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专题13 全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................13
题型一：正四面体外接球
13
题型二：对棱相等的三棱锥外接球
17
题型三：直棱柱外接球
20
题型四：直棱锥外接球
26
题型五：正棱锥与侧棱相等模型
30
题型六：垂面模型
36
题型七：二面角模型
41
题型八：坐标法解决外接球问题
47
题型九：多面体外接球
53
题型十：锥体内切球
58
重难点突破：棱切球
63
1
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近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题
中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高
考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的
重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
外接球
掌握求解方法，
灵活运用。
2022 年乙卷第12 题，5 分
2022 年II 卷第7 题，5 分
2022 年I 卷第8 题，5 分
2021 年甲卷第11 题，5 分
预测2025 年高考
中，与球相关的组合体问
题多以小题形式呈现，同
时也有可能融入解答题
中，作为相对独立的部
分。具体来说：
（1）这类问题可能会以
选择题或填空题的形式出
现，旨在考查学生的综合
推理能力。
（2）锥体内切球与棱切
球问题将成为考查的热
点。
内切球
理解概念，熟练
求解。
2020 年III 卷第16 题，5 分
棱切球
理解概念，掌握
应用。
2023 年 I 卷第1 题，5 分
2
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3
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1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1 所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2 所示．
（3）正四面体
可以补形为正方体且正方体的棱长
，如图3 所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4 所示
图1
图2 图3 图4
4
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1．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点
均在半径为2 的球面上，
是边长为3
的等边三角形，
平面
，则
．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥
转化为正三棱柱
，
设
的外接圆圆心为
，半径为，
则
，可得
，
设三棱锥
的外接球球心为
，连接
，则
，
因为
，即
，解得
.
故答案为：2.
2．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体
中，
为
的中点，若该
正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的半径的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为
.
5
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当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包
含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径
为体对角线长
，即
，故
；
分别取侧棱
的中点
，显然四边形
是边长为
的正方形，且
为正方形
的对角线交点，
连接
，则
，当球的一个大圆恰好是四边形
的外接圆，球的半径达到最小，即
的最
小值为
.
综上，
.
故答案为：
3．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，
以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
【答案】12
【解析】不妨设正方体棱长为2，
中点为
，取
，
中点
，侧面
的中心为
，连接
，如图，
6
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由题意可知，
为球心，在正方体中，
，
即
，
则球心
到
的距离为
，
所以球
与棱
相切，球面与棱
只有1 个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1 个交点，
所以以EF 为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.
故答案为：12
4．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径
，所以
，即
，设球
心到上下底面的距离分别为
，球的半径为
，所以
，
，故
或
，即
或
，解得
符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．
7
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5．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均
在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD 所在小圆半径为r，
设四边形ABCD 对角线夹角为
，
则
（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为
又设四棱锥的高为，则
，
当且仅当
即
时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为
，底面所在圆的半径为，则
8
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，所以该四棱锥的高
，
(当且仅当
，即
时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高
.
故选：C．[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为
，底面所在圆的半径为，则
，所以该四棱锥的高
，
，令
，
，设
，则
，
，
，单调递增，
，
，单调递减，
所以当
时，
最大，此时
．
故选：C.
【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
6．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体
积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
9
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【解析】∵球的体积为
，所以球的半径
,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为
，高为，
则
，
,
所以
，
所以正四棱锥的体积
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，正四棱锥的体积
取最大值，最大值为
，
又
时，
，
时，
,
所以正四棱锥的体积
的最小值为
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是
.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以
当且仅当
取到，
10
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当
时，得
，则
当
时，球心在正四棱锥高线上，此时
，
，正四棱锥体积
，故该正四棱锥体积的取值范围是
7．（2021 年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆锥的高之比为
，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点
，
设圆锥
和圆锥
的高之比为
，即
，
设球的半径为
，则
，可得
，所以，
，
所以，
，
，
，则
，所以，
，
又因为
，所以，
，
所以，
，
，
11
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因此，这两个圆锥的体积之和为
.
故选：B.
8．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且
，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
为等腰直角三角形，
，
则
外接圆的半径为
，又球的半径为1，
设
到平面
的距离为
，
则
，
所以
.
故选：A.
9．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC 是面积为
的等边三角形，且
其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】
设球
的半径为
，则
，解得：
.
