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专题13 全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：正四面体外接球....................................................................................................................2
题型二：对棱相等的三棱锥外接球....................................................................................................3
题型三：直棱柱外接球........................................................................................................................5
题型四：直棱锥外接球........................................................................................................................7
题型五：正棱锥与侧棱相等模型........................................................................................................9
题型六：垂面模型..............................................................................................................................12
题型七：二面角模型..........................................................................................................................15
题型八：坐标法解决外接球问题......................................................................................................18
题型九：多面体外接球......................................................................................................................23
题型十：锥体内切球..........................................................................................................................25
重难点突破：棱切球..........................................................................................................................27
02 重难创新练....................................................................................................................................30
1
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题型一：正四面体外接球
1．若正四面体的表面积为
，则其外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为
，由题意可知：
，解得：
，
所以正四面体的棱长为
，
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为
，正方体的体对角线长为
，
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径
，
则外接球的体积为
，
故选：
.
2．已知正四面体
的外接球体积为
，则正四面体
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2
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【解析】将正四面体
补成正方体
，
设正方体
的棱长为
，则正四面体
的棱长为
，
正四面体
的外接球半径为
，
由题意可得
，解得
，
所以，正四面体
的棱长为
，
因此，正四面体的表面积为
.
故选：C.
题型二：对棱相等的三棱锥外接球
3．已知四面体
中，
，
，
，若该四面体的各个顶点都
在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为
，
，
，
3
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长方体的对角线长为
，
球的半径为
，
此球的表面积为
．
故选：
．
4．如图，在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
外接
球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由题意，
，
，
，将三棱锥
放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为
，2，
，
即
，
，
，
解得：
，
，
．
外接球的半径
．
三棱锥
外接球的体积
．
故选：
．
5．在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
的外接球的表
面积为
4
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A．
B．
C．
D．
【解析】解：
三棱锥
中，
，
，
，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，
，
则长方体的对角线长等于三棱锥
外接球的直径．
设长方体的棱长分别为
，
，
，则
，
，
，
，
三棱锥
外接球的直径为
，
三棱锥
外接球的表面积为
．
故选：
．
题型三：直棱柱外接球
6．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的
一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”
的
所有顶点都在球
的球面上，且
．若球
的表面积为
，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
的中点分别为
，
，连接
，取
的中点
．
5
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直三棱柱
中，
，
，
四边形
是平行四边形，有
，
因为三棱柱
的底面是直角三角形，
，所以
，
，
，
分别是
，
的外接圆圆心．
因为
平面
，所以
平面
，
所以
为
的外接球的球心．
连接
，因为球
的表面积为
，所以球
的半径为1，即
，
，则
，
，可得
，
，
所以三棱柱
的表面积
，
故选：C．
7．已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，且
，
，
，
，若该三棱柱的
各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，所以
，
由正弦定理可得
外接圆半径
，
设此圆圆心为
，球心为
，在
中，
，易得球半径
，
6
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故此球的表面积为
．
故选：A．
8．已知直三棱柱
的6 个顶点都在球
的表面上，若
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，在
中，
，且
，
由余弦定理得
，
设底面
的外接圆的半径为，由正弦定理得
，即
再设直三棱柱
外接球的球心为
，外接球的半径为
，
在直角
中，可得
，
所以球
的表面积为
.
故选：B.
7
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题型四：直棱锥外接球
9．已知三棱锥
的所有顶点都在球O 的球面上，
，
，
，
，
平
面
，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在三棱锥
中，球心
在棱
的中垂面
上，由
平面
，得
平面
，
则球心
到平面
的距离为
，在
中，由余弦定理得：
，
因此
外接圆半径
，球
的半径
，
所以球O 的表面积
.
故选：C
10．已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，则该三棱锥外接
球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
8
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【解析】在
中，因为
，
，
，所以
，
所以
，取
中点E，则E 为
的外心，且外接圆的半径为
，
过E 作底面的垂线
，使
，又
平面
，则O 为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径
，
所以三棱锥外接球的表面积为
，
故选：C.
11．已知三棱锥
，
平面
，
，
，若三棱锥外接球的表面积为
，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】因为
，
，所以
，
，
设
外接圆的半径为，则
，即
，
9
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设三棱锥外接球的半径为
，
，解得
（负值已舍去）；
因为
平面
，所以
，即
，解得
（负值已舍去）；
所以
.
