关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题13 空间向量与立体几何
【考点1 用基向量表示指定向量的方法】
【考点2 三点共线和空间四点共面的问题】
【考点3 空间向量数量积的应用】
【考点4 利用空间向量证明空间线面位置关系】
【考点5 用向量法求异面直线所成角】
【考点6 用向量法求解直线与平面所成角】
【考点7 利用向量法解二面角问题】
【考点8 利用空间向量求空间距离】
知识点1：空间向量的线性运算及有关定理
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
空间向量加减法的运算律：交换律a
b
b
a
；结合律(
)
(
)
a
b
c
a
b
c
．
（2）空间向量的数乘：实数
与空间向量
的乘积
仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当
时，
与
方向相同；当
时，
与
方向相反；当
时，
．
的长度是
的长度的
倍．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
空间向量数乘的运算律：分配律
；结合律
．
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量
，
，
的充要条件是存在实数
，使得
.
（2）共面向量定理：如果两个向量
，
不共线，那么向量
与向量
，
共面的充要条件是存在唯
一的有序实数对(x，y)，使
.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量
，
，
不共面，那么对空间任一向量
，存在有序实数组
{x，y，z}，使得
，其中，
叫做空间的一个基底．
知识点2：两个向量的数量积及其运算
1、定义：已知两个非零向量
，
，则
叫做
，
的数量积，记作
；即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
如图已知两个非零向量
，在空间任取一点
，作
，
，则么
叫做向量
的
夹角，记
.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）范围：
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式
可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式
可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3、向量
的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量
向向量
投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个
平面
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量
共线的向量
，
向量
称为向量
在向量
上的投影向量．类似地，可以将向量
向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量
向平面
投影，就是分别由向量
的起点
和终点
作平面
的垂线，垂足分
别为
，
，得到
，向量
称为向量
在平面
上的投影向量．这时，向量
，
的夹角
就是向量
所在直线与平面
所成的角．
4、数量积的运算：
（1）
，
.
（2）
(交换律)．
（3）
(分配律).
5、空间向量数量积的坐标表示及其应用
设
1
2
3
( ,
,
)
a
a a a
，
1
2
3
( ,
,
)
b
b b b
，
向量表示
坐标表示
数量积
共线
，
，
垂直
模
夹角
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
知识点3：空间中的平行与垂直的向量表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量
的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量
为直线l 的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l 的方向向量
，则向量
叫做平面α 的法向量．
2、空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为
，
直线l 的方向向量为
，平面α 的法向量为
平面α，β 的法向量分别为
，
知识点4：用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b 为两异面直线，A，C 与B，D 分别是a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为
，则
①
②
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
.（注意此公式中最后的形式是：
）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
知识点5：点到线面距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在
直
线
上
的
投
影
向
量
，
在
中
，
由
勾
股
定
理
得
：
2、点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线
，交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向
量
的长度.
3、线面距和面面距
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）直线a 与平面之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
a B
，n 是平面的法向量．
（2）两平行平面,
之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
B
，n 是平面的法向量。
【考点1 用基向量表示指定向量的方法】