12
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设
外接圆半径为，边长为
，
是面积为
的等边三角形，
，解得：
，
，
球心
到平面
的距离
.
故选：C.
10．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知
为球
的球面上的三个点，⊙
为
的外接圆，若⊙
的面积为
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆
半径为，球的半径为
，依题意，
得
，
为等边三角形，
由正弦定理可得
，
，根据球的截面性质
平面
，
，
球
的表面积
.
故选：A
13
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题型一：正四面体外接球
【典例1-1】已知正四面体
的棱长为3，点
在棱
上，且
，若点
都在球
的球
面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，取
的中点
，连接
，在线段
上取点
，使得
，连接
.
在
中，
.易知点
为等边
的中心，
所以
.
易知
，所以
.
所以
，点
即为球心
，球
的半径为
，
表面积为
.
故选：D.
14
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【典例1-2】小张同学将一块棱长为
的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损
失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F 为为底面
的中心，E 为
的中点，F 在
上，
O 为正四面体外接球的球心，则
为四面体的高，O 在
上，
则
，则
，
即得
，所以
，
又设正四面体外接球的半径R，
则
，即
，即得
，
故外接球体积为
.
故选：C．
如图，设正四面体
的的棱长为
，将其放入正方体中，则正方体的棱长为
，显然正四面体
15
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和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为
，即正四面体外接球半径为
．
【变式1-1】已知正四面体
的外接球的体积为
， 则该正四面体的棱长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设正四面体
的外接球半径为
，则
， 解得
，
将正四面体
放入正方体中，设正方体的棱长为
，如下图所示：
则
，所以，
，故该正四面体的棱长为
.
故选：C.
【变式1-2】已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
16
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【解析】
如图，
是正四面体
的高，
是外接球球心，设外接球半径为
，
∵正四面体棱长为，∴
，
，
，
，
由
得
，
解得
，∴
．
故选：D．
1．正四面体
的棱长为
，
是棱
的中点，以
为球心的球面与平面
的交线和
相切，则
球
的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
在平面
内的射影为点
，则
为
的中心，
取
的中点
，连接
，则
，取线段
的中点
，连接
，
17
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因为
、
分别为
、
的中点，则
且
，
因为
平面
，则
平面
，因为
平面
，则
，
正
的外接圆半径为
，
，
所以，
，
易知球
被平面
所截的截面圆圆心为点
，且
，故
，
因为
为等边三角形，
为
的中点，则
，
因为以
为球心的球面与平面
的交线和
相切，则切点为点
，
则球
的半径为
，
因此，球
的体积是
.
故选：D.
题型二：对棱相等的三棱锥外接球
【典例2-1】四面体
的一组对棱分别相等，且长度依次为
，
，5，则该四面体的外接球的
表面积为（ ）
18
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A．
B．
C．
D．
【解析】
四面体
的一组对棱分别相等，且长度依次为
，
，5，
可将其补为一个三个面上对角线分别为
，
，5 的长方体，如图所示：
长方体的三边长分别为2，3，4，
长方体的外接球即是四面体的外接球，
四面体的外接球的半径为
，
四面体的外接球的表面积为：
，
故选：
．
【典例2-2】在四面体
中，三组对棱棱长分别相等且依次为
，
，5 则此四面体
的外接
球的半径
为（ ）
A．
B．5
C．
D．4
【解析】
四面体
中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为
，
，5 的长方体，
则其外接球的直径
，
则
19
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故选：
．
四面体
中，
，
，
，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为
，则
，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为
，则
，所以
．
【变式2-1】如图，在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
20
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【解析】由题意，
，
，
，将三棱锥
放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为
，2，
，
即
，
，
，
解得：
，
，
．
外接球的半径
．
三棱锥
外接球的体积
．
故选：
．
【变式2-2】在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
的外接球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
三棱锥
中，
，
，
，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，
，
则长方体的对角线长等于三棱锥
外接球的直径．
设长方体的棱长分别为
，
，
，则
，
，
，
，
三棱锥
外接球的直径为
，
三棱锥
外接球的表面积为
．
故选：
．
21
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1．在四面体
中，若
，
，
，则四面体
的外接球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如下图所示，
将四面体
放在长方体
内，设该长方体的长、宽、高分别为
、
、
，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为
，
由勾股定理得
，
上述三个等式全加得
，
所以，该四面体的外接球直径为
，
因此，四面体
的外接球的表面积为
，
故选：
．
题型三：直棱柱外接球
【典例3-1】将2 个棱长均为2 的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
22
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【解析】
若将这2 个直三棱柱合成1 个高为4 的直三棱柱，
则底面正三角形的外接圆半径
，
所以其外接球的半径为
；
若将这2 个直三棱柱合成1 个高为2 的直四棱柱，
则底面为边长为2，锐角为
的菱形，
则底面菱形的外接圆半径
，
所以其外接球的半径为
．
故该球体的体积的最小值为
．
故选：A.