故选：B
题型五：正棱锥与侧棱相等模型
12．已知正六棱锥
底面边长为2，体积为
，则
外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由正六棱锥
得，底面
为正六边形，设底面
的中心为
，连接
，
则
，
底面
，
为正六棱锥
的高，
所以
，
因为正六棱锥的体积为
，所以
，即
，
故点
为
外接球的球心，半径为2，
故
外接球的体积
，
故选：C．
13．已知三棱锥
的四个顶点都在球
的球面上，
，
，则
10
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球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图：
在
中，
，
由余弦定理：
,
所以
，所以
外接圆半径为
，即
.
在直角三角形
中，
，
，所以
.
设棱锥
外接球半径为
，在直角三角形
中，
，
解得：
.
所以球
的表面积为：
.
故选：A
14．已知三棱锥
的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中
，则球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11
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【答案】A
【解析】如图，三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
，
由余弦定理得
，
，则
，
截球
所得的圆
的圆心
为
的中点，半径
，
由于三棱锥
的侧棱长相等，所以
共线，且
，
.
设球的半径为
，由
得：
.
球
的表面积
．
故选：A．
15．在三棱锥
中，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
分别取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
又
，
12
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所以
，
，
，
由图形的对称性可知：球心必在
的延长线上，
设球心为
，连接
，
，
设半径为
，
，
，
可知
，
为直角三角形，
所以
，所以
，
解得
，
，
所以球的表面积为
.
故选：
.
题型六：垂面模型
16．如图，
是边长为4 的正三角形，D 是BC 的中点，沿AD 将
折叠，形成三棱锥
．
当二面角
为直二面角时，三棱锥
外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
13
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【解析】由于二面角
为直二面角，且
和
都是直角三角形，
故可将三棱锥
补形成长方体来求其外接球的半径R，
即
，解得
，
从而三棱锥
外接球的体积
．
故选：D
17．如图，在三棱锥
中，
，
，平面
平面
，
是
的中点，
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
为等边三角形，且高
，则
，
而
，又
，则
为等边三角形，
平面
平面
，
，平面
平面
，
平面
，于是
平面
，
令
的外心为
，三棱锥
外接球的球心为
，则
平面
，
又三棱锥
的外接球球心
在线段
的中垂面上，此平面平行于平面
，
14
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因此
，等边
外接圆半径
，
三棱锥
的外接球
，则
，
所以三棱锥
的外接球的表面积
，
故选：C
18．已知直角
的面积是10，CD 是其斜边AB 上的高．将
沿CD 折起，使得二面角
是直二面角，则三棱锥
的外接球的表面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】记
，则
，得
，
又
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
由直角三角形性质可知
，
在图2 中，因为
，二面角
是直二面角，
所以
，所以可将三棱锥
补形成长方体，
记外接球半径为
，
则
因为函数
在区间
单调递增，
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所以当
时，
取得最小值
，
所以三棱锥
的外接球的表面积的最小值
.
故选：B
题型七：二面角模型
19．在菱形
中，
，
，将
沿
翻折，使二面角
的余弦值为
，则
四面体
的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示，取
的中点
，连接
，
，则
，
，
故
是二面角
的平面角,
因为
,所以
,
在
中，由余弦定理
,得
，故四面体
是正四面体.
如图所示，将其放置在正方体中，使得
，
，
，
是正方体的四个顶点，
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则正方体的棱长为
，体对角线长
，即四面体
的外接球的半径为
，
所以外接球的表面积为
.
故答案为：
20．在四棱锥
中，已知平面
平面
，
，
若二面角
的正切值为
，则四棱锥
外接球的表面积为 ．
【答案】
/
【解析】分别取
、
的中点
、
，连接
．
因为
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
平面
，所以
，
，
因为
，
所以
，所以
，
因为
分别为
的中点，所以
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
为二面角
的平面角，所以
，
因为
，所以
，
所以三棱锥
外接球的球心
在直线
上，由
知
在线段
的延长线上．
设
，则
，即
，所以
，
所以三棱锥
外接球的半径为
，表面积为
，
17
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因为
，
，即
，
所以
、
、
、
四点共圆，
所以三棱锥
的外接球即为四棱锥
的外接球，
故四棱锥
外接球的表面积为
．
故答案为：
21．在三棱锥
中，
平面
，底面
是边长为
的正三角形，二面角
的大小为
，则该三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
/
【解析】取
的中点为
，连接
，
，
是边长为
的正三角形，
则
，
，又
平面
，
平面
，则
，又
，
平
面
，
于是
平面
，而
平面
，则
，因此
为二面角
的平面角，
即
，则
，将三棱锥
补成三棱柱（
为底面、
为侧棱），
则该三棱柱的外接球就是三棱锥
的外接球，
设三棱锥
的外接球半径为
，显然
的外接圆半径
，
因此
，所以球的体积为
.