【典例1】如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，M为A1C1与B1 D1的交点，若⃗
AB =⃗a,⃗AD =⃗b,⃗A A1=⃗c，则⃗BM等于（ ）
A．1
2⃗a−1
2⃗b+⃗c
B．1
2⃗a+ 1
2⃗b+⃗c
C．−1
2⃗a−1
2⃗b+⃗c
D．−1
2⃗a+ 1
2⃗b+⃗c
【变式1-1】如图，在四面体OABC中，⃗OA =⃗a,⃗OB =⃗b,⃗OC =⃗c，点D为AC的中点，⃗OE = 1
2⃗ED，则⃗
BE =（ ）
A．1
12⃗a−⃗b+ 1
12⃗c
B．1
6⃗a−⃗b+ 1
6⃗c
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．1
3⃗a−⃗b+ 1
3⃗c
D．1
2⃗a−⃗b+ 1
2⃗c
【变式1-2】如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点.若向量⃗
a=⃗OA，⃗b=⃗OB，⃗c =⃗OC，则⃗OP =（ ）
A．1
6⃗a+ 1
3⃗b+ 1
3⃗c
B．1
3⃗a+ 1
3⃗b+ 1
3⃗c
C．1
3⃗a+ 1
6⃗b+ 1
6⃗c
D．1
4⃗a+ 3
8⃗b+ 3
8⃗c
【变式1-3】如图，在四面体O−ABC中，⃑OA = a
→，⃑OB = b
→，⃑OC = c
→，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，
则⃑OE可用向量a
→，b
→，c
→表示为（ ）
A．1
2 a
→
+ 1
2 b
→
+ 1
2 c
→
B．1
2 a
→
+ 1
4 b
→
+ 1
4 c
→
C．1
4 a
→
+ 1
2 b
→
+ 1
4 c
→
D．1
4 a
→
+ 1
4 b
→
+ 1
2 c
→
【考点2 三点共线和空间四点共面的问题】
【典例2】已知⃗e1
，⃗e2
，⃗e3
不共面，若⃗AB =⃗e1+⃗e2+⃗e3
，⃗BC =⃗e1+ λ⃗e2+ μ⃗e3
，且A ,B ,C三点共线，则
λ+ μ=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2-1】如图，在正三棱锥D-ABC 中，AB =√3，DA =2，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，
且⃗PO = λ⃗DO，若PA ⊥平面PBC，则实数λ =（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．1
2
B．−1
3
C．√6
4
D．√6
6
【变式2-2】已知空间向量⃗a=(1,2,0),⃗b=(0,−1,1),⃗c =(2,3,m)，若⃗a,⃗b,⃗c
共面，则实数m= （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-3】如图四棱锥P−ABCD ,∠ABC =90
∘, AD // BC，且AD = AB = 1
2 BC =2，平面PCD⊥平
面ABCD，且△PDC是以∠DPC为直角的等腰直角三角形，其中E为棱PC的中点，点F在棱PD上，
且PF =2 FD.求证：A ,B , E , F四点共面.
【变式2-4】在四棱柱ABCD−A1B1C1 D1
中，⃗D1 E =k⃗D1 A ,⃗D1 F =k⃗D1B，⃗
D1G =k⃗D1C ,⃗D1 H =k⃗D1 D．
(1)当k = 3
4
时，试用⃗AB ,⃗AD ,⃗A A1表示⃗AF；
(2)证明：E , F ,G , H四点共面；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【考点3 空间向量数量积的应用】
【典例3】如图，在三棱锥P-ABC 中，∠APB =90°，∠CPA =∠CPB =60°，PA = PB = PC =2，
点D，E，F 满足⃗PD =⃗DB，⃗PE =2⃗EA，⃗AF =⃗FC，则直线CE 与DF 所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【变式3-1】空间向量a
→
=(0,1,−1)在b
→
=(1,2,3)上的投影向量为（ ）
A．−1
14⃗b
B．−√14
14⃗b
C．−1
14
D．−√14
14
【变式3-2】如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB =2,∠DAB = 2π
3
，M为棱PC的中
点，且⃗AM ⋅⃗AB = 4，则⃗AP⋅⃗AB =（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
【变式3-3】如图所示的四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，
则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ）
A．1
B．√2
2
C．√3
3
D．√6
6
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【变式3-4】如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，M为A1C1与B1 D1交点，
∠BAD =∠BA A1=∠DA A1=60°，则BM的长为（ ）
A．√5
4
B．√3
4
C．√5
2
D．√3
2
【考点4 利用空间向量证明空间线面位置关系】
【典例4】如图，在多面体PABCD中，∠ABC =90
∘,△DAB ,△DBC都是等边三角形，
AC =2√2, PB =√2, PB⊥平面ABC , M为PC的中点.
(1)证明：BM ⊥AD；
(2)求AD与平面PAC所成角的正弦值.
【变式4-1】如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = BC = A A1=2，AB⊥BC，D , E分别为AC，
A1C1的中点.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)证明：平面A B1 E //平面BC1 D；
(2)线段BC上是否存在点M，使得直线A1 M与平面BC1 D所成的角的正弦值为5√3
9
，若存在，求出
线段BM的长；若不存在，请说明理由.
