490
2026 年高二暑假讲义A 版
椭圆及其标准方程
1、椭圆的定义：
平面内一个动点P 到两个定点
1F 、
2
F 的距离之和等于常数
)
2
(
2
1
2
1
F
F
a
PF
PF
，这个动点
P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（
1F ,
2
F ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
1
2
|
|
F F
）叫作椭圆的焦距.
说明：对定义中限制条件“常数(大于
1
2
F F )”的理解
条件
结论
1
2
2a
F F
动点的轨迹是椭圆
1
2
2a
F F
动点的轨迹是线段
1
2
F F
1
2
2a
F F
动点不存在,因此轨迹不存在
2、定义的集合语言表述
集合
1
2
1
2
{
2
}
P
P PF
PF
a
F F
.
题型1
椭圆的定义及应用
题型4
点与椭圆的位置关系
题型2
求椭圆的标准方程
题型5
椭圆中的焦点三角形问题
题型3
判断方程是否表示椭圆
题型6
椭圆中的轨迹方程问题
知识点1
椭圆的定义
491
2026 年高二暑假讲义A 版
标准方程
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
图形
焦点位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
焦点坐标
1
,0
F
c
,
2
,0
F c
1 0,
F
c
,
2 0,
F
c
焦距
1
2
2
F F
c
异同点
相同点:
大小、形状都相同,都有
0
a
b
,
0
a
c
；a ,b , c 的关系都满足
2
2
2
a
c
b
；
不同点：位置和焦点坐标不同
【常用结论】
①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为
2
2
1(
0,
0,
)
x
y
m
n
m
n
m
n
；
②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为
2
2
1(
0,
0,
)
Ax
By
A
B
A
B
且
，将点的坐标代入，
解方程组求得系数．
③与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
有公共焦点的椭圆系方程为
2
2
2
2
2
1
)
x
y
b
a
b
;
④与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
有公共焦点的椭圆系方程为
2
2
2
2
2
1
)
y
x
b
a
b
.
1、根据椭圆的定义判断点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆内部；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆上；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆外部．
知识点2
椭圆的标准方程
知识点3
点与椭圆的位置关系
492
2026 年高二暑假讲义A 版
2、对于点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆外
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆内
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆上
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”．
2、性质：在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
中,设
1F 和
2
F 是椭圆的两个焦点,
0
0
,
P x y
为椭圆上的任意
一点,
1
2
.
F PF
①焦点三角形的周长
2
2
L
a
c
②在焦点三角形
1
2
PF F 中,
2
1
2
2
1 cos
b
PF PF
③
1 2
2
2
0
1
1
sin
tan
2
2
PF F
S
PF PF
b
c y
④椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,则焦半径的最大值为a
c
,最小值为a
c
.
例1、若椭圆
2
2
1
25
x
y
上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为（
）
A．5
B．2
C．7
D．6
【答案】C
【详解】椭圆
2
2
1
25
x
y
的长轴长2
10
a
，由点P 到椭圆一个焦点的距离为3 及椭圆定义，
得P 到另一个焦点的距离为2
3
7
a
.
故选：C
【变式训练1】已知P 为椭圆
2
2
:
2
16
C x
y
上一点，
1
2
,
F F 分别为C 的左、右焦点，且
2
2
PF
，
知识点4
焦点三角形
题型1
椭圆的定义及应用
493
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
2
PF
PF （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由
2
2
:
2
16
C x
y
可得：
2
2
1
16
8
x
y
，则
4
a
，
因
1
2
2
8
PF
PF
a
，则
1
2
8
6
PF
PF
，故
1
2
6
3
2
PF
PF
.
故选：C.
【变式训练2】已知平面内两个定点
1( 3,0)
F
，
2(3,0)
F
，动点P 满足
1
2
|
|
|
| 10
PF
PF
，则点P 的轨
迹为（
）.
A．椭圆
B．线段
C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【详解】因为
1
2
,
F F 为平面内两个不同定点，且
1
2
6
F F
，
1
2
|
|
|
| 10
6
PF
PF
，
则动点P 的轨迹是以
1
2
,
F F 为焦点的椭圆.
故选：A
【变式训练3】已知椭圆
2
2
1
4
9
x
y
的两焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 为椭圆上任意一点，则
1
2
PF
PF
的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【详解】由于椭圆
2
2
1
4
9
x
y
，故椭圆长半轴长为
3
a
，
故
1
2
2
6
PF
PF
a
，
故选：D
【变式训练4】若椭圆
2
2
:
1
9
x
y
C
m
上一点到椭圆C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m （
）
A．1
B．3
C．9
2
D．1或3
【答案】B
494
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】若
9
m
，则由2
2
m
m
得
1
m （舍去）；
若0
9
m
，则由2
6
m
得
3
m
.
故选：B.
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
（2）c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
（3）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点
0,2
A
和
1 ,
3
2
B
【答案】（1）
2
2
1
12
16
x
y
；（2）
2
2
1
169
144
x
y
或
2
2
1
169
144
y
x
；（3）
2
2
1
4
y
x
【详解】（1）由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).
由椭圆的定义知，
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
8
+
+
a
，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为
2
2
+
1
12
16
x
y .
（2）由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，
所以c＝5,b2＝a2－c2＝132－52＝144，
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
169
144
x
y
或
2
2
1
169
144
y
x
.
（3）设椭圆的方程为
2
2
1(
0,
0,
)
mx
ny
m
n
m
n
.
将A，B 两点坐标代入方程，得
4
1
1
3
1
4
n
m
n
，解得
1
1
4
m
n
，
故所求椭圆的方程为
2
2
1
4
y
x
.
【变式训练4】分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点
3,2
P
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同的焦点．
(2)经过两点
2,
2
，
14
1, 2
．
【答案】(1)
2
2
1
15
10
x
y
；(2)
2
2
1
8
4
x
y
题型2
求椭圆的标准方程
495
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且
2
5
c
．
设所求椭圆的标准方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
．
因为所求椭圆过点
3,2
P
，所以有
2
2
9
4
1
a
b
①
又
2
2
2
5
a
b
c
，②
由①②解得
2
2
15,
10
a
b
．
故所求椭圆的标准方程为
2
2
1
15
10
x
y
．
（2）设椭圆方程为
2
2
2
2
1
x
y
m
n
，且
2,
2
，
14
1, 2
在椭圆上，
所以
2
2
2
2
2
2
4
2
1
8
1
7
4
1
2
m
m
n
n
m
n
，则椭圆方程
2
2
1
8
4
x
y
.
【变式训练5】椭圆的两个焦点是
4,0
和
4,0 ，椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于10，
则椭圆的标准方程是（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
5
3
x
y
C．
2
2
1
25
9
x
y
D．
2
2
1
16
9
x
y
【答案】C
【详解】由椭圆定义可知，2
10
a
，得
5
a
，又椭圆的两个焦点是
4,0
和
4,0 ，
所以椭圆焦点在x 轴上，且
4
c
，所以
2
2
2
25 16
9
b
a
c
，
所以，所求椭圆的标准方程为
2
2
1
25
9
x
y
.
故选：C
【变式训练6】已知曲线C 上任意一点
0
0
,
P x
y
都满足关系式
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2 5
x
y
x
y
，
则曲线C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
3
x
y
C．
2
2
1
5
x
y
D．
2
2
1
4
5
x
y
【答案】C
【详解】因为点
0
0
,
P x
y
都满足
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2 5
x
y
x
y
，
所以
0
0
,
P x
y
到两定点( 2,0),(2,0)
的距离之和为2 5 ，且2 5
4
，
496
2026 年高二暑假讲义A 版
所以曲线C 为椭圆，焦点为( 2,0),(2,0)
，则
2
c
，
且椭圆C 上任意一点
0
0
,
P x
y
到两个焦点的距离之和为2 5 ，即2
2 5
a
，
故
2
2
2
2
5,
5
4
1
a
b
a
c
，
所以曲线C 的标准方程为
2
2
1
5
x
y
.
故选：C
例3、若方程
2
2
1
6
4
x
y
m
m
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．[4,5]
B．(4,6)
C．[5,
)
D．(5,6)
【答案】D
【详解】椭圆方程
2
2
2
2
1
1
6
4
6
4
x
y
x
y
m
m
m
m
，
上式表示焦点在y 轴上的椭圆，
则
6
0
4
0
4
6
m
m
m
m
，解得5
6
m
，
故选：D.
【变式训练7】已知曲线
2
2
1
2
1
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．( 1,2)
B．
1
1
1,
,2
2
2
C．(2,
)
D．(
, 1)
【答案】B
【详解】由题意可得
2
0
1
0
2
1
m
m
m
m
，解得
1
1
2
m
或1
2
2
m
.
故选：B.
【变式训练8】“
3
k ”是“方程
2
2
1
3
2
4
x
y
k
k
表示焦点在y 轴上的椭圆”的（
）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充分必要
D．既非充分又非必要
【答案】B
【详解】由题意有
3
0
3
2
4
0
2
1
2
4
3
1
k
k
k
k
k
k
k
k
，
题型3
判断方程是否表示椭圆
497
2026 年高二暑假讲义A 版
所以“
3
k ”是“方程
2
2
1
3
2
4
x
y
k
k
表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要非充分条件，
故选：B.
【变式训练9】已知方程
2
2
1
2
1
x
y
m
m
表示椭圆，则m 的取值范围是（
）
A．
, 2
B．
1,
C．
2,1
D．
, 2
1,
【答案】B
【详解】椭圆的标准方程为
2
2
1
2
1
x
y
m
m
，
依题意
2
0
1
0
2
1
m
m
m
m
，解得
1
m ，
故选：B.
例4、点
1,1 与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的位置关系为（
）
A．点在椭圆上
B．点在椭圆内
C．点在椭圆外
D．不确定
【答案】B
【详解】由于1
1
1
25
9
，所以
1,1 在
2
2
1
25
9
x
y
内，
故选：B
【变式训练11】若点
( 2,3)
A
是椭圆
2
2
2
: 2
x
E
y
m
某条弦的中点，则实数m 的值可以是（
）
A．11
B．10
C．3
D．4
【答案】D
【详解】由题意可知，点
( 2,3)
A
在椭圆内，
所以
2
4
9
2
m
，解得
11
m
或
11
m
.
故选：D
【变式训练12】椭圆
2
2
1
16
8
x
y
的焦点为
1
2
,
F F ，点P 在此椭圆上，如果线段
1
PF 的中点在y 轴上，
题型4
点与椭圆的位置关系
498
2026 年高二暑假讲义A 版
那么
1
2
PF
PF 的值为（
）
A．1
3
B．3
2
C．2
D．3
【答案】D
【详解】由
2
2
1
16
8
x
y
可知
2
2
16,
8
a
b
，即
4,
2 2
a
b
，
所以
2
2
2
16
8
8
c
a
b
，故不妨设
1
2
2 2,0 ,
2 2,0
F
F
，
因为线段
1
PF 的中点M 在y 轴上，且原点O为线段
1
2
F F 的中点，
所以
2 / /
PF
MO ，所以
2
PF
x
轴，
设
(2 2,
)
P
m ，将
(2 2,
)
P
m 代入椭圆方程，得
2
8
1
16
8
m
，得
2
4
m
，
所以
2
1
2,
2
2
6
PF
m
PF
a
，∴
1
2
|
|
3
|
|
PF
PF
．
故选：D.
例5、已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
，其左右焦点分别为
1
2
,
F F .点P 是椭圆E 上任意一点，则
1
2
PF F
的周长
为（
）
A．2
B．4
C．6
D．以上答案均不正确
【答案】C
【详解】由题意知：椭圆
2
2
1
4
3
x
y
中，
2
2
2,
3,
1.
a
b
c
a
b
所以
1
2
PF F
的周长为
1
2
1
2
2
2
4
2
6.
PF
PF
F F
a
c
故选：C.
【变式训练13】已知椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
的左焦点为F，A、B 为椭圆上两点，且直线AB 经过椭圆的
右焦点，则FAB
的周长为
．
题型5
椭圆中的焦点三角形问题
499
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】8
【详解】因为椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
，所以
2
a
，设椭圆右焦点为
1F ，
由椭圆定义得
1
1
2 ,
2 ,
FA
F A
a FB
F B
a
则FAB
的周长为
1
1
4
8
FA
FB
AB
FA
F A
FB
F B
a
．
故答案为：8.
【变式训练14】已知
1
2
,
F F 分别是椭圆
2
2
:
1
9
3
x
y
C
的左、右焦点，点P 在C 上，
1
2
90
PF F
，则
1
2
PF F
的面积为（
）
A．
6
B．2 2
C．2 6
D．4 2
【答案】A
【详解】在椭圆
2
2
:
1
9
3
x
y
C
中，
3
a
，
3
b
，
2
2
6
c
a
b
，
则
1
2
2 6
F F
，
点P 在C 上，
1
2
90
PF F
，所以
1
P
y
，
则
1
2
1
2
1
6
2
PF F
P
S
F F
y
.
故选：A
【变式训练15】已知P 是椭圆
2
2
1
9
4
y
x
上的一点，
1
2
,
F F 是椭圆的两个焦点，且
1
2
60
F PF
，则
1
2
F PF
的面积是
.
【答案】4 3
3
/ 4
3
3
【详解】在椭圆
2
2
1
9
4
y
x
中，
3
a
，
2
b
，
5
c
，
由椭圆的定义可得
1
2
2
6
PF
PF
a
，
1
2
2 5
F F
，
在
1
2
F PF
中，
1
2
60
F PF
，
500
2026 年高二暑假讲义A 版
由余弦定理得
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
20
2
cos60
3
F F
PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
1
2
36 3 PF
PF
，解得
1
2
16
3
PF
PF
，
因此，
1
2
1
2
1
4 3
sin 60
2
3
PF F
S
PF
PF
.
故答案为：4 3
3
.
【变式训练16】设
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
:
1
8
4
x
y
C
的两个焦点，点P 在C 上，若
1
2
0
PF PF
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【详解】
1
2
0
PF PF
∵
，
1
2
PF
PF
，
又椭圆
2
2
:
1
8
4
x
y
C
，
则
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
4 2
4
16
PF
PF
a
PF
PF
F F
c
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
8
2
PF
PF
PF
PF
PF
PF
.
故选：D.
【变式训练17】已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 为椭圆C 上一点，若
1
2
7
2
PF
PF
，则
1
2
cos
F PF
（
）
A．5
7
B．3
7
C．5
14
D．3
14
【答案】A
【详解】由椭圆方程知，
2
a
，
3
b
，
2
2
1
c
a
b
，则
1
2
|
| 2
2
F F
c
，
由椭圆的定义知，
1
2
|
|
|
| 2
4
PF
PF
a
，又
1
2
7
2
PF
PF
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
cos
2
2
PF
PF
PF
PF
PF
PF
F F
F PF
PF
PF
PF
PF
1
2
6
5
1
7
PF
PF
，
故选：A.
501
2026 年高二暑假讲义A 版
例6-1、平面内，动点P 的坐标
,x y 满足方程
2
2
2
2
3
3
2 6
x
y
x
y
，则动点P 的
轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
24
21
x
y
B．
2
2
1
6
3
x
y
C．
2
2
1
6
3
x
y
D．
2
2
1
9
6
x
y
【答案】B
【详解】由两点间距离公式知：
2
2
2
2
3
3
2 6
x
y
x
y
的几何意义是点
,
P x y 到
1
3,0
F
与
2
3,0
F
的距离之和
为2 6 ，
1
2
1
2
2 6
2 3
PF
PF
FF
，
P
点轨迹是以
1
2
,
F F 为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为2 ,2 ,2
a
b
c ，
则2
2 6
a
，2
2 3
c
，
6
a
，
3
c
，
2
2
2
3
b
a
c
，
P
点轨迹方程为：
2
2
1
6
3
x
y
.
故选：B.
【变式训练18】已知圆
2
2
:
1
16
C
x
y
及点
1,0
A
，在圆C 上任取一点P ，连接CP ，将点P 折
叠到点A，记CP 与折痕l 的交点为M （如图）. 当点P 在圆C 上运动时，点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
16
12
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
16
12
x
y
【答案】A
【详解】连接MA ，
圆
2
2
:
1
16
C
x
y
的圆心坐标为
( 1,0)
C
，半径为4．
题型6
椭圆中的轨迹方程问题
502
2026 年高二暑假讲义A 版
因为将点P 折叠到点A，记CP 与折痕l 的交点为M ，所以PM
AM
，
所以
4
2
CM
AM
CM
MP
r
AC
，
所以点M 的轨迹是以
,
A C 为焦点的椭圆，且2
4, 2
2
a
c
，所以
2,
1
a
c
，
所以
2
2
2
3
b
a
c
，所以点M 的轨迹方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
故选：A．
【变式训练19】已知动圆C 与圆
2
2
(
2)
25
x
y
内切，同时与圆
2
2
(
2)
1
x
y
外切，则动圆C 的
圆心轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
25
x
y
B．
2
2
1
25
24
x
y
C．
2
2
1
9
x
y
D．
2
2
1
9
5
x
y
【答案】D
【详解】圆
2
2
(
2)
25
x
y
圆心
1(2,0)
C
，半径1
5
r
，圆
2
2
(
2)
1
x
y
圆心
2( 2,0)
C
，半径
2
1
r ，
设动圆C 的圆心
( , )
C x y ，半径r ，而
1
2
1
|
| 4
C C
r
，点
2
C 在圆
1
C 内，
由动圆C 与圆
1
C 内切，与圆
2
C 外切，得动圆C 在圆
1
C 内，且
1
1
2
2
CC
r
r
CC
r
r
，
因此
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
6
4
CC
CC
r
r
C C
，动圆圆心C 的轨迹为以
2
1
,
C C 为左右焦点，
长轴长2
6
a 的椭圆，半焦距
2
c
，短半轴长
5
b
，
所以动圆圆心C 的轨迹方程为
2
2
1
9
5
x
y
．
故选：D
例6-2、已知曲线
2
2
:
16
C x
y
，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP，P为垂足（若P 在x 轴上，
P即为P ），则线段PP的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
16
4
x
y
B．
2
2
1
16
8
x
y
C．
2
2
1
16
4
y
x
D．
2
2
1
16
8
y
y
【答案】A
503
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由题意，设
0
0
,
P x
y
，
,
M x y ，则
0,0
P x
，
因M 是线段PP的中点，
0
0
2
x
x
y
y
又因为点
0
0
,
P x
y
在曲线
2
2
:
16
C x
y
上，即
2
2
0
0
16
x
y
，
故
2
2
2
16
x
y
，即
2
2
1
16
4
x
y
.
故选：A
【变式训练20】已知P 是椭圆
2
2
1
4
2
x
y
上的动点，过P 作y 轴的垂线，垂足为A ，若动点B 满足
3
PB
PA，则动点B 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
6
2
x
y
B．
2
2
1
16
2
x
y
C．
2
2
1
8
2
x
y
D．
2
2
1
12
2
x
y
【答案】B
【详解】设
1
1
,
P x y
，
,
B x y ，则
1
0,
A
y
，
1
1
1
,0
,
,
P
x y
PA
x
B
x
y
，
因为
3
PB
PA，所以
1
1
1
3
,0
,
y
x
x
x
y
，
可得
1
1
2
y
y
x
x
，所以有
2
2
1
16
2
x
y
.
故选：B.
【变式训练21】在圆
2
2
1
x
y
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，M 是线段PD
上的点，且
1
3
PM
PD
，当点P 在圆上运动时，则点M 的轨迹方程是（
）
A．
2x +
2
9
4
y =1(y
0
)
B．
2x +
2
4
9
y =1(y
0
)
C．
2y +
2
9
4
x =1(y
0
)
D．
2y +
2
4
9
x =1(y
0
)
【答案】A
504
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】
如图，设点
( , )
M x y ，
0
0
(
,
)
P x
y
，则
0
y
，
因点
0
0
(
,
)
P x
y
在圆
2
2
1
x
y
上，则
2
2
0
0
1
x
y
（*），
又因PD
x
轴，且M 是线段PD 上的点，
1
3
PM
PD
，则
1
3
PM
PD
，
则得
0
0
0
0
1
3
x
x
y
y
y
，即
0
0
3
2
x
x
y
y
，
将其代入（*），即得
2
2
9
1(
0)
4
x
y
y
是点M 的轨迹方程.
故选：A.
一、单选题
1、若椭圆
2
2
1
4
9
x
y
：
上一点P 与焦点
1F 的距离为1，则点P 与另一个焦点
2
F 的距离是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【详解】由题可得
1
2
2
1
2
6
6
5
PF
PF
a
PF
PF
.
故选：D
2、已知动点
,
M x y 满足
2
2
2
2
3
3
6
x
y
x
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．射线
B．直线
C．线段
D．椭圆
【答案】C
【详解】因为
2
2
3
x
y
表示点
,
M x y 到
0, 3
A
的距离MA ，
2
2
3
x
y
表示点
,
M x y 到
0,3
B
的距离MB ，
又
2
2
2
2
3
3
6
x
y
x
y
，即
6
MA
MB
，又
6
AB
，
505
2026 年高二暑假讲义A 版
即MA
MB
AB
，
所以动点M 的轨迹是线段AB .
故选：C
3、椭圆
2
2
:
1
16
25
x
y
C
的两个焦点为
1F ，
2F ，椭圆C 上有一点P，则
1
2
PF F
的周长为（
）
A．12
B．18
C．16
D．20
【答案】C
【详解】因为
5
a
，
4
b
，所以
2
2
3
c
a
b
，故
1
2
PF F
的周长为2
2
16
a
c
．
故选：C
4、若方程
2
2
1
3
1
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．
1,3
B．
3,1
C．
3,
1
1,1
D．
, 3
1,
【答案】C
【详解】因为方程
2
2
1
3
1
x
y
m
m
表示椭圆，
所以
3
0
1
0
m
m
且
3
m 与1 m
不相等，
所以
3, 1
1,1
m
.
故选：C.
5、已知曲线C：
2
2
9
x
y
（
0
y
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
'
PP ，P' 为垂足，若点M
满足
2
PM
MP'
，则点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
9
3
x
y
（
0
y
）
B．
2
2
1
9
x
y
（
0
y
）
C．
2
2
1
9
3
y
x
（
0
y
）
D．
2
2
1
9
y
x
（
0
y
）
【答案】B
【详解】解：设点
0
0
,
,
,
P x
y
M x y ，
则
0,0
P x
，
0
0
0
,
,
,
PM
x
x
y
y
MP
x
x
y
，
因为
2
PM
MP'
，
506
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
0
0
0
2
2
x
x
x
x
y
y
y
，解得
0
0
3
x
x
y
y
，
因为点P 在曲线C：
2
2
9
x
y
上，
所以
2
2
3
9
x
y
，（
0
y
），即
2
2
1
9
x
y
，（
0
y
），
故选：B
6、已知F 是椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点
4,4
Q
，则PQ
PF
的最大值
为（
）
A．5
2 2
B．5
2 2
C．3
2 2
D．3
2 2
【答案】A
【详解】如图，取椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
右焦点F，则
1,0
F
，
则由椭圆定义可知
2
2 2
PF
PF
a
，
则
2
2
2
2
2 2
4 1
4
5
2 2
PQ
PF
PQ
a
PF
a
QF
，
当且仅当P 、F、Q 三点共线，且F在PQ之间时取等，
故PQ
PF
的最大值为5
2 2
.
故选：A.
二、多选题
7、已知直线:
4
l mx
ny
与圆
2
2
:
4
O x
y
相切，椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
，则（
）
A．点
( , )
P m n 在圆O 内
B．点
( , )
P m n 在圆O 上
C．点
( , )
P m n 在椭圆C 内
D．点
( , )
P m n 在椭圆C 上
【答案】BC
【详解】由直线l 与圆O相切，可知，圆心到直线l 的距离
2
2
4
2
d
m
n
，
507
2026 年高二暑假讲义A 版
即
2
2
4
m
n
，所以点
,
P m n 在圆O 上，
并且2
5
，所以圆在椭圆C 内，
,
P m n 在椭圆C 内.
故选：BC
8、已知圆
2
2
1 :
2
4
C
x
y
，圆
2
2
2 :
4
0
C
x
x
y
a
，则下列说法正确的是（
）
A．
4
a
B．若圆
1
C 与圆
2
C 有且仅有1 个公共点，则
0
a
C．若圆
1
C 与圆
2
C 相交弦长为4，则
16
a
D．当
32
a
时，若动圆M 与圆
1
C 外切，与圆
2
C 内切，则点M 的轨迹方程为
2
2
1
16
4
x
y
【答案】AC
【详解】由题意可知：圆
2
2
1 :
2
4
C
x
y
的圆心
1
2,0
C
，半径1
2
r
；
将圆
2
2
2 :
4
0
C
x
x
y
a
的方程化为标准方程得：
2
2
2 :
2
4
C
x
y
a
，
故其圆心
2 2,0
C
，半径2
4
r
a
，
4
0
a
，即
4
a
，故选项A 正确；
若圆
1
C 与圆
2
C 有且仅有1 个公共点，则圆
1
C 与圆
2
C 外切或内切，
又
1
2
4
C C
∵
，
1
2
2
4
4
r
r
a
或
1
2
2
4
4
r
r
a
，
解得
0
a
或
32
a
，故选项B 错误；
圆
1
C 的一般方程为
2
2
1 :
4
0
C
x
x
y
，
则相交弦方程为：
2
2
2
2
4
4
0
x
x
y
x
x
y
a
，即8
0
x
a
，
若圆
1
C 与圆
2
C 相交弦长为4，则相交弦8
0
x
a
为圆
1
C 的直径，
将圆心
1
2,0
C
代入相交弦方程可得
16
a
，故选项C 正确；
当
32
a
时，圆
2
2
2 :
2
36
C
x
y
，圆心
2 2,0
C
，半径
2
6
r
，设动圆M 半径为R ，
因为动圆M 与圆
1
C 外切，与圆
2
C 内切，
1
2
MC
R
，
2
6
MC
R
，
1
2
1
2
8
4
MC
MC
C C
，
所以点M 的轨迹为以
1
2,0
C
和
2 2,0
C
为焦点，长轴长为8 的椭圆，
508
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
2
4
2
12
b
，所以点M 的轨迹方程为
2
2
1
16
12
x
y
，故选项D 错误.
故选：AC.
三、填空题
9、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过点
2
F 的直线与C 交于A，B 两点，
则
1
, ,
A B F 三点能构成边长为4 的正三角形时，C 的方程为
．
【答案】
2
2
1
9
6
x
y
【详解】设
1
,0 (
0)
F
c
c
，由题意知当
1
2
AB
F F
时
1
ABF
是边长为4 的正三角形，
如图．
由椭圆和正三角形的对称性，可知
1
2
3
2
4
2 3
2
F F
c
，所以
3
c
，
又
1
2
1
2
2
4,
2
6
AB
BF
BF
BF
BF
a
，所以
3
a
，
由
2
2
2
a
c
b
，得
2
6
b
，故椭圆的方程为
2
2
1
9
6
x
y
．
故答案为：
2
2
1
9
6
x
y
.