【典例3-2】已知直三棱柱
中，
，
，
点到直线
的距离为
，
则三棱柱
的外接球表面积为（ ）
23
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
过点
作
于点
，连接
，
因为三棱柱
为直三棱柱，
平面
，
又
平面
，
，
，
，平面
，且
，
平面
，
平面
，
24
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，
易知
，
，
，
，
，
则
，
设
外接圆圆心为
，
外接圆圆心为
，
则
，即
，
且三棱柱外接球球心
为
中点，
则外接球半径
，
表面积为
，
故选：
.
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1
B1
A
E
F
A1
O1
O
O2
B
C
C1
B1
A
A1
O1
O
O2
B
C
C1
B1
A
E
F
A1
O1
O
O2
B
C
图1 图2 图3
25
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第一步：确定球心
的位置，
是
的外心，则
平面
；
第二步：算出小圆
的半径
，
（
也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：
，解出
【变式3-1】在直三棱柱
中，底面
满足
，
，若三棱柱
的体积为
，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
圆柱
的底面圆直径为
，母线长为，则
的中点
到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则
为圆
柱
的外接球球心.
本题中，将直三棱柱
放在圆柱
中，如下图所示：
26
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设
，因为
，则
，
则
的外接圆直径为
，
，
设
，则
，可得
，
，
令
，其中
，则
，
当
时，
，此时，函数
单调递减，
当
时，
，此时，函数
单调递增，
所以，
，即
，
故该三棱柱外接球的表面积
，
故选：A.
【变式3-2】已知正六棱柱
的每个顶点都在球O 的球面上，且
，
，
则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】因为
，所以正六边形ABCDEF 外接圆的半径
，
所以球O 的半径
，故球O 的表面积为
．
故选：D
1．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设正六棱柱下底面的中心为
，其外接球的圆心为点
，
则
，
为等边三角形，
故
，
即为其外接球的半径
，
所以
，
所以该正六棱柱的外接球的表面积为
.
故选：B.
题型四：直棱锥外接球
【典例4-1】已知三棱锥
中，
平面
，
，
，则此三棱锥外接球的
28
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表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
中，
，
，
则
的外接圆的半径
，
因为
平面
，
，设此三棱锥外接球的半径为
，
则
，
则三棱锥
的外接球的表面积为
．
故选：B．
【典例4-2】已知三棱锥P-ABC 中，
是边长为2 的等边三角形，
，
，
，则
三棱锥P-ABC 的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知
，所以
，
取
中点
，则
是
的外心，
又
，所以
点在底面
上的射影是
的外心，即为
，
所以
平面
，因此外接球球心
在
上，
的外接圆就是球的大圆，
，所以
，
，
，这就是外接球的半径，
外接球表面积为
，
29
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故选：C．
如图，
平面
，求外接球半径．
A
D
P
O1
O
C
B
解题步骤：
第一步：将
画在小圆面上，
为小圆直径的一个端点，作小圆的直径
，连接
，则
必
过球心
；
第二步：
为
的外心，所以
平面
，算出小圆
的半径
(三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得
)，
；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①
；
②
．
【变式4-1】已知三棱锥
中，
平面
，则此三棱锥外接球的
30
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表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设，底面
的外接圆半径
，
又
平面
，且
，则三棱锥的外接球半径
，
所以外接球表面积为
.
故选：B
【变式4-2】三棱锥
的四个顶点均在同一球面上，其中
平面
，
是正三角形，
，则该球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
的外接圆圆心为
，过点
作
底面
，
为三棱锥
外接球球心，设该球半径为，
由
平面
，则
，连接
、
、
，
31
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由
是正三角形，
，故
，
由
，
，则
，
故有
，
故该球的表面积
.