【变式4-2】如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1，中，E，F，G 分别是棱AB，BC，CD 的中点．
(1)证明：C1 E∥平面A1 AG；
(2)证明：A1 F ⊥C1 E
【变式4-3】已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为4 的菱形，∠DAB =60°，PA = PC，
PB = PD =2√10，M是线段PC上的点，且⃗PC = 4⃗MC．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)证明：PC ⊥平面BDM；
(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值．
【变式4-4】如图所示，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB =10，BC =6，CD =8，且CD⊥平
面ABC，E为AD的中点．
(1)求证：平面BCE⊥平面ABD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面CEF与平面BCE所成的夹角的余弦值为√3
3
，若存在，请
指出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【考点5 用向量法求异面直线所成角】
【典例5】如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为15 π，D为PA中点，∠AOC = π
3
．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求圆锥的体积；
(2)求异面直线CD与AB所成角．
【变式5-1】如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，底面边长和侧棱长均相等，∠BA A1=∠CA A1=60°，
则异面直线A B1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A．√6
6
B．1
3
C．√2
4
D．√3
2
【考点6 用向量法求解直线与平面所成角】
【典例6】如图，边长为4 的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，
点G在棱AD上，AG =2GD，直线AB与平面EFG相交于点H.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)证明：BD //GH；
(2)求直线BD与平面EFG的距离.
【变式6-1】如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1各棱长均为2，∠BAD =π
3
，O 是线段BD 的中点．
(1)求点O 到平面A1C1 D的距离；
(2)求直线AB 与平面A1C1 D所成角的正弦值．
【变式6-2】如图，在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD , AB//CD , AB⊥BC，且
CD =2 AB =2 PA = √2
2 BC =2,⃗DN = 3
2⃗MP = 1
2⃗DP．
(1)求点N到平面PBC 的距离；
(2)求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【考点7 利用向量法解二面角问题】
【典例7】在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面
ABCD，PA = PB = AD = 1
2 BC =2，且E，F分别为PC，CD的中点，
(1)证明：DE //平面PAB；
(2)若直线PF与平面PAB所成的角为60°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
【变式7-1】四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，PD⊥BC，且AB =1，BC =√3，AD =CD，
PA = PC．
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°，求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值．
【变式7-2】在三棱柱ABC −A1B1C1中，AC ⊥BC，AC = BC = A A1=2，E，F分别为A1B1，AC的
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
中点，EF =√3．
(1)求证：AE⊥BC；
(2)若AE =2，求二面角C −A A1−B的正弦值．
【变式7-3】如图，在四棱台ABCD−A1B1C1 D1中，底面四边形ABCD 为菱形，
∠ABC =60
°, AB =2 A A1=2 A1B1, A A1⊥平面ABCD.
(1)证明：BD⊥C C1；
(2)若M 是棱BC 上的点，且满足BM
BC = 2
3
，求二面角M −A D1−D的余弦值.
【变式7-4】如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4 的正方形，△FBC是等边三角形，
EF // AB，EF = 1
2 AB，平面FBC ⊥平面ABCD．
(1)求证：EF ⊥BF；
(2)求二面角E−AD−B的大小．
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【考点8 利用空间向量求空间距离】
【典例8】如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OB = BF =1，点G是线段BF的
中点
(1)证明：EG//平面DAF；
(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45
∘，求点G到平面DEF的距离.
【变式8-1】如图，在三棱锥A −BCD中，AB ,BC ,CD两两互相垂直，M , N分别是AD ,BC的中点.
(1)证明：MN ⊥BC；
(2)设BC =2, AD =2√5, MN和平面BCD所成的角为π
6
，求点D到平面ABC的距离.
【变式8-2】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD =60°，ED⊥平面ABCD，
FB⊥平面ABCD，DE = AD =2BF =2.
(1)求证：CF //平面ADE；
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求直线DF与平面AEF所成角的正切值；
(3)求点C 到平面AEF的距离.
一、单选题
1．设x , y ∈R ,⃗a=(1,1,1),⃗b=(1, y , z),⃗c =(x ,−4,2)，且⃗a⊥⃗c ,⃗b//⃗c，则|2⃗a+⃗b|=（ ）
A．2√2
B．0
C．3
D．3√2
2．已知正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E 为B1C1中点，则异面直线B A1与 CE所成角的余弦值为（ ）
A．√5
10
B．√5
5
C．√10
10
D．√10
5
二、多选题
3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
π
3
，M 为A1C1与B1D1的交点．若⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗A A1=⃗c，则下列说法正确的是（ ）
A．⃗CM =−1
2⃗a−1
2⃗b+⃗c
B．⟨⃗CM ，⃗A C1⟩=π
3
C．⃗B D1=⃗a+⃗b+⃗c
D．⃗AD⋅⃗B D1=1
4．如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点P 是正方体的
上底面
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A1B1C1 D1内（不含边界）的动点，点Q 是棱BC的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥Q−PCD的体积是定值
B．存在点P，使得PQ与A A1所成的角为60°
C．直线PQ与平面A1 AD D1
所成角的正弦值的取值范围为(0, √2
2 )
D．若P D1= PQ，则P 的轨迹的长度为3√5
4
三、解答题
5．如图，在三棱锥P−ABC中，∠ABC =π
2 , AO =CO，PA = PB = PC.