10、已知椭圆
2
2
:
1
25
16
x
y
C
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，P 是椭圆上一点，且满足
2
1
2
PF
F F
，则
1
PF
，
1
2
PF F
的面积为
．
【答案】
4
8 2
【详解】取线段
1
PF 的中点M ，连接
2
MF ，如下图所示：
509
2026 年高二暑假讲义A 版
在椭圆
2
2
:
1
25
16
x
y
C
中，
5
a
，
4
b
，
2
2
3
c
a
b
，
则
2
1
2
2
6
PF
F F
c
，由椭圆的定义可得
1
2
2
10
6
4
PF
a
PF
，
因为M 为
1
PF 的中点，则
2
1
MF
PF
，
所以，
2
2
2
2
2
2
6
2
4 2
MF
PF
PM
，
故
1 2
1
2
1
1
4
4 2
8 2
2
2
PF F
S
PF
MF
△
.
故答案为：4 ；8 2 .
四、解答题
11、求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)
1
b ，
15
c
，焦点在y 轴上；
(2)
10
a
，
6
c
．
(3)经过点
2 3,0
P
，
0,2
Q
两点；
【答案】(1)
2
2
1
16
y
x
；(2)
2
2
1
100
64
x
y
或
2
2
1
64
100
x
y
；(3)
2
2
1
12
4
x
y
【详解】（1）因为
1
b ，
15
c
，所以
2
2
2
16
a
b
c
，
因为椭圆焦点在y 轴上，所以其标准方程为：
2
2
1
16
y
x
；
（2）因为
10
a
，
6
c
，所以
2
2
2
100
36
64
b
a
c
，
因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：
2
2
1
100
64
x
y
或
2
2
1
64
100
x
y
；
（3）由题意得P、Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上，
所以
2 3
a
，
2
b
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
12
4
x
y
．
12、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点的坐标分别是
4,0
，
4,0 ，并且经过点5
3 3
,
2
2
；
(2)经过两点
2,
2
，
14
1, 2
.
510
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1)
2
2
1
25
9
x
y
；(2)
2
2
1
8
4
x
y
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ，
则
4
c
，且焦点在x 轴上，
2
2
2
2
5
3 3
5
3 3
2
4
0
4
0
10
2
2
2
2
a
，
所以
2
2
2
5,
9
a
b
a
c
，
所以椭圆方程为
2
2
1
25
9
x
y
；
（2）设椭圆的方程为
2
2
1
0,
0,
mx
ny
m
n
m
n
，
则
4
2
1
7
1
2
m
n
m
n
，解得
1
8
1
4
m
n
，
所以椭圆方程为
2
2
1
8
4
x
y
.
13、已知椭圆
2
2
2
1 0
2
4
x
y
b
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 在椭圆上，且直线
2
PF 与x 轴
垂直.
(1)证明：
2
1
2
4
PF
PF
b
；
(2)若
1
2
F PF
的角平分线恰好过点
1 ,0
4
D
，求
1
2
PF F
的面积.
【答案】(1)证明见解析；(2) 3
2
【详解】（1）由椭圆的定义得
1
2
2
4
PF
PF
a
，
因为直线
2
PF 与x 轴垂直，所以
2
2
2
2
1
2
4
4 4
PF
PF
c
b
，
即
2
2
1
2
1
2
4
4 4
PF
PF
PF
PF
c
b
，
故
2
1
2
4
PF
PF
b
.
（2）因为PD 平分
1
2
F PF
，所以
1
1
2
2
PF
F D
PF
DF
，即
1
2
1
4
1
4
c
PF
PF
c
，如下图所示：
511
2026 年高二暑假讲义A 版
由
1
2
4
PF
PF
和
2
1
2
PF
PF
c
，解得
2
1
1
2
2
PF
c
，
2
2
1
2
2
PF
c
，
代入
1
2
1
4
1
4
c
PF
PF
c
得
2
2
1
1
2
2
4
1
1
2
2
4
c
c
c
c
，解得
1
c ；
故
1
2
PF F
的面积为
2
2
1
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
c
PF
c
c
.
512
2026 年高二暑假讲义A 版
椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）
2
2
2
2
1
y
x
a
b
（
0
a
b
）
范围
a
x
a
，b
y
b
b
x
b
，a
y
a
顶点
1(
,0)
A
a
，
2( ,0)
A a
，
1(0,
)
B
b
，
2(0, )
B
b
1(0,
)
A
a
2(0, )
A
a
1(
,0)
B
b
2( ,0)
B b
轴长
短轴长＝2b ，长轴长＝2a
焦点
(
,0)
c
(0,
)
c
焦距
1
2
|
| 2
F F
c
对称性
对称轴：x 轴、y 轴
对称中心：原点
离心率
c
e
a
，
(0,1)
e
题型1
椭圆的简单几何性质
题型5
直线与椭圆的位置关系
题型2
由椭圆的简单几何性质求标准方程
题型6
椭圆的弦长及三角形面积问题
题型3
求椭圆离心率的值
题型7
椭圆的中点弦长问题
题型4
椭圆离心率中的参数问题
知识点1
椭圆的简单几何性质
513
2026 年高二暑假讲义A 版
注：
（1）椭圆离心率的范围、几何意义及其他表示方式
椭圆离心率e 的取值范围：
0,1 .
e
e , c
a
和b
a
之间可以相互转化,由
2
2
1
c
b
e
a
a
可推出
2
1
b
e
a
.由
2
1
b
e
a
可知,
当e 越趋近于1时, b
a
越趋近于0 ,此时椭圆越扁平；
当e 越趋近于0 时, b
a
越趋近于1,此时,椭圆越接近于圆.
因此,椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”,离心率e 越大,椭圆越扁平,离心率e 越小,椭圆越接近
于圆.(当且仅当a
b
,
0
c
时,两个焦点重合,椭圆就变为圆,它的方程为
2
2
2
x
y
a
)
（2）椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
的图象中线段的几何特征（如下图）：
1
2
2
PF
PF
a
；
1
2
BF
BF
a
，
1
2
OF
OF
c
，
2
2
2
1
A B
A B
a
b
；
1
1
2
2
A F
A F
a
c
,
1
2
2
1
A F
A F
a
c
，
c
a
PF
c
a
1
；
1、位置关系的判断
直线y
kx
m
与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的位置关系
联立
2
2
2
2
,
1,
y
kx
m
x
y
a
b
消去y 得一个关于x 的一元二次方程．
①
0
直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
0
直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
0
直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
知识点2
直线与椭圆的位置关系
514
2026 年高二暑假讲义A 版
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
若直线
b
kx
y
l
:
与圆锥曲线相交与A 、B 两点，
)
,
(
),
,
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A（
则：
弦长
2
2
1
2
2
1
)
(
)
(
y
y
x
x
AB
2
2
1
2
2
1
)
(
)
(
kx
kx
x
x
2
1
2
1
x
x
k
弦长
AB
2
1
2
1
1
y
y
k
这里
1
2
|
|,
x
x
1
2
|
|,
y
y
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
x
x
x
x
x x
；
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
y
y
y
y
y y
3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出根与系数的关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为关于
1
2
x
x
，
1
2
x x 的形式；
（5）代入求解．
设直线l 交椭圆
2
2
1(
0,
0,
)
x
y
m
n
m
n
m
n
于
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x y
)两点, O 为坐标原点,记弦
AB 的中点为
0
0
0
,
(
M x y
x 0).
将点A 的坐标
1
1
,
x y
,点B 的坐标
2
2
,
x y
代入椭圆方程得
2
2
1
1
2
2
2
2
1,
1,
x
y
m
n
x
y
m
n
两式作差并整理得
1
2
1
2
1
2
1
2
0,
x
x
x
x
y
y
y
y
m
n
若
1
2
x
x
,则
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
n
x
x
x
x
m
,
即
0
1
2
1
2
0
y
y
y
n
x
x
x
m
,(这种方法为点差法)。从而
0
0
AB
y
n
k
x
m
,即
AB
OM
n
k
k
m
.
知识点3
中点弦问题与点差法
515
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图：
(1)
2
2
9
36
x
y
；
(2)
2
2
9
5
45
x
y
.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
【详解】（1）将
2
2
9
36
x
y
化为标准方程为：
2
2
1
36
4
x
y
，
所以
6
a
，
2
b
，则
2
2
36
4
4 2
c
a
b
，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4 ，焦距为8 2 ，
顶点坐标为
6,0
、
6,0 、
0 2,
、
0, 2
，焦点坐标为
4 2,0
和
4 2,0 ，离心率为
2 2
3
c
e
a
，
椭圆图象如下：
（2）将
2
2
9
5
45
x
y
化为标准方程为：
2
2
1
5
9
x
y
，因为9
5
，所以椭圆的焦点落在y 轴上，
所以
3
a
，
5
b
，则
2
2
9
5
2
c
a
b
，所以椭圆的长轴长为6 ，短轴长为2 5 ，焦距为4 ，
顶点坐标为
5,0
、
5,0 、
0,3 、
0, 3
，焦点坐标为
0 2,
和
0, 2
，离心率为
2
3
c
e
a
，
椭圆图象如下：
题型1
椭圆的简单几何性质
516
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练1】已知椭圆
2
2
1
5
x
y
m
的一个焦点坐标为
0, 2
，则实数m 的值为（
）
A．1
B．4
C．7
D．9
【答案】D
【详解】由已知可得椭圆
2
2
1
5
x
y
m
的焦点在y 轴上，
故
2
2
,
5,
2
a
m b
c
，
则
2
2
2
5
4
c
a
b
m
，得
9
m
.
故选：D.
【变式训练2】已知椭圆
2
2
2
:
1
x
y
C
m
m
的短轴长为4，则m （
）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【详解】由C 的短轴长为4，得2
4
b
，即
2
b
，则
2
4
b
，
若
2
0
0
1
m
m
m
，则
2
4
m
，显然矛盾；
若
2
0
1
m
m
m
，则
4
m
．
经验证，当
4
m
时，椭圆
2
2
2
:
1
x
y
C
m
m
的短轴长为4，
故选：B
【变式训练3】（多选）已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C
的两个焦点，点P 在C 上且不在x 轴上，则
（
）
A．椭圆C 的长轴长为10
B．椭圆C 的离心率为3
5
C．椭圆C 的焦距为8
D．
1
2
PF F
的周长为10
【答案】AC
【详解】由椭圆方程
2
2
1
25
9
x
y
可知，焦点在x 轴，
2
2
2
2
2
25,
9,
25
9
16
a
b
c
a
b
，
所以椭圆长轴长为2
10
a
，离心率为
4
5
c
e
a
，
焦距为2
8
c
，
1
2
PF F
的周长为2
2
18
a
c
，所以AC 正确，BD 错误.
故选：AC.
517
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5 倍，且过点
(5,0)
A
；
(2)离心率
3
5
e
，焦距为12.
【答案】(1)
2
2
1
25
x
y
或
2
2
1
625
25
y
x
；(2)
2
2
1
100
64
x
y
或
2
2
1
100
64
y
x
.
【详解】（1）当椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为
2
2
1
1
2
2
1
1
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，
由椭圆过点
(5,0)
A
，得
1
5
a
，由椭圆长轴长是短轴长的5 倍，得
1
1
1
1
5
b
a
，
则所求椭圆的标准方程为
2
2
1
25
x
y
；
当焦点在y 轴上，设其标准方程为
2
2
2
2
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
，
由椭圆过点
(5,0)
A
，得
2
5
b
，由椭圆长轴长是短轴长的5 倍，得
2
2
5
25
a
b
，
则所求椭圆的标准方程为
2
2
1
625
25
y
x
，
所以所求椭圆的标准方程为
2
2
1
25
x
y
或
2
2
1
625
25
y
x
.
（2）令椭圆长半轴长为a，半焦距为c，由2
12
c
，得
6
c
，
由离心率
3
5
e
，得
3
5
c
a
，即
10
a
，因此椭圆短半轴长
2
2
8
b
a
c
，
当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为
2
2
1
100
64
x
y
；
当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为
2
2
1
100
64
y
x
，
所以所求椭圆的标准方程为
2
2
1
100
64
x
y
或
2
2
1
100
64
y
x
.
【变式训练4】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6，离心率为2
3 ；
(2)经过点
3,0
P
，离心率为
6
3
，焦点在x 轴上；
(3)x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【答案】(1)
2
2
1
9
5
x
y
或
2
2
1
9
5
y
x
；(2)
2
2
1
9
3
x
y
；(3)
2
2
1
18
9
x
y
题型2
由椭圆的简单几何性质求标准方程
518
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）由题意得：2
6
a ，则
3
a
，
又因为
2
3
c
e
a
，所以
2
c
，
则由椭圆的几何性质得：
2
2
2
9
4
5
b
a
c
，所以
5
b
，
所以椭圆的标准方程为：
2
2
1
9
5
x
y
或
2
2
1
9
5
y
x
.
（2）因为椭圆的焦点在x 轴上，由题设得：
3
a
，
又因为
6
3
c
e
a
，所以
6
c
，
则由椭圆的几何性质得：
2
2
2
9
6
3
b
a
c
，所以
3
b
，
所以椭圆的标准方程为：
2
2
1
9
3
x
y
.
（3）设椭圆标准方程为：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
如图所示，
1
2
A FA
△
为等腰直角三角形，OF 为斜边
1
2
A A 上的中线，且OF
c
，
1
2
2
A A
b
，
又因为焦距为6，所以
3
c
b
，
则由椭圆的几何性质得：
2
2
2
18
a
b
c
，
所以椭圆的标准方程为：
2
2
1
18
9
x
y
.
【变式训练5】已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，
(1)已知椭圆C 的一个焦点坐标为
1,0 ，且长轴长是短轴长的2 倍.求椭圆C 的方程；
(2)已知椭圆C 的离心率为
3
2
，直线
2
0
x
y
b
与圆
2
2
2
x
y
相切，求椭圆C 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
；(2)
2
2
1
4
x
y
【详解】（1）由题意得
2
2
2
1
2
c
a
b
a
b
c
，解得
2
1
a
b
，
519
2026 年高二暑假讲义A 版
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
.
（2）直线
2
0
x
y
b
与圆
2
2
2
x
y
相切，
则圆心到直线的距离为
2
2
1 1
b
d
，
解得
1
b ，
由题意得
2
2
3
1
2
b
e
a
，
解得
2
a
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
.
例3、若椭圆
2
2
2
1
3
9
x
y
a
a
的焦距为8 ，则该椭圆的离心率为（
）
A．3
4
B．4
5
C．3
5
D．2
3
【答案】B
【详解】由题意可知，椭圆的焦点在x 轴上，且2
8
c
，则
4
c
，
又因为
3
b
，则
2
2
5
a
b
c
，因此，该椭圆的离心率为
4
5
c
e
a
.
故选：B.
【变式训练6】已知椭圆C：
2
2
2
1
y
x
a
（
0
a
）的左顶点到上焦点的距离为2，则C 的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
3
C．
3
2
D．
3
【答案】C
【详解】由题意知
2
1,
1
b
c
a
，左顶点
1,0
，上焦点
2
0,
1
a
，
则
2
2
2
1
1
2
a
，解得
2
a
，∴
3
c
∴离心率
3
e
2
.
故选：C.
【变式训练7】设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P在C上，若
1
2
0
PF PF
，
1
2
30
PF F
，则C 的离心率为（
）
题型3
求椭圆离心率的值
520
2026 年高二暑假讲义A 版
A．3 1
B．
3
3
C．1
2
D．1
3
【答案】A
【详解】解：如图：
因为
1
2
0
PF PF
，所以
1
2
PF
PF
，
则在直角三角形
1
2
PF F 中，
1
2
30
PF F
，
得
2
1
,
3
PF
c PF
c
，
由
2
1
2
PF
PF
a
，得
3
2
c
c
a
，
即椭圆的离心率为：
2
3
1
3
1
c
e
a
．
故选：A
【变式训练8】已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别是
1
2
,
F F ，P 是椭圆外一点，直
线
1
PF 的倾斜角为π
3 ，
2
1
2
PF
F F
，线段
2
PF 的中点在C 上，则C 的离心率为（
）
A．1
2
B．3 1
C．
3
2
D．
6
3
【答案】B
【详解】令椭圆半焦距为c,M 为线段
2
PF 的中点，连接
1
MF ，
由
1
2
π
3
PF F
,
2
1
2
PF
F F
，得
1
2
PF F
为等边三角形，则
1
3
MF
c
，
所以C 的离心率为
1
2
1
2
2
3
1
3
F F
c
MF
MF
c
c
.
故选：B
521
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练9】已知
1
2
,
F F 是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
1
2
1
2
120 ,
3
F PF
PF
PF
，则
C 的离心率为（
）
A．
13
4
B．13
8
C．
7
4
D．
7
8
【答案】A
【详解】因为
1
2
3
PF
PF
，由椭圆的定义可得
1
2
2
4
2
PF
PF
PF
a
，
所以
2
2
a
PF
，
1
3
2
a
PF
，
因为
1
2
120
F PF
,由余弦定理可得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
F F
PF
PF
PF PF
F PF
，所以
2
2
2
9
1
3
1
4
2
4
4
2
2
2
a
a
c
a
a
，
整理可得
2
2
13
4
4
a
c
，所以
2
2
2
13
16
c
e
a
，即
13
4
e
.
故选：A.
例4、已知椭圆
2
2
1
4
x
y
m
的离心率
1
2
e
，则实数m
．
【答案】3或16
3
【详解】①若焦点在x 轴上，则
4
m
，即
2
4
a
，
2
b
m
，
则
2
2
2
4
c
a
b
m
，
可得
2
2
2
4
1
4
4
c
m
e
a
，解得
3
m
；
②若焦点在y 轴上，则
4
m
，即
2
a
m
，
2
4
b
则
2
2
2
4
c
a
b
m
可得
2
2
2
4
1
4
c
m
e
a
m
，即
16
3
m
；
故答案为：3或16
3 .
【变式训练10】已知椭圆C 的离心率为1
2 ，
1
2
,
F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，若
1
2
PF F
的周
题型4
椭圆离心率中的参数问题
522
2026 年高二暑假讲义A 版
长为2 ，则椭圆C 的焦距为（
）
A．
2
3
B．
2
4
C．
2
5
D．
2
6
【答案】A
【详解】设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，依题意可知，
1
2
2
2
2
c
e
a
a
c
，
解得
2
6
c
，所以椭圆C 的焦距为
2
2
3
c
.
故选：A
【变式训练11】设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F 、
2F ，左顶点为A ，若椭圆C
的离心率为1
3 ，则
2
1
F A
AF 的值为
.
【答案】2
【详解】由题意可得
1
2
,0 ,
,0 ,
,0
F
c
F c
A
a
，则
2
F A
a
c
，
1
AF
a
c
，
由椭圆离心率为1
3 ，可得
1
3
c
a
，则
3
a
c
，
所以
2
1
3
2
3
F A
a
c
c
c
AF
a
c
c
c
.
故答案为：2 .
【变式训练12】记椭圆
2
2
:
1
6
3
x
y
C m
m
的离心率为e，若
3 ,1
2
e
，则实数m 的取值范围为（
）
A．
3,4
B．
3,6
C．
4,5
D．
4,6
【答案】B
【详解】因为
6
3
m
m
，
所以，
2
6
a
m
，
2
3
b
m
，则
3
0
m
，可得
3
m
，
2
2
2
6
3
9
c
a
b
m
m
，则
3
c
，
因为
3 ,1
2
e
，即
3
3 ,1
2
6
c
a
m
，可得3
6
2 3
m
，解得3
6
m
，
因此，实数m 的取值范围是
3,6 .
故选：B.
523
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、直线
1
x
y
a
b
与椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）的位置关系为（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【答案】C
【详解】因为直线
1
x
y
a
b
过点
,0 , 0,
a
b ，
而
,0 , 0,
a
b 为椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的右端点和上端点，
故直线
1
x
y
a
b
与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交.
故选：C.
【变式训练13】若直线:l y
x
m
与椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
没有公共点，则m 的取值范围为
．
【答案】(
,
14)
( 14,
)
【详解】由
2
2
5
9
45
y
x
m
x
y
，可得
2
2
14
18
9
45
0
x
mx
m
，
因为直线与椭圆没有公共点，
故
2
2
Δ
324
56 9
45
0
m
m
，故
14
m
或
14
m
，
则m 的取值范围为(
,
14)
( 14,
)
，
故答案为：(
,
14)
( 14,
)
.
【变式训练14】已知椭圆C 的两焦点为
1
2,0
F
，
2
2,0
F
，P 为椭圆上一点，且到两个焦点的
距离之和为6.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若已知直线y
x
m
，当m 为何值时，直线与椭圆C 有公共点？
【答案】(1)
2
2
1
9
7
x
y
；(2)
4,4
m
【详解】（1）由题意可得：
2
2
6
c
a
，即
2
3
c
a
，可得
2
2
2
2
23
2
7
b
a
c
，
且椭圆焦点在x 轴上，所以所求的椭圆方程为
2
2
1
9
7
x
y
.
题型5
直线与椭圆的位置关系
524
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）联立方程
2
2
1,
9
7
,
x
y
y
x
m
，消去y 得
2
2
16
18
9
63
0
x
mx
m
.
由
2
2
Δ
(18 )
4 16 9
63
0
m
m
，得
2
16
m
，则4
4
m
.
所以当
4,4
m
时，直线与椭圆C 有公共点.
【变式训练15】已知椭圆M ：
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
的离心率为
6
3
，焦距为4.
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l 与直线l ：
3 2
0
x
y
平行，求直线1l 的斜截式方程.
【答案】(1)
2
2
1
6
2
y
x
；(2)
2 2
y
x
【详解】（1）由题意得
2
2
2
2
4
6
3
c
a
b
c
c
a
，从而可得
2
2
6
2
2
a
b
c
，
椭圆M 的标准方程为
2
2
1
6
2
y
x
.
（2）设与直线l 平行的直线1l 的方程为：y
x
m
，
联立
2
2
1
6
2
y
x
y
x
m
，得
2
2
4
2
6
0
x
mx
m
，
由
2
2
Δ
4
4 4
6
0
m
m
，得
2 2
m
，
直线1l 的斜截式方程为：
2 2
y
x
.
例6、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，点
(2,1)
A
在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程．
题型6
椭圆的弦长及三角形面积问题
525
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)直线:l y
x
m
与椭圆C 交于M，N 两点．
①求m 的取值范围；
②若
1
m ，求|
|
MN 的值．
【答案】(1)
2
2
1
8
2
x
y
；(2)①(
10, 10)
；②12 2
5
．
【详解】（1）因为点
2,1
A
在椭圆C 上，所以
2
2
4
1
1
a
b
．
椭圆C 的离心率为
2
2
2
3 ,
2
c
a
b
c
a
，解得
2
2
8,
2
a
b
．
故椭圆C 的标准方程为
2
2
1
8
2
x
y
．
（2）联立
2
2
1,
8
2
,
x
y
y
x
m
得
2
2
5
8
4
8
0
x
mx
m
．
①
2
2
(8 )
4 5 4
8
0
m
m
，解得
10
10
m
，
所以m 的取值范围为(
10, 10)
．
②因为
1
m ，所以
2
5
8
4
0
x
x
，解得
1
2
2 ,
2
5
x
x
．
2
1
2
2
12 2
|
|
1
2
2
5
5
MN
k
x
x
．
【变式训练16】已知椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
，
1F 、
2F 为其左、右焦点．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若直线y
x
m
被椭圆C 截得的线段长为8
3 ，求m 的值．
【答案】(1)
2
2 ；(2)
2
m
【详解】（1）由椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
，
可得
2,
2,
4
2
2
a
b
c
，
所以
2
2
c
e
a
；
（2）设直线y
x
m
与椭圆C 交于
1
1
,
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
两点，
联立方程组
2
2
1
4
2
y
x
m
x
y
，
得
2
2
3
4
2
4
0
x
mx
m
，
526
2026 年高二暑假讲义A 版
则
2
2
2
1
2
2
1
2
16
4 3 2
4
8 6
0
4
3
2
4
3
m
m
m
m
x
x
m
x
x
，
由于
8 ,
3
AB
即
2
2
2
4
2
4
8
1 1
4
3
3
3
m
m
，
解得
2
m
.
【变式训练17】过椭圆
2
2
1
2
x
y
的左焦点
1F 作倾斜角为60o的直线l ，与椭圆相交于A 、B 两点.
(1)求弦长AB ；
(2)求
OAB
△
的面积.
【答案】(1) 8 2
7
(2) 2 6
7
【详解】（1）在椭圆
2
2
1
2
x
y
中，
2
a
，
1
b ，所以，
2
2
1
c
a
b
，则点
1
1,0
F
，
因为直线AB 的倾斜角为60o，所以直线AB 的斜率为
3 ，其方程为
3
1
y
x
，
联立
2
2
3
1
1
2
y
x
x
y
消去y 可得
2
7
12
4
0
x
x
，
2
12
4 7 4
32
0
，设点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，
由韦达定理可得
1
2
12
7
x
x
，
1
2
4
7
x x
，
由弦长公式可得
2
2
2
1
2
1
2
12
4
8 2
1
3
4
2
4
7
7
7
AB
x
x
x x
.
（2）原点O到直线
3
3
0
x
y
的距离为
3
3
2
1 3
d
，
故
OAB
△
的面积为
1
1
8 2
3
2 6
2
2
7
2
7
AOB
S
AB d
.
【变式训练18】已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，
1F ，
2F 分别是椭圆的左右焦点，
过点
1F 的直线交椭圆于
,
M N 两点，且
2
MNF
的周长为4 2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线:l y
x
m
与C 交于
,
A B 两点，求
OAB
△
面积的最大值．
527
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
；(2)
2
2
【详解】（1）
由椭圆的定义得，
2
MNF
的周长为
2
2
MN
MF
NF
1
2
1
2
4
4 2
MF
MF
NF
NF
a
，故
2
a
.由离心率
2
2
c
e
a
得
1
c ，∴
2
2
1
b
a
c
，
∴椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
.