故选：D.
1．已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
平面
，
，
，若三棱锥
（以
为顶点）的侧面积为6，则球
的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知
平面
，
，所以三棱锥
的外接球，即为以
为同一顶
点出发的三条棱的长方体的外接球，
所以外接球半径
，其中
，
令
，
，则三棱锥
（以
为顶点）的侧面积为
，
32
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所以
，
所以
，
又因为
，即
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，当且仅当
时，
，
所以当
，即
时，
，
此时球
的表面积的取得最小值为
.
故选：B.
题型五：正棱锥与侧棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱锥
的体积为
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设正三棱锥
的底面中心为
，外接球的球心为
，显然球心
在直线
上.
设正三棱锥
的高为，外接球的半径为
，
由
，可得正三角形
的面积为
，
33
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所以
，解得
.
球心
到底面
的距离为
，
由
，得
，
所以外接球的表面积为
.
故选：D.
【典例5-2】已知三棱锥
的四个顶点都在球
的球面上，
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
的外接圆半径为，因为
，
，
由余弦定理得
，
，
所以
，
由正弦定理得
，所以
，
记
的外心为
，连接
，
，
，则
，
34
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取
，
的中点分别为
，
，则
，
，
又因为
，可得
，
，
因为
，
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
，
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，可得
，
由题意可得外接球的球心在
上，或在
的延长线上，设外接球的半径为
，
则球心到
的距离为
，
则有
，解得
，
所以球
的表面积
，
故选：A.
35
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1、正棱锥外接球半径：
．
h
l
r
D
C
B
A
2、侧棱相等模型：
如图，
的射影是
的外心
三棱锥
的三条侧棱相等
三棱锥
的底面
在圆锥的底上，顶点
点也是圆锥的顶点．
P
A
O1
O
C
B
解题步骤：
第一步：确定球心
的位置，取
的外心
，则
三点共线；
第二步：先算出小圆
的半径
，再算出棱锥的高
（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：
，解出
．
【变式5-1】已知三棱锥
，
，
，
，
，三棱锥
外接球的表面积与三棱锥
的侧面积之比为（ ）
36
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
，即
，则
，
可知
的外接圆圆心为斜边
的中点
，
又因为
，可知点
在底面的投影为
的外接圆圆心
，
可得
，
则三棱锥
外接球的球心
，设外接球的半径为
，
可得
，解得
，
所以外接球的表面积为
，
的面积为
；
的面积为
；
的面积为
；
所以三棱锥
的侧面积为
，
所以三棱锥
外接球的表面积与三棱锥
的侧面积之比为
.
故选：A.
【变式5-2】已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为
，则三棱锥体积
的最大值是（ ）
37
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设H 为底面三角形的中心，PH 为三棱锥的高，设为h，
由题意得，
，解得
，
该三棱锥为正三棱锥，
,
，
，
令
，
由
，可得
或
（舍去），
当
时，
，当
时，
，
在
单调递增，在
单调递减，
，
.
故选：B
38
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1．某正六棱锥外接球的表面积为
，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长
，则其体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设该正六棱锥的高
，侧棱长为
，设该正六棱锥外接球的半径为，如图，
因为正六棱锥外接球的表面积为
，
所以有
，
因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以
，
设
，在正六边形
中，因为正六边形边长为，所以
，
在
中，由余弦定理可知
，
在直角三角形
中，
，
所以有
，
由勾股定理可知
，
39
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因为
，所以
，
因此有
4，而
，所以
，
该正六棱锥的体积
，
，当
时，
单调递增，
所以
，
，
因此该正六棱锥的体积的取值范围是
，
故选：C
题型六：垂面模型
【典例6-1】如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
是以
为斜边的等腰直角三角
形，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
中点为
，连接
，
因为
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
所以
，
，
40
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过点
作
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
所以
平面
，
平面
，
所以三棱锥的外接球的球心在
上，设外接球的半径为
，
则由
得
，由
得
，
又因为
，
所以
为等腰直角三角形，
设球心为
，
中点为
，连接
，
则
，
所以
，
即
，解得
，
所以三棱锥的外接球的表面积为
.
