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专题12 立体几何（Ⅱ）（讲义）
一、四个基本事实及三个推论
1．平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
二、直线与直线的位置关系
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一
个平面内
等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
三、直线与平面的位置关系
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
图形
符号
∥
1
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公共点个数
无数个
1
0
四、平面与平面的位置关系
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都在
唯一的一条直线上
无数个公共点且都在
唯一的一条直线上
五、直线与平面平行
1.直线与平面平行的定义：直线l 与平面α 没有公共点，则称直线l 与平面α 平行.
2.判定定理与性质定理
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直
线平行，那么该直线与此平面平行
(简记为“线线平行线面平行”
⇒
)
⇒a∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线
的平面与此平面相交，那么该直线与交线
平行(简记为“线面平行线线平行”
⇒
)
⇒l∥b
六、平面与平面平行
1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.
2.判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定
定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一
个平面平行，那么这两个平面平行
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，
b∥α⇒α∥β
2
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性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直
线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质
定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两
个平面相交，那么两条交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
七、三种平行关系的转化
温馨提示：
Ⅰ．判断或证明线面平行的常用方法
（1）利用线面平行的定义(无公共点).
（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
⑤线面平行的性质定理
（3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
（4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
Ⅱ．证明面面平行的常用方法
1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
八、直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义：如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α 互相垂
直.
2.判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
3
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判定
定理
如果一条直线与一个平面内的两条
相交直线垂直，那么该直线与此平
面垂直
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
九、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
2.判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂
线，那么这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有
一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
十、三种垂直关系的转化
温馨提示：
证明线面垂直常用的方法
1.判定定理：线面垂直→线线垂直
2.垂直于平面的传递性
3.面面垂直的性质.
4.线面垂直的定义
十一、直线和平面所成的角
4
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(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直
于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：.
十二、二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射
线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围：[0，π]．
十三、 立体几何中三种角的对比；距离问题
Ⅰ、三种角对比
角的类型
范围
解题步骤
异面直线
所成角
0°～90°
1 找：利用平移法找出异面直线所成角；
⑴ 固定一条直线，平移另一条直线，
⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。
2 证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；
3 计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。
直线与平面
所成角
0°～90°
1 找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；
2 证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；
3 计算：通过解三角形，求出线面角的角度。
二面角的
平面角
0～π
1 作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；
2 证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；
3 计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。
Ⅱ、空间中的距离
1.点到平面的距离
(1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
(2)定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂
线段的长度叫做这个点到该平面的距离
2.异面直线间的距离
与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面线的公垂线在这两条异面直线间
的线段长度叫做两条异面直线间的距离，任意两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
3.直线与平面、平面与平面之间的距离
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，做这条直线到这个平面的距离.
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两
个平行平面间的距离，
方法归纳：
一、基本事实应用
5
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例1 如图，在三棱柱
中，
分别是
的中点.求证：
(1)证明：
四点共面；直线
，直线
，直线
三线共点
(2)平面
平面
.
答案 (1)证明见解析
(2)证明见解析
分析 （1）证明
即可得证
四点共面；
与
是两条相交的直线，证明直线
过它
们的交点即可得证三线共点.
（2）证明
平面
和
平面
即可根据面面平行的判定定理得证平面
平面
.
解析 （1）
分别是
的中点，
是
的中位线，
，且
又在三棱柱
中，
，且
，
由平行的传递性，
，且
，
四点共面；
由上可知四边形
是梯形，故
与
是两条相交的直线，
设
，下证
，
平面
，且
平面
，
6
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平面
，且
平面
，
平面
平面
，
，即
三线共点.
（2）
分别为
的中点，
，
平面
平面
，
平面
，
在三棱柱
中，
，且
，
，且
，
四边形
是平行四边形，
，
平面
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
平面
.
练：下列说法正确的是（ ）
A．平面
，使得
有且只有一个公共点
B．若直线
平面
，则
C．三平面最多把空间分成7 部分
D．若3 个平面两两相交，且交线互不相同，则3 条交线互相平行或交于一点
答案 D
分析 对于A，利用基本事实3 分析即得；对于B，由直线
平面
的情况
即可排除；对于C，
结合长方体的模型即可排除；对于D，对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到.
