文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题17 计数原理（讲义）
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m 种不同的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法.那么
完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同的方法，那么完成这件事共
有N＝m×n 种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独
立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相
互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
常用结论：
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.
(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.
(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.
二、排列与组合
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n 个不同元素中
取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个元素中
取出m 个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元
素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，用符号P 表示.
(2)从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组
合数，用符号C 表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；P＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现
重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
三、二项式定理
1.二项式定理
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数
C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n 为偶数时，中间的一项
取得最大值
当n 为奇数时，中间的两项
与
相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
常用结论：
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a 与b 的指数的和为n.
(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1 直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数
由零逐项增1 直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
2