故选：C
【典例6-2】在体积为
的三棱锥
中，
，
，平面
平面
，
，
，若点
，
，
，
都在球
的表面上，则球
的体积为（ ）
41
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，取
的中点
，连接
，
，
因为
，
，所以
，
因此点
就是三棱锥
的外接球球心，
在平面
内过点
作
，
为垂足，
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
设球
半径为
，则
，
又
，则
，
因为
，
，
，
所以
，
所以
，
所以三棱锥
的体积
，
所以
，所以球
的体积为
．
故选：C．
42
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如图1 所示为四面体
，已知平面
平面
，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出
和
的外接圆圆心，分别记为
和
．
（2）分别过
和
作平面
和平面
的垂线，其交点为球心，记为
．
（3）过
作
的垂线，垂足记为
，连接
，则
．
（4）在四棱锥
中，
垂直于平面
，如图2 所示，底面四边形
的四个顶
点共圆且
为该圆的直径．
图1 图2
【变式6-1】在体积为
的三棱锥
中，
，
，平面
平面
，
，
，若点
、
、
、
都在球
的表面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】过点
在平面
内作作
，垂足点为
，
取线段CD的中点
，连接
、
，如下图所示：
43
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因为
，
，则
，
所以，三棱锥
的外接球的球心
为
中点，
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，则
平面
，
设球
的半径为
，则
，
又
，
，所以，
，
，
，
所以，
，
所以，三棱锥
的体积为
，
解得
，因此，球
的表面积为
.
故选：A.
【变式6-2】在三棱锥P-ABC 中，
，平面PAB⊥平面ABC，若球O 是
三棱锥P-ABC 的外接球，则球O 的表面积为（ ）
A．96π
B．84π
C．72π
D．48π
【答案】B
【解析】在
中，
，则
，
中点
为
的外心，
于是
平面
，取
中点
，连接
，则
，而平面PAB⊥平面ABC，
平面
平面
，
平面
，则
平面
，
，
令正
的外心为
，则
为
的3 等分点，
，
44
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又
平面
，则
，而
，则四边形
是矩形，
，因此球O 的半径
，
所以球O 的表面积为
.
故选：B
1．在体积为12 的三棱锥
中，
，
，平面
平面
，
，
，若点
都在球
的表面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，取
的中点
，连接
，
，
因为
，
，所以
，因此点
就是球心，
又
，故
是等腰直角三角形，所以
．
45
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因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
．
设球
半径为
，则
，
，
又
，则
，
所以三棱锥
的体积
，
所以
，所以球O 的表面积为
．
故选：D．
题型七：二面角模型
【典例7-1】已知四面体
的各顶点都在同一球面上，若
，二面角
的平面角为
，则该球的表面积是
【答案】
/
【解析】
如图，取
中点
，连接
，
因
，则
，且
，
又二面角
的平面角为 60°，即
， 故
是等边三角形，
46
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分别取
与
的外心
，过
分别作两平面的垂线，两线相交于点
，
则点
为四面体
的外接球的球心，
由已知可得
，
连接
，易得
，故得
，
，则
，
在
中，
，
故该球的表面积是
.
故答案为：
.
【典例7-2】已知三棱锥
中，
，三角形
为正三角形，若二面角
为
，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，∵
，即
，∴
.
∴球心
在过
的中点
与平面
垂直的直线上，
同时也在过
的中心
与平面
垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心
.
∵二面角
的大小为
，
易知
，
，
，
，
，
47
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∴三棱锥
的外接球的半径为
.
∴三棱锥
的外接球的体积为
.
故答案为：
如图1 所示为四面体
，已知二面角
大小为
，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出
和
的外接圆圆心，分别记为
和
．
（2）分别过
和
作平面
和平面
的垂线，其交点为球心，记为
．
（3）过
作
的垂线，垂足记为
，连接
，则
．
（4）在四棱锥
中，
垂直于平面
，如图2 所示，底面四边形
的四个顶
点共圆且
为该圆的直径．
48
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【变式7-1】如图，在三棱锥
中，
，
，
，二面角
的
大小为
，则三棱锥
的外接球表面积为 .