18
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故答案为：
22．已知
是边长为4 的正三角形，
是
边上的中线．现将
沿
折起，使二面角
等于
，则四面体
外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为
是正三角形，且
是
边上的中线，
所以
，且
，
平面
，
所以
平面
；
记
的中点为
，
的外接圆圆心为
，
过
作平面
的垂线，则球心
在该垂线上，连接
，
因为二面角
等于
，所以
，
由正弦定理可知
，所以
，
由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形
是矩形，
所以
，
所以
，即外接球的半径
，
所以外接球的表面积为
，
故答案为：
.
19
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题型八：坐标法解决外接球问题
23．如图，在长方体
中，
，
，
分别是棱
，
的中点，点
在侧面
内，且
，则三棱锥
外接球表面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，连接
，
，
，
20
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易证四边形
是平行四边形，因为
，所以
四点共面，又因为点
在侧面
内，所以点
在线段
上.
取
的中点
，连接
，
，分别取
，
的中点
，
，连接
，易证
，
则
平面
，则三棱锥
外接球的球心
在直线
上，连接
，
，
，
.
设三棱锥
外接球的半径为
，则
.因为
，所以
，
，所以
，所以
.则当
与
重合
时，
，此时三棱锥
外接球的半径取得最小值
；当
与
重合时，
，此时三棱锥
外接球的半径取得最大值
.故三棱锥
外接球表面积的取值范围是
.
故答案为：
.
24．如图①，在
中，
，
，D，E 分别为
，
的中点，将
沿
折起
到
的位置，使
，如图②.若F 是
的中点，则四面体
的外接球体积是（ ）
21
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意
，
，
，
平面
，所以
平面
，
又
，如图建立空间直角坐标系，则
、
、
、
、
、
，依题意
为直角三角形，所以
的外接圆的圆心在
的中点
，设外接球
的球心为
，半径为
，则
，即
，解得
，所以
，所以外接球的体积
；
故选：B
22
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25．如图，已知四棱锥
，底面
是边长为3 的正方形，
面
，
，
，
，若
，则四棱锥
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，设
，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
于是
，
23
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则
，∴
，四棱锥
外接球直径为
，故其表面积为
．
故选：B.
26．四棱锥P﹣ABCD 中，△ABP 是等边三角形，底面ABCD 是矩形，二面角P﹣AB﹣C 是直二面角，
，若四棱锥P﹣ABCD 的外接球表面积是20π，则PA，BD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】四棱锥
外接球的表面积为
.连接
角
于
，由于四边形
是
矩形，所以
是矩形
的外心，球心
在其正上方.设
是
的中点，连接
，由于
是等边
三角形，所以
，由于平面
平面
，所以
平面
.由于
，所以
.设
，则
，所以
，即
，解得
.由
24
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以及
平面
可知
两两垂直，以
为空间坐标原点建立如图所示的空间直角
坐标系，
，则
，
，设异面直
线
所成角为
，则
.
故选：C.
题型九：多面体外接球
27．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶
点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的
各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图
所示，已知该半正多面体过A，B，C 三点的截面面积为
，则其外接球的表面积为（ ）
25
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过A，B，C 三点的截面为正六边形
，
设原正方体棱长为
，则正六边形边长为
，其面积为
，解得
，
因此原正方体的棱长为
，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点，
球半径
为该点到点
的距离
，所以外接球的表面积为
.
故选：D
28．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正
四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20 个
等边三角形组成的正多面体，共有12 个顶点，30 条棱，20 个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把
按
计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正二十面体的表面积与该正二
十面体的外接球表面积之比等于 ．
26
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【答案】
/
/
【解析】如图，这个正二十面体上方的一个正五棱锥：
则正二十面体的外接球就是这个五棱锥的外接球.
不妨设正二十面体的棱长为2.
如图：
正五边形
的外接圆半径就是黄金
的外接圆半径，
设为，则
.
则
到正五边形
中心
的距离为：
.