解析 对于A，利用基本事实3 知，平面
如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线，
7
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故A 错误；
对于B，由直线
平面
，则
或与
相交，当
时，则有
，故B 错误；
对于C，当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8 部分，故C 错误；
对于D，当3 个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3 个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面，
利用棱柱与棱锥的定义可得，3 条交线互相平行或交于一点，故D 正确.
故选：D.
方法归纳： 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
二、空间线面位置关系
命题点1 空间位置关系的判断
例2 (1)下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C 不共线⇒α，β 重合
答案 C
解析 对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3 可知M∈l，A 对；
对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B 对；
对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C 错；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β 中，故α，β 重合，D 对．
命题点2 异面直线所成角
例3 如图，已知正四棱锥
的所有棱长均相等，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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答案 C
分析 根据线线平行可得异面直线
与
所成角为
（或其补角），即可根据余弦定理求解.
解析 连接
，取
的中点
，连接
，
由题意知，
，
则异面直线
与
所成角为
（或其补角），
在
中，
，
则
，
则异面直线
与
所成角的余弦值为
，
故选：C．
方法归纳： (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助
正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
三、空间几何体的切割(截面)问题
例4 如图，在直三棱柱
中，
，
，E、F、G、H 分别为
、
、
、
的中点，则下列说法中错误的是（ ）
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A．
B．E、F、G、H 四点共面
C．设
，则平面
截该三棱柱所得截面的周长为
D．
、
、
三线共点
答案 C
分析 根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据
截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D.
解析 如图，
连接
，由
分别为
中点，可得
，
由
可知，侧面
为菱形，
所以
，所以
，故A 正确；
连接
，因为E、F、G、H 分别为
、
、
、
的中点，
所以
，
，所以
，所以E、F、G、H 四点共面，故B 正确；
延长
交
的延长线于
点，连接
，交
于
点，连接
，
，
设
确定平面为
，则
，所以
，所以
，
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则易知三棱柱的截面四边形为
， 在
中，
，
在
中，
，而
中，
，
而
，所以截面的周长大于
，故C 错误；
由B 知，
且
，所以梯形的两腰
、
所在直线必相交于一点
，
因为
平面
，
平面
，
又平面
平面
，所以
，所以
与
重合，
即
、
、
三线共点于
，故D 正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决
C 选项的关键所在，需要有较强的推理能力.
方法归纳： (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出
它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
四、直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例5 如图所示，三棱柱
中，
分别为棱
的中点，
分别是棱
上的点，
.
(1)求证：直线
平面
；
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(2)若三棱柱
为正三棱柱，求平面
和平面
的夹角的大小.
答案 (1)证明见解析
(2)
分析 （1）取
的中点
，连接
交
于
，连接
，则可证得
，再由
可
证得四边形
为平行四边形，则
∥
，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以
为原点，以
所在的直线为
轴，过
与
平行的直线为
轴，
所在的直线为轴建立空
间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
解析 （1）证明：取
的中点
，连接
交
于
，连接
，
因为
分别为棱
的中点，所以
∥
∥
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
分别为棱
的中点，所以
，
因为
∥
∥
，所以
，
∥
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
∥
，
因为
平面
，
平面
，
所以直线
平面
；
（2）解：连接
，因为三棱柱
为正三棱柱，
所以
为等边三角形，所以
，
所以以
为原点，以
所在的直线为
轴，过
与
平行的直线为
轴，
所在的直线为轴建立空
间直角坐标系，
设
，则
，
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所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以
，
设平面
和平面
的夹角为
，则
，
因为
，所以
.
命题点2 直线与平面平行的性质
例6 在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
分别为棱
，
的中点．
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(1)求证：
平面
；
(2)设平面
平面
，求证：
平面
．
答案 (1)证明见解析
(2)证明见解析
分析 (1) 取
的中点
，连接
，
，证明四边形
为平行四边形，所以
，即可求
解；
(2)先证明
平面
，又因为平面
平面
，
面
，所以
，即可求解．
解析 （1）证明：取
的中点
，连接
，
，
因为
，
分别为
，
的中点，所以
，且
，
又因为
为
的中点，所以
，
在平行四边形
中，有
，则
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）在平行四边形
中，有
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为平面
平面
，
面
，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
方法归纳： (1)判断或证明线面平行的常用方法
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①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
五、平面与平面平行的判定与性质
例7 如图，在三棱柱
中，四边形
是菱形，
是等边三角形.平面
平面
分别棱
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
答案 (1)证明见解析
(2)
分析 （1）根据线线平行可证线面平行，即可根据面面平行的判定即可求证，
（2）根据面面垂直的性质可得
是直线
与平面
所成的角，即可利用三角形的边角关系求解.