【答案】
/
【解析】取
和
的中点分别为
，
，过点
作
面
于点
，
连结
，
，
,
平面
,故
，
又
，则
又
平面
,
故
平面
，
平面
，故
则
为二面角
的补角，
，
因为
，
，则
，且
，
易知
，
因为
为等腰直角三角形，所以
是
的外心.
设三棱锥
的外接球的球心为
，则
面
，易知
，
49
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作
，易知
为矩形，
，
设
，
，则在
中，
，
且
中，
，解得
，
所以外接球表面积为
.
故答案为：
.
【变式7-2】已知菱形
中，对角线
，将
沿着
折叠，使得二面角
为
，
，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】将
沿
折起后，取
中点为
，连接
，
，
则
，
，
可知
即为二面角
的平面角，即
；
设
，则
，
在
中，由余弦定理可得：
，
即
解得
，
即
，可得
，
50
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所以
与
是边长为
的等边三角形，
分别记三角形
与
的重心为
、
，
则
，
；
；
因为
与
都是边长为2 的等边三角形，
所以点
是
的外心，点
是
的外心；
记该几何体
的外接球球心为
，连接
，
，
根据球的性质，可得
平面
，
平面
，
所以
与
都是直角三角形，且
为公共边，
所以
与
全等，因此
，
所以
；
因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
；
又
平面
，所以
，
连接
，则外接球半径为
，
所以外接球表面积为
.
故答案为：
.
1．在三棱锥
中，已知
是边长为2 的正三角形，且
.若
和
的面积之积为
51
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，且二面角
的余弦值为
，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
/
【解析】设
中点为
，
外接圆圆心为
，球心为
，因为
，所以
，
又
是边长为2 的正三角形，所以
，结合题设有
，
所以
，得到
，所以
是等腰直角三角形，其外接圆圆心为
，
又因为
，所以
为二面角
的平面角，结合已知该角为锐角，
由题意可知，
，过
，
分别作平面
，平面
的垂线，相交于一点，
由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心
，如图所示，
所以
，
，得到
，
又易知
，
，所以
，
所以外接球半径
，
所以外接球表面积
，
故答案为：
.
52
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题型八：坐标法解决外接球问题
【典例8-1】已知三棱锥
的所有顶点都在球O 的球面上，
，
，
，若球O 的表面积等于
，则三棱锥
的体积等于（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
可知
为球的直径，
设球的半径为
，则
，
，
以点
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由
可得
，
则
设
，则
到平面
的距离为
，
由
，
可得：
，
53
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则三棱锥的体积
．
故选：D．
【典例8-2】已知正三棱锥
中，
，
，该三棱锥的外接球球心
到侧面距离为
，到
底面距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在正三棱锥
中
为等边三角形，顶点
在底面的射影为底面的重心，所以
，
又
，
，所以
，所以
，同理可得
、
即
，
，
两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径
，又
，
如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，所以
，
则点
到平面
的距离
，所以
.
54
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故选：B
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为
，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
【变式8-1】在棱长为4 的正方体
中，
是
的中点，
是
上的动点，则三棱锥
外接球半径的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
，取
的中点
，可知
为
的外心，
过
作平面
的垂线，可知三棱锥
外接球的球心
在该垂线上，
设
，
以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
55
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则
，
因为
，即
，
整理得
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以三棱锥
外接球半径的最小值为
.
故选：C.
【变式8-2】正方体
的棱长为2，若点M 在线段
上运动，当
的周长最小时，三
棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的周长为
，由于
为定值，即
最小时，
的周长最小，
如图，将平面
展成与平面
同一平面，则当点
共线时，此时
最小，在展开图
中作
，垂足为
，
，解得：
，
如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，
56
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，
，
连结
，因为
平面
，
平面
，
所以
，又因为
，且
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
同理
，且
，
所以
平面
，且三棱锥
是正三棱锥，所以
经过△
的中心．
所以三棱锥
外接球的球心在
上，设球心
，
，
，则
，
即
，
解得：
，
，所以外接球的表面积
.
故选：C.
1．如图，在三棱锥
中，
平面
分别为
的中点，
则平面
截三棱锥
的外接球所得截面的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，
平面
将三棱锥
补成正方体
，
所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心
是
的中点.
设外接球的半径为
，则
，即
，
以
分别为
轴，
轴和
轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，令
则
，
所以平面
的一个法向量
.