(1)证明：OP⊥平面ABC；
(2)若PA =√2 AB =√2BC , E是棱BC上一点且2BE = EC，求二面角C −PA −E的大小.
6．如图，在四棱锥P−ABCD中，直线AB//平面PCD，∠ABC =90°，∠DAB =∠PCB =60°，
CD =1, AB =3, PC =2√3，平面PCB⊥平面ABCD，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点．
(1)证明：AB//CD；
(2)证明：PF ⊥AD；
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(3)当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD 夹角的正弦值为√7
4
．
7．如图，在四面体ABCD 中，AB = AC = AD = BC = BD =2，BC ⊥BD，E，F 分别为AB，AC 的中点.
(1)证明：平面ACD⊥平面BCD；
(2)求点A 到平面BDF 的距离.
8．如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC , AB⊥BC , AB =3,BC =2 AD = 4，把梯形ABCD 绕AB 旋
转至ABC1 D1, E , F分别为AB ,C C1中点.
(1)证明:EF //平面C D1 A；
(2)若∠DA D1=π
3
，求点B到平面CD D1C1的距离.
9．如图，在四棱锥P−ABCD中，已知棱AB , AD , AP两两垂直，长度分别为1，2，2，若⃗DC = λ⃗AB，
且向量⃗PC与⃗BD夹角的余弦值为√15
15
.
(1)求实数λ值；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)求平面PBD与平面PCD夹角的余弦值.
10．如图， 在三棱锥 P−ABC 中， PB = PC =√6,BC =2√2, AB =2, AB⊥BC ,BP , AP ,BC的中点
分别为 D , E ,O , AD = √30
2
，点F在AC上，BF ⊥AO.
(1)证明: EF //平面ADO；
(2)证明: AO⊥平面BEF；
(3)求二面角D−AO−C的余弦值.
11．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC 和△ACD 均为正三角形，
AC = 4，BE =√3，点F 在棱AC 上.
(1)若BF∥平面CDE，求CF 的长；
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若F 是棱AC 的中点，求二面角F −DE−C的正弦值.
12．如图，已知多面体ABCD−A1B1C1 D1的底面ABCD 是菱形，侧棱B B1⊥底面ABCD，且⃗
C C1=2⃗A A1= 4⃗B B1= 4⃗D D1
．
(1)证明：A1C ⊥BD；
(2)若AC =2√3,B B1=1,∠ABC =120°，求直线BC与平面B1C1 D1
所成角的正弦值．
13．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E 为线段AB的中点，
PA = AB =2．
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：BD⊥PC；
(2)求点E 到平面PBD的距离．
14．由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1 D1中，E , F分别为AD , AB的中
点，AB =2 A1B1= 4，侧面B B1C1C与底面ABCD所成角为45°.
(1)求证：B D1//平面A1 EF；
(2)线段AB上是否存在点M，使得直线D1 M与平面A1 EF所成的角的正弦值为3√5
10
，若存在，求出
线段AM的长；若不存在，请说明理由.
15．如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥平面ABCD，点E是PA的中点，F是线段PB上靠
近P的三等分点，PD = AD =2.
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：PC ∥平面BDE；
(2)求点F到平面BDE的距离.
16．如图所示，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD =∠ADC =90
°,
AB = AD = 1
2 CD =1, PD =√2.
(1)若点M为PA的中点，证明:AC //平面MDE；
(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.
17．如图，四棱锥P−ABCD中，PA ⊥底面ABCD，AD // BC，
AB = AD = AC =3, PA = BC = 4 , M , N分别为线段AD , PC上一点，AM =2 MD.
(1)若N为PC的中点，证明：MN //平面PAB；
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求直线AN与平面CMN所成角的正弦值的最大值.
25