（2）
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，由
2
2
1
2
y
x
m
x
y
得，
2
2
3
4
2
2
0
x
mx
m
，由
2
2
Δ
4
12 2
2
0
m
m
得，
2
0
3
m
，
∴
2
1
2
1
2
4
2
2
,
3
3
m
m
x
x
x x
，
∴
2
2
1
2
1
2
1 1
4
AB
x
x
x x
2
2
2
4
2
2
4
2
4
3
3
3
3
m
m
m
，
∵点O到直线:l y
x
m
的距离为
2
2
2
1
1
m
m
d
，
∴
OAB
△
的面积
4
2
1
2
3
2
3
S
AB d
m
m
，令
2 0
3
t
m
t
，则
2
2
3
3
S
t
t
=
× -
+
∵二次函数
2
3
y
t
t
对称轴为直线
3
2
t
，
528
2026 年高二暑假讲义A 版
∴当
3
0,3
2
t
时，
2
max
3
3
9
3
2
2
4
y
，
∴
max
2
9
2
3
4
2
S
=
´
=
.
例7、椭圆
2
2
1
16
9
x
y
中，以点
1,2
M
为中点的弦所在直线斜率为（
）
A．9
16
B．9
32
C．9
64
D．
9
32
【答案】D
【详解】由题意可知以点
1,2
M
为中点的弦所在直线斜率存在且不为0，
设该直线与椭圆的两个交点坐标为
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
2
1
1
1
16
9
x
y
①，
2
2
2
2
1
16
9
x
y
②，由②①得
2
2
2
2
2
1
2
1
0
16
9
x
x
y
y
，
所以以点
1,2
M
为中点的弦所在直线斜率为
2
1
2
1
2
1
2
1
9
9
2 1
9
16
16
2
2
32
x
x
y
y
k
x
x
y
y
.
故选：D.
【变式训练19】已知椭圆
2
2
1
9
4
y
x
与直线l 交于
,
A B 两点，若点
( 1,1)
P
为线段AB 的中点，则直线
l 的方程是（
）
A．9
4
5
0
x
y
B．9
4
13
0
x
y
C．4
9
5
0
x
y
D．4
9
13
0
x
y
【答案】B
【详解】设点
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
) ，因点
( 1,1)
P
为线段AB 的中点，则
1
2
1
2
2,
2,
x
x
y
y
（*）
又
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
) 在椭圆
2
2
1
9
4
y
x
（即
2
2
4
9
36
y
x
）上，则
2
2
1
1
4
9
36
y
x
①，
2
2
2
2
4
9
36
y
x
②，由
①
②，可得
1
2
1
2
1
2
1
2
4(
)(
)
9(
)(
)
0
y
y
y
y
x
x
x
x
，
将（*）代入，化简得
1
2
1
2
4(
)
9(
)
y
y
x
x
，即
1
2
1
2
9
4
y
y
x
x
，可知直线l 的斜率为9
4 ，
故直线l 的方程为：
9
1
(
1)
4
y
x
，即9
4
13
0
x
y
.
故选：B.
题型7
椭圆的中点弦长问题
529
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练20】已知原点为O，椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
与直线:
1
0
l x
y
交于
,
A B 两点，线
段AB 的中点为M ，若直线OM 的斜率为
1
3
，则椭圆C 的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
2
C．
5
1
2
D．
6
3
【答案】D
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,则
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
且
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
故
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
0
x
x
y
y
a
b
，故
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
l
OM
y
y
y
y
y
y
b
k k
a
x
x
x
x
x
x
,
故
2
2
1
1
3
b
a
，即
2
2
1
3
b
a
，
因此
2
2
6
1
3
c
b
e
a
a
，
故选：D
【变式训练21】已知椭圆C 的其中一个焦点为
0, 4
F
，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若AB
的中点坐标为(
)
1, 1
-
，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
4
20
x
y
B．
2
2
1
24
8
x
y
C．
2
2
1
8
24
x
y
D．
2
2
1
20
4
x
y
【答案】C
【详解】设椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
，
由题意知
4
c
，且直线AB 的斜率
4 1
3
0 1
k
，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
) ，则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
x
a
b
y
x
a
b
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
0
y
y
y
y
x
x
x
x
a
b
，
由AB 的中点坐标为(
)
1, 1
-
，知
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
，
530
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
2
1
2
2
2
2(
)
2(
)
0
y
y
x
x
a
b
，
所以
2
1
2
2
1
2
3
y
y
a
k
b
x
x
，即
2
2
3
a
b
=
，
又
2
2
2 ,
4
a
b
c
c
，所以
2
24,
a
2
8
b
，
故椭圆C 的方程为
2
2
1
8
24
x
y
．
故选：C．
一、单选题
1、椭圆的标准方程为
2
2
1
9
16
x
y
，其焦点的坐标为（
）
A．
3,0 ，
3,0
B．
7,0 ，
7,0
C．
5,0 ，
5,0
D．
0, 7 ，
0,
7
【答案】D
【详解】由
2
2
1
9
16
x
y
可知椭圆的焦点在y 轴上，且
4
a
，
3
b
，
则
2
2
16
9
7
c
a
b
，故椭圆焦点的坐标为
0, 7 ，
0,
7
．
故选：D
2、中心为原点，焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为4 3 的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
4
16
x
y
B．
2
2
1
16
4
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
y
x
【答案】A
【详解】设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
，则2
2
2
a
b
且2
4 3
c
，得
4,
2
a
b
，故椭圆方程为
2
2
1
16
4
y
x
.
故选：A.
3、椭圆
2
2
1 :
1
9
4
x
y
E
与椭圆
2
2
2 :
1(0
4)
9
4
x
y
E
k
k
k
的（
）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
【答案】D
531
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】对于椭圆
1
E 的长短半轴长及半焦距分别为
1
1
1
3,
2,
5
a
b
c
，
对于椭圆
2
E 的长短半轴长及半焦距分别为
2
2
2
9
,
4
,
5
a
k b
k c
，
所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.
故选：D
4、已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的长轴长是短轴长的2 倍，则E 的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
3
C．
3
2
D．2 3
3
【答案】C
【详解】因为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的长轴长是短轴长的2 倍，则2
4
a
b
，即
1
2
b
a
，
故椭圆E 的离心率为
2
2
2
2
2
2
2
1
3
1
1
2
2
c
c
a
b
b
e
a
a
a
a
.
故选：C.
5、设椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 作垂直于x 轴的直线交C 于
,
A B
两点，若
1
5,
6
F A
AB
，则C 的离心率为（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．
3
2
【答案】C
【详解】若
1
5,
6
F A
AB
，则
2
2
2
1
2
1
2
3,
4
AF
F F
F A
AF
，
所以
2
1
1
2
2
8,
2
4
AF
F A
a
F F
c
，
可得
4,
2
a
c
，所以椭圆C 的离心率为
2
1
4
2
c
a
.
故选：C.
6、已知椭圆
2
2
:
1
25
20
x
y
M
的左、右焦点分别是
1F ，
2
F ，左右顶点分别是
1A ，
2
A ，点P 是椭圆上异
于
1A ，
2A 的任意一点，则下列说法正确的是（
）
532
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
1
2
5
PF
PF
B．直线
1
PA 与直线
2
PA 的斜率之积为4
5
C．存在点P 满足
1
2
90
F PF
D．若△
1
2
F PF 的面积为4 5 ，则点P 的横坐标为
5
【答案】D
【详解】对选项A，由椭圆
2
2
:
1
25
20
x
y
M
的方程可得
2
25
a
，所以
5
a
，
所以
1
2
2
10
PF
PF
a
，故A 错误；
对选项B，设
,
m n ，则
2
2
1
25
20
m
n
，所以
2
2
4 25
5
n
m
，由题意得
1
2
5,0 ,
5,0
A
A
，
所以
1
2
2
2
2
2
4 25
4
5
5
5
25
25
5
PA
PA
m
n
n
n
k
k
m
m
m
m
，故B 错误；
对选项C，因为椭圆
2
2
:
1
25
20
x
y
M
，
可得
2
25
a
，
2
20
b
，所以
2 5
b
，因为
2
2
2
5
c
a
b
，所以
5
c
，
所以c
b
，所以
1
2
F F 为直径的圆与椭圆无交点，
故不存在点P 满足
1
2
90
F PF
，故C 错误；
对选项D，
1
2
1
2 5
4 5
2
F PF
P
S
y
，则
4
P
y ，
则
2
16
1
25
20
Px
，解得
5
Px
，故D 正确.
故选：D.
二、多选题
7、已知椭圆C ：
2
2
1
4
6
4
x
y
m
m
，下列选项正确的是（
）
A．当
1
2
m
时，C 的焦点在y 轴上
B．C 的长轴长为4 m
C．C 的短轴长与长轴长的平方和为定值
D．当
3
4
m
时，C 的焦点在x 轴上
【答案】AC
【详解】对于A，
1
2
m
时，4
2
6
4
4
m
m
，C 的焦点在y 轴上，故A 正确；
对于B，若0
4
6
4
m
m
，则椭圆焦点在y 轴上，
2
6
4
a
m
，长轴长为：2
2 6
4
a
m
，B 错误；
对于C，因为
2
2
4
6
4
6
a
b
m
m
，所以
2
2
2
2
24
a
b
，C 正确；
533
2026 年高二暑假讲义A 版
对于D，椭圆C 的焦点在x 轴上的充分必要条件是
4
0
6
4
0
4
6
4
m
m
m
m
，解得3
3
4
2
m
，
所以当
3
4
m
时得不出椭圆C 的焦点在x 轴上，故D 错误；
故选：AC．
8、已知
1
2
F
F
，
分别为椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
的左、右焦点，不过原点O 且斜率为1 的直线l 与椭圆C 交
于P，Q 两点，则下列结论正确的有（
）
A．椭圆C 的离心率为
2
2
B．椭圆C 的长轴长为2
C．若A，B 为左右顶点，则直线PA，PB 斜率乘积为
1
2
D．
OPQ
△
的面积的最大值为
2
2
【答案】ACD
【详解】AB 选项，由题意得
2,
1
a
b
，故
2
2
1
c
a
b
，
故椭圆C 的离心率为
2
2
c
a
，长轴长为2
2 2
a
，A 正确，B 错误；
C 选项，∵A,B 为
2
2
1
2
x
y
的左、右顶点，∴
2,0 ,
2,0
A
B
,
设
1
1
,
,
P x y
由题意得
1
1
2,
0
x
y
，则
2
2
1
1
1
2
x
y
，
PA 的斜率为
1
1
1
1
,
,
2
2
PA
PB
y
y
k
k
x
x
则
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
PA
PB
x
y
y
y
k
k
x
x
x
x
，故C 正确；
D 选项，设不过原点O且斜率为1 的直线为y
x
h
，
联立
2
2
1
2
x
y
y
x
h
得，
2
2
3
2
1
0
2
x
hx
h
，
534
2026 年高二暑假讲义A 版
由
2
2
2
3
Δ
4
4
1
6
2
0
2
h
h
h
，解得
3
3
h
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
2
1
2
1
2
4
2
2
,
3
3
h
h
x
x
x x
，
则
1
2
1
2
4
2
2
2
3
3
h
h
y
y
x
x
h
h
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
16
2
2
4
1 1
4
2
4
3
9
3
3
h
h
PQ
x
x
x x
h
，
点O到直线y
x
h
的距离为
1 1
2
h
h
d
，
故
OPQ
△
的面积为
2
2
4
1
1
4
2
3
3
2
2
3
3
2
h
S
PQ d
h
h
h
2
2
2
3
9
3
2
4
h
，
因为
3
3
h
，所以
2
0
3
h
，
故当
2
3
2
h
时，
OPQ
△
的面积取得最大值，最大值为
2
2 ，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
9、已知椭圆
2
2
1 :
1(
0)
9
x
y
C
m
m
和椭圆
2
2
2 :
1
4
x
C
y
的离心率分别为
1e 和
2e ，若
1 2
3
6
e e
，则
m
．
【答案】8 或81
8 .
【详解】设椭圆
2
C 的长半轴长为
2a ，短半轴长为
2b ，半焦距为
2c ，
则
2
2
a
，
2
1
b ，
2
3
c
，
所以椭圆
2
C 的离心率
2
3
2
e
，又
1 2
3
6
e e
，
所以
1
1
3
e
，
设椭圆
1
C 的长半轴长为
1a ，短半轴长为
1b ，半焦距为
1c ，
则
1
1
1
3
c
a
，所以
2
1
2
1
1
9
c
a
，
535
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
2
2
1
1
2
2
1
1
8
1
9
b
c
a
a
，
当椭圆
1
C 的焦点在x 轴上时，
8
9
9
m
，所以
8
m
，
当椭圆
1
C 的焦点在y 轴上时，9
8
9
m
，所以
81
8
m
，
所以
8
m
或
81
8
m
.
故答案为：8 或81
8 .
10、已知椭圆E：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为A，B，若E 上存在点P 满足：
2
3
APB
，
则E 的离心率的取值范围是
．
【答案】
3 ,1
2
【详解】设椭圆E 的上顶点为Q，
则
2π
3
AQB
APB
，则
1
π π
,
2
3 2
AQO
AQB
，
又因为sin
AO
c
AQO
AQ
a
，则
3 ,1
2
c
e
a
，
即E 的离心率的取值范围是
3 ,1
2
．
故答案为：
3 ,1
2
.
四、解答题
11、写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为
6,0
，
6,0 ，且椭圆经过点
0,8 ；
(2)椭圆经过
0, 2
，
6,0 两点；
536
2026 年高二暑假讲义A 版
(3)焦距等于4 ，且椭圆经过点
2 6
2 6
,
3
3
P
．
【答案】(1)
2
2
1
100
64
x
y
；(2)
2
2
1
6
4
x
y
；(3)
2
2
1
8
4
x
y
或
2
2
1
8
4
y
x
【详解】（1）∵椭圆焦点在x 轴上，可设其方程为：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
；
∵椭圆过点
0,8 ，
8
b
，又
6
c
，
2
2
2
100
a
b
c
，
椭圆标准方程为：
2
2
1
100
64
x
y
；
（2）
2
6
∵
，椭圆长轴为x 轴，可设其方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
则
6
a
，
2
b
，椭圆标准方程为：
2
2
1
6
4
x
y
；
（3）∵椭圆焦距为4 ，
2
c
，
设椭圆方程为：
2
2
2
2
1
4
x
y
a
a
或
2
2
2
2
1
4
y
x
a
a
，
∵椭圆过点
2 6
2 6
,
3
3
P
，
2
2
8
8
1
3
3
4
a
a
，解得：
2
8
a
，
椭圆标准方程为：
2
2
1
8
4
x
y
或
2
2
1
8
4
y
x
.
12、已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为1
2 ，焦距为2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求椭圆C 中以
1
1, 2
P
为中点的弦所在的直线方程.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
；(2)3
2
4
0
x
y
【详解】（1）由题意
1
2
2
2
c
e
a
c
，解得
1,
2
c
a
，
由
2
2
2
4 1
3
b
a
c
，所以椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
；
（2）设椭圆C 中以
1
1, 2
P
为中点的弦为AB ，且
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
，
由点
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
在椭圆上得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
，两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
3
x
x
y
y
，
整理得
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
3
3
4
4
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
，又
1
2
1
2
2,
1
x
x
y
y
，
537
2026 年高二暑假讲义A 版
所以上式可化为
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3
2
4
2
y
y
y
y
x
x
x
x
，
所以中点弦AB 的斜率为
3
2
,
则中点弦AB 的方程为
1
3
1
2
2
y
x
，整理得3
2
4
0
x
y
.
13、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
C
b
b
x
a
a
y
，其中离心率为
2
2 ，且过点
2 ,1
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
0,1 的直线l 被椭圆C 截得的弦长为3
2
2
，求直线l 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x
；(2)
2
1
y
x
【详解】（1）因为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
C
b
b
x
a
a
y
，其中离心率为
2
2 ，且过点
2 ,1
2
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
a
b
c
a
a
b
c
，解得
2,
1
a
b
，所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
2
y
x
.
（2）
过点
0,1 的直线l 斜率k 不存在时，直线方程为
0
x
，此时截得的弦长为2 2 ，不符题意；
当斜率k 存在时，设直线方程为
1
0
y
k x
，即
1
y
kx
，
联立
2
2
1
1
2
y
kx
y
x
，得
2
2
2
2
1
0
k
x
kx
，
设直线l 与椭圆C 的交点为
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
538
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
2
2
2
2
k
x
x
k
，
1
2
2
1
2
x x
k
，
则
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
3
1
4
1
4
2
2
2
2
k
AB
k
x
x
x x
k
k
k
，
解得
2
k
，
所以直线l 的方程
2
1
y
x
.
14、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)椭圆C 的右顶点为Q ，过点
1,0
T
的直线与椭圆C 相交于点M ，N ，若QMN
的面积是12
5 ，
求直线MN 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
；(2)
1
0
x
y
或
1
0
x
y
【详解】（1）由题意：
1
2
2
4
2
S
a
b
，所以
2
ab
．
又因为
3
2
c
a
，
2
2
2
a
b
c
，所以
2
a
，
1
b ，
即椭圆的方程为
2
2
1
4
x
y
．
（2）当直线MN 的斜率为0 时，M ，N ，Q 三点共线，不符合题意；
当直线MN 的斜率不为0 时，设直线方程为
1
x
ty
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立方程组
2
2
1
1
4
x
ty
x
y
，
，得
2
2
(4
)
2
3
0
t
y
ty
，
∴
1
2
2
2
4
t
y
y
t
，
1
2
2
3
4
y y
t
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4
3
4
3
|
|
(
)
4
4
(4
)
4
4
t
t
y
y
y
y
y y
t
t
t
，
∴
2
1
2
2
1
1
4
3
12
|
| |
|
3
2
2
4
5
QMN
t
S
TQ
y
y
t
△
，
∴
1
t ，∴直线MN 的方程为
1
y
x
或=
1
y
x
，
即直线MN 的方程为
1
0
x
y
或
1
0
x
y
．
539
2026 年高二暑假讲义A 版
双曲线及其标准方程
1、定义：在平面内与两个定点
1F 、
2
F 的距离之差的绝对值等于非零常数（小于
1
2
F F ）的点的轨
迹叫做双曲线．两个定点
1F 、
2
F 称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为
1
2
F F ．
2、双曲线的集合表示：
1
2
1
2
2 ,0
2
P
M MF
MF
a
a
F F
注：
（1）在双曲线定义中,若
1
2
1
2
2 ,0
2
MF
MF
a
a
F F
,即“去掉绝对值符号”,则动点M 的轨迹
为双曲线的一支(靠近点
2
F ).
（2）2a 的大小与点M 的轨迹如下表所示.
条件
结论
1
2
0
2a
F F
动点M 的轨迹是双曲线
1
2
2a
F F
动点M 的轨迹是分别以
1F ,
2
F 为端点,与
2
1
F F
,
1
2
F F
同向的射线
1
2
2a
F F
动点M 不存在,因而轨迹不存在
2
0
a
动点M 的轨迹为线段
1
2
F F 的垂直平分线
题型1
双曲线的定义及应用
题型4
双曲线中的焦点三角形问题
题型2
求双曲线的标准方程
题型5
由双曲线方程求参数
题型3
判断方程是否表示双曲线
题型6
双曲线中的轨迹方程问题
知识点1
双曲线的定义
540
2026 年高二暑假讲义A 版
1、双曲线的两种标准方程：
标准方程
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
图形
焦点位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
焦点坐标
1
,0
F
c
,
2
,0
F
c
1 0,
F
c
,
2 0,
F
c
焦距
1
2
2
F F
c
异同点
相同点：大小、形状相同,都有
0
a
,
0
b
, a ,b ,c 的关系都满足
2
2
2.
b
c
a
不同点：焦点的位置和坐标不同.
2、双曲线与椭圆的比较
曲线
椭圆
双曲线
定义
1
2
2
PF
PF
a
1
2
2 ,2
2
F F
c a
c
1
2
2
MF
MF
a
1
2
2 ,2
2
F F
c
a
c
标准方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
或
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
2
2
2
2
1
x
y
a
b
或
2
2
2
2
1
y
x
a
b
(
0,
0)
a
b
图形特征
封闭的连续曲线
分两支,不封闭,不连续
根据标准方程
确定a ,b 的方
法
以大小分a ,b (如
2
2
1
4
9
x
y
中,9
4
,
则
2
2
9,
4
a
b
)
以正负分a ,b (如
2
2
1
4
9
x
y
中, 4
0
, 9
0
,则
2
2
4,
9
a
b
)
a ,b ,c 的关系
2
2
2
a
b
c
(a 最大)
2
2
2
c
a
b
(c 最大)
方程
2
2
1
x
y
m
n
既可以表示椭圆又可以表示双曲线.
（1）当方程表示椭圆时,m , n 应满足
0
m
n
或
0
n
m
.
知识点2
双曲线的标准方程
541
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）当方程表示双曲线时,m , n 应满足
0
mn
,当
0
m
,
0
n
时,方程表示焦点在x 轴上的双曲线；
当
0
m
,
0
n
时,方程表示焦点在y 轴上的双曲线.若不确定焦点位置,则可设双曲线的方程为
2
2
1(
0)
x
y
mn
m
n
或
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
.
3、共焦点的双曲线系方程
与
双
曲
线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
有
公
共
焦
点
的
双
曲
线
系
方
程
为
2
2
2
2
2
2
1(
)
x
y
a
b
a
b
;(保证分母相加之和不变)
与
双
曲
线
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
有
公
共
焦
点
的
双
曲
线
系
方
程
为
2
2
2
2
2
2
1
y
x
a
b
a
b
.
P 是双曲线
2
2
2
2
1
0,
0)
x
y
a
b
a
b
上任意一点,
1F ,
2
F 分别是双曲线的左、右焦点,当点P ,
1F ,
2
F 不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
设
1
1
PF
r
,
2
2
PF
r
,
1
2
F PF
,
1
2
1
2
2 ,
F F
c
PF F
,
2
1
PF F
,则焦点三角形中有以
下常用关系式：
(1)定义:
1
2
2
r
r
a
.
(2)余弦定理的应用：
2
2
2
1
2
1 2
4
2
cos
c
r
r
rr
.
(3)面积公式：
1 2
2
1 2
1
S
sin
2
tan 2
PF F
P
b
c y
rr
.(注意与椭圆中焦点三角形面积公式的异同).
知识点3
双曲线的焦点三角形
542
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、已知双曲线
2
2
:
1
4
21
x
y
C
的两个焦点分别为
1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，若
1
6
PF
，则
2
PF
（
）
A．2
B．10
C．2 或9
D．2 或10
【答案】B
【详解】
2
4
a
∵
，
2
21
b
，
2
25
c
，
5
c
，
由
2
1
2
4
PF
PF
a
，由
1
6
PF
得
2
2
PF
或10，
又
2
5
2
3
PF
c
a
∵
.
所以
2
10
PF
.
故选：B.
【变式训练1】已知
(0, 2)
A
，
(0,2)
B
，动点P 满足
2
PA
PB
，则点P 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．双曲线
D．射线
【答案】B
【详解】因为
(0, 2)
A
，
(0,2)
B
，所以AB
4
，
则
2
PA
PB
AB
，由双曲线的定义可知，点P 的轨迹为双曲线的一支.
故选：B.
【变式训练2】双曲线C ：
2
2
1
25
144
x
y
上的点A 到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（
）
A．9
B．7
C．9 或29
D．7 或19
【答案】C
【详解】对于双曲线
2
2
:
1
25
144
x
y
C
，可得
2
25
a
，则
5
a
.
设双曲线的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，已知点A 到右焦点
2F 的距离为19，即
2
|
| 19
AF
.
根据双曲线的定义
1
2
||
|
|
|| 2
10
AF
AF
a
，则有
1
19
10
AF
.
可得
1
19
10
AF
或
1
19
10
AF
.
题型1
双曲线的定义及应用
543
2026 年高二暑假讲义A 版
当
1
19
10
AF
时，
1
10
19
29
AF
；
当
1
19
10
AF
时，
1
10
19
9
AF
.
所以点A 到左焦点的距离为9或29 .
故选：C.
【变式训练3】已知动点
,
P x y 满足
2
2
2
x
y
2
2
2
2
x
y
，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线左支
C．双曲线右支
D．一条射线
【答案】C
【详解】解：因为
2
2
2
x
y
2
2
2
2
x
y
的几何意义是动点
,
P x y 到点
1
2,0
F
与
2 2,0
F
的距离之差为2，
又因为
1
2
2
4
F F
，
所以由双曲线的定义，知动点P 的轨迹是双曲线右支．
故选：C
例2、求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
5,
3
c
b
，焦点在x 轴上；
(2)
2 5
a
，经过点
(2, 5)
A
，焦点在y 轴上；
(3)双曲线过两点
15
16
(3,
),
(
,5)
4
3
P
Q
．
【答案】(1)
2
2
1
16
9
x
y
；(2)
2
2
1
20
16
y
x
；(3)
2
2
1
9
16
y
x
.
【详解】（1）由双曲线的焦点在x 轴上，
5
c
，
3
b
，得
2
2
2
16
a
c
b
，
所以所求双曲线的标准方程为
2
2
1
16
9
x
y
.
（2）由双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
，
由
2 5
a
，且点
2, 5
A
在双曲线上，得
2
2
2 5
25
4
1
a
a
b
，解得
2
2
20
16
a
b
，
题型2
求双曲线的标准方程
544
2026 年高二暑假讲义A 版
所以所求双曲线的标准方程为
2
2
1
20
16
y
x
.
（3）设所求双曲线方程为
2
2
1(
0)
Ax
By
AB
，
由点
15
16
(3,
),
(
,5)
4
3
P
Q
在双曲线上，得
225
9
1
16
256
25
1
9
A
B
A
B
，解得
1
16
1
9
A
B
，
所以所求双曲线的标准方程为
2
2
1
9
16
y
x
.
【变式训练4】过点
2,2 且与椭圆
2
2
9
3
27
x
y
有相同焦点的双曲线方程为（
）
A．
2
2
1
6
8
x
y
B．
2
2
1
6
8
y
x
C．
2
2
1
2
4
x
y
D．
2
2
1
2
4
y
x
【答案】D
【详解】由
2
2
1
3
9
x
y
可知椭圆焦点在y 轴上，且
9
3
6
c
，
故可设所求双曲线方程为：
2
2
2
2
1
y
x
a
b
，依题得：
2
2
2
2
6
4
4
1
a
b
a
b
，
解得：
2
2
2
4
a
b
，故所求的双曲线方程为：
2
2
1
2
4
y
x
.
故选：D.
【变式训练5】化简方程
2
2
2
2
5
5
8
x
y
x
y
的结果是（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
6
25
1
1
x
y
D．
2
2
1
16
9
x
y
【答案】D
【详解】设动点
,
,
5,0 ,
5,0
P x y
A
B
，则由题意可得
8
PA
PB
，
所以动点P 到两个定点
,
A B 的距离的差的绝对值等于常数8，又
10
8
AB
，
所以由双曲线定义可知P 点的轨迹是以
,
A B 为焦点，实轴长为2
8
a
的双曲线，
所以2
10
c
，
2
2
2
2
2
5
4
9
b
c
a
，
所以双曲线的方程为
2
2
1
16
9
x
y
.
