-26·山西大同）已知实数
满足
，
， 则
的最小
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知直线
与直线
，在上任取一点
，在
上任取一点
，连接AB，
取AB 的靠近点
的四等分点
，过点
作的平行线
，则与
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26·重庆）过直线
的定点
，且与直线
垂直的直线的一般式
方程为 .
6．（25-26·福建龙岩）已知
，若过定点A 的动直线
和过定点
的动直线
交于点
（
与A，
不重合），则
的值为 .
7．（25-26·辽宁沈阳）对任意的实数
，原点
到直线
的距离
的取
值范围为 ．
8．已知函数
，则
的最小值为 ．
9．已知实数x，y 满足
，且
．
(1)求
的取值范围；
(2)求
的取值范围．
10．（25-26·山东）直线方程为
．
(1)证明：无论
为何值，直线过定点；
(2)已知
是坐标原点，若直线分别与
轴正半轴、
轴正半轴交于A，
两点，当
的面积最小时，
求
的周长及此时直线的方程．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·福建莆田）已知三点
，
，
在同一条直线上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26·上海）已知直线的方程是
，则对任意的实数
，直线一定经过
（ ）.
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（25-26·湖南株洲）已知直线
与直线
，则“
”是“
”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．（多选）直线经过点
，在
轴上的截距的取值范围是
，则其斜率的取值范围可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知两直线
，
，若
，则
.
