01 二次函数
1
巩固练习
考点1：二次函数的概念
A组
1
函数f (x) = x2 −6x + 8，x ∈[1, a] (a > 1)，且f (x)的最大值是f (a)，则实数a的取值范围是
．
[5, +∞)
根据二次函数图像及性质判断函数在x ∈[1, a] (a > 1)上最大值是f (a)，进而确定参数取值范围.
因为f (x) = x2 −6x + 8 = (x −3)2 −1，f (1) = 3,故函数如图所示：
因为当x ∈[1, a] (a > 1)时，f(x)max = f (a)，且f (1) = f (5)，
所以有：a ≥5，
故答案为：[5, +∞).
答案
解析
2
若函数f(x) = −x2 + 4x + a，x ∈[0, 3]，若f(x)的最小值为2，则a =
2
答案
解析
2
根据二次函数性质可知函数在上[0, 2]单调递增，在[2, 3]上单调递减，根据最小值求出a.
根据题意，函数f(x) = −x2 + 4x + a = −(x −2)2 + 4 + a，
根据二次函数性质可知函数在上[0, 2]单调递增，在[2, 3]上单调递减，
则f(x)的最小值为f(0) = a = 2.
故答案为：2
3
若函数f(x) = x2 −ax + 3（x ∈N）是增函数，则实数a的取值范围是
(−∞, 1)
由题知x = a
2 < 1
2 ，进而解不等式即可得答案.
解：因为函数的定义域为N，函数f(x) = x2 −ax + 3是增函数，
所以，二次函数的对称轴x = a
2 < 1
2 ，解得a < 1.
所以，实数a的取值范围是(−∞, 1)
故答案为：(−∞, 1)
答案
解析
4
已知函数f (x) = x2 −2ax + 5，其中a > 1，若函数f (x)的定义域和值域均为[1, a]，则实数a的值为
．
2
根据一元二次函数f(x) = x2 −2ax + 5(a > 1)的对称轴x = a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求
出值域，即可得到方程组，解得即可．
解：∵f(x) = x2 −2ax + 5，对称轴为x = a，开口向上，所以函数在(−∞, a]上单调递减，
∴f(x) = x2 −2ax + 5在[1, a]上单调递减，
∴f(x)max = f (1) = a且f(x)min = f (a) = 1，
即{
，解得a = 2
故答案为：2
答案
解析
12 −2a × 1 + 5 = a
a2 −2a × a + 5 = 1
3
考点2：含参最值的分类讨论
B组
1
已知二次函数f(x) = −x2 + 2ax −a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．
a = −2或 a = 3
对二次函数先配方，找出对称轴，针对对称轴在区间[0,1]的不同位置，研究函数的最大值即可．
已知二次函数f(x) = −x2 + 2ax −a = −(x −a)2 + a2 −a的图象开口向下，对称轴为x=a．
当a < 0时，f(x)在[0,1]上是减函数，x = 0时，f(x)取得最大值f(0) = −a = 2, a = −2；
当0 ≤a ≤1时，f(x)在[0, a]上是增函数，f(x)在[a, 1]上是减函数，x=a时，f(x)取得最大值为
f(a) = −a2 + 2a2 −a = 2，a2 −a −2 = 0，a = −1或a = 2，不满足0 ≤a ≤1，故舍去；
当a > 1时，f(x)在[0,1]上是增函数，x = 1时，f(x)取得最大值f(1) = −1 + 2a −a = a −1 = 2, a = 3
综上所述：a = −2或a = 3
答案
解析
2
已知二次函数f(x) = ax2 + (2a −1)x + 1在区间[−3
2 , 2]上的最大值为3，求实数a的值．
4
a = 1
2 或 a = −2
3
解：（1）令f(−2a −1
2a
) = 3，得a = −1
2 ，此时抛物线开口向下，对称轴为x = −2，且−2 ∉[−3
2 , 2]
故a = −1
2 不合题意；
（2）令f(2) = 3，得a = 1
2 ，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故a = 1
2 符合题意；
（3）若f(−2
3 ) = 3，得a = −2
3 ，经检验，符合题意．
综上，a = 1
2 或a = −2
3
本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明
了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法，属于中档题．
答案
解析
3
关于x的不等式ax2 −2x + 1 ≤0在(0, 2]上有解，则实数a的取值范围是
.
(−∞, 1]
根据题意将不等式转化为a ≤2x −1
x2
在(0, 2]能成立即可，再由二次函数性质求出y = ( 2x −1
x2
)
max
, x ∈(0, 2]
即可得a的取值范围是(−∞, 1].
由不等式ax2 −2x + 1 ≤0以及x ∈(0, 2]可得a ≤2x −1
x2
，
依题意可知a ≤( 2x −1
x2
)
max
, x ∈(0, 2]即可，
令y = 2x −1
x2
, x ∈(0, 2]，
又y = 2x −1
x2
= −( 1
x −1)
2
+ 1，由x ∈(0, 2]可得1
x ∈[ 1
2 , +∞)，
利用二次函数性质可知ymax = −(1 −1)2 + 1 = 1，即可得a ≤1；
即实数a的取值范围是(−∞, 1].