解析 （1）由三棱柱的定义可知
.
因为
分别是棱
的中点，所以
，
所以四边形
是平行四边形，则
.
因为
平面
平面
，所以
平面
.
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因为
分别是棱
的中点，所以
.
因为
平面
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，且
，所以平面
平面
.
（2）作
的延长线于点
，连接
.
因为平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
则
是直线
与平面
所成的角.
设
，则
.
因为
，所以
，则
因为
是等边三角形，所以
，所以
.
由余弦定理可得
.
因为
平面
平面
，所以
，则
，
故
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
方法归纳： 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
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六、平行关系的综合应用
例8 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q 分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R 是AB 上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
(1)证明 连接CP 并延长，与DA 的延长线交于M 点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD 为正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以＝＝，
又因为＝＝，
所以＝＝，
所以PQ∥MD1.
又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)解 当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，
证明如下：
因为＝，
即＝，
故＝.
所以PR∥DA.
又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
方法归纳： 证明平行关系的常用方法
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熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面
平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
七、直线与平面垂直的判定与性质
例9 如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，
底面
，点E 在棱
上.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，点E 为
的中点，求二面角
的余弦值.
答案 (1)证明见解析
(2)
分析 （1）先根据线面垂直的性质定理得
，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可.
解析 （1）因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
为菱形，所以
，
又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）如图，连接
，则
平面
，
由
平面
，
平面
，
平面
，得
，
故
即为二面角
的平面角，
在菱形
中，
，
所以
，
又
，所以
，
18
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由点E 为
的中点，得
，
所以
为等腰三角形，在
内过点E 作高，垂足为H，则
，
所以
，即二面角
的余弦值为
.
方法归纳： 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行
的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
八、平面与平面垂直的判定与性质
例10 如图，在四棱锥
中，
，
为棱
的中点，
平面
，二面角
的大小为
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
答案 (1)证明见解析
(2)
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(3)
分析 （1）根据面面垂直判定定理证明即可；
（2）先由面面垂直得出线面垂直再结合线面角定义得出角及正弦即可；
（3）应用等体积得出点到平面距离.
解析 （1）连接
为
中点，
，
四边形
为平行四边形，
，在
中
，
又
平面
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，
平面
，
又
平面
平面
平面
.
（2）由
平面
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
故
为二面角
的平面角
，
在
中，作
，垂足为
，
由（1）知，平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
，则直线
为直线
在平面
上的射影，
所以
为直线
与平面
所成的角，
四边形
为平行四边形，
，
在
中，
，
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.
（3）在三棱锥
中，
平面
，
为三棱锥
底面
上的高，
又
，
，
在三棱锥
中，设
到平面
的距离为
，
，
，
又
.
方法归纳： (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个
相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
题型三 垂直关系的综合应用
例11 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P 是AD1上的
动点．
(1)试判断不论点P 在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
(2)当P 为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P 所成的角的余弦值；
(3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值．
解 (1)∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，
∴平面BPA⊥平面AA1D1D，
∴与P 点位置无关．
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(2)过点P 作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PE∥AA1，
∴∠B1PE 或其补角是异面直线AA1与B1P 所成的角．
在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，
∴∠A1AD1＝30°，
∵A1B1＝A1D1＝AD1＝2，
A1E＝A1D1＝1.
又PE＝AA1＝.
∴在Rt△B1PE 中，
B1P＝＝2，
cos∠B1PE＝＝＝.
∴异面直线AA1与B1P 所成的角的余弦值为.
(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1，
∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角，
tan∠B1PA1＝＝，
当A1P 最小时，tan∠B1PA1最大，
这时A1P⊥AD1，
由A1P＝＝，
得tan∠B1PA1＝，
即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为.
方法归纳： (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质
进行推理论证．
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