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所以球心
到平面
的距离为
，
设平面
截三棱锥
的外接球所得的截面半径，则
，
故该截面的面积为
，
故选：C
题型九：多面体外接球
【典例9-1】正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古
希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5 种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二
十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球
的球面上，则球
与正八面体
的体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设正八面体的棱长为2，正八面体的外接球
的球心
是正方形
的中心，
球
的半径
，点
到平面
的距离为
，
因此球
的体积
，正八面体的体积
，
所以球
与正八面体的体积之比是
.
故选：A
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【典例9-2】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现
了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个
面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为
，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：
不妨取两棱中点为
，由题知
，
易知
，可得
，
所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体
的棱切球，
所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为
，
因此该多面体的外接球的半径为
，所以其表面积为
.
故选：A
首先，确定球心是关键，可通过作垂线找交点、建立空间直角坐标系计算或利用特殊多面体的性质来
确定。其次，理解并应用外接球的性质，即外接球球心到多面体各顶点的距离相等，这有助于建立数学模
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型。最后，结合多面体的几何元素，运用空间向量、几何性质或公式法等方法求解外接球的半径。
【变式9-1】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1 所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包
装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体
的上底面
A1B1C1D1绕着其中心旋转
得到如图2 所示的十面体
.已知
，则十面体
外接球的球心到平面
的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题中数据可知
，则
.
因为十面体
是由长方体
的上底面
A1B1C1D1绕着其中心旋转
得到的，
所以长方体
的外接球就是十面体
的外接球.
设十面体
外接球的半径为R，则
，即
，
因为
，所以
.
设
外接圆的半径为r，则由正弦定理得
即
，
则该十面体
外接球的球心到平面
的距离是：
.
61
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故选：B
【变式9-2】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有
四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四
个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球
的表面上，且点
到正六边形面的距离为
，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将题图中的阿基米德多面体补全，得对应的正四面体
，如图所示，
设正四面体
的棱长为
，易知点
为正四面体
的中心，
且点
到正六边形面的距离是正四面体
的内切球的半径，
易知正四面体
的体积
，
正四面体
的表面积
，
所以正四面体
的内切球半径为
，
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所以
，解得
，则正六边形的边长为
，
则该正六边形的外接圆半径为2，所以球
的半径
，
故球
的体积为
，
故选：D．
1．在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有
个面，
个
顶点以及
条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为
的截角立方体，则该
截角立方体的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图，将该截角立方体补全为正方体，
由对称性知，该截角立方体的外接球的球心即为正方体的中心，
因为该截角立方体的棱长为
，
所以正方体的棱长为
，
则
，
，
设该截角立方体的外接球的半径为
，
则
，
所以外接球的表面积
.
63
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故答案为：
题型十：锥体内切球
【典例10-1】棱长为
的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则
这样一个小球的表面积最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体
的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为
，半
径为
，空隙处的最大球球心为
，半径为，
为
的中心，易知
面
，
为
中点，
球
和球
分别与面
相切于
和
.
易得
，
，
，
由
，
64
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可得
，
又
，
，
故
，
，
，
又由
和
相似，可得
，即
，解得
，
即小球的最大半径为
.
所以小球的表面积最大值为
.
故选：A
【典例10-2】点M、N 为正四面体
的内切球球面上的两个动点，T 为棱AB上的一动点，则当
取最大值时，
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设正四面体
的棱长为
，正四面体的内切球的球心为
，顶点
在底面的射影为
，
显然
在线段
上，该正四面体内切球的半径为
，
如图，
为正三角形
的中心，则
，
65
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，
由三棱锥的等体积得
，即
，
解得
，
，
由球的性质可知：当
，
与圆相切时，
最大，
如图所示：
，
由圆的切线长定理可知：
，
在
中，
，
最大时，
最小，因为
，
所以此时
为
的中点，即有
，
正四面体的内切球的球心为
，显然
也是该正四面体的外接球的球心，
所以
，
因此，
，
，
所以
.
66
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故选：C.
等体积法，即
【变式10-1】如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都
是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如
图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个
面相切．设
，则该模型中5 个球的表面积之和为
【答案】
【解析】如图所示，
设
为大球的球心，大球的半径为
，大正四面体的底面中心为
，棱长为3，高为，
的中点为
，
连接
，
，
，
，
，
，
由
则
，
67
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正四面体
的高
.