设正二十面体的外接球半径为
，则
.
所以正二十面体的外接球半径与棱长的比为：
.
27
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正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比：
.
故答案为：
；
29．如图（1），在长方体
中，
，
，
为上底面
的中心.现将矩形
绕点
在原平面内顺时针旋转
角，连接
、
、
、
、
、
、
、
，
得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球
的球面上，则球
的表面积是 .
【答案】
【解析】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为
，
所以这个十面体的外接球的半径为
，从而其表面积
.
故答案为：
题型十：锥体内切球
30．若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为
，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
28
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【解析】
过圆锥的旋转轴作轴截面，得
及其内切圆
和外接圆
，
且两圆同圆心，即
的内心与外心重合，所以
为正三角形，
由题意
的半径为
，
所以
的边长为6，
所以圆锥的底面半径为3，
所以圆锥的侧面积
．
故答案为：
.
31．已知三棱锥
三条侧棱PA，PB，PC 两两互相垂直，且
，M 为该三棱锥的内
切球上的动点，则M，P 两点间距离的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，且三条侧棱两两垂直，
则△
是边长为
的正三角形，
如图，设三棱锥的内切球
与平面
相切于
，
根据已知条件知
三点共线，且
为△
的中心，
连接
与球交于点
，此时
最小，
连接
与
交于
，由已知得
，
，
，
而
，
，
设球
的半径为，则由等体积法得，
，
29
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即
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
重难点突破：棱切球
32．若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，
在棱长为
的正方体中构造棱长为
的正四面体
，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方体棱长的一半，即
，
则该球的表面积为
．
故选：A
30
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33．已知正三棱柱
的体积为18，若存在球O 与三棱柱
的各棱均相切，则球O 的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱
的底面边长为
，高为
，上底面中心为
，下底面中心为
，
连接
，则球
的球心
在
的中点上，设球
切棱
于
，切棱
于
，
则
、
分别为所在棱的中点，
由题意
，①
因为
，
，
又
，所以
，
所以
，解得
，②
联立①②可得
，
所以球
的半径为
，
所以球O 的表面积为
，
故选：C.
34．在正三棱锥
中，
，若球
与三棱锥
的六条棱均相切，则球
的表面
31
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积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
的中心
，连接
，
则
平面
，且与棱均相切的球的球心
在
上，
连接
并延长交
于
，则
为
的中点，
，
连接
，易证
，
过
作
，交
于点
，
设球
的半径为，则
，
由题意易求得
，
由勾股定理得
，
在
中，
，所以
，
设
，则
，
因为
，从而
，所以
，
所以
，
32
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故球
的表面积为
.
1．（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图：
设正四棱锥的高为，球的体积为
，所以球的半径
，
设正四棱锥的底面边长为
，则
，解得
，
所以正四棱锥的体积
，
则
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
33
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故当
时，正四棱锥的体积
取得最大值，最大值为
.
故选：C
2．（24-25 高三上·山东滨州·期末）已知三棱锥
各个顶点都在半径为
的球
的球面上，且
，
，
，则球心
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】
如图，过点
作底面
的射影
，因
，则点
为
的外心，
又因
，
，故点
为
的中点，
连接
，则三棱锥
的外接球的球心
必在
上，
连接
，则
，
，
在
中，
，
因
平面
，故球心
到平面
的距离为
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·甘肃武威·期末）已知球O 是正三棱锥
的外接球，若正三棱锥
的高为
，底边
，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）
34
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设正三棱锥
的底面中心为M，D 为BC 的中点，连接AD，
显然球心O 在直线PM 上，设球O 的半径为R，因为
，
所以球心O 到底面ABC 的距离为
，
，
由
，得
，
，
所以球心O 到平面ABC 的距离为
．
故选：A
4．已知四面体
的各个面均为全等的等腰三角形，且
.设
为空间内一点，且
，
，
，
，
五点在同一个球面上，若
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将四面体
放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为
，
，
，
依题意，可知
，
，
35
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则
，
，
，
解得
，
，由于
，即异面直线
和
的距离为
，
由于长方体的左右侧面为正方形，
∴
，取
中点
，连接
，则
左侧面，
在左侧面，
∴
，又
，
，
平面
，
故
平面
，四面体
的外接球半径为
，球心为
，
由
，知点
的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为
，过
，
，
作球的一个轴截面，
∴
，且
，
，且
，
解得
，
，
∴
的轨迹长度为
.