故选：D.
545
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、已知双曲线
2
2
1
1
2
x
y
m
m
的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
1,2
C．
1,
D．
2,
【答案】D
【详解】由双曲线
2
2
1
1
2
x
y
m
m
的焦点在x 轴上，
可得
1
0 ,
2
2
0
m
m
m
，即m 的范围为
2,
，
故选：D
【变式训练6】若方程
2
2
1
1
1
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是（
）
A．
1,1
B．
, 1
C．
1,
D．
, 1
1,
【答案】D
【详解】解：∵方程
2
2
1
1
1
x
y
m
m
表示双曲线，
1
1
0
m
m
，解得
1
m 或
1.
m
m
的取值范围是
, 1
1,
.
故选：D.
【变式训练7】关于x
y
，
的方程
2
2
1
4
3
x
y
m
m
，给出以下说法错误的为（
）
A．方程可以表示双曲线
B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆
D．当方程表示双曲线时，焦距为定值
【答案】C
【详解】对于A，若方程表示双曲线，则(4
)(3
)
0
m
m
，即3
4
m
，所以方程可以表示双曲
线，故A 正确；
对于B，若方程表示椭圆，则
4
0
(3
)
0
4
(3
)
m
m
m
m
，即
3
m ，所以方程可以表示椭圆，故B 正确；
题型3
判断方程是否表示双曲线
546
2026 年高二暑假讲义A 版
对于C，若方程表示圆，则4
(3
)
m
m
，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C 错误；
对于D，由A 可知当方程表示双曲线时3
4
m
，2
2
2
4
3
7
c
a
b
m
m
，所以焦距为2 7 ，
故D 正确.
故选：C.
例4、设P 是双曲线
2
2
:
1
4
x
C
y
右支上一点，
1F ，
2
F 分别是双曲线C 的左、右焦点，O 为坐标原
点，Q 为线段
1
PF 的中点，若
1
OQ ，则
1
PF 的值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【详解】由双曲线
2
2
:
1
4
x
C
y
，则
2
a
，
由于O为
1
2
F F 的中点，Q 为线段
1
PF 的中点，且
1
OQ ，
所以
2
2
PF
，则
1
2
2
2
4
6
PF
PF
a
.
故选：C.
【变式训练8】已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
的左右焦点为
1
2
,
F F ，过
2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于
,
A B 两点，若|
| 2
AB
，则
1
ABF
的周长为（
）
A．12
B．14
C．10
D．8
【答案】A
【详解】
题型4
双曲线中的焦点三角形问题
547
2026 年高二暑假讲义A 版
由题意可得
2
4
2
4
a
a
，
1
ABF
的周长为
1
1
AF
BF
AB
，
由双曲线定定义可得
1
2
1
2
4
AF
AF
BF
BF
，又
2
2
2
AF
BF
AB
所以
1
1
1
2
1
2
2
4
4
4
12
AF
BF
AB
AF
AF
BF
BF
AB
，
所以
1
ABF
的周长为12，
故选：A
【变式训练9】设
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
1
4
12
y
x
的下、上焦点，P 是该双曲线上的一点，且
1
2
3
5
PF
PF
，则
1
2
PF F
的面积等于（
）
A．12
B．24
C．12 3
D．24 3
【答案】B
【详解】由双曲线
2
2
1
4
12
y
x
得
2,
2 3,
4
a
b
c
，
又
1
2
3
5
PF
PF
，且
1
2
2
4
PF
PF
a
，得到
1
2
10,
6
PF
PF
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
64
2
PF
PF
c
F F
，即
1
2
PF F
为直角三角形，
所以
1 2
2
1
2
1
1
6 8
24
2
2
PF F
S
PF F F
△
.
故选：B.
【变式训练10】已知椭圆
2
2
1
12
x
y
a
与双曲线
2
2
1
3
y
x
有相同的焦点
1
2
,
F F ，且椭圆与双曲线在第
一象限的交点为P ，则
1
2
cos
F PF
的值为（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【答案】C
【详解】由双曲线方程知，焦点为
1
2
( 2,0),
(2,0)
F
F
，则椭圆中
16
a
，
548
2026 年高二暑假讲义A 版
由双曲线和椭圆的定义知：
1
2
|
|
|
| 8
PF
PF
，
1
2
|
|
|
| 2
PF
PF
，
所以
1
2
|
| 5,|
| 3
PF
PF
，又
1
2
|
| 4
F F
，则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
5
|
25
c
9 16
3
|
2
2
o
|
5 3
s
|
PF
PF
F F
F PF
PF
PF
.
故选：C
【变式训练11】已知
1F ，
2F 分别是双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，P 为C 上一点，
1
2
π
3
F PF
，且
1
2
F PF
的面积等于6 3 ，则b （
）
A．
6
B．6
C．
3
D．3
【答案】A
【详解】由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
π
2
cos 3
F F
PF
PF
PF
PF
2
2
1
2
1
2
PF
PF
PF
PF
2
2
1
2
1
2
1
2
4
PF
PF
PF
PF
a
PF
PF
，
∴
2
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
4
4
PF
PF
F F
a
c
a
b
，
∴
1
2
2
2
1
2
1
π
1
3
sin
4
3
6 3
2
3
2
2
PF F
S
PF
PF
b
b
，∴
6
b
（负值已舍去）.
故选：A．
【变式训练12】已知双曲线的标准方程为
2
2
1
9
16
x
y
，左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且双曲线上有一点
P 使得
1 2
25
PF F
S
，则点P 的坐标为
.
【答案】
3 41 , 5
4
【详解】由双曲线的方程
2
2
1
9
16
x
y
，可得
3,
4
a
b
，则
2
2
5
c
a
b
，
549
2026 年高二暑假讲义A 版
设
0
0
,
P x
y
，则
1 2
0
1
2
25
2
PF F
S
c y
△
，解得
0
5
y
，
因为点P 在双曲线上，代入可得
2
0
25
1
9
16
x
，解得
0
3 41
4
x
，故
3 41 , 5
4
P
.
故答案为：
3 41 , 5
4
.
【变式训练13】设双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
C
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，坐标原点为O ，第一象限的点P
在双曲线C 上，连接PO 并延长交双曲线另一点Q ，若
1
1
3
F P
F Q
，则PQ （
）
A．4 3
B．8
C．4 5
D．4 7
【答案】C
【详解】连接
2
2
,
PF QF ，由题意可得PO
OQ
，
2
2
3,
4,
9 16
5
a
b
c
a
b
，
因为
1
2
FO
OF
，所以四边形
2
1
PF QF 为平行四边形，
所以
2
1
PF
QF
，设
1
QF
m
，则
2
PF
m
，
1
3
F P
m
，
所以
1
2
3
2
6
PF
PF
m
m
a
，得
3
m
，所以
2
3
PF
，
1
9
FP
，
在
1
2
PF F
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
81 9 100
5
cos
2
2 9 3
27
PF
PF
F F
F PF
PF PF
，
因为O 为
1
2
F F 的中点，所以
1
2
1
2
PO
PF
PF
，
所以
2
2
2
1
1
2
2
1
2
4
PO
PF
PF PF
PF
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
cos
4
PF
PF
PF
F PF
PF
1
5
81 2 9 3
9
20
4
27
，
所以
2 5
PO
，即
2 5
PO
，
所以
2
4 5
PQ
PO
.
故选：C
550
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、若双曲线
2
2
1
4
x
y
k
的一个焦点为
2 2,0 ，则k
．
【答案】4
【详解】由题得，
(
)
2
4
2 2
4
k
k
+
=
Þ
=
，
故答案为：4．
【变式训练14】若双曲线
2
2
1
2
6
x
y
m
m
的焦距为6，则m （
）
A．5 或1
B．3
C．5
D．1
【答案】D
【详解】若双曲线
2
2
1
2
6
x
y
m
m
的焦点在x 轴上，
依题意可得
2
0
6
0
2
6
9
m
m
m
m
，解得m；
若双曲线
2
2
1
2
6
x
y
m
m
的焦点在y 轴上，
依题意可得
2
0
6
0
2
(6
)
9
m
m
m
m
，解得
1
m .
综上可得：
1
m .
故选：D.
【变式训练15】“
9
t
”是方程“
2
2
1
9
7
x
y
t
t
”表示双曲线的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】若方程
2
2
1
9
7
x
y
t
t
表示双曲线，则满足(
9)(
7)
0
t
t
，解得
9
t
或
7
t
，
所以“
9
t
”是方程“
2
2
1
9
7
x
y
t
t
”表示双曲线的充分不必要条件.
故选：A.
题型5
由双曲线方程求参数
551
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、设
,
A B 两点的坐标分别为
3,0
，(3,0) ，直线AM 与BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为2
3 ，
则点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
9
6
x
y
x
B．
2
2
1
3
6
9
x
y
x
C．
2
2
1
3
9
6
y
x
x
D．
2
2
1
3
9
6
x
y
x
【答案】D
【详解】设点
,
M x y ，则AM 的斜率为
3
y
x
，BM 的斜率为
3
y
x
，
故
2
3
3
3
3
y
y
x
x
x
，
所以
2
2
1
3
9
6
x
y
x
，故D 正确.
故选：D
【变式训练16】已知
2,0
M
，圆
:
C
2
2
4
0
x
x
y
，动圆P 经过M 点且与圆C 相切，则动圆圆心
P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
3
y
x
x
B．
2
2
1
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
y
x
D．
2
2
1
3
x
y
【答案】C
【详解】圆
:
C
2
2
4
0
x
x
y
，即
2
2
2
4
x
y
，圆心为
2,0
C
，半径
2
r
，
设动圆P 的半径为R ，
若动圆P 与圆C 相内切，则圆C 在圆P 内，所以PM
R
，
2
PC
R
，
所以
2
4
PM
PC
MC
，
所以动点P 是以
2,0
M
、
2,0
C
为焦点的双曲线的右支，且
1
a 、
2
c
，
所以
2
2
3
b
c
a
，
所以动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
1
3
y
x
x
，
若动圆P 与圆C 相外切，所以PM
R
，
2
PC
R
，
所以
2
4
PC
PM
MC
，
题型6
双曲线中的轨迹方程问题
552
2026 年高二暑假讲义A 版
所以动点P 是以
2,0
M
、
2,0
C
为焦点的双曲线的左支，且
1
a 、
2
c
，
所以
2
2
3
b
c
a
，
所以动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
1
3
y
x
x
，
综上可得动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
3
y
x
.
故选：C
【变式训练17】动点
,
M x y 与定点
0,3
F
的距离和它到直线
4
:
3
l y
的距离的比是常数3
2 ，则动点
M 的轨迹方程是
．
【答案】
2
2
1
4
5
y
x
【详解】解：动点
,
M x y 与定点
0,3
F
的距离和它到直线
4
:
3
l y
的距离的比是常数3
2 ，
所以
2
2
0
3
3
4
2
3
x
y
y
，即
2
2
2
9
4
3
4
3
x
y
y
，
展开整理得
2
2
1
4
5
y
x
．
故答案为：
2
2
1
4
5
y
x
．
一、单选题
1、已知动点P 到点
5,5
A
的距离与它到点
5,5
B
的距离之差等于6，则点P 的轨迹为（
）
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
【答案】B
【详解】因
6
10
PA
PB
AB
,
由双曲线的定义可知，点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线的右支.
故选：B．
2、已知双曲线的标准方程为
2
2
1
4
5
x
y
k
k
，则该双曲线的焦距是（
）
A．1
B．3
C．2
D．4
553
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】C
【详解】由双曲线方程可知
2
2
4,
5
a
k
b
k
，
所以
2
4
5
1
c
k
k
，则
1
c ，2
2
c
．
故选：C.
3、已知双曲线
2
2
1
2
y
x
m
的焦距为2 3 ，则m 的值为（
）
A．4
B．2
C．1
D．2
【答案】C
【详解】由焦距为2
2 3
c
，
3
c
，
则
2
2
3
c
m
，解得：
1
m ，
故m 的值为1.
故选：C.
4、已知双曲线
2
2
:
1
4
12
x
y
C
的两个焦点分别为
1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，若
1
5
PF
，则
2
PF
（
）
A．9
B．1
C．1 或9
D．11 或9
【答案】A
【详解】根据双曲线定义可得
1
2
2
4
PF
PF
a
，又
1
5
PF
，
所以
2
1
PF 或
2
9
PF
，
又
2
2
2
16
c
a
b
，
4
c
，
而
2
6
PF
c
a
或
2
2
PF
c
a
，
所以
2
9
PF
.
故选：A.
5、已知方程
2
2
1
5
2
2
1
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是（
）
A．
5 ,
2
B．
1
1, 2
C．
5 1
,
2 2
D．
5 , 1
2
【答案】C
【详解】方程
2
2
1
5
2
2
1
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，则
5
2
0
2
1
0
m
m
，解得
5
1
2
2
m
，
554
2026 年高二暑假讲义A 版
所以实数m 的取值范围是
5 1
(
, )
2 2
故选：C
6、已知双曲线
2
2
:
1
4
5
y
x
C
的下焦点为F ，
3,7
A
，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF
PA
的
最大值是（
）
A．不存在
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【详解】依题意
2,
5,
3
a
b
c
，下焦点
0, 3
F
，设上焦点
1 0,3
F
，
双曲线的渐近线方程为
2
5
y
x
，直线
1
AF 的斜率为7
3
4
2
3
0
3
5
，
所以延长
1F A时，与双曲线没有交点，
2
2
1
3
4
5
AF
，
设延长
1
AF ，交双曲线上支于
1P ，
依题意，P 是双曲线C 上支上的动点，
根据双曲线的定义可知
1
1
2
4
PF
PA
a
PF
PA
PF
PA
，
1
1
1
AF
PF
PA
AF
，当P 在
1P 点时等号成立，则
1
5
5
PF
PA
，
所以
1
1
4
9
PF
PA
，所以
1
0
4
9
PF
PA
，
所以0
9
PF
PA
，所以PF
PA
的最大值不存在.
故选：A
二、多选题
7、已知曲线C ：
2
2
1
mx
ny
，下列说法正确的是（
）
A．若
0
n
m
，则C 是焦点在y 轴上的椭圆
B．若
0
m
n
，则C 是圆，其半径为1
n
555
2026 年高二暑假讲义A 版
C．若
0
mn
，则C 是双曲线
D．若
0
n
，
0
m
，则C 是两条直线
【答案】CD
【详解】当
0
n
m
时，由
2
2
1
mx
ny
得
2
2
1
1
1
x
y
m
n
，
1
1
0
n
m
，所以曲线C 表示焦点在x 轴上
的椭圆，A 选项错误；
当
0
m
n
时，曲线C 可化为
2
2
1
x
y
n
，得1
0
n
，此时曲线C 是圆，半径为
1
n
n
n
，B 选项错
误；
当
0
mn
时，曲线C 可化为
2
2
1
1
1
x
y
m
n
，此时曲线C 是双曲线，C 选项正确；
当
0
n
，
0
m
时，曲线C 可化为
2
1
mx ，得
1
m
x
m
m
，此时曲线C 是两条直线，D 选项正
确；
故选：CD.
三、填空题
8、经过点
2 3
2,
,
3, 2 2
3
A
B
的双曲线的标准方程为
．
【答案】
2
2
1
3
4
x
y
【详解】设双曲线的标准方程为
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
，
代入点
2 3
2,
,
3, 2 2
3
A
B
的坐标可得
4
4
1,
3
9
8
1,
m
n
m
n
解得
1 ,
3
1 ,
4
m
n
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
3
4
x
y
．
故答案为：
2
2
1
3
4
x
y
9、设点A，B 的坐标分别为( 5,0)
，(5,0) ，直线AM ，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是4
9 ，
则动点M 的轨迹方程为
．
【答案】
2
2
1,
5
100
25
9
x
y
x
556
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】设点
( , )
M x y ，则直线AM ，BM 的斜率分别为
,
5
5
5
y
y
x
x
x
，
因它们的斜率之积是4
9 ，则
4 ,
5
5
5
9
y
y
x
x
x
，化简得
2
2
1,
5
100
25
9
x
y
x
，
则动点M 的轨迹方程为
2
2
1,
5
100
25
9
x
y
x
.
故答案为：
2
2
1,
5
100
25
9
x
y
x
四、解答题
10、当m为何值时，方程
2
2
1
11
2
1
x
y
m
m
表示下列曲线：
(1)圆；
(2)椭圆；
(3)双曲线．
【答案】(1)
4
m
；(2)
1 ,4
4,11
2
；(3)
11
m
或
1
2
m
【详解】（1）因为方程
2
2
1
11
2
1
x
y
m
m
表示圆，
所以11
2
1
0
m
m
，解得
4
m
；
（2）因为方程
2
2
1
11
2
1
x
y
m
m
表示椭圆
所以
11
0
2
1
0
11
2
1
m
m
m
m
，解得1
11
2
m
且
4
m
，
所以m的范围为
1 ,4
4,11
2
；
（3）因为方程
2
2
1
11
2
1
x
y
m
m
表示双曲线，
所以
11
2
1
0
m
m
，解得
11
m
或
1
2
m
.
11、已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ．
(1)若双曲线C 与椭圆
2
2
1
4
x
y
有共同的焦点，且双曲线C 过点
(2,1)
Q
，求该双曲线的标准方程；
(2)若
1
b ，点P 在双曲线右支上，且
1
2
π
3
F PF
，求
1
2
F PF
的面积．
557
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
；(2)
3 .
【详解】（1）椭圆
2
2
1
4
x
y
的焦点为( 3,0) 和(
3,0)
，
依题意，
2
2
2
2
4
1
1
3
a
b
a
b
，解得
2
2
2
1
a
b
，所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
.
（2）设
1
|
|
PF
m
，
2
|
|
PF
n
，则由双曲线的定义得
2
m n
a
，
在
1
2
PFF
中，
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
2
cos
(
)
4
c
m
n
mn
F PF
m
n
mn
m
n
mn
a
mn
，
则
2
2
2
4
4
4
4
mn
c
a
b
，所以
1
2
F PF
的面积
1
π
1
3
sin
4
3
2
3
2
2
S
mn
.
558
2026 年高二暑假讲义A 版
双曲线的简单几何性质
1、双曲线的简单几何性质
标准方程
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
图形
范围
,
x
a y
R
,
y
a x
R
对称性
对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点
顶点
双曲线和它的对称轴的两个交点
1
,0
A
a
,
2
,0
A a
1 0,
A
a
,
2 0,
A
a
轴
实轴长
1
2
2
A A
a
, a 叫做双曲线的实半轴长,虚轴长
1
2
2
B B
b
,b 叫做双曲线的虚半轴长
虚轴端点
1 0,
B
b
,
2 0,
B
b
1
,0
B
b
,
2
,0
B b
渐近线
与双曲线无限接近,但永远不相交的两条直线
直线
b
y
x
a
直线
a
y
x
b
离心率
(
1)
c
e
e
a
题型1
双曲线的简单几何性质
题型5
双曲线的渐近线方程
题型2
由双曲线的简单几何性质求标准方程
题型6
直线与双曲线的位置关系
题型3
求双曲线离心率的值
题型7
双曲线的弦长及三角形面积问题
题型4
双曲线离心率中的参数问题
题型8
双曲线的中点弦问题
知识点1
双曲线的简单几何性质
559
2026 年高二暑假讲义A 版
2、共轭双曲线
(1)当
1
时,双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
与
2
2
2
2
y
x
b
a
1 (
0,
0)
a
b
共渐近线,我们称这两
个双曲线互为共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质：①有相同的渐近线；②有相同的焦距；③
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
a
b
e
e
c
c
3、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程形式为
2
2
1
0
x
y
,即
2
2
x
y
.
等轴双曲线的渐近线方程为y
x
,(渐近线互相垂直)实轴长和虚轴长相等,离心率
2.
e
4、共渐近线的双曲线系方程
①若渐近线方程为
n
y
x
m
，则双曲线方程可设为
2
2
2
2
(
0)
x
y
m
n
，
②若双曲线与
1
2
2
2
2
b
y
a
x
有公共渐近线，则双曲线的方程可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
，焦点在x
轴上，
0
，焦点在y 轴上）
5、对双曲线离心率的理解
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
中，双曲线
的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为
2
2
2
2
1
c
a
b
b
e
a
a
a
，所以当b
a
的值越大，
渐进线
b
y
x
a
的斜率越大，双曲线的“张口”越大，e 也就越大，故e 反映了双曲线的“张口”大
小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
4、渐近线方程的性质
①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数b .
②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为
2
2
2
a b
c
.
1、设直线:l y
kx
m
，双曲线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
联立解得：
知识点2
直线与双曲线的位置关系
560
2026 年高二暑假讲义A 版
0
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
m
a
mkx
a
x
k
a
b
（1）
0
m
时，
b
b
k
a
a
，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
b
k
a
，
b
k
a
，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）
0
m
时，k 存在时，若
0
2
2
2
k
a
b
，
a
b
k
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲
线相交于一点；
若
2
2
2
0
b
a k
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( 2
)
4(
)(
)
a mk
b
a k
a m
a b
2
2
2
2
2
2
4
(
)
a b m
b
a k
0
时，
2
2
2
2
0
m
b
a k
，直线与双曲线相交于两点；
0
时，
2
2
2
2
0
m
b
a k
，直线与双曲线相离，没有交点；
0
时
2
2
2
2
0
m
b
a k
，
2
2
2
2
m
b
k
a
直线与双曲线有一个交点；相切
当k 不存在，a
m
a
时，直线与双曲线没有交点；m
a
m
a
或
直线与双曲线相交于两点；
注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，
直线与双曲线相交，只有一个交点．
2、弦长问题
设直线
:
0
l y
kx
m k
与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
相交于两个不同的点
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x y
,则弦AB 的长为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
AB
k
x
x
x x
k
x
x
或
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
4
1
AB
y
y
y y
y
y
k
k
.
3、中点弦问题
设直线l 与双曲线交于两点A , B ,则与椭圆的处理方法相同,将两交点A , B 的坐标代入双曲线方程,
再将所得两个等式相减,运用点差法即可建立直线AB 的斜率与弦AB 的中点M 的坐标之间的关系.
设直线l 与双曲线交于A , B 两点,弦AB 中点为M ,O 为坐标原点,
则当双曲线方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
时,
2
2
2
1
OM
AB
b
k
k
e
a
;
当双曲线方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
时,
2
2
2
1
.
1
OM
AB
a
k
k
b
e
561
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、（多选）已知双曲线
2
2
:
1
4
21
y
x
C
，则下列说法正确的是（
）
A．C 的焦点坐标为
5,0
B．C 的实轴长为4
C．C 的离心率为5
2
D．C 的渐近线方程为
21
2
y
x
【答案】BC
【详解】双曲线
2
2
:
1
4
21
y
x
C
的焦点在y 轴上，且
2
2
4,
21,
2,
21
a
b
a
b
，
所以
2
2
2
25
c
a
b
，则
5
c
，
所以C 的焦点坐标为
0, 5
，A 错误；
因为
2
a
，所以C 的实轴长2
4
a
，B 正确；
C 的离心率为
5
2
c
e
a
，C 正确；
C 的渐近线方程为
2 21
21
a
y
x
x
b
，D 错误.
故选：BC.
【变式训练1】双曲线
2
2
:
1
0
2
x
y
E
m
m
的实轴长是虚轴长的3 倍，则E 的焦距为（
）
A．2 5
B．4
C．4 5
D．2 2
【答案】C
【详解】由双曲线E 的实轴长是虚轴长的3 倍，得2
3 2 2
m
，解得
18
m
，
所以E 的焦距为2
2
4 5
m
．
故选：C
【变式训练2】若双曲线
2
2
2
1
1
x
y
m
的实轴长为4，则m 的值为（
）
A．
3
B．
3
C．
15
D．15
【答案】A
【详解】因为双曲线
2
2
2
1
1
x
y
m
的实轴长为4，
题型1
双曲线的简单几何性质
562
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
2
2
1
4
m
，解得
3
m
.
故选：A.
【变式训练3】若双曲线
2
2
1
2
x
y
m
的焦点与椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的长轴端点重合，则m 的值为（
）
A．2
B．4
C．2
D．4
【答案】A
【详解】由
2
2
1
2
x
y
m
表示双曲线，则
0
m
，其焦点坐标为
2,0
m
，
易知椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的长轴端点即其左右顶点坐标为
2,0
，
由题意知
2,0
m
与
2,0
重合，即
2
2
2
m
m
.
故选：A
【变式训练4】（多选）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b
的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，
则下列说法正确的是（
）
A．M 的离心率为2 3
3
B．M 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
C．M 的渐近线方程为
3
y
x
D．直线
2
0
x
y
经过M 的一个焦点
【答案】AD
【详解】依题意得
2
c
，则
2
2
4
a
b
，因为两条渐近线的夹角为60 ,
0
a
b
，
所以两条渐近线的倾斜角分别为30 ,150
，所以
3
3
b
a
，所以
3,
1
a
b
，
所以双曲线方程为
2
2
1
3
x
y
，
所以离心率
2 3
3
e
，渐近线方程为
3
3
y
x
，焦点坐标为
2,0
、
2,0 ，
显然直线
2
0
x
y
过点
2,0 ；
故选：AD
例2、以椭圆
2
2
1
25
9
x
y
长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（
）
A．
2
2
1
25
9
x
y
B．
2
2
1
16
25
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
【答案】C
题型2
由双曲线的简单几何性质求标准方程
563
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】椭圆
2
2
1
25
9
x
y
长轴的两个端点为
5,0 ，
5,0
，焦点为
4,0 ，
4,0
，
所以双曲线的焦点坐标为
5,0 ，
5,0
，顶点为
4,0 ，
4,0
，
则双曲线的焦点在x 轴上，且
5
c
，
4
a
，所以
2
2
2
9
b
c
a
，
所以双曲线的方程为
2
2
1
16
9
x
y
.
故选：C.
【变式训练5】已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的一条渐近线方程是
3
3
y
x
，实轴的长度为
2 3 ，则双曲线C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
3
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
3
2
x
y
D．
2
2
1
2
3
x
y
【答案】A
【详解】因为双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
实轴的长度为2 3 ，
所以
3
a
，因为双曲线的一条渐近线方程是
3
3
y
x
，
所以
3
3
3
b
，解得
1
b ，故双曲线C 的标准方程为
2
2
1
3
x
y
，故A 正确.
故选：A
【变式训练6】已知等轴双曲线过点
2,1 ，则该双曲线方程为（
）
A．
2
2
1
x
y
B．
2
2
5
x
y
C．
2
2
3
x
y
D．
2
2
3
y
x
【答案】C
【详解】设等轴双曲线的方程为
2
2
0
x
y
，
将点
2,1 的坐标代入等轴双曲线的方程可得
2
2
2
1
3
，
因此，该双曲线的方程为
2
2
3
x
y
.