因为
，所以
，
所以
；
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高
，同理
；
故该模型中5 个球的表面积之和为
.
故答案为：
.
【变式10-2】作高为8 的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，
如此下去，则前
个内切球的半径和为 ．
【答案】
【解析】对于边长为
的正四面体
，
设正四面体的外接圆半径为
，内切圆半径为，高为，
令
为正三角形
的中心，
为正四面体
的中心，
则
，且
平面
，
可知
，
因为
，
，且
，
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即
，解得
，
可知
，
设第
个内切球的半径为
，第
个外接球的半径为
，
则
，
，可得
，
可知
是以首项
，公比
的等比数列，
所以前
个内切球的半径和为
.
故答案为：
.
1．已知三棱锥
的棱长均为4，先在三棱锥
内放入一个内切球
，然后再放入一个球
，
使得球
与球
及三棱锥
的三个侧面都相切，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取三棱锥
过内切球球心
的截面，如图所示：
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依题意得
，
底面
的外接圆半径为
，解得
；
点
到平面
的距离为
，
所以
，
所以
，
设球
的半径为
，
所以
，
则
，得
，
设球
的半径为，则
，又
，得
，
所以球
的表面积为
．
故选：A．
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重难点突破：棱切球
【典例11-1】已知四面体
中，
，
，
，
，球心在该四
面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，
是
的中心，
根据对称性，球心
在
上，球
与
、
的切点分别为
，
，
且
，
，
为球的半径．
由勾股定理易得
，由正弦定理可求得
，
由勾股定理可求得
．
∵
，
均为球
的切线，∴
，
∵
与
相似，∴
，
即
，∴
，
∴球的体积为
．
71
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故选：B．
【典例11-2】在正四棱台
中，
，若球
与上底面A1B1C1D1以及棱
均相切，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设棱台上下底面的中心为
,连接
，
则
，
所以棱台的高
,
设球半径为
,根据正四棱台的结构特征可知：球
与上底面
A1B1C1D1相切于
,与棱
均相切于
各边中点处，
设
中点为
，连接
,
所以
，解得
，
所以球
的表面积为
，
故选：C
（1）若正方体的棱长为
，则棱切球的半径
．
72
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（2）若正四面体棱长为
，则内切球半径
，外接球半径
，棱切球半径
．
（3）对于棱长为
的正
棱柱，棱切球半径为
．
【变式11-1】已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为
，若半径为1 的球与该正三棱锥的各棱均相切，
则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面
垂直的直线上，
又因为底面边长为
，
所以底面正三角形的内切圆的半径为
，
又因为球的半径
，即
，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，
如图，过球心O 作PA 的垂线交PA 于H，则H 为棱切球在PA 上的垂足，
所以
，
又因为
，所以
,
73
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因为
，所以
，
又由题意可知，
平面
，所以
，
所以
所以
，
所以
.
故选：A.
【变式11-2】已知正三棱柱
的侧面积为36，则与三棱柱
各棱均相切的球的表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设上下底面的中心分别为
，由对称性可知，
球
的球心为
的中点，取
的中点
，连接
，
连接
并延长，交
于
，连接
，则
，
设
，则
，
，
而
，联立两式，解得
，则球
的半径为
，
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则其表面积为
，故B 正确.
故选：B.
1．已知三棱锥
的所有棱长均为3，球O 与棱PA，PB，PC 都相切，且平面ABC 被球O 截得的截
面面积为
，则球O 的半径为（ ）．
A．1
B．
C．
D．
或
【答案】B
【解析】过点P 向底面ABC 作垂线，垂足为
，连接
，则球心O 在线段
或其延长线上，
为正
的中心，则
，
．
设球O 的半径为R，因为球O 截平面ABC 所得的截面面积为
，
所以截面圆的半径为
，所以
，
．
过O 作PA 的垂线，垂足为D，则
，
∽
，所以
．
①当点O 在线段
上时，
，即
，
则
，且
，解得
；
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②当点O 在线段
的延长线上时，
，即
，
则
，且
，解得
或
，
当
时，点O，
重合，此时点O 不在线段
的延长线上，故舍去；当
时，切点D 不在棱
PA 上，不符合题意．
综合①②可知，
，
故选：B．
76
