文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题17 计数原理（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（24-25 高三上·上海黄浦·阶段练习）若甲、乙两人从
门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中
至少有门相同的选法种数为 .
2．（24-25 高三上·上海·期中）在
的展开式中，
的系数为 （用数字作答）．
3．（24-25 高三上·上海·阶段练习）把
这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好
先严格减后严格增，则这样的数列共有 个
4．（24-25 高三上·上海·阶段练习）若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和
体育不连排的概率是
5．（24-25 高三上·上海·期中）已知
，若
则实数
的最大值为 .
6．（24-25 高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取2 个偶数和2 个奇数，组成
一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
7．（23-24 高二下·江苏连云港·期中）
的展开式中
的系数为 ．
8．（23-24 高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要
从除守门员外的10 名首发队员中选5 名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10 名首发队员中有2 名前锋、
4 名中场、4 名后卫，若要求2 名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有
种.（不考虑是否踢进等问题）
9．（23-24 高二下·上海嘉定·期末）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒
产品共有4 种玩偶，小明购买5 个盲盒，则他能集齐4 种玩偶的概率是 ．
10．（23-24 高三上·上海杨浦·期中）某工厂生产
、
两种型号的不同产品，产品数量之比为
.现用分
层抽样的方法抽出一个样本容量为
的样本，则其中
种型号的产品有
件，现从样本中抽出两件产品，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
此时含有
型号产品的概率为 .
11．（23-24 高二下·上海浦东新·期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、
香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在
鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
12．（23-24 高二下·上海·期中）平面上有8 个点，其中有3 个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意
三点共线，由这些点可以确定 直线
13．（23-24 高二上·上海松江·期末）饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜
馅饺子4 个，韭菜馅饺子5 个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4 个饺子，则每种口味的饺子都
至少舀取到1 个的概率为
14．（23-24 高二上·上海·期末）2020 年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指
的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和
两个氧原子构成的，其结构式为
.已知氧有
、
、
三种天然同位素，碳有
、
、
三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有 个.
15．（23-24 高二下·上海宝山·期末）设
（m、n 为正整数）对任意实数
x 都成立，若
，则
的最小值为 .
16．（24-25 高三上·上海·阶段练习）在某次数学测验中，学号为
的四位同学的考试成绩为
，且满足
，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的
种数为 .
17．（2024·上海·高考真题）设集合
中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元
素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
18．（24-25 高三上·上海金山·阶段练习）已知
，则
中正数的个数为
.
19．（23-24 高二下·上海·阶段练习）对于定义在非空集
上的函数
，若对任意的
，当
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，有
，则称函数
为“准单调递增函数”，若函数
的定义域
，值域
，则在满足这样条件的所有函数中，
为“准单调递增函数”
的概率是 ．
20．（24-25 高三上·上海嘉定·阶段练习）设集合A 是由所有满足下面两个条件的有序数组
构成：①
；②
；则集合A 中的元素共有
个.
二、单选题
21．（23-24 高二下·上海·期中）
可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（23-24 高二下·上海虹口·期末）某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中
选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是
（ ）
A．12
B．16
C．20
D．32
23．（2024·上海黄浦·二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟
从初中部和高中部两层共抽取40 名学生，已知该校初中部和高中部分别有500 和300 名学生，则不同的抽
样结果的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（23-24 高三上·上海宝山·期中）“
”是“
的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
25．（2023·上海奉贤·一模）若
的展开式中存在常数项，则下列选项
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
中
的取值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（23-24 高二下·上海·期末）现有编号分别为
的小球各两个，每个球的大小与质地均
相同．将这
个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为
，则
（ ）
① 对任意
都是偶数； ②
．
A．①②都是真命题
B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题
D．①②都是假命题
三、解答题
27．（24-25 高二上·上海奉贤·阶段练习）已知
（n 为正整数）.
(1)若
，求该式的展开式中所有项的系数之和；
(2)若
，求该式的展开式中无理项的个数；
(3)若
，求该式的展开式中系数最大的项.
一、填空题
1．（2023·上海嘉定·三模）4 名志愿者全部分到3 所学校支教，要求每所学校至少有1 名志愿者，则不同
的分法共有 种.
2．（2024·上海闵行·三模）有3 名男生与2 名女生排成一队照相，则2 名女生互不相邻的概率为 .
3．（2024·上海·三模）在
的展开式中，
项的系数是 ．
4．（2024·上海闵行·三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6 名参加三场双打表演赛（一场为男双，一
场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1 场表演赛，则所有不同的安排方法有 种.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2024·上海浦东新·三模）若
，则
的值为 .
6．（2024·上海·三模）用1~9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数
共有 个
7．（2022·上海闵行·模拟预测）从5 名志愿者中选出3 名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，
每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种.
8．（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5 名选手参加.若这5 名选手甲、乙、丙、丁、
戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 .
9．（2023·上海闵行·模拟预测）
展开式中含
项的系数为 .
10．（2020·上海闵行·三模）通过手机验证码登录哈罗单车
，验证码由四位数字随机组成，如某人收
到的验证码
满足
，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，
那么是首位为2 的递增型验证码的概率为 ．
11．（2023·上海杨浦·一模）我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几
何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四
面体中“鳖臑”的个数是 .
12．（2024·上海·模拟预测）设
为大于2 的自然数，将二项式
两边同时求导，可以得
到一些特别的组合恒等式
，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到
.
13．（2024·上海奉贤·二模）已知多项式
对一切实数
恒成立，则
14．（2024·上海·三模）若
，则
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
15．（2023·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足
，在空间内取不同两点
（不计顺序），使得这两点与A、B、C 可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
二、单选题
16．（2023·上海静安·一模）在
的二项展开式中，
称为二项展开式的第
项，其中
r=0，1，2，3，……，n．下列关于
的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若
，则二项展开式中系数最大的项是
．
B．已知
，若
，则二项展开式中第2 项不大于第3 项的实数
的取值范围是
．
C．若
，则二项展开式中的常数项是
．
D．若
，则二项展开式中
的幂指数是负数的项一共有12 项．
6