故选：C.
【变式训练7】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为5
3 ，且经过点
3,2 3
M
；
564
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)渐近线方程为
1
2
y
x
，且经过点
2, 3
A
.
【答案】(1)
2
2
1
9
4
4
x
y
；(2)
2
2
1
8
32
y
x
【详解】（1）设所求双曲线方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
.
5
3
e
∵
,
2
2
2
2
2
2
2
2
25
1
9
c
a
b
b
e
a
a
a
2
2
16
9
b
a
，所以
2
2
2
2
16
9
9
12
1
b
a
a
b
,解得
2
2
9
4
4
a
b
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
9
4
4
x
y
（2）由双曲线的渐近线方程为
1
2
y
x
，设双曲线方程为
2
2
0
4
x
y
.
因为
2, 3
A
在双曲线上，
2
2
2
3
4
即
8
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
8
32
y
x
【变式训练8】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)
4
a
，经过点
1
3
,
4 10
A
；
(2)与双曲线
2
2
16
4
x
y
1 有相同的焦点，且经过点
3 2,2 ；
(3)与双曲线
2
2
1
2
x
y
有公共的渐近线，且过点
2,
2 ．
【答案】(1)
2
2
1
16
9
y
x
；(2)
2
2
1
12
8
x
y
；(3)
2
2
1
2
x
y
【详解】（1）由
4
a
，
当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为
2
2
2
1
0
16
x
y
b
b
，
把点A 的坐标代入，得
2
16
160
0
15
9
b
，不符合题意；
当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为
2
2
2
1
0
16
y
x
b
b
，
把点A 的坐标代入，得
2
9
b
．故所求双曲线的标准方程为
2
2
1
16
9
y
x
．
（2）法一：
∵双曲线
2
2
16
4
x
y
1 的焦点在x 轴上，
565
2026 年高二暑假讲义A 版
∴设所求双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
∴
2
16
4
20
c
，即
2
2
20
a
b
①
∵双曲线经过点
3 2,2 ，∴
2
2
18
4
1
a
b
．②
由①②得
2
2
12,
8
a
b
，故双曲线的标准方程为
2
2
1
12
8
x
y
．
法二：
设所求双曲线的方程为
2
2
1
4
16
16
4
x
y
．
∵双曲线过点
3 2,2 ，∴
18
4
1
16
4
，
解得
4
或
14
（舍去）．
故双曲线的标准方程为
2
2
1
12
8
x
y
．
（3）设所求双曲线的方程为
2
2
0
2
x
y
t t
.
将点
2,
2 代入双曲线方程得
2
2
2
2
2
t
，解得
1
t ，
因此，所求双曲线的标准方程为
2
2
1
2
x
y
.
例3、已知双曲线
2
2
2
1(
0)
12
y
x
b
b
的焦距为12，则该双曲线的离心率为（
）
A．
6
2
B．2
C．
3
D．2
【答案】C
【详解】因为双曲线
2
2
2
1(
0)
12
y
x
b
b
的焦距为12，所以2
12
c
，解得
6
c
，
又
2
12,
2 3
a
a
，所以该双曲线的离心率为
3 .
故选：C.
【变式训练9】已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的渐近线方程为
4
3
y
x
，则该双曲线的离心率为（
）
A．3
2
B．5
3
C．4
5
D．4
3
【答案】B
【详解】∵双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的渐近线方程为
4
3
y
x
，
题型3
求双曲线离心率的值
566
2026 年高二暑假讲义A 版
∴
4
3
b
a
，
∴双曲线的离心率为
2
2
16
5
1
1
9
3
b
e
a
，
故选：B．
【变式训练10】若双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率
为（）
A．
2
B．2
C．2 或2 3
3
D．2 3
3
或
3
【答案】C
【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为60，
则渐近线的倾斜角为30 ,150
或60 ,120
，
所以渐近线的斜率为
3
3
或
3
.
因为该双曲线方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，所以渐近线方程为
b
y
x
a
.
所以
3
3
b
a
或3 .
所以双曲线的离心率为
2
2
2 3
1
3
c
b
e
a
a
或2.
故选：C.
【变式训练11】已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在双曲线上，且
1
2
1
2
π ,
2
3
F PF
PF
PF
，则双曲线的离心率e
.
【答案】
3
【详解】设
2
1
,
2
PF
x PF
x
，由双曲线定义可得
1
2
2
2
PF
PF
x
x
a
，
即
2
x
a
，所以
2
1
2 ,
4
PF
a PF
a
，
又
1
2
2
F F
c
，
1
2
π
3
F PF
，
在
1
2
PF F
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
2
PF
PF
F F
F PF
PF
PF
，
即
2
2
2
4
2
2
1
2 4
2
2
a
a
c
a
a
，解得
3
c
a
，故离心率
3
c
e
a
.
567
2026 年高二暑假讲义A 版
故答案为：
3
【变式训练12】双曲线C 的两个焦点为
1F 、
2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过
1F 作圆D 的切
线与C 的两支分别交于M 、N 两点，且
1
2
3
cos
5
F NF
，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
13
2
B．
41
3
C．
3
D．2 13
13
【答案】A
【详解】如图：
设直线MN 与圆D 的切点为A ，作
2
/ /
F B
OA ，交MN 于点B ，则OA
MN
.
因为
1
OF
c
，OA
a
，所以
1
AF
a
.
又O为
1
2
F F 中点，所以
1
2
BF
b
，
2
2
BF
a
.
又
1
2
3
cos
5
F NF
，
2
MN
BF
，
所以可设：
3
BN
t
，
2
4
BF
t
，
2
5
NF
t
.由2
4
a
t
2
a
t
.
根据双曲线的定义：
1
2
2
NF
NF
a
3
5
2
2
2
2
a
b
a
a
2
3
b
a
.
所以
2
2
2
2
9
4
4
a
b
c
a
2
2
13
4
a
c
2
2
13
4
c
a
.
所以
13
2
c
e
a
.
故选：A
568
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、已知双曲线
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
6
2
，则椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的离心率为（
）
A．
2
2
B．
3
3
C．
3
2
D．1
2
【答案】A
【详解】∵双曲线
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
6
2
，
2
2
2
6
3
1
2
2
b
a
，即
2
2
1
2
b
a
.
∴椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的离心率为：
2
2
1
2
1
1
2
2
b
a
.
故选：A.
【变式训练13】设双曲线
2
2
1 :
1
x
C
y
m
，
2
2
2 :
1
2
y
C
x
的离心率分别为
1e ，2e .若
2
1
2
e
e
，则m
（
）
A．1
2
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【详解】
2
1
1
m
e
m
，
2
2
2
3
1
2
e
，因为
2
1
2
e
e
，所以
1
2
3
m
m
，解得
2
m
.
故选：B
【变式训练14】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，左顶点为A ，离心率为3，B
为C 上一点，且位于第一象限，若BF 垂直于x 轴，则直线AB 的斜率为（
）
A．1
B．2
C．3
D．2
【答案】B
【详解】根据题意可得：
,0
F c
，
,0
A
a
，
0
,
B c y
.
将点B 的横坐标代入双曲线方程得：
2
2
0
2
2
1
y
c
a
b
，
则
2
2
2
0
2
1
c
y
b
a
，因为
2
2
2
0
,
0
a
b
c
y
，所以
2
0
b
y
a
.
所以点
2
, b
B c a
.
题型4
双曲线离心率中的参数问题
569
2026 年高二暑假讲义A 版
所以直线AB 的斜率为
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
b
b
c
a
e
a
k
c
a
ca
a
ca
a
e
.
故选：B.
【变式训练15】点P 是双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
上的点，
1F ，
2F 是其焦点，双曲线的离心率是
5
4 ，且
1
2
PF
PF
，若
1
2
F PF
的面积是9，则a
b
的值等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【详解】设
1
PF
m
，
2
PF
n
，
则|
| 2
m
n
a
，①
又因为
1
2
PF
PF
，所以
2
2
2
4
m
n
c
，②
2
①
②得
2
2
2
4
4
mn
a
c
，所以
2
2
2
2
mn
a
c
，
又因为
1
2
F PF
的面积是9，
所以1
9
2 mn
，所以
2
2
9
c
a
．
又因为双曲线的离心率
5
4
c
a
，
所以
5
c
，
4
a
，所以
3
b
，所以
7
a
b
．
故选：D.
例5、若双曲线C ：
2
2
2
1
0
x
y
a
a
上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方
程为（
）
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
1
2
y
x
D．
1
4
y
x
【答案】C
【详解】双曲线C ：
2
2
2
1
0
x
y
a
a
上的某点到两个焦点的距离之差为4，
则有4
2a
，得
2
a
，
所以双曲线
2
2
1
4
x
y
的渐近线的方程为
1
2
y
x
.
故选：C
题型5
双曲线的渐近线方程
570
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练16】已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为
1
3
y
x
，点
6, 3 在C 上，
则C 的焦距为（
）
A．2 3
B．2 5
C．2 6
D．2 10
【答案】D
【详解】双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的渐近线方程为
1
3
y
x
，则有
1
3
b
a
，即
3
a
b
，
双曲线方程可表示为
2
2
2
2
1
9
x
y
b
b
，
点
6, 3 在C 上，有
2
2
36
3
1
9b
b
，解得
2
1
b ，即
1
b ，得
3
3
a
b
，
双曲线中c 为半焦距，则有
2
2
2
10
c
a
b
，得
10
c
，
所以双曲线C 的焦距为2 10 .
故选：D
【变式训练17】已知焦点在y 轴上的双曲线
2
2
2
1
3
4
x
y
m
m
的两条渐近线互相垂直，则m＝（
）
A．1
B．1
2
C．－4
D．1 或－4
【答案】C
【详解】因为双曲线
2
2
2
1
3
4
x
y
m
m
的焦点在y 轴上，
所以
2
2
2
4
4
a
m
m
，
2
3
b
m
=-
，所以
2
3
0
4
0
m
m
，即
2
m .
又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以
2
2
4
4
1
3
3
m
m
m
m
，
即(
1)(
4)
0
m
m
，解得
4
m 或
1
m （舍）.
故选：C.
【变式训练18】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
，
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，
，过
1F 的直线与
双曲线C 的左支交于A B
，两点.若
2
2
120
AB
AF
BAF
，
，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．
3
y
x
B．
3
1
y
x
C．y
x
D．
6
y
x
【答案】B
【详解】设
2
AB
AF
m
，又
o
2
120
BAF
，
571
2026 年高二暑假讲义A 版
则
2
2
o
2
2
2
2
cos120
3
BF
AB
AF
AB
AF
m
，
由双曲线定义，可得
1
2
AF
m
a
，则
1
2
BF
a
，
所以
2
1
2
BF
BF
a
，即3
2
2
m
a
a
，解得
4 3
3
m
a
，
在
1
2
AF F
△
中，由余弦定理，可得
2
2
2
o
1
2
1
2
1
2
2
cos120
F F
AF
AF
AF
AF
，
2
2
2
4 3
4 3
4 3
4 3
1
4
2
2
2
3
3
3
3
2
c
a
a
a
a
a
a
,
2
2
5
2 3
c
a
，则
2
2
2
2
2
1
4
2 3
3
1
b
c
a
a
，
3
1
b
a
，
所以双曲线的渐近线方程为
3
1
y
x
.
故选：B.
【变式训练19】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左焦点为F ，直线
0
y
kx k
与C 的左､
右两支分别交于点
,
A B ，若
2
0,
3
a
FA FB
FA
，则C 的渐近线方程为（
）
A．
2 2
3
y
x
B．
2
3
y
x
C．
3 2
4
x
y
D．
3 2
2
x
y
【答案】A
【详解】设C 的右焦点为F，由题意知四边形FAF B为平行四边形.
572
2026 年高二暑假讲义A 版
因为
0
FA FB
，所以FA
FB
，故四边形FAF B为矩形，
由双曲线定义得，在直角AFF
中，
8
2
3
a
AF
AF
a
，
由
2
2
2
|
|
AF
AF
FF
，得
2
2
2
8
2
(2 )
3
3
a
a
c
，解得
2
2
17
9
c
a
，
所以
2
2
2
2
2
17
2 2
1
9
3
b
b
c
a
a
a
a
，
所以C 的渐近线方程为
2 2
3
y
x
.
故选：A.
例6、已知双曲线
2
2
4
x
y
，直线:
(
1)
l y
k x
，试确定实数k 的取值范围，使：
(1)直线l 与双曲线有两个公共点；
(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l 与双曲线没有公共点．
【答案】(1)
2 3
1
3
k
或1
1
k
或
2 3
1
3
k
；；(2)
1
k 或
2 3
3
(3)
2 3
3
k
或
2 3
3
k
【详解】（1）联立
2
2
(
1)
4
y
k x
x
y
，
消y 整理得
2
2
2
2
1
2
4
0
k
x
k x
k
，（*）
因为直线l 与双曲线C 有两个公共点，
所以
2
4
2
2
1
0
Δ
4
4 1
4
0
k
k
k
k
，整理得
2
2
1
0
Δ
4 4
3
0
k
k
解得：
2 3
1
3
k
或1
1
k
或
2 3
1
3
k
.
（2）当
2
1
0
k
即
1
k 时，直线l 与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为2
5
0
x
，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当
2
1
0
k
时，因为直线l 与双曲线C 仅有一个公共点，
题型6
直线与双曲线的位置关系
573
2026 年高二暑假讲义A 版
则
2
Δ
4 4
3
0
k
，解得
2 3
3
k
；
综上，
1
k 或
2 3
3
k
.
（3）因为直线l 与双曲线C 没有公共点，
所以
2
2
1
0
Δ
4 4
3
0
k
k
，
解得：
2 3
3
k
或
2 3
3
k
.
【变式训练20】已知点
1,
2
D
在双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
上，且双曲线的一条渐近线的方
程是
3
0
x
y
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若过点
0,1 且斜率为k 的直线l 与双曲线C 仅有一个交点，求实数k 的值．
【答案】(1)
2
2
3
1
x
y
；(2)
6
k
或
3
k
【详解】（1）由条件可知，
3
b
a
，且
2
2
1
2
1
a
b
，解得：
2
1
3
a
，
2
1
b ，
所以双曲线方程为
2
2
3
1
x
y
；
（2）设直线l 的方程为
1
y
kx
，
联立
2
2
1
3
1
y
kx
x
y
，
2
2
3
2
2
0
k
x
kx
，
2
3
0
k
时，
2
2
4
8 3
0
k
k
，得
6
k
；
当
2
3
0
k
时，
3
k
时，2 3
2
0
x
，得
3
3
x
，满足条件，
综上可知，
6
k
或
3
k
.
例7、已知双曲线C：
2
2
2
1
0
x
y
a
a
的焦距为2 5 且左右顶点分别为
1A ，
2
A ，过点
4,0
T
的直线
l 与双曲线C 的右支交于M，N 两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线MN 的斜率为
3
2
，求弦长MN .
题型7
双曲线的弦长及三角形面积问题
574
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
；(2) 70
【详解】（1）因为双曲线的焦距为2 5 ，所以2
2 5
c
，即
5
c
，
又
1
b ，所以
2
1
5
a
，解得
2
a
，
则双曲线的方程为
2
2
1
4
x
y
.
（2）由题意，直线MN 的方程为
3
4
2
y
x
，
联立
2
2
3
4
2
1
4
y
x
x
y
，消去y 并整理得
2
12
26
0
x
x
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，此时
2
12
4 26
40
0
，
由韦达定理得
1
2
12
x
x
，
1
2
26
x x
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
3
7
1
4
12
4
26
70
2
2
MN
x
x
x x
.
【变式训练21】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2，右焦点F 到渐近线的距离为2 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线y
x
m
被双曲线C 截得的弦长为8 2 ，求实数m 的值.
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x
；(2)
7
m
.
【详解】（1）∵双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2，右焦点F 到渐近线的距离为
2 ，
,0
c
到直线
b
y
x
a
的距离为
2 ，
∴
2
2
2
2
2
a
bc
a
b
，解得
1
a ，b
2 ，所求双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x
.
（2）联立
2
2
1
2
y
x
m
y
x
，得
2
2
2
2
0
x
mx
m
，
575
2026 年高二暑假讲义A 版
∵直线y
x
m
被双曲线C 截得的弦长为8 2 ，
∴
2
2
4
4
8
0
m
m
，设直线与双曲线交于
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
则
1
2
2
x
x
m
，
2
1
2
2
x x
m
，则
2
2
2
4
4
2
8 2
7
m
m
m
.
【变式训练22】已知
1F ，
2F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，点M 为平面内
一点，线段
1F M 的中点在该双曲线右支上，N 在x 轴上，
1
1
2
2
F N
F F
，
1
|
|
|
| 4
MF
MN
，
2,3
A
为
双曲线C 上一点．
(1)求双曲线C 的渐近线方程；
(2)已知过A 的直线l 交该双曲线于A，B，
0,3
D
，DAB
的面积为6，求直线l 的方程．
【答案】(1)双曲线，
2
2
1
2
2
x
y
；(2)
2
2
y
x
【详解】（1）设点
,
P x y
到
2,0
A
和
2,0
B
的距离分别为PA 和PB ,根据题意：
2 2
PA
PB
两点A 、B 的距离为4,而2 2
4
,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线，
2
2 2
a
,得
2
a
；2
4
c
,得
2
c
；
2
2
2
b
c
a
，
双曲线的标准方程为:
2
2
1
2
2
x
y
，
（2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意.
当斜率存在时，设直线l 的方程为
2
y
kx
，
联立
2
2
2
2
y
kx
x
y
，得
2
2
(
2)
2
x
kx
.
展开整理得
2
2
(1
)
4
6
0
k
x
kx
，
2
2
16
24(1
)
0
k
k
，
设
1
1
(
,
)
M x y ，
2
2
(
,
)
N x
y
，由韦达定理
1
2
2
4
1
k
x
x
k
（
2
1
k ），
1
2
2
6
1
x x
k
.
576
2026 年高二暑假讲义A 版
根据弦长公式
2
2
1
2
1
2
|
|
1
(
)
4
MN
k
x
x
x x
先求
2
2
1
2
1
2
2
2
4
6
(
)
4
4
1
1
k
x
x
x x
k
k
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
24
16
24
24
24
8
(1
)
1
(1
)
(1
)
k
k
k
k
k
k
k
k
.
所以
2
2
2
2
24
8
|
|
1
(1
)
k
MN
k
k
.
原点O到直线
2
y
kx
的距离
2
2
1
d
k
.
已知
1 |
|
2 2
2
OMN
S
MN d
.
即
2
2
2
2
2
1
24
8
2
1
2 2
2
(1
)
1
k
k
k
k
. 化简得
2
2
2
24
8
2 2
(1
)
k
k
.
两边平方整理得
4
2
8
8
16
0
k
k
，即
4
2
2
0
k
k
.
得
2
2
(
2)(
1)
0
k
k
，因为
2
1
0
k
，所以
2
2
k
，
2
k
.
也满足
2
2
16
24(1
)
8
0
k
k
.
所以直线l 的方程为
2
2
y
x
.
例8、直线l 与双曲线
2
2
1
4
x
y
交于
,
P Q 两点，线段PQ的中点为
4,1
M
，则直线l 的方程为（
）
A．
3
y
x
B．
3
y
x
C．
5
y
x
D．
5
y
x
【答案】A
【详解】设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
因为线段PQ的中点为
4,1
M
，所以
1
2
8
x
x
，
1
2
2
y
y
，
题型8
双曲线的中点弦问题
577
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
1
4
x
y
x
y
，两式相减可得：
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
x
x
y
y ，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
y
y
y
y
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
y
y
y
y
x
x
x
x
，即
1
2
1
2
1
y
y
x
x
，
所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为：
1
4
y
x
，
化简为：
3
y
x
，经检验符合题意.
故选：A.
【变式训练23】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2 ，离心率为
3 .直线:l y
kx
m
与双曲线C 相交于A
B
、两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若AB 的中点为
2,1
M
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x
；(2)
4
7
y
x
.
【详解】（1）根据题意，双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2 ，离心率为
3 ，则
2
2
2
2
2
3
a
c
a
a
b
c
，解得
1
3
2
a
c
b
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x
.
（2）由（1）知，双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立
2
2
1
2
y
x
y
kx
m
，化简得
2
2
2
2
2
2
0
k
x
kmx
m
，
则
2
2
2
2
2
2
Δ
4
4
2
2
8
2
0
k m
k
m
m
k
，且
2
k
，
1
2
2
2
2
km
x
x
k
，
578
2026 年高二暑假讲义A 版
由
2,1
M
为AB 的中点，得
2
2
4
2
2
1
km
k
k
m
，解得
4
k
，
7
m ，且满足
0
，
所以直线l 的方程为
4
7
y
x
.
【变式训练24】已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2 3 ，且过点(3, 2)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过双曲线C 的右焦点F 作斜率为1 的直线l，l 与双曲线C 交于A，B 两点，求｜AB｜；
(3)若O是坐标原点，M，N 是双曲线C 上不同的两点，且直线MN 的斜率为2，线段MN 的中点为P ，
求直线OP 的斜率．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
；(2)2 3 ；(3) 1
6
【详解】（1）根据题意可得2
2 3
a
，则
3
a
．
将点(3, 2) 的坐标代入
2
2
2
1
3
x
y
b
，得
2
9
2
1
3
b
，解得
1
b ，故双曲线C 的方程为
2
2
1
3
x
y
．
（2）由（1）得
2
3 1
4
c
，即
2
c
，则
(2,0)
F
，则直线l 的方程为
2
y
x
．
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，由
2
2
2,
1,
3
y
x
x
y
得
2
2
12
15
0
x
x
，
2
1
2
1
2
15
( 12)
4
2 15
24
0,
6,
2
x
x
x x
，所以
2
2
15
|
|
1 1
6
4
2 3
2
AB
．
（3）设
3
3
4
4
,
,
,
M x y
N x
y
，则
2
2
3
3
2
2
4
4
1,
3
1,
3
x
y
x
y
两式相减得
3
4
3
4
3
4
3
4
3
0
x
x
x
x
y
y
y
y
．
设
0
0
,
P x
y
，则
3
4
0
3
4
0
2
,
2
,
x
x
x
y
y
y
所以
0
3
4
0
3
4
2
3 2
0
x
x
x
y
y
y
，
即
3
4
0
0
3
4
3
0
y
y
x
y
x
x
，所以
0
0
3
2
0
x
y
，即
0
0
6
x
y
，
所以直线OP 的斜率
0
0
0
1
0
6
OP
y
k
x
．
579
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、双曲线C ：
2
2
1
5
75
x
y
的渐近线方程为（
）
A．
15
y
x
B．
1
15
y
x
C．
15
y
x
D．
15
15
y
x
【答案】C
【详解】因为双曲线C ：
2
2
1
5
75
x
y
，所以
5,
5 3
a
b
，
则C 的渐近线方程为
5 3
15
5
y
x
x
.
故选：C.
2、已知双曲线
2
2
1
9
7
y
x
，则顶点到渐近线的距离为（
）
A．4 7
3
B．4 6
3
C．3 7
4
D．3 6
4
【答案】C
【详解】双曲线
2
2
1
9
7
y
x
的顶点坐标为(0, 3)
±
，渐近线方程为
3
7
y
x
即3
7
0
x
y
，
根据双曲线的对称性，取顶点(0,3) ，渐近线3
7
0
x
y
，
根据点到直线的距离公式得顶点到渐近线的距离为0
3 7
3 7
4
9
7
.
故选：C．
3、已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为
1
3
y
x
，点
6,
3 在C 上，则C 的焦
距为（
）
A．2 3
B．2 5
C．2 6
D．2 10
【答案】D
【详解】双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的渐近线方程为
1
3
y
x
，则有
1
3
b
a
，即
3
a
b
，
双曲线方程可表示为
2
2
2
2
1
9
x
y
b
b
，
点
6,
3 在C 上，有
2
2
36
3
1
9b
b
，解得
2
1
b ，即
1
b ，得
3
3
a
b
，
双曲线中c 为半焦距，则有
2
2
2
10
c
a
b
，得
10
c
，
580
2026 年高二暑假讲义A 版
所以双曲线C 的焦距为2 10 .
故选：D
4、已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
与椭圆
2
2
1
30
5
x
y
有相同的焦点，且离心率为5
3 ，则双曲线
C 的方程为（
）
A．
2
2
1
32
18
x
y
B．
2
2
1
3
4
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
【答案】D
【详解】由椭圆方程
2
2
1
30
5
x
y
，得其焦点为
5,0
，
因为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中
5
c
，
又因为离心率为5
3 ，所以5
5
3
a
，
3
a
，
2
2
2
16
b
c
a
，
所以双曲线方程为
2
2
1
9
16
x
y
.
故选：D
5、斜率为1 的直线与双曲线
2
2
2
:
1
0
x
C
y
a
a
交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为
3,1 ，则a
（
）
A．2
B．
3
C．
6
D．2 3
【答案】B
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1,
1
x
x
y
y
a
a
，两式相减并化简得
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
3
3
y
y
y
y
a
x
x
x
x
，
2
3,
3
a
a
（负根舍去）.
故选：B
6、过双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点
1F 作其一条渐近线的垂线，垂足为H ，线段
2
HF 的中点
在另外一条渐近线上，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．
3
C．2
D．2 2
【答案】A
581
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由题意，记
2
HF 的中点为P ，如图，
由
1
2
FO
F O
，则OP ∥
1F H ，
所以两条渐近线相互垂直，
可得
1
b b
a a
，则
2
2
b
a
，
即
2
2
2
c
a
a
a
，所以
2
e
.
故选：A.
7、已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，若在C 上存在点P （不是
顶点），使得
2
1
1
2
3
PF F
PF F
，则C 的离心率的取值范围为（
）
A．
2,2
B．
3,2
C．1, 3
D．1, 2
【答案】A
【详解】设
1
PF 与y 轴交于Q 点，连接
2
QF ，则
1
2
QF
QF
，得到
1
2
2
1
QF F
QF F
，
因为
2
1
1
3
PF F
PF F
，故P 点在双曲线右支上，且
2
2
1
2
2
PF Q
PQF
PF F
，
故
2
|
| |
|
PQ
PF
，而
1
2
|
|
|
| 2
PF
PF
a
，
故
1
2
1
1
|
|
|
| |
|
|
| |
| 2
PF
PF
PF
PQ
QF
a
，
在
1
Rt QOF
中，
1
1
|
| |
|
QF
OF
，即2a
c
，故
2
c
e
a
，
582
2026 年高二暑假讲义A 版
由
2
1
1
2
3
PF F
PF F
，且三角形内角和为180，
故
1
2
180
45
4
PF F
，则
1
1
2
1
|
|
cos
cos45
|
|
OF
PF F
QF
，
即
2
2
2
c
a
，即
2
c
e
a
，所以C 的离心率的取值范围为( 2 2)
,
，
故选：A.