故选：C.
5．已知正三棱锥
，点
都在半径为
的球面上，若
两两垂直，则球心到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：因为
两两垂直，所以正三棱锥
的外接球就是所在正方体的外接球．
如图，外接球的球心即为正方体的中心
，正方体的体对角线就是外接球的直径．
设正方体的棱长为
，外接球的半径为
，则
，即
，
即
，
，
，
36
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．设点
到平面
的距离为，
由
，得
，
所以
，
所以球心
到平面
的距离为
．
方法二：如图，
为等边三角形
的中心，连接
，
则三棱锥
的外接球球心
在直线
上，连接
，设
，
则
，
，
，
（或
），
在
中，
，即
（或
），解得
（
舍去），
所以
，即球心
到平面
的距离为
．
37
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方法三：因为
两两垂直，所以正三棱锥
为正方体的一部分，
它的外接球就是该正方体的外接球，如图，外接球的球心即为正方体的中心
，
正方体的体对角线就是外接球的直径，即
．
因为
，且
，故四边形
为平行四边形，则
，
又
平面
，
平面
，故
平面
，
同理
平面
，又
，
平面
，
故平面
平面
，设体对角线
交平面
于点
，交平面
于点
，
由正方体的性质知
，所以
，
又
平面
，
平面
，故
，
，
又
平面
，
，故
平面
，
又
平面
，则
，同理
，又
平面
，
，
故
平面
，所以球心
到平面
的距离为
．
故选：C．
6．（2024·宁夏吴忠·一模）已知
是球
的球面上的三个点，且
.
若三棱锥
的体积是
，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
38
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【答案】A
【解析】因为
，
由正弦定理可得
外接圆的半径
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
则球
的半径
，所以球
的体积为
.
故选：A
7．（24-25 高三上·湖南·期中）已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为
，则正四棱
锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为棱锥的高和球的半径均为
，所以底面正方形的外接圆圆心即为球心，外接圆半径即为球的
半径，
所以正四棱锥的底面边长
，
故四棱锥的体积为
.
故选：B.
8．（24-25 高三上·山东济宁·期中）已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
，
，
，
，
平面
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
39
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【答案】C
【解析】因为
，
，
，
由余弦定理得
，
故
，所以
⊥
，
的外接圆圆心为
的中点
，
又
平面
，
平面
，所以
，
故
的中点即为球
的球心，此时有
，
且
，故外接球半径为
，
外接球表面积为
.
故选：C
9．（多选题）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4 个顶点A，B，C，D 在同一个平面内，若四边
形
是边长为2 的正方形，则（ ）
A．异面直线
与
所成角大小为
B．二面角
的平面角的余弦值为
40
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C．此八面体的外接球体积为
D．此八面体的内切球表面积为
【答案】ACD
【解析】连接
、
交于点
，连接
、
，
因为四边形
为正方形，则
，
又因为八面体的每个面都是正三角形，
所以
、
、
三点共线，且
面
，
所以以
为原点，分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，如图所示，
则O(0,0,0)，
，
，
，
，
，
，
对于A 项，
，
，
设异面直线
与
所成角为
，
则
，
所以
，即异面直线
与
所成角大小为
，故A 项正确；
对于B 项，
，
，
，
设面
的一个法向量为
，
41
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则
，取
，则
，
，则
，
设面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
，则
，
所以
，
又因为面
与
所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角
的平面角的余弦值为
，故B 项错误；
对于C 项，因为
，
所以
为此八面体外接球的球心，且外接球的半径为
，
故体积为
，故C 项正确；
对于D 项，设内切球的半径为，
则八面体的体积为
，
又八面体的体积为
，
所以
，解得
，
所以内切球的表面积为
，故D 项正确.
故选：ACD.
10．（2025·陕西渭南·一模）半径为2025 的三个球放在桌面上．两两相切．现将另一个球放在三个球上方
（与三个球都相切）．且这个球的最高处与另外三个球的最高处在同一个平面上．则这个球的半径为
．
【答案】675
42
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【解析】
假设桌面上三个球的球心为
，两两外切，则
是半径为
的正三角形，且位于一个水平
面上。
设顶端球的球心为
O，半径为
，于是
,
考虑四个球心形成的正三棱锥，
为顶点在底面的投影，设为顶点到底面的距离,
利用勾股定理，
，于是
,
另一方面，题干已知球的上顶点在同一水平面上，得到
,两个方程联立，解得
.