二、多选题
8、已知双曲线
2
2
:
1
5
4
x
y
C
，则（
）
A．C 的离心率为3 5
5
B．双曲线
2
2
1
8
10
y
x
与C 有相同的渐近线
C．直线
3
y
与C 相交的弦长为
5
2
D．C 的焦点到渐近线的距离为
5
【答案】BD
【详解】由双曲线
2
2
:
1
5
4
x
y
C
，可得
2
2
1
4
5
y
x
，
则
2
a
，
5
b
，可得
2
2
3
c
a
b
，且渐近线方程为
2 5
5
y
x
.
对于A，双曲线C 的离心率
3
2
c
e
a
，所以A 错误；
对于B，双曲线
2
2
1
8
10
y
x
的渐近线方程为
2 5
5
y
x
，所以双曲线
2
2
1
8
10
y
x
与C 有相同的渐近线，
所以B 正确；
对于C，将
3
y 代入
2
2
1
4
5
y
x
，解得
5
2
x
，故直线
3
y 与C 相交的弦长为5，所以C 错误；
对于D，双曲线C 的焦点
0, 3
F
到渐近线的距离为
5
d
b
，所以D 正确.
故选：BD.
9、已知双曲线
2
2
:
1
3
y
E x
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点A 在渐近线上，且在第一象限，满足
1
AF
2
AF
，则下列说法正确的是（
）
A．双曲线E 的渐近线方程为
3
y
x
B．双曲线E 的离心率为
2
e
C．
1
2
AF F
△
的面积为4 3
583
2026 年高二暑假讲义A 版
D．
1
2
AF F
△
的内切圆的半径
3 1
r
【答案】ABD
【详解】如图：
选项A：对双曲线
2
2
:
1
3
y
E x
，
1
a ，
3
b
，
2
2
1
3
2
c
a
b
.
所以双曲线E 的渐近线方程为
3
b
y
x
x
a
，故A 正确；
选项B：双曲线E 的离心率为
2
c
e
a
，故B 正确；
选项C：因为
1
2
AF
AF
，且O 为
1
2
F F 的中点，
所以
2
OA
，又A 在
3 ,
0
y
x x
上，
所以点
1, 3
A
，得
2
1
2,
2 3
AF
AF
，
1
2
2
1
1
2 3
2
AF F
S
AF
AF
；故C 错误；
选项D：因为
1
2
AF F
△
为直角三角形，所以内切圆半径
1 2
1
2
1
2
2
4 3
3 1
2 3
2
4
AF F
S
r
AF
AF
F F
，
故D 正确．
故选：ABD
三、填空题
10、双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为
2
y
x
，焦距为2 5 ，则双曲线C 的方程为
【答案】
2
2
1
4
y
x
【详解】由题设，若
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，则渐近线有
b
y
x
a
，故
2
b
a
，且2
2 5
c
，
所以
5
c
，则
2
2
2
5
a
b
c
，可得
2
2
1,
4
a
b
，故双曲线方程为
2
2
1
4
y
x
.
584
2026 年高二暑假讲义A 版
故答案为：
2
2
1
4
y
x
11、已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
(
0,
0)
a
b
的右顶点为A，以A 为圆心，a 为半径作圆A，圆A 与双
曲线C 的一条渐近线交于
,
M N 两点，若
60
MAN
，则C 的离心率为
.
【答案】2
【详解】由题意|
| |
|
MA
NA
a
，则
MAN
△
为正三角形，
则A 到渐近线距离为
3
2
d
a
，
( ,0)
A a
，渐近线为
0
bx
ay
，
所以
2
2
0
3
2
ab
ab
d
a
c
a
b
，故
3
2
b
c
，可得
3
2
b
c
，故
2
2
2
2
c
c
e
a
c
b
.
故答案为：2
12、双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，以线段
1
2
F F 为直径的圆与双曲线C
的渐近线在第一象限的交点为A ，若
1
2
2
AF
AF
，则b
a
.
【答案】4
3
【详解】双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的渐近线方程为
b
y
x
a
，两焦点为
1
2
,0 ,
,0
F
c
F c
，
以线段
1
2
F F 为直径的圆的方程为
2
2
2
x
y
c
，
联立
2
2
2
x
y
c
b
y
x
a
，消去y ，得
2
2
2
x
b x
c
a
，整理得
2
2
x
a
，
因为A 在第一象限，所以取x
a
，代入
b
y
x
a
，得y
b
，
所以点
( , )
A a b ，由
1
2
2
AF
AF
，得
2
2
2
2
2
a
c
b
a
c
b
，
所以
2
2
2
2
4
a
c
b
a
c
b
，整理得
2
2
2
3
3
3
10
0
a
b
c
ac
，
所以
2
3
5
c
ac
，所以3
5
c
a
，两边平方得
2
2
9
25
c
a
，所以
2
2
2
9
9
25
a
b
a
，
585
2026 年高二暑假讲义A 版
解得
4
3
b
a
.
故答案为：4
3 .
四、解答题
13、符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率
5
4
e
：
(2)渐近线方程是
2
y
x
，虚轴长为4．
【答案】(1)
2
2
1
16
9
x
y
；(2)
2
2
1
4
y
x
或
2
2
1
16
4
y
x
【详解】（1）由题意知，双曲线焦点在x 轴上，设标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
,
2
8
5
4
a
c
e
a
，解得
4,
5
a
c
，则
2
2
2
9
b
c
a
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
16
9
x
y
．
（2）当双曲线焦点在x 轴上时，设标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，由题意知，
2
2
4
b
a
b
，解得
1,
2
a
b
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
4
y
x
；
当双曲线焦点在y 轴上时，设标准方程为
2
2
2
2
1
y
x
a
b
，由题意知，
2
2
4
a
b
b
，解得
4,
2
a
b
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
16
4
y
x
；
综上所述，双曲线的标准方程为
2
2
1
4
y
x
或
2
2
1
16
4
y
x
．
14、已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的右焦点为
2(3,0)
F
，渐近线方程为
2
y
x
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点，倾斜角为30的直线l 交双曲线于A ，B 两点，求AB ．
【答案】(1)
2
2
1
3
6
x
y
；(2)16 3
5
586
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为
2
y
x
，所以
2
b
a
，即
2
2
2
b
a
.
又点
2(3,0)
F
是双曲线的右焦点，∴
3
c
，得
2
2
9
b
a
，所以
2
2
6,
3
b
a
∴双曲线的方程为
2
2
1
3
6
x
y
（2）由（1）知，双曲线
2
2
1
3
6
x
y
的右焦点为
2(3,0)
F
，
∴经过双曲线的右焦点
2F 且倾斜角为30°的直线l 的方程为
3 (
3)
3
y
x
，
联立直线与双曲线方程
2
2
1
3
6
3 (
3)
3
x
y
y
x
，消y 得
2
5
6
27
0
x
x
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
1
2
6
5
x
x
，
1
2
27
5
x x
，
所以
2
1
6
27
16 3
1
4
3
5
5
5
AB
.
15、已知A，B 分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的左、右顶点，其中一条渐近线方程为
3
2
0
x
y
，焦距为2 7 ．
(1)求双曲线E 的方程；
(2)设过
4,0
T
的直线与双曲线交于C，D 两点（C、D 与A、B 不重合），记直线AC，BD 的斜率
为
1k ，
2k ，证明：
1
2
k
k 为定值．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
；(2)证明见解析
【详解】（1）由双曲线E 的焦距为2 7 ，可得2
2 7
c
，即
7
c
，
又其中一条渐近线方程为3
2
0
x
y
，可得
3
2
b
a
，
而
2
2
2
c
a
b
，则
2
2
3
7
4
a
a
，解得
2
4
a
，
2
3
b
，
所以双曲线E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
；
（2）由（1）可知
2,0 ,
2,0
A
B
，设
1
1
,
C x y ，
2
2
,
D x
y
．
587
2026 年高二暑假讲义A 版
因为C、D 与A、B 不重合，所以可设直线
:
4
CD x
ty
．
联立
2
2
1
4
3
4
x
y
x
ty
，消x 得：
2
2
3
4
24
36
0
t
y
ty
，
故
2
3
t
，
2
144
576
0
t
，
所以
1
2
2
24
3
4
t
y
y
t
，
1
2
2
36
3
4
y y
t
，
1
2
1
2
2
36
3
3
4
2
t
ty y
y
y
t
，
所以
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
3
2
6
3
6
2
2
y
y
y
y
y
x
y ty
k
x
y
k
y
x
y
ty
y
y
y
x
，
即
1
2
k
k 为定值
1
3
．
588
2026 年高二暑假讲义A 版
抛物线及其标准方程
我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F
叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.
1、抛物线的标准方程
根据抛物线焦点位置的不同,抛物线的标准方程有以下四种不同的形式：
标准方程
²
2
(
0)
y
px p
²
2
(
0)
y
px p
²
2
(
0)
x
py p
²
2
(
0)
x
py p
图形
焦点坐标
,0
2
p
,0
2
p
0, 2
p
0,
2
p
准线方程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
注：
（1）只有抛物线与轴的交点为坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.抛物线的标准方
程、焦点坐标、准线方程只要确定其一,其余两者也就确定了.
（2）标准方程的特征：等号的左边是某个变量的平方且系数为1,等号的右边是另一个变量的一次单
项式.
（3）焦点在y 轴上的抛物线的标准方程
2
2
(
0)
x
py p
通常又可以写成
2
y
ax
,这与以前所学习
题型1
抛物线的定义及应用
题型4
抛物线中的轨迹方程问题
题型2
求抛物线的焦点与准线
题型5
利用抛物线定义求焦半径
题型3
求抛物线的标准方程
知识点1
抛物线的定义
知识点2
抛物线的标准方程
589
2026 年高二暑假讲义A 版
的二次函数的解析式一致,但需要注意由方程
2
y
ax
求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方
程化成标准形式.
2、四种标准方程对应的抛物线的比较
相同点
不同点
(1)顶点都在原点.
(2)焦点都在坐标轴上.
(3)焦点到准线的距离都是p .
(4)准线与焦点所在的坐标轴垂直,准线与坐标轴的
交点与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等
于一次项系数的绝对值的1
4
,即2
4
2
p
p
.
(1)当焦点在x 轴上时,方程的右端为2 px
,左端为²y ;当
焦点在y 轴上时,方程的右端为2 py
,左端为²x .
(2)开口方向与x 轴(或y 轴)的正方向相同时,焦点在x 轴
(或y 轴)的正半轴上,方程一次项的系数为正数；开口方
向与x 轴(或y 轴)的正方向相反时,焦点在x 轴(或y 轴)
的负半轴上,方程一次项的系数为负数.
3．参数p 的几何意义
抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p 的值永远
大于0 .(当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现
0
p
的错误)
1、焦半径的定义
设抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点M
0
0
(
,
)
x
y
，焦点为F ，准线为l ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径，
过点M 作准线l 的垂线段MH ，由抛物线的定义可知，
0
2
p
MF
MH
x
．
2、用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（2）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（3）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
知识点3
焦半径
590
2026 年高二暑假讲义A 版
（4）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦
半径公式．
②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．
3、用角α 表示的焦半径公式
如图,若倾斜角为的直线AB 过抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点F ,且与抛物线交于A , B 两点,则
1
cos
p
AF
,
.
1
cos
p
BF
由焦半径公式我们可以得到
1
1
2
AF
BF
p
,是一个定值.
例1、抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，(2,
)
A
m 是抛物线C 上一点，且|
|
4
AF
，则焦点F 到
坐标原点O 的距离是（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【详解】由题意可得|
| 2
4
2
p
AF
，解得
4
p
，则焦点F 到坐标原点O 的距离是2.
故选：B
【变式训练1】已知抛物线
2
:
2
C y
x
，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（
）
A．4
B．1
4
C．3
D．1
2
【答案】B
【详解】由抛物线
2
:
2
C y
x
可得
2
1
2
x
y
，
所以
1
2
2
p
，
1
4
p
，故抛物线C 的焦点到准线的距离是
1
4
p
．
故选：B．
【变式训练2】与直线
2
y
相切，且与圆
2
2
3
1
x
y
外切的圆的圆心轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
【答案】C
题型1
抛物线的定义及应用
591
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】记与圆
2
2
3
1
x
y
外切的圆为圆C ，
设圆C 的圆心为
,
C x y ，半径为r ，圆
2
2
3
1
x
y
的圆心为A，
因为圆C 与圆
2
2
3
1
x
y
外切，所以
1
CA
r
，
设圆C 圆心到直线
2
y
的距离为d ，则d
r
，
所以
1
CA
d
，即动点C 到定点A的距离等于到定直线
3
y
的距离，
由抛物线的定义知：动点C 的轨迹为抛物线.
故选：C
【变式训练3】已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准
线l 上，若
AFB
△
是边长为2 的等边三角形，则p 的值是（
）.
A．1
B．
3
C．2
D．2 3
【答案】A
【详解】根据题意，易知AF
AB
，由抛物线定义可得AB
l
，
设准线与l 的交点为D ，如下图所示：
因此AB 与DF 平行，又
AFB
△
是边长为2 的等边三角形，
所以
60
ABF
，即
60
BFD
,
可得
cos60
1
DF
BF
，即
1
p .
故选：A
例2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图.
(1)
2
16
y
x
；
(2)
2
16
y
x
；
题型2
求抛物线的焦点与准线
592
2026 年高二暑假讲义A 版
(3)
2
1
4
y
x
；
(4)
2
1
4
y
x
.
【答案】(1)(4,0) ，
4
x ，草图见解析；(2)
1
(0,
)
64 ，
1
64
y
，草图见解析
(3)
1
(
,0)
16
，
1
16
x
，草图见解析；(4)(0, 1)
，
1
y ，草图见解析
【详解】（1）
2
16
y
x
的焦点坐标为(4,0) ，准线方程为
4
x ，
如图：
（2）
2
16
y
x
即
2
1
16
x
y
，它的焦点坐标为
1
(0,
)
64 ，准线方程为
1
64
y
，
如图：
（3）
2
1
4
y
x
的焦点坐标为
1
(
,0)
16
，准线方程为
1
16
x
，
如图：
（4）
2
1
4
y
x
即
2
4
x
y
，它的焦点坐标为(0, 1)
，准线方程为
1
y ，
如图：
593
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练4】若抛物线
2
2
(
0)
y
px p
经过点
1, 2
C
，则该抛物线的焦点坐标为
.
【答案】(1,0)
【详解】因为抛物线
2
2
y
px
经过点
1, 2
C
，可得
2
( 2)
2
1
p
，解得
2
p
，即
2
4
y
x
又因为抛物线
2
4
y
x
的焦点在x 轴上，所以抛物线的焦点坐标为(1,0) .
故答案为：(1,0) .
【变式训练5】抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点与双曲线
2
2
1
3
x
y
的右焦点重合，则抛物线的准线方
程为（
）
A．
5
x
B．
4
x
C．
3
x
D．
2
x
【答案】D
【详解】对于双曲线：因为
2
2
3,
1
a
b
，所以
2
2
2
4
c
a
b
，所以
2
c
．
所以双曲线的右焦点的坐标为
2,0 ．对于抛物线
2
2
0
y
px p
，因为焦点为
2,0 ，即
2
2
p
，可
得
4
p
．所以其准线方程为
2
x ．
故选：D．
【变式训练6】已知抛物线
2
: 4
0
C
x
my
恰好经过圆
2
2
:
1
2
1
M
x
y
的圆心，则抛物线C 的
焦点坐标为（
）
A．
0,1
B．
1,0
C．
1,0
D．
0, 1
【答案】B
【详解】由已知，圆
2
2
:
1
2
1
M
x
y
的圆心为
1,2
M
，
因为点M 在抛物线
2
: 4
0
C
x
my
上，所以
2
4 1
2
0
m
，解得
1
m ，
所以抛物线C 的方程为
2
4
y
x
，焦点在x 轴正半轴上，且2
4
p
，
所以焦点坐标为
1,0 .
故选：B
例3、求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为
4
y
；
题型3
求抛物线的标准方程
594
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)顶点在原点，且过点
3,2
；
(3)焦点在x 轴上，且抛物线上一点
3,
A
m 到焦点的距离为5.
【答案】(1)
2
16
x
y
；(2)
2
9
2
x
y
或
2
4
3
y
x
；(3)
2
8
y
x
【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为
4
y
，
可知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且
4
2
p
，
8
p
故抛物线标准方程为
2
16
x
y
；
（2）由题意顶点在原点，且过点
3,2
，则抛物线焦点可能在y 轴正半轴或x 轴负半轴上，
则设抛物线标准方程为
2
2
(
0)
x
py p
或
2
2
(
0)
y
p x p
，
分别将
3,2
代入，有9
4 p
，4
6 p
，求得
9
4
p
，
2
3
p
，
故抛物线标准方程为
2
9
2
x
y
或
2
4
3
y
x
.
（3）由题意抛物线焦点在x 轴上，且点
3,
A
m 在抛物线上，
有抛物线焦点在x 轴正半轴上，
又因为抛物线上一点
3,
A
m 到焦点的距离为5，
则设抛物线方程为
2
2
(
0)
y
px p
，焦点为(
,0)
2
p
，准线为
2
p
x
，
根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
故3 (
)
5
2
p
，
4
p
故抛物线标准方程为
2
8
y
x
.
【变式训练7】已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
2
6
0
x
y
上，则
抛物线C 的标准方程为（
）
A．
2
12
y
x
B．
2
8
x
y
C．
2
12
x
y
D．
2
12
x
y
【答案】D
【详解】直线
2
6
0
x
y
与y 轴的交点为
0,3 ，
所以抛物线C 的焦点为
0,3 ，故
3
2
p = ，解得
6
p =
，
所以抛物线C 的标准方程为
2
12
x
y
．
595
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：D．
【变式训练8】方程
2
2
(
1)
|
1|
x
y
x
可以化简为（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
2
x
y
D．
2
4
x
y
【答案】B
【详解】由
2
2
(
1)
|
1|
x
y
x
，两边同时平方有
2
2
2
2
1
1
4
x
y
x
y
x
，
故选：B.
【变式训练9】点
5,3
M
到抛物线
2
y
ax
的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（
）
A．
2
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
1
36
x
y
D．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
【答案】D
【详解】将
2
y
ax
转化为
2
1
x
y
a
,
当
0
a
时，抛物线开口向上，准线方程
1
4
y
a
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为
1
3
6
4a
，解得
1
12
a
，
所以抛物线方程为
2
1
12
y
x
，即
2
12
x
y
；
当
0
a
时，抛物线开口向下，准线方程
1
4
y
a
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为
1
3
6
4a
，解得
1
36
a
或
1
12
a
（舍去），
所以抛物线方程为
2
1
36
y
x
，即
2
36
x
y
.
所以抛物线的方程为
2
12
x
y
或
2
36
x
y
故选：D.
例4、若点P 到直线
1
x 和它到点
1,0 的距离相等，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2x
y
B．
2y
x
C．
2
4
x
y
D．
2
4
y
x
【答案】D
【详解】因为点P 到直线
1
x 和它到点
1,0 的距离相等，
题型4
抛物线中的轨迹方程问题
596
2026 年高二暑假讲义A 版
所以，点P 的轨迹是以点
1,0 为焦点，直线
1
x 为准线的抛物线，
设其方程为
2
2
y
px
，则
1
2
p ，可得
2
p
，
故点P 的轨迹方程为
2
4
y
x
.
故选：D.
【变式训练10】已知动点P 到点
2,0
F
的距离比它到直线
1
x 的距离大1，则动点P 的轨迹方程
为（
）
A．
2
4
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
8
y
x
【答案】D
【详解】由题意可知，动点P 到点
2,0
F
的距离等于它到直线
2
x 的距离，
由抛物线的定义可知，点P 在以
2,0
F
为焦点，
2
x 为准线的抛物线上，其轨迹方程为
2
8
y
x
，
故选：D
【变式训练11】若圆C 与x 轴相切且与圆
2
2
4
x
y
外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（
）
A．
2
4
4
x
y
B．
2
4
4
x
y
C．
2
4
4
x
y
D．
2
4
4
x
y
【答案】C
【详解】设圆心坐标为
,x y ，依题意可得
2
2
2
x
y
y
，化简得
2
4
4
x
y
，
即圆C 的圆心的轨迹方程为
2
4
4
x
y
.
故选：C
【变式训练12】如图，已知点
2, 1
B
，BC
x
轴于点C，M 是线段OB 上任意一点，MD
x
轴
于点D，ME
BC
于点E．OE 与MD 相交于点P，则P 的轨迹方程为（
）．
A．
2
0
2
y
x
x
B．
2
1
0
2
2
y
x
x
C．
2
0
2
x
y
x
D．
2
4
0
2
x
y
x
597
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】设
,
0
2, 1
0
P m n
m
n
，
因为直线OB 的方程为
1
2
y
x
，且点M 在直线OB 上，所以
,
2
m
M m
，
因为直线OP 的方程为
n
y
x
m
，且点E 在直线OP 上，所以
2
2, n
E
m
，
因为
/ /
ME
x 轴，所以
2
2
m
n
m
，则
2
4
0
2
m
n
m
，故D 正确.
故选：D．
【变式训练13】设
1,0
F
，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，且
,
0
MN
NP MN NF
，当点N 在y
轴上运动时，点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
1
2
y
x
B．
2
1
4
y
x
C．
2
2
y
x
D．
2
4
y
x
【答案】D
【详解】设点
,
P x y ，因为MN
NP
，则N 为MP 的中点，且点N 在y 轴上，
所以
0, 2
y
N
，则
,0
M
x
,
又
1,0
F
，则
, 2
y
MN
x
，
1,
2
y
NF
，
由
2
2
0,
4
4
1
·
MN NF
x
y
y
x
，
故点P 的轨迹方程为
2
4
y
x
.
故选：D.
例5、设抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F，已知点
( ,2 3)
A x
在C 上，则|
|
AF （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】因为点A 满足
2
4
y
x
，又
2 3
y
，代入抛物线方程得
3
x ，
因为|
|
1
AF
x
，可得|
|
4
AF
，
故选：C．
【变式训练14】已知抛物线
2
:
2
C x
y
的焦点为F ，点
(3,
)
M
m 在C 上，则|
|
MF （
）
题型5
利用抛物线定义求焦半径
598
2026 年高二暑假讲义A 版
A．11
2
B．5
C．4
D．7
2
【答案】B
【详解】因为点
3,
M
m 在C 上，所以9
2m
，解得
9
2
m
.
由抛物线的方程可知，准线方程为
1
2
y
,焦点
1
0, 2
F
，
则点M 到准线的距离为
1
9
1
5
2
2
2
d
m
,
由抛物线的定义得
5
MF
d
.
故选：B.
【变式训练15】已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，点A在C 上，过点A作C 的准线的垂线，
垂足为B ．若直线BF 的方程为
2
4
y
x
，则AF （
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【详解】对于直线BF：
2
4
y
x
，令
0
y
，解得
2
x
，
所以抛物线C 的焦点为
2,0
F
,准线方程为
2
x ．
2
2
p
，解得
4
p
，
所以抛物线C 的方程为
2
8
y
x
，
设A的坐标为
,
A
A
x
y
，则
2,
A
B
y
2
2
4
8
A
y
，
∴A的坐标为
,8
A
x
，则
28
8
A
x
，得
8
A
x
，所以
8,8
A
．
由抛物线的定义，得
2
10
A
AF
x
．
故选：C．
599
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练16】M 是抛物线
2y
x
上一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若
2π
3
OFM
，
则|
|
MF （
）
A．1
B．2
C．4
D．1
2
【答案】A
【详解】由抛物线的方程
2
y
x
可得焦点
1 ,0
4
F
，准线方程为
1
4
x
，
过M 作准线的垂线，垂足为M ，过F 作MM的垂线，垂足为N，设
2
0
0
,
M y
y
，
因为
2π
3
OFM
，则可得
π
6
NFM
，
由抛物线的定义可得|
| |
|
MF
MM
，而
2
0
1
|
|
4
MN
y
，
所以
2
0
0
1
|
|
3
4
tan
|
|
|
|
3
y
MN
NFM
NF
y
，
整理可得：
2
0
0
12
4 3 |
| 3
0
y
y
，解得
0
3
|
|
2
y
，
所以M 的横坐标为
2
0
3
4
y
，
由抛物线的性质可得
3
1
|
|
1
4
4
MF
.
故选：A
【变式训练17】过抛物线
2
2
y
x
的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，若
5
2
AF
，则直线l 的斜率为（
）
A．1
B．4
3
C．2
D．5
2
【答案】B
【详解】由题意可知焦点
1 ,0
2
F
，准线为直线
1
2
x
，
设点
,
0,
0
A
A
A
A
A x
y
x
y
，
600
2026 年高二暑假讲义A 版
由
5
2
AF
，即
1
5
2
2
A
x
，得
2,2
A
，
所以直线l 的斜率
2
0
4
1
3
2
2
k
，
故选：B.
一、单选题
1、抛物线
2
4
x
y
的焦点到准线的距离为（
）
A．4
B．2
C．1
2
D．1
4
【答案】B
【详解】由题意知该抛物线的焦点为
0,1 ，
准线方程为
1
y ，
故焦点到准线的距离为2．
故选：B．
2、已知抛物线
2
:
2
C y
x
的焦点为
,
F A为C 上一点，且A 的横坐标为2，则AF （
）
A．5
2
B．3
C．2 2
D．
2
2
2
【答案】A
【详解】由抛物线方程知
2
1
2
p
，
由题意
5
2
2
2
p
AF
，
故选：A．
3、物线
2
1
2
x
y
的准线方程为（
）
A．
1
8
y
B．
1
8
x
C．
1
2
y
D．
1
2
x
【答案】D
【详解】抛物线的方程为：
2
2
y
x
，
则其焦点坐标为：1 ,0
2
，准线方程为：
1
2
x
．
故选：D
601
2026 年高二暑假讲义A 版
4、已知抛物线C 的方程为
2
8
0
x
y
，则抛物线的焦点坐标为（
）
A．
2,0
B．
4,0
C．
0, 2
D．
0, 4
【答案】C
【详解】抛物线C 的标准方程为
2
8
x
y
=-
，则2
8
p
，可得
4
p
，
2
2
p
，
故抛物线C 的焦点坐标为
0, 2
.
故选：C.
5、已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，准线为l ，与y 轴平行的直线与l 和抛物线C 分别交于
,
A B 两
点，且直线AF 的倾斜角为150，则AB （
）
A．2 3
B．2 2
C．6
D．4
【答案】D
【详解】由抛物线定义可知BF
AB
，
因为直线AF 的倾斜角为150，BA
x
轴，
60
BAF
，
所以
ABF
△
为等边三角形，
故AF
AB
BF
，
60
BAF
，
所以
60
AFO
，
其中准线l 与y 轴交点为P ，则
2
PF
，故
4
cos60
PF
AF
，
所以|
| 4
AB
.
故选：D.
6、设抛物线
2
:
8
C x
y
的焦点为
,
4,5
F A
，点B 在C 上，则FAB
的周长的最小值为（
）
A．8
B．10
C．12
D．16
602
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】C
【详解】由FAB
周长为|
|
|
|
|
|
AB
BF
AF
，若BD垂直于抛物线准线于D ，
所以|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
AB
BF
AF
AB
BD
AF
，而
(0,2), (4,5)
F
A
，
所以
5
AB
BF
AF
AB
BD
，要使周长最小，
即|
|
|
|
AB
BD
最小，仅当
,
,
A B D 三点共线时，取最小值为7，
所以最小周长为12.
故选：C
7、如图，设抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，过x 轴上一点A 作直线l 交C 于B ，D 两点，若
5
2
FB
，
7
FD
，则
BD
AB （
）
A．4
B．3
C．7
2
D．9
5
【答案】B
【详解】对抛物线
2
:
4
C x
y
，焦点
0,1
F
，准线：
1
y .
如图：
过B 向准线作垂线，垂足为N ，交x 轴于E ，根据抛物线定义，得
5
2
BF
BN
，所以
5
3
1
2
2
BE
；
过D 向准线作垂线，垂足为G ，交x 轴于C ，根据抛物线定义，得
7
DF
DG
，所以
7 1
6
DC
.
603
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
3
1
2
6
4
AB
BE
AD
DC
，所以
4 1
3
1
BD
AB
.
故选：B
二、多选题
8、已知点
0
0
,
P x y
在抛物线
2
:
4
C y
x
上，点F 为抛物线C 的焦点，则（
）
A．焦点F 的坐标为
1,0
B．抛物线C 的准线方程为
2
x
C．若
0
2
y
，则
2
PF
D．
1
PF
【答案】ACD
【详解】抛物线C 的方程是
2
4
y
x
，则
2
p
，焦点坐标是(1,0) ，准线方程是
1
x ，A 对B 错；
点
0
0
,
P x y
在抛物线上，
0
1
2
PF
x
，
0
2
y
，则
2
0
2
1
4
x
,
0
1
2
PF
x
,C 对；
抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此
1
PF ，D 对，
故选：ACD.
9、设抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F，准线为l，点A 在C 上，以F 为圆心，FA 为半径的圆记为W.
过点A 作l 的垂线，垂足为B，且点B 在圆W 上，则（
）
A．准线l 的方程是
2
x
B．
ABF
△
为等边三角形
C．设线段BF 与y 轴的交点为D，则AD
BF
D．直线4
3
16
0
x
y
与圆W 相交
【答案】BC
【详解】由抛物线方程知
2
p
，则准线l 的方程为
1
2
p
x
，A 错误.
如图，由抛物线定义知
AB
AF .
又点B 在圆W 上，则
BF
AF ，所以
ABF
△
为等边三角形，B 正确.
604
2026 年高二暑假讲义A 版
设准线l 与x 轴的交点为E，则原点O 为线段EF 的中点.
又
/ /
OD
EB ，则D 为BF 的中点.
因为
ABF
△
为等边三角形，则AD
BF
，C 正确.
取线段AB 的中点M，连接FM ，则FM
AB
，所以
2
BM
EF
，
从而圆W 的半径
4
FA
AB
.
因为圆心
1,0
F
到直线4
3
16
0
x
y
的距离
4
16
4
5
d
，
所以直线4
3
16
0
x
y
与圆W 相切，D 错误.
故选：BC.
三、填空题
10、已知抛物线C ：
2
20
y
x
，则抛物线C 的准线方程为
．
【答案】
5
x
【详解】由
2
20
y
x
，则
10
p
，所以其准线方程为
5
x .
故答案为：
5
x .
11、如图，M 是抛物线
2
4
y
x
上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角
60
xFM
，FM
.
【答案】4
【详解】抛物线
2
4
y
x
的准线为
1
x ，过M 作MB 垂直于直线
1
x ，垂足为B，作FA⊥MB 于
605
2026 年高二暑假讲义A 版
A，直线
1
x 与x 轴交于点K，如图：
则
/ /
MB
x 轴，即
60
FMB
xFM
，四边形ABKF 是矩形，Rt MFA
中，
1
|
|
|
|
2
MA
FM
，
由抛物线定义知|
| |
|
MB
FM
，
(1,0)
F
，而|
|
|
| |
|,|
| |
| 2
MA
AB
MB
AB
KF
，
则1 |
| 2 |
|
2 FM
FM
，解得|
| 4
FM
，
所以|
| 4
FM
.
故答案为：4.
12、双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，以右焦点
2
F 为焦点的抛物线
2
2
0
y
px p
与双曲线交于第一象限的点P ，若
1
2
1
2
3
PF
PF
F F
，则双曲线的离心率
e
.
【答案】2
【详解】根据题意可设
2
,0
2
p
F
，双曲线的半焦距为c ，
0
0
,
P x
y
，则
2
p
c
，
过
1F 作x 轴的垂线l ，过P 作l 的垂线，垂足为A ，显然直线
1
AF 为抛物线的准线，则
2
PA
PF
，
由双曲线的定义及已知条件可知
1
2
1
2
2
6
PF
PF
a
PF
PF
c
，则
1
2
3
3
PF
c
a
PF
c
a
PA
，
由勾股定理可知
2
2
2
2
1
0
1
12
AF
y
PF
PA
ac
，
易知
2
0
0
0
4
,
3
y
cx
x
a
，即
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
9
12
1
x
y
a
ac
a
b
a
c
a
，
606
2026 年高二暑假讲义A 版
整理得
2
2
2
3
2
0,
2
2
0
c
ac
a
c
a
c
a
，∴
2
c
a
，即离心率为
2
c
e
a
.
故答案为：2
四、解答题
13、根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为
3
2
y
；
(2)对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于2；
(3)对称轴是y 轴，经过点(1, 2)
．
【答案】(1)
2
6
x
y
；(2)
2
8
y
x
或
2
8
y
x
；(3)
2
1
2
x
y
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为
3
2
y
，
所以可设抛物线的标准方程为
2
2
(
0)
x
py p
，则
3
2
2
p
，可得
3
p
，
所以抛物线的标准方程是
2
6
x
y
．
（2）因为对称轴是x 轴，所以可设抛物线的标准方程为
2
y 2
(
0)
px p
或
2
2
(
0)
y
px p
．
因为顶点到焦点的距离等于2，所以
2
2
p
，即
4
p
，
所以抛物线的标准方程是
2
8
y
x
或
2
8
y
x
．
（3）因为对称轴是y 轴，经过点(1, 2)
，所以设抛物线方程为
2x
ay
，
因为抛物线经过点(1, 2)
，所以
21
( 2)
a
，解得a
1
2
，
所以抛物线的标准方程是
2
1
2
x
y ．
14、如图，A 地在B 地东偏北45°方向相距2 2km处，且B 与东西方向的高铁线l （近似看成直线）
相距4km．已知曲线形公路PQ上任意一点到B 地的距离等于到l 的距离，现要在公路旁建造一个变
电房M （变电房与公路之间的距离忽略不计）．
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路PQ所在曲线的方程．
(2)问：变电房M 应建在相对A 地的什么位置（方位和距离），才能使得从M 到
,
A B 两地架设电路所
607
2026 年高二暑假讲义A 版
用电线长度最短？并求出最短长度．
【答案】(1)建系见解析，
2
8
x
y
；(2)位于A 地正南方且与A 地相距7 km
2
处，所用电线最短长度为
6km
【详解】（1）如图，取经过点B 且垂直于l 的直线为y 轴，垂足为K ，并使原点与线段BK 的中点重
合，
建立平面直角坐标系，则
0,2
B
，
2,4
A
．
方法一
因为公路PQ上任意一点到B 地的距离等于到直线l 的距离，
所以PQ所在的曲线是以
0,2
B
为焦点，以l 为准线的抛物线．
设抛物线方程为
2
2
(
0)
x
py p
，
则
4
p
，所以公路PQ所在曲线的方程为
2
8
x
y
；
方法二
设公路PQ所在曲线上任意一点
,
N x y ，则
2
2
(
2)
NB
x
y
，
故
2
2
(
2)
2
x
y
y
，化简得
2
8
x
y
，
所以公路PQ所在曲线的方程为
2
8
x
y
；
（2）要使架设电线长度最短，即MA
MB
最小．过M 作MH
l
，垂足为H ，
如图，所以MA
MB
MA
MH
，
当
,
,
A M H 三点共线时，MA
MH
最小，即MA
MB
取得最小值，
此时
1
2, 2
M
，位于A 地正南方且与A地相距
1
7
4
km
2
2
处，
所用电线最短长度为
2
4
2
6
A
y
km．
608
2026 年高二暑假讲义A 版
抛物线的简单几何性质
标准方程
px
y
2
2
（
0
p
）
px
y
2
2
（
0
p
）
py
x
2
2
（
0
p
）
py
x
2
2
（
0
p
）
图形
范围
0
x
，y
R
0
x
，y
R
0
y
，x
R
0
y
，x
R
对称轴
x 轴
x 轴
y 轴
y 轴
焦点坐标
)
0,
2
( p
F
)
0,
2
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
准线方程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
顶点坐标
(0,0)
O
离心率
1
e
通径长
2p
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线
2
2
(
0)
y
px p
与直线的位置关系为例：
题型1
抛物线的简单几何性质
题型4
抛物线的焦点弦问题
题型2
由抛物线的简单几何性质求标准方程
题型5
抛物线的弦长及三角形面积问题
题型3
直线与抛物线的位置关系
题型6
抛物线的中点弦长问题
知识点1
抛物线的简单几何性质
知识点2
直线与抛物线的位置关系
609
2026 年高二暑假讲义A 版
（1）直线的斜率k 不存在，设直线方程为x
a
，
若
0
a
，直线与抛物线有两个交点；
若
0
a
，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若
0
a
，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率k 存在.
设直线:l y
kx
b
，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组
2
2
y
kx
b
y
px
，的解的个数，
即二次方程
2
2
2
2(
)
0
k x
kb
p x
b
（或
2
2
2
2
0
k y
py
bp
）解的个数．
①若
0
k
，
则当
0
时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当
0
时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当
0
时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若
0
k
，则直线y
b
与抛物线
2
2
(
0)
y
px p
相交，有一个公共点．
1、直线与抛物线相交弦长问题
设AB 为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的弦，
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，弦AB 的中点为
0
0
(
,
)
M x y
．
（1）弦长公式：
2
1
2
1
2
2
1
1
1
AB
k
x
x
y
y
k
（k 为直线AB 的斜率，且
0
k
）．
（2）中点弦斜率：
0
AB
p
k
y
,
（3）中点弦直线方程：直线AB 的方程为
0
0
0
(
)
p
y
y
x
x
y
．
2、焦点弦的常考性质
假设抛物线方程为
px
y
2
2
.过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于
B
A,
两点，其坐标分别为
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
.
知识点3
直线与抛物线相交弦长问题
610
2026 年高二暑假讲义A 版
性质1、
，
2
|
|
p
x
AF
A
2
|
|
p
x
BF
B
,
p
x
x
AB
B
A
|
|
.
性质2、抛物线
px
y
2
2
的焦点为F，
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
是过F 的直线与抛物线的两个交点，则
2
2
1
2
2
1
,
4
p
y
y
p
x
x
.
注：一般地，如果直线l 恒过定点
)
0,
(m
M
与抛物线
)
0
(
2
2
p
px
y
交于
B
A,
两点，那么
pm
y
y
m
x
x
B
A
B
A
2
,
2
.于是，若
AB
OB
OA
恒过定点
)
0,
2
( p
.
性质3、已知倾斜角为直线的l 经过抛物线
px
y
2
2
的焦点F ，且与抛物线交于
B
A,
两点，则
p
FB
FA
P
BF
p
AF
2
|
|
1
|
|
1
cos
1
|
|,
cos
1
|
|
，
.
)
1
1(
2
|
|
sin
2
sin
2
|
|
2
2
2
k
p
AB
p
S
p
AB
OAB
，
，
.
性质4、已知直线l 经过抛物线
px
y
2
2
的焦点F ，且与抛物线交于
B
A,
两点，若弦AB 中点的坐
标为
)
,
(
0
0 y
x
，则
)
2
(
2
|
|
0
p
x
AB
.
性质5、（1）以AB 为直径的圆与准线相切.
（2）以MN 为直径的圆与AB 切于焦点F ；
（3）以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；
（4）以焦半径BF 为直径的圆与与y 轴相切；
例1、抛物线
2
8
y
x
的焦点为F ，点P 在抛物线上，若
5
PF
，则点P 的坐标为（
）
A．
3,2 6
B．
3, 2 6
或
3,2 6
C．
3,2 6
D．
3, 2 6
或
3,2 6
【答案】B
【详解】设点P 的坐标为
,x y ，
题型1
抛物线的简单几何性质
611
2026 年高二暑假讲义A 版
∵
5
PF ，∴
2
5
x
，∴
3
x
.
把
3
x
代入方程
2
8
y
x
，得
2
24
y
，
∴
2 6
y
.∴点P 的坐标为
3, 2 6
.
故选：B.
【变式训练1】已知直线:
1
0
l x
y
过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点F ，且与抛物线C 交于
,
A B
两点，则线段AB 的中点到准线的距离为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【详解】直线:
1
0
l x
y
与x 轴的交点为
1,0 ，
又l 经过
2
2
(
0)
y
px p
的焦点，故焦点
1,0
F
，可得
2
p
，
即抛物线C ：
2
4
y
x
，准线为
1
x ．
由
2
1
0
4
x
y
y
x
，
可得
2
6
1
0
x
x
，则Δ
36
4 1 1
0
，
所以
6
A
B
x
x
，线段AB 中点的横坐标为3，
则线段AB 的中点到准线的距离为3 1
4
．
故选：B
【变式训练2】已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为
,
F O 为坐标原点，点A 在抛物线上，且
2
120
AF
OFA
，
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】过A 作AM 垂直抛物线的准线，垂足为M ，过F 作FN
AM
于点N ，
由于
2
120
AF
OFA
，
，则
30
NFA
，故
1,
2
AN
AM
,进而
2
1
MN
OF
p
AM
AN
，故
1
p .
故选：A
612
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练3】设抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，过F 的直线交C 于
1
2
,3 2 ,
,
2
A x
B x
两
点，过
,
A B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为
,
M N ，则
2
2
|
|
|
|
MF
NF
（
）
A．32
B．28
C．20
D．16
【答案】A
【详解】如图，设抛物线C 的准线与x 轴的交点为P ，
由题意结合抛物线的定义可知AF
AM
BF
BN
，
，
所以
,
AMF
AFM
BNF
BFN
，
又因为
,
AMF
PFM
BNF
PFN
，
所以
AFM
PFM
，
BFN
PFN
，
所以
90
PFM
PFN
，
即
MFN
△
是直角三角形，且
90
MFN
，
显然
3 2
2
4 2
MN
MP
PN
，
所以
2
2
2
2
|
|
|
|
(4 2)
32
MF
NF
MN
，
故选A.
例2、顶点在坐标原点，焦点在x 轴正方向上，顶点到准线的距离为2 ，则抛物线的方程为（
）
题型2
由抛物线的简单几何性质求标准方程
613
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
2
4
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
2
y
x
D．
2y
x
【答案】B
【详解】根据顶点到准线的距离为2 ，可知
2
2
p
，则
4
p
，
结合焦点在x 轴正方向上，故方程为
2
8
y
x
，
故选:B
【变式训练4】若抛物线
2
2
0
y
px p
上一点
0
6,
P
y
到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为
（
）
A．
2
16
y
x
B．
2
12
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
6
y
x
【答案】B
【详解】抛物线的准线方程为
2
p
x
，
所以点P 到焦点的距离为6
9
2
p
，
所以
6
p = ，抛物线的方程为
2
12
y
x
.
故选：B.
【变式训练5】已知O 为坐标原点，F 为抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点，点
0,4
M x
在C 上，且
2
MF
OF
，则C 的方程为（
）．
A．
2
4
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
2
y
x
D．
2y
x
【答案】B
【详解】
由抛物线的定义，得
0
2
p
MF
x
，
614
2026 年高二暑假讲义A 版
又2 OF
p
，
2
MF
OF
，则
0
2
p
x
p
，即
0
2
p
x
，
因此，由点
,4
2
p
M
在C 上，得16
2
2
p
p
，结合
0
p
，解得
4
p
，
所以C 的方程为
2
8
y
x
．
故选：B．
【变式训练6】抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，O为坐标原点，A 为抛物线上一点，且
2
AF
OF
，
OAF
△
的面积为4 ，则抛物线方程为（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
16
y
x
D．
2
15
2
y
x
【答案】A
【详解】由题意可知：
,0
2
p
F
，
设
0
0
,
A x
y
，则
0
2
AF
p
x
，
因为
2
AF
OF
，即
0
2
2
2
p
p
x
p
，
解得
0
2
p
x
，则
2
2
0
0
2
y
px
p
，即
0y
p
，
又因为
OAF
△
的面积为
2
1
4
2
2
4
p
p
p
，且
0
p
，解得
4
p
，
所以抛物线方程为
2
8
y
x
.
故选：A.
例3、直线
2
0
x
y
与抛物线C ：
2y
ax
的图象相切，则C 的准线方程为（
）
A．
2
x
B．= 1
x
C．=
2
y
D．
1
y
【答案】A
【详解】由
2
2
0
y
ax
x
y
，消去x 整理得
2
2
0
y
ay
a
，
由
2
8
0
a
a
，解得
8
a
或
0
a
（舍去），
所以抛物线C ：
2
8
y
x
，则C 的准线方程为
2
x .
题型3
直线与抛物线的位置关系
615
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：A
【变式训练7】若命题p：
2
k
，命题q：直线
1
y
kx
与抛物线
2
y
x
=
无公共点，则q 是p 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】命题q：直线
1
y
kx
与抛物线
2
y
x
=
无公共点，把
1
y
kx
代入即
2
1
0
x
kx
无解，
2
4
0
2
2
k
k
，又命题p：
2
k
，所以q 是p 的充分不必要条件.
故选：A.
【变式训练8】过点
1,4 且与抛物线
2
4
y
x
恰有一个公共点的直线的条数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】当直线过点
1,4 ，且与x 轴平行时，此时直线
4
y
与抛物线
2
4
y
x
只有1 个公共点；
当直线过点
1,4 ，且与x 轴垂直时，此时直线
1
x 与抛物线
2
4
y
x
有2 个公共点；
当直线过点
1,4 ，斜率存在且不为0 时，设直线
4
1
y
k x
4
1
y
x
k
，代入抛物线
2
4
y
x
，
得：
2
4
16
4
0
y
y
k
k
，
因为
2
4
16
Δ
4
4
k
k
2
1
4
16
1
k
k
2
2
4
1
16 k
k
k
.
由
0
2
4
1
0
k
k
，因为
2
4
4 1 1
0
，所以方程
2
4
1
0
k
k
有两根，
故过点
1,4 可以作两条直线与抛物线相切.
综上，过点
1,4 共有3 条直线，与抛物线只有1 个公共点.
故选：D
【变式训练9】（多选）设抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于M，N 两点，则下
列选项中正确的是（
）
A．抛物线C 的准线方程为
1
y
B．若
3
MF
，则点M 的纵坐标为2
C．以MN 为直径的圆与直线
1
y 相切
616
2026 年高二暑假讲义A 版
D．以MF 为直径的圆与直线
1
y 相切
【答案】ABC
【详解】由抛物线
2
:
4
C x
y
的方程得
2
p
，
1
2
p ，所以焦点
0,1
F
，
对于A，抛物线C 的准线方程为
1
2
p
y
，A 正确；
对于B，根据抛物线的定义，若
3
MF
，则点M 到准线
1
y 的距离为3，
则点M 的纵坐标为2，B 正确；
对于C，设线段MN 的中点为P ，准线为直线l ，
过N 作NA
l
，垂足为A ，过P 作PQ
l
，垂足为Q ，过M 作MB
l
，垂足为B ，
由抛物线定义可知，
,
NA
NF
MB
MF
，NF
MF
MN
，
由梯形中位线定理，
2
2
AN
BM
MN
PQ
，故以MN 为直径的圆与准线相切，C 正确；
对于D，设
2
0
0
(
,
)
4
x
M x
，则MF 的中点坐标为
2
0
0
4
,
2
8
x
x
，
由MF 的长度的一半（圆的半径）为
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
4
1
1
(
1)
(
1)
2
4
2
4
8
x
x
x
x
，
而MF 的中点
2
0
0
4
,
2
8
x
x
到直线
1
y 的距离为
2
2
0
0
4
4
1
8
8
x
x
，即以MF 为直径的圆与直线
1
y 相离，故D 错误.
故选：ABC．
【变式训练10】已知抛物线
2
:
4
E y
x
，直线x
m
与E 分别交于
,
A B 不同的两点，直线x n
与E 分
别交于
,
C D 不同的两点，且
2
CD
AB
，
,
0
m n
，则n
m
.
【答案】4
【详解】当x
m
时，
2
y
m
，则
4
AB
m
；
617
2026 年高二暑假讲义A 版
当x n
时，
2
y
n
，则
4
CD
n
；
2
CD
AB
∵
，
4
8
n
m
，
4
n
m
.
故答案为：4 .
例5、抛物线
: ²
2
C y
px
（
0
p
）的准线方程为
3
x ，过C 的焦点F 作斜率为2 的直线与C 交
于A ，B 两点，则AB （
）
A．9
B．12
C．13
D．15
【答案】D
【详解】抛物线
²
2
y
px
的准线方程为
2
p
x
，焦点F 的坐标为
,0
2
p
，
由已知
3
2
p
，所以
6
p
，
故抛物线C 的方程为
2
12
y
x
，焦点F 的坐标为
3,0 ，
因为直线AB 的斜率为2 ，过点F ，所以直线AB 的方程为
2
6
y
x
，
联立
2
12
2
6
y
x
y
x
，可得
2
9
9
0
x
x
，
方程
2
9
9
0
x
x
的判别式
81 36
45
0
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
9
x
x
，
又
1
2
9
6
15
2
2
p
p
AB
AF
BF
x
x
，
故选：D.
【变式训练11】在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线
2
6
y
x
的焦点，A、B 是抛物线上两个不同
的点．若AF
BF
5
，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（
）
题型5
抛物线的焦点弦问题
618
2026 年高二暑假讲义A 版
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】B
【详解】解：设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则线段AB 的中点到y 轴的距离为：
1
2
2
x
x
，
根据抛物线的定义：
1
2
AF
BF
x
x
p
，
整理得：
1
2
5
3
2
x
x
AF
BF
p
，
故线段AB 的中点到y 轴的距离为：
1
2
1
2
x
x
，
故选：B.
【变式训练12】已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且
8
FA FB
，
则AB （
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【详解】由
2
4
y
x
得
2
p
，所以
(1,0)
F
，准线为
1
x ，
设直线
:
1
AB x
ty
，联立
2
1
4
x
ty
y
x
，消去x 并整理得
2
4
4
0
y
ty
，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
) ，
则
1
2
4
y
y
t
，
1
2
4
y y ，
所以
2
1
2
1
2
(
)
2
4
2
x
x
t y
y
t
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
1
4
4
16
y
y
y y
x x
，
因为
1
|
|
1
AF
x
，
2
|
|
1
BF
x
，
8
FA FB
，
所以
1
2
(
1)(
1)
8
x
x
，
所以
1
2
1
2
1
8
x x
x
x
，
所以
2
1 4
2 1
8
t
，即
2
1
t ，所以
1
2
4
2
6
x
x
，
所以
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
1
1
2
6
2
8
AB
AF
BF
x
x
x
x
.
故选：C
【变式训练13】设抛物线
2
4
y
x
的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A，B 两点，已知
2
AF
BF
，则AB （
）
619
2026 年高二暑假讲义A 版
A．9
2
B．4
C．7
2
D．3
【答案】A
【详解】由
2
4
y
x
可知
10
F
,
，设
:
1
AB
l
x
my
，
1
1
,
A x y 、
2
2
,
B x
y
，
联立
2
4
1
y
x
x
my
，则有
2
4
4
0
y
my
，
故
1
2
4
y y ，即
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
16
y y
y
y
x x
，
又
1
1 1
2
p
AF
x
x
，
2
2
1
2
p
BF
x
x
，
由
2
AF
BF
，则
1
2
1
2
1
x
x
，即有
1
2
2
1
x
x
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
16
y y
y
y
x x
2
1 2
2
2
2
2
1 2
2
1
x x
x
x
x
x
，
即
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
0
x
x
x
x
，则
2
1
2
x
或
2
1
x ，
又
2
0
x
，故
2
1
2
x
，则
1
2
1
2
x
x
，则
1
2
1
9
2
2
2
2
2
AB
x
x
.
故选：A.
【变式训练14】已知抛物线
2
:
4
E y
x
，过点
1,0
F
的直线l 与抛物线E 交于
,
A B 两点，
且
5
2
AF
FB
，则直线l 的斜率为
.
【答案】
2 10
3
【详解】当直线l 斜率为正时，如图所示，
过点
,
A B 分别作准线的垂线，垂足分别为
1
1
,
A B ，过点B 作
1
AA 的垂线，垂足为H ，
设
2
BF
m
，则
5
AF
m
，
620
2026 年高二暑假讲义A 版
由抛物线定义可知，
1
5
AA
AF
m
，
1
2
BB
BF
m
，
所以
1
1
1
1
3
AH
AA
AH
AA
BB
m
，
7
AB
AF
BF
m
，
2
2
2 10
BH
AB
AH
m
，
在Rt ABH
中，
2 10
2 10
tan
3
3
BH
m
BAH
AH
m
，
则直线l 的斜率
2 10
tan
tan
3
k
AFx
BAH
.
由对称性可知，当直线l 斜率为负时，
2 10
3
k
.