故答案为：
11．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在体积为
的三棱锥
中，
，
，平面
平面
，
，
，若点
、
、
、
都在球
的表面上，则球
的表面积为
．
【答案】
【解析】过点
在平面
内作作
，垂足点为
，
取线段CD的中点
，连接
、
，如下图所示：
因为
，
，则
，
43
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所以，三棱锥
的外接球的球心
为
中点，
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，则
平面
，
设球
的半径为
，则
，
又
，
，所以，
，
，
，
所以，
，
所以，三棱锥
的体积为
，
解得
，因此，球
的表面积为
.
故答案为：
.
12．（2024·河南·模拟预测）已知四棱锥
的5 个顶点都在球
的球面上，且
平面
，则球
的表面积为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知四边形
的顶点在同一个圆上，连接
，如下图所示：
易知
，又
，
在
中，由余弦定理可得
；
在
中，由余弦定理可得
;
又易知
，所以可得
，
解得
，又
，所以
，
可得
，即
，
44
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设四边形
的外接圆半径为，由正弦定理可得
，
解得
，
又
平面
，且
，
设四棱锥
的外接球半径为
，
可得
，即
；
因此外接球的表面积为
.
故答案为：
13．（24-25 高三上·福建·期中）已知球
的半径为
，
、
、
三点均在球面上，
，
，
，则三棱锥
的体积是 .
【答案】
【解析】如下图所示：
设
的外心为点
，连接
、
，则
平面
，
在
中，
，
，
，
45
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由余弦定理可得
，则
，
由正弦定理可得
，则
，
所以，
，
，
所以，
.
故答案为：
.
14．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知四面体
的四个顶点均在球
的球面上，
，
，
，若
，则球
体积的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，
，
，所以可以将四面体补成一个长方体，
使得四面体的6 条棱为长方体的6 条面对角线，
设长方体过同一顶点的3 条棱长分别为
，
，，球
的半径为
，
则
，由
，
得
，
因为
，
所以
，
即
，当且仅当
时取等号，
46
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因为
，
所以
，当且仅当
时取等号，即
，所以
，
则球
的体积为
，所以球
体积的最小值为
.
故答案为：
15．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球
，内部是8 个半径均为1 的小球
（球
壁厚度均忽略不计），其中
两两相切，
两两相切，
两两相切，
两两相切，
两两相切，且
，
均与球
相切，则球
的半径为
.
【答案】
【解析】连接
，
，
，
，
，
，
由题可得三棱锥
是棱长为2 的正四面体，
连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
因为
两两相切，
两两相切，
两两相切，
两两相切，所以三棱锥
､三棱锥
､
三棱锥
､三棱锥
分别是以三棱锥
的四个面为底面，
且棱长均为2 的正四面体，又
均与球
相切，
所以三棱锥
的外接球球心就是大球的球心
.
作出三棱锥
和三棱锥
的示意图如图所示，
47
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连接
，则球
的半径为
.
易得正四面体的高
，
到平面
的距离即三棱锥
内切球的半径，
易得
，得
，则
，所以球
的半径为
.
16．已知三棱锥
的各个顶点均在半径为1 的球O 的球面上，
，
，则三棱锥
的体积的最大值为 .
【答案】
【解析】设
所在小圆圆心为
，半径为r，
，
则
，所以
的面积为
，
设
，
则
，
令
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值为
，
设球心O 到平面
的距离为h，则
，
48
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因为
，所以
为球O 的一条直径，所以S 到平面
的距离为
，
此时三棱锥
的体积为
，
设
，则
，令
，解得
，
则当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，三棱锥
的体积的最大值为
.
故答案为：
17．（24-25 高三上·四川·期中）已知棱长为1 的正四面体
，
分别为
的中点，若以
的中点
为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球
半径的最大值为 ．
【答案】
/
【解析】由于正四面体总可以由一个正方体的两两不相邻的四个顶点构成，故我们可以设有一个正方体
.
该正方体每个面的对角线长都是，所以棱长为
.
此时，注意到
是该正方体的一对对面的中心，所以
的中点
一定是正方体的中心.
这就说明
，从而
是
的外接球球心.
从而在球
与
的棱有公共点的情况下，球
最大的情况显然就是成为外接球的情况，所以半径的
49
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最大值就是
.
故答案为：
.
50