故答案为：
2 10
3
【变式训练15】
（多选）已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，经过点F 且斜率为
3 的直线l 与
抛物线C 交于点
,
A B 两点（点A 在第一象限），若
8
AF
，则以下结论正确的是（
）
A．
4
p
B．
3
AF
BF
C．
1
1
1
2
AF
BF
D．
32 3
3
AOB
S
【答案】ABC
【详解】设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
因为
,0
2
p
F
，直线的斜率为
3 ，则设直线l 的方程为
3
2
p
y
x
，
621
2026 年高二暑假讲义A 版
联立方程
2
2
3
2
y
px
p
y
x
，消去y 得
2
2
12
20
3
0
x
px
p
，解得
3
2
p
x
或
6
p
x
，
又因为点A 在第一象限，则
2
1
2
p
x
x
，即
1
2
3 ,
2
6
p
p
x
x
，
因为
1
2
8
2
p
AF
x
p
，即
4
p
，故A 正确；
因为
2
2
8
2
3
3
p
BF
x
p
，所以
3
AF
BF
，故B 正确；
且
1
1
3
1
1
8
8
2
AF
BF
，故C 正确；
因为
32
3
AB
AF
BF
，
且直线l 的方程为
3
2
y
x
，即为
3
2 3
0
x
y
，
原点到直线l 的距离为
2 3
3
3 1
d
，
所以
1
32
16 3
3
2
3
3
AOB
S
V
，故D 错误.
故选：ABC.
例5、
（1）斜率为1
2 的直线经过抛物线
2
8
x
y
的焦点，且与抛物线相交于A，B 两点，则AB
；
（2）过抛物线
2
2
y
x
的焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，若
25
12
AB
，AF
BF
，则
AF
．
【答案】
（1）10
（2）5
6 ．
【详解】（1）设
1
1
,
A x y ，
2
2
,
B x y
，则对于抛物线
2
8
x
y
，焦点弦长
1
2
AB
p
y
y
．
因为抛物线的焦点坐标为
0,2 ，
1
2
AB
k
，所以直线AB 的方程为
1
2
2
y
x
，即
2
4
x
y
，
将
2
4
x
y
代入抛物线方程，得
2
6
4
0
y
y
，从而
1
2
6
y
y
，所以
4
6
10
AB
．
（2）设
1
1
,
A x y ，
2
2
,
B x y
，
1
2
x
x
，显然直线AB 的斜率存在，设为
1
0
2
y
k x
k
，
将直线方程与抛物线方程联立，消去y 得
2
2
2
2
1
2
0
4
k x
k
x
k
①，
则
2
1
2
2
2
= k
x
x
k
，因为
2
1
2
2
2
25
1
12
k
AB
p
x
x
k
，所以
2
24
k
，
题型5
抛物线的弦长及三角形面积问题
622
2026 年高二暑假讲义A 版
方程①即
2
12
13
3
0
x
x
，解得
1
1
3
x
，
2
3
4
x
，故
1
1
1
5
2
3
2
6
p
AF
x
．
【变式训练16】已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点,
A B ．若
BO
BF
（O 为坐标原点），则
OAB
△
的面积为（
）
A．
2
2
B．3 2
2
C．2
D．2 2
【答案】B
【详解】
如图，不妨设B 在x 轴下方，
因为
0,0 ,
1,0
O
F
，且BO
BF
所以
1
2
B
x
，由抛物线方程可得
2
By
，
则
2
2 2
1
2
AB
k
，
所以直线AB 方程为：
2 2
2 2
y
x
，
联立抛物线方程消去y 得：
2
2 2
2 2
4
x
x
，
化简得：
2
2
5
2
0
x
x
，
所以
5
2
A
B
x
x
，
则
9
2
A
B
AB
x
x
p
，
0,0
O
到直线AB 的距离
2 2
3
d
，
所以
OAB
△
的面积为1
9
2 2
3 2
2
2
3
2
，
故选：B
【变式训练17】已知抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点
5, 2 5
，一条斜率为
3 的
直线过抛物线C 的焦点，且与C 交于A，B 两点，
623
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求抛物线方程；
(2)求弦AB 的长度；
【答案】(1)
2
4
y
x
；(2)16
3 .
【详解】（1）由题意，可设抛物线为
2
2
y
px
，又抛物线经过点
5, 2 5
，
所以10
20
2
p
p
，则抛物线方程为
2
4
y
x
.
（2）由（1）知：抛物线焦点为(1,0) ，则直线
:
3(
1)
AB y
x
，
代入抛物线消去y，得
2
3(
1)
4
x
x
，则
2
3
10
3
0
x
x
，显然
0
，
所以
10
3
A
B
x
x
，
1
A
B
x x ，则
2
100
16
1 3
(
)
4
2
4
9
3
A
B
A
B
AB
x
x
x x
.
【变式训练18】已知抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点为F，点
3,
M
m 在抛物线上，且
5
MF
．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F 的直线l 交抛物线于A、B 两点，若
16
AB
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
8
y
x
；(2)
2
y
x
【详解】（1）根据抛物线的定义可知，
5
2
M
p
MF
x
，即3
5
2
p
，解得
4
p
，
所以抛物线的方程为
2
8
y
x
.
（2）
624
2026 年高二暑假讲义A 版
由（1）知，抛物线焦点为
(2,0)
F
,
若直线l 的斜率不存在，则
(2, 4),
(2, 4)
A
B
,
则
8
AB
，不满足题意，
所以直线l 的斜率存在且不为零，并设为k ，则:
(
2)
l y
k x
，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
) ，
联立
2
8
(
2)
y
x
y
k x
，消去y 可得，
2
2
2
2
(4
8)
4
0
k x
k
x
k
，
所以
2
1
2
2
2
4
8
8
4
k
x
x
k
k
，
因为
1
1
1
2
1
2
2
8
4
4
16
2
2
p
p
AB
AF
BF
x
x
x
x
p
k
，
解得
1
k ，
所以直线l 的方程为
2
y
x
.
【变式训练19】已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，点
0
0
,
P x
y
在抛物线C 上，且PF
x
轴
时，
4
PF
.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若直线:
1
0
l x
y
与抛物线C 交于
,
A B 两点，求
ABF
△
的面积.
【答案】(1)
2
8
y
x
；(2) 2 6
【详解】（1）令
2
p
x
时，
2
2
2
2
p
y
p
p
，解得y
p
，
故当PF
x
轴时，PF
p
，所以
4
p
，
故抛物线C 的标准方程为
2
8
y
x
；
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，由（1）可知
2,0
F
，
625
2026 年高二暑假讲义A 版
由
2
1
0
8
x
y
y
x
，消去y 得
2
10
1
0
x
x
+
，
则
1
2
10
x
x
，
1
2
1
x x ，
所以
2
1
2
1
2
1
2
4
96
4 6
x
x
x
x
x x
，
又
1
1
1
y
x
，
2
2
1
y
x
，所以
1
2
1
2
y
y
x
x
，
故
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
8 3
AB
x
x
y
y
x
x
x
x
因为点
2,0
F
到直线:
1
0
l x
y
的距离
2 1
2
2
1 1
d
，
所以
ABF
△
的面积为
1
1
2
8 3
2 6
2
2
2
S
AB d
【变式训练17】已知点A 是抛物线
2
16
y
x
上的动点，过点A 向x 轴作垂线段，垂足为B ，垂线段AB
中点为C ，设C 的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程；
(2)设过点
10
F
,
且斜率为1 的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，O为坐标原点，求OMN
的面积.
【答案】(1)
2
4
y
x
；(2) 2 2
【详解】（1）设
,
C x y ，则
,2
A x
y ，
由于
,2
A x
y 在抛物线
2
16
y
x
上，所以
2
4
16
y
x
，即
2
4
y
x
（2）根据题意可设直线l 的方程为
1
y
x
联立
2
2
4
6
1
0
1
y
x
x
x
y
x
，设
1
1
2
2
,
,
M x
y
N x
y
，
，
则
1
2
1
2
6,
1
x
x
x x
，
因此
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4,
1
1
1
4
y
y
x
x
y y
x
x
x x
x
x
626
2026 年高二暑假讲义A 版
∴
MON
△
面积为
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
4
4 2
2 2
2
2
2
2
S
OF
y
y
y
y
y
y
y y
例6、已知F 为抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点，过F 的直线交C 于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标
为4，则AB （
）
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】C
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，
则
1
2
4
2
x
x
，所以
1
2
8
x
x
，
由抛物线的焦点弦公式可得
1
2
4
12
AB
x
x
.
故选：C.
【变式训练21】过抛物线
2
:
6
E y
x
的焦点的直线与该抛物线交于
,
A B 两点，若线段AB 的中点的纵
坐标为1，则AB （
）
A．12
B．35
3
C．20
3
D．11
3
【答案】C
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，则
2
1
1
2
2
2
6
6
y
x
y
x
，则
1
2
1
2
1
2
6
y
y
x
x
y
y
.
因为线段AB 的中点的纵坐标为1，所以
1
2
2
y
y
，则
1
2
1
2
3
y
y
x
x
.
又直线AB 过E 的焦点3 ,0
2
，所以直线AB 的方程为
3
3
2
y
x
，
题型6
抛物线的中点弦长问题
627
2026 年高二暑假讲义A 版
则线段AB 的中点的横坐标为11
6 ，则
1
2
11
3
x
x
，故
1
2
11
20
3
3
3
AB
x
x
p
.
故选：C
【变式训练22】已知斜率为2 的直线与曲线
2
:
8
C y
x
交于
,
A B 两点，则线段A B的中点M 的轨迹
方程为（
）
A．
4(
2)
y
x
B．
4( 4 2
4 2)
x
y
C．
1
2
2
y
x
D．
2( 4
4)
x
y
【答案】C
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
,
,
A x y
B x y
M x y ,则
2
1
1
2
2
2
8
8
y
x
y
x
，
两式相减得：
1
2
1
2
1
2
8
y
y
y
y
x
x
，
即
1
2
1
2
1
2
8
y
y
x
x
y
y
，
因为直线A B的斜率为2，所以
1
2
8
2
y
y
，所以
1
2
4
y
y
，
因为
1
2
2
y
y
y
，所以
2
y
.
设直线A B的方程为
2
y
x
m
，由
2
8
2
y
x
y
x
m
,
可得：
2
2
4
4
8
0
x
m
x
m
，
2
2
4
8
4 4
0
m
m
，解得：
1
m .
,2
M x
在直线A B上，则2
2x
m
，
1
2
m
x
，所以
1
2
x
.
所以
1
2
2
y
x
.
故选：C
【变式训练23】已知抛物线C ：
2
2
0
6
x
py
p
的焦点为F ，点
4,
A
m 在抛物线C 上，且
=5
AF
.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为
1,2
P
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
4
x
y
；(2)
2
3
0
x
y
【详解】（1）因为点
4,
A
m 在抛物线C 上，所以
2
4
5
2
2
2
p
p
AF
m
p
628
2026 年高二暑假讲义A 版
又因为0
6
p
，解得=2
p
，故抛物线C 的标准方程为
2
4
x
y
；
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
2
1
1
2
2
2
=4
=4
x
y
x
y
，所以
2
2
1
2
1
2
4
x
x
y
y
，化为
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
y
y
又因为MN 的中点为
1,2
P
，所以
1
2
2
x
x
，
则
1
2
1
2
1
2
y
y
x
x
，故直线l 的斜率为1
2 ，所以直线l 的方程为
1
2
1
2
y
x
整理得
2
3
0
x
y
．
【变式训练24】已知直线
2
2
0
x
y
与抛物线C：
2
2
0
y
px p
交于M，N 两点，
8 15
MN
，
O 为坐标原点．
(1)求p；
(2)过点
3,2
P
作直线l 交抛物线C 于A，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求三角形OAB 的面积．
【答案】(1) 4 ；(2) 4 5 ．
【详解】（1）设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，联立直线与抛物线得：
2
2
2
2
x
y
y
px
，
消去x 得到
2
4
4
0
y
py
p
，∴
1
2
4
y
y
p
，
1
2
4
y y
p
，
∴
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 2
5
4
5
16
16
8 15
MN
y
y
y
y
y y
p
p
．
解得
4
p
或－3（舍去）．∴
4
p
．
（2）设
3
3
,
A x y
，
4
4
,
B x
y
，
∵A，B 在抛物线C 上，∴
2
3
3
8
y
x
，
2
4
4
8
y
x
，
两式作差得
3
4
3
4
3
4
8
y
y
y
y
x
x
．
∵AB 中点坐标为
3,2 ，∴
3
4
6
x
x
，
3
4
4
y
y
，
∴
3
4
3
4
4
8
y
y
x
x
，
∴
3
4
3
4
2
y
y
x
x
，
629
2026 年高二暑假讲义A 版
∴l：
2
2
3
y
x
，整理得l：
2
4
y
x
．
故l 过C 的焦点，弦长
3
4
6
4
10
AB
x
x
p
．
又O 到l 的距离为
2
2
4
4 5
5
2
1
．
∴
1
4 5
10
4 5
2
5
OAB
S
．
一、单选题
1、已知抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上与焦点距离等于9的点的纵坐标为6 2 ，则该抛物线标准方程为（
）
A．
2
12
y
x
B．
2
24
y
x
C．
2
12
y
x
或
2
24
y
x
D．
2
12
y
x
或
2
6
y
x
【答案】C
【详解】设满足条件的点为P ，
则P 到
2
2
(
0)
y
px p
的准线的距离为9，
设
9
,6 2
2
p
P
，所以
2
(6 2)
2
9
2
p
p
，
解得
6
p = 或
12
p
，故所求方程为
2
12
y
x
或
2
24
y
x
．
故选：C
2、斜率为1的直线经过抛物线
2
1
4
y
x
的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（
）
A．8
B．13
2
C．11
2
D．4
【答案】A
【详解】由题知，抛物线方程为
2
4
x
y
，
630
2026 年高二暑假讲义A 版
所以抛物线焦点为
0,1 ，
所以该直线方程为
1
1
0
y
x
，
即
1
0
x
y
，
联立
2
4
1
0
x
y
x
y
，得
2
4
4
0
x
x
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
4
x
x
，
所以
1
2
4
8
AB
x
x
.
故选：A
3、已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
，过焦点的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，当直线l 的斜率为
2
2
时，|
16
|
AB
，则p （
）
A．8
3
B．16
3
C．4
3
D．4
【答案】A
【详解】由题意可得直线
2
:
2
2
p
l y
x
，与抛物线方程
2
2
(
0)
y
px p
联立，
得
2
2
5
0
4
p
x
px
.
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x y
，则
1
2
5
x
x
p
，所以
1
2
|
|
6
16
AB
x
x
p
p
，故
8
3
p
.
故选：A
4、已知抛物线
2
8
y
x
，经过其焦点F 的直线交曲线于,
A B 两点，且满足
3
AF
FB
，则
ABO
S
（
）
A．
3
3
B．4 3
3
C．16 3
3
D．10 3
3
【答案】C
【详解】设点
2
,
8
a
A
a
，
2
,
0,
0
8
b
B
b
a
b
，由题知
2,0
F
，由
2
2
3
2
,
3
2,
8
8
a
b
AF
FB
a
b
，
可得
2
2
2
3
2
8
8
3
a
b
a
b
4 3
4 3
3
a
b
，
631
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
1
4 3
16 3
2
4 3
2
2
3
3
ABO
S
OF a
b
，
故选：C
5、以抛物线
2
4
C
x
y
：
的焦点F 为端点的射线与C 及C 的准线l 分别交于A
B
，
两点，过点B 且平行
于y 轴的直线交C 于点P ，过点A且平行于y 轴的直线交l 于点Q ，且
4
3
AQ
，则
PBF
△
的周长为
（
）
A．6
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【详解】因
2
4
C
x
y
：
，则
01
F
，，准线为
1
y ．由
4
3
AQ
，
设
A x
y
，
，由抛物线对称性，可设
0
x
，则
4
1
3
y
，得
1
3
y
，则
2 3 1
3
3
A
，，
得直线AF 方程：
1
1
1
3
2 3
3
y
x
3
1
3
y
x
，
代入
1
y ，得
2 3
1
B
，
，
将
2 3
x
代入
2
4
x
y
，可得
2 3 3
P
，，
则周长
PBF
C
FB
PF
PB
，则
2
2
12
4
FB
，
4
PF
PB
，故
12
PBF
C
.
故选：C．
6、已知抛物线
2
:
2
(
0)
y
px p
的焦点F 与双曲线
2
2
4
1
2
x
y
的一个焦点重合，过F 的直线与交
于点A，B，且与的准线交于点D ，若|
| 4
BD
且|
| |
|
AF
FB
，则|
|
|
|
AF
FB 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．4
【答案】C
632
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】双曲线
2
2
4
1
2
x
y
的焦点坐标为
3 ,0
2
，依题意，得
2
:
2
(
0)
y
px p
的焦点为3 ,0
2
，
所以
3
2
2
p
，解得
3
p
．
如图，设准线l 与x 轴的交点为K ，过A作
1
AA
l
，过B 作
1
BB
l
，垂足分别为
1
1
,
A B ，则
1
1
//
//
BB
FK AA ．
根据抛物线定义知
1
|
|
BB
BF
，
1
|
|
AA
AF
，设
(
1)
AF
FB
，
(
0)
BF
m m
，
因为
1//
BB
FK ，所以
1
|
|
|
|
|
|
BB
BD
KF
FD
，即
4
4
m
p
m
，得
2
m
，所以|
|
|
| 2
AF
FB
，所以|
| 2
2
BA
，
因为
1
1
//
BB
AA ，所以
1
1
|
|
|
|
BB
BD
AA
AD
，即2
4
2
4
2
2
，解得
3
．
故选：C.
二、多选题
7、已知抛物线
2
:
6
C y
x
的焦点为F，过F 作一条倾斜角为π
3 的直线l 交C 于A，B 两点( A在第一
象限)，AD 与准线垂直，垂足为D .则（
）
A．
ADF
△
为等边三角形
B．
2
AF
BF
C．
8
AB
D．
12
DF
BF
【答案】ACD
【详解】对A：根据抛物线的定义可得AF
AD
，又
/ /
AD
x 轴，
60
AFx
，所以
60
FAD
，
所以
ADF
△
为等边三角形，故A 正确；
对B：因为
3 ,0
2
F
，直线l 方程为：
3
3
2
y
x
，代入抛物线方程得：
2
3
3
6
2
x
x
，
633
2026 年高二暑假讲义A 版
整理得：
2
4
20
9
0
x
x
2
1 2
9
0
x
x
，
所以
1
2
B
x
，
9
2
A
x
.
根据抛物线的定义：
3
9
3
6
2
2
2
A
AF
x
，
3
1
3
2
2
2
2
B
BF
x
.
所以
3
AF
BF
，故B 错误；
对C：
6
2
8
AB
AF
BF
，故C 正确；
对D：由AB 可知，
6
DF
AF
，所以
6 2
12
DF
BF
，故D 正确.
故选：ACD
8、设O为坐标原点，直线
3(
1)
y
x
过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点，且与C 交于
,
M N 两点，
l 为C 的准线，则（
）
A．
2
p
B．
8
|
|
3
MN
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．OMN
的面积为4 3
3
【答案】ACD
【详解】对于A，由题意，在直线
3(
1)
y
x
中，令
0
y
，可得
1
x ，所以抛物线C 的焦点为
1,0 ，
则
1
2
p ，
2
p
，故A 正确；
对于B，设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，联立
2
3
1
4
y
x
y
x
得
2
3
10
3
0
x
x
，
则
1
2
10
3
x
x
，
1
2
10
16
2
3
3
MN
x
x
p
，故B 错误；
对于C，
1
2
1
2
1
2
4 3
3
1
3
1
3
2 3
3
y
y
x
x
x
x
，
设MN 中点为D ，则
5 2 3
,
3
3
D
，
634
2026 年高二暑假讲义A 版
:
1
l x ，D 到直线l 的距离
5
8
1
3
3
d
，以MN 为直径的圆的半径
8
2
3
MN
r
，
由于d
r
，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 正确；
对于D，O到MN 的距离
3
3
2
3
1
h
，
则OMN
的面积为1
1
16
3
4 3
2
2
3
2
3
MN
h
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
9、过抛物线
2
:
2
E y
x
＝
焦点的直线交E 于
,
A B 两点，线段AB 中点M 到y 轴距离为1，则AB
．
【答案】3
【详解】抛物线
2
:
2
E y
x
＝
的准线方程为
1
2
x
.
设焦点为F，过A，B，M 分别作准线
1
2
x
的垂线，垂足为A′，B′，M′，
则有
,
,
2
AA
AF
BB
BF
AA
BB
MM
，
∵M 到y 轴距离为1，∴
3
|
|
2
MM
，
所以
2
3
AB
AF
BF
MM
．
故答案为：3
635
2026 年高二暑假讲义A 版
10、已知直线
2
y
kx
与抛物线
2
:
2
C y
x
有且只有一个公共点，则实数k 的值是
.
【答案】0 或
1
4
【详解】联立
2
2
2
y
kx
y
x
，得
2
2
4
2
4
0
k x
k
x
，
①当
0
k
时，2
4
0
x
，解得
2
x
，此时
2
y ，
直线
2
y
kx
与抛物线有且仅有一个公共点
2, 2
；
②当
0
k
时，由
2
2
Δ
4
2
16
16
4
k
k
k
，
若
0
，即
1
4
k
，方程
2
2
4
2
4
0
k x
k
x
无实根，则直线
2
y
kx
与抛物线无交点；
若
0
，即
1
4
k
，方程
2
2
4
2
4
0
k x
k
x
有两个相等实根，
则直线
2
y
kx
与抛物线相切，有且仅有一个公共点；
若
0
，即
1
4
k
且
0
k
时，方程
2
2
4
2
4
0
k x
k
x
有两个不等实根，
则直线
2
y
kx
与抛物线有两个不同交点；
综上所述：当直线
2
y
kx
斜率
0
k
或
1
4
时，直线
2
y
kx
与抛物线有且仅有一个公共点.
故答案为：0 或
1
4
.
11、已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，且
1
1
2
3
PF
FQ
，若
54
PQ
，则直线l 的斜率为
.
【答案】
2
4
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
,0
2
p
F
，由题意设直线l ：
2
p
y
k x
，
联立
2
2
2
y
px
p
y
k x
可得：
2
2
2
2
2
2
0
4
p k
k x
k p
p x
，
636
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
1
2
1
2
2
2
4
k p
p
p
x
x
x x
k
,
，
由抛物线的定义可得：
1
2
,
2
2
p
p
PF
x
FQ
x
，
所以
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
x
x
p
x
x
p
p
p
p
p
p
p
PF
FQ
x
x
x
x
x x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
3
1
4
2
4
k p
p
p
p
k
k
p
p k p
p
p
p
p
k
k
，
所以
3
p
，又因为
1
2
2
2
1
1
2
1
6 1
54
PQ
x
x
p
p
k
k
，
所以
2
1
1
=9
k
，解得：
2
4
k
.
故答案为：
2
4
.
四、解答题
12、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：
2
2
0
y
px p
上一点
0
1,
M
y
到焦点的距离为2.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线
2
4
y
x
与抛物线C 相交于A，B 两点，求
AOB
V
的面积.
【答案】(1)
2
4
y
x
；(2) 6
【详解】（1）依题意得，抛物线C 的焦点F 坐标为
,0
2
p
，准线方程为
2
p
x
，
由抛物线的定义可知，
1
2
2
p
MF
，解得
2
p
，
所以抛物线C 的方程为
2
4
y
x
；
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
则
2
2
1
2
1
2
A
y
B
x
x
y
637
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
4
5
x
x
x
x
x
x
，
由
2
2
4
4
y
x
y
x
，得
2
5
4
0
x
x
，
则
1
2
5
x
x
，
1
2
4
x x
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
5
5
4
3 5
AB
x
x
x
x
x x
，
又因为原点O 到直线
2
4
y
x
的距离
2
2
4
4 5
5
2
( 1)
d
，
所以
AOB
V
的面积
1
6
2
S
AB d
.
13、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
过点(2,
2)，且其一个焦点与抛物线
2
8
y
x
的焦点重合.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线AB 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点
( 2,1)
M
是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
；(2)
3
0
x
y
【详解】（1）抛物线
2
8
y
x
的焦点为(2,0) ，
由题意得
2
2
2
2
2
4
2
1
2
a
b
a
b
，解得
2
8
a
，
2
4
b
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
.
（2）直线l 的斜率存在，设斜率为k ，
直线l 的方程为
1
(
2)
y
k x
，即
2
1
y
kx
k
，
联立
2
2
2
1
1
8
4
y
kx
k
x
y
，
消去y 得：
2
2
2
(2
1)
4 (1 2 )
8
8
6
0
k
x
k
k x
k
k
，
638
2026 年高二暑假讲义A 版
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
因为
1
2
2
2
x
x
，即
1
2
4
x
x
，
所以
2
4 (1
2 )
4
1
2
k
k
k
，解得
1
k ，
此时
24
0
满足题意
所以所求直线l 的方程为
3
0
x
y
.
14、已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
与双曲线
2
2
1
9
12
x
y
的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，Q ，
且
8 3
PQ
.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过点
3,0
M
的直线l 与抛物线E 相交于
,
A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B.
（i）若
2
AB
BM
，求直线l 的方程.
（ii）证明：直线AB必过定点.
【答案】(1)
2
8
y
x
；(2)（i）
2
3
0
x
y
或
2
3
0
x
y
；（ii）证明见解析.
【详解】（1）因为点
,
P Q 关于x 轴对称，设点P 的坐标为
0,4 3
x
，
双曲线
2
2
1
9
12
x
y
的渐近线方程为
2 3
3
y
x
，
因为点P 在双曲线的渐近线上，所以
0
0
2 3
4 3
6
3
x
x
，
所以点P 的坐标为
6,4 3 ，
又点
6,4 3
P
在抛物线
2
2
y
px
上，所以48
2
6
p
，所以
4
p
，
故抛物线的标准方程为：
2
8
y
x
；
（2）（i）设直线AB 的方程为
3
x
my
，联立
2
8
y
x
，消x 得，
2
8
24
0
y
my
，
方程
2
8
24
0
y
my
的判别式
2
64
96
0
m
，即
2
2
3
2
3
0
2
m
m
，
639
2026 年高二暑假讲义A 版
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
8
y
y
m
①，
1
2
24
y y
②，
2
1
2
1
2
2
2
,
2
3
,
AB
BM
x
x y
y
x
y
∵
，
1
2
3
y
y
，代入①②得
2
2
2
2 ,
8
y
m y
，则
2
4
8
2
m
m
，
直线l 的方程为
2
3
0
x
y
或
2
3
0
x
y
；
（ii）设B 关于x 轴的对称点为
2
2
,
B x
y
，则直线AB为
2
1
2
2
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
，
根据抛物线的对称性，知定点必定在x 轴上，
令
0
y
得：
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x y
x y
x
y
x
y
y
y
y
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
3
3
2
3
48
24
3.
8
y my
y
my
my y
y
y
m
m
y
y
y
y
m
直线AB过定点
3,0 .