答案
解析
5
故答案为：(−∞, 1]
考点3：一元二次方程根的分布
A组
1
已知一元二次方程x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6 = 0一个根小于0，另一根大于2，求a的取值范围．
$2<\dfrac{8}{3}$
设f(x) = x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6，则由题意可得{
，由此求得a的范围．
解：设f(x) = x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6，则由题意可得{
，
解a2 −5a + 6 < 0得$2<3$；解3a2 −5a −8 < 0得$-1<\dfrac{8}{3}$；
综上可得$2<\dfrac{8}{3}$．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础
题．
答案
解析
f(0) = a2 −5a + 6 < 0
f(2) = 3a2 −5a −8 < 0
f(0) = a2 −5a + 6 < 0
f(2) = 3a2 −5a −8 < 0
2
一元二次方程x2 + (2a −1)x + a −2 = 0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是
．
(0, 2
3 )
答案
6
直接利用方程对应的二次函数零点的分布，推出关系式，求出a的取值范围即可
设f (x) = x2 + (2a −1)x + a −2
一元二次方程x2 + (2a −1)x + a −2 = 0的一根比1大，另一根比－1小，
只需满足{
即{
解得 $0<\dfrac{2}{3}$
故答案为：(0, 2
3 ).
解析
f (1) < 0
f (−1) < 0
1 + (2a −1) + a −2 < 0
1 −(2a −1) + a −2 < 0
3
若关于x的一元二次方程2x2 −4x + m + 3 = 0有两个同号实根， 则实数m的取值范围是
.
(−3, −1]
根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围.
由题设
⇒−3 < m ≤−1，即实数m的取值范围是(−3, −1].
故答案为：(−3, −1]
答案
解析
⎧
⎨
⎩
m + 3
2
> 0
Δ = 16 −8(m + 3) ≥0
02 幂指对函数
1
巩固练习
考点1：幂函数的图像及其性质
A组
1
容易
填空题
已知幂函数y = f (x)的图像过点(2,
√2
2 )，则f (4) =
.
1
2
首先将点代入幂函数的解析式，即可求解析式，再求值.
设f (x) = xα，则f (2) = 2α = √2
2 ，则α = −1
2 ，
则f (x) = x−1
2 ，所以f (4) = 4−1
2 = 1
2 .
故答案为：1
2
答案
解析
2
较易
填空题
已知α ∈{−2, −1, −1
2 , 1
3 , 1
2 , 1, 2, 3}.若函数f(x) = xα在(0, +∞)上递减且为偶函数，则α =
.
−2
解：根据题意，函数f(x) = xα为幂函数，
若函数f(x) = xα在(0, +∞)上递减，必有a < 0，则a = −2、−1或−1
2 ，
当a = −2时，f(x) = x−2 = 1
x2 ，为偶函数，符合题意，
当a = −1时，f(x) = x−1 = 1
x ，为奇函数，不符合题意，
当a = −1
2 时，f(x) =
1
√x ，为非奇非偶函数，不符合题意；
答案
解析
2
则a = −2；
故答案为：−2.
本题考查幂函数的性质，注意幂函数的单调性以及奇偶性的分析，属于基础题．
3
较易
填空题
幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数m的取值集合是
.
{2, 3}
根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数m的取值集合.
解：因为幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3，所以m2 −5m + 7 = 1 ⇒m2 −5m + 6 = 0，
解得m = 2或m = 3，
幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以m −3 ≤0，即m ≤3，
所以m = 2或m = 3均符合题意，则实数m的取值集合是{2, 3}.
故答案为：{2, 3}.
答案
解析
B组
1
一般
填空题
函数f (x) = x−1
2 ，则不等式f(2x −1) > f(x + 1)的解集为
．
( 1
2 , 2)
根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解.
由题意知，幂函数f (x) = x−1
2 在(0, +∞)上单调递减，
由f(2x −1) > f(x + 1)，得
，
解得1
2 < x < 2，即不等式的解集为( 1
2 , 2).
故答案为：( 1
2 , 2)
答案
解析
⎧
⎨
⎩
2x −1 < x + 1
2x −1 > 0
x + 1 > 0
3
考点2：对勾函数与飘带函数
A组
1
容易
填空题
已知x < 0，则函数y = x + 1
x 的最大值是
.
−2
利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”，要对式子变形后再使用.
因为x < 0，所以−x > 0，−1
x > 0，
故x + 1
x = −[(−x) + (−1
x )] ≤−2√(−x) (−1
x ) = −2，
当且仅当−x = −1
x ，即x = −1时，等号成立，
所以x < 0时，y = x + 1
x 的最大值是−2.
故答案为：−2.
答案
解析
2
较易
单选题
关于函数y = x + a
x (a ∈R)单调性的描述正确的是( )
A. (0，√a]上单调递减，[√a，+∞)上单调递增
B. [−√a，0)上单调递减，(−∞，−√a]上单调递增
C. 当a < 0时，在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递减
D. 当a < 0时，在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增
D
函数的定义域为(−∞，0) ⋃(0，+∞)， 若a < 0，则函数则(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，故D正确， 若
a > 0，则函数在(0，√a]上单调递减，[√a，+∞)上单调递增， 故选：D．
答案
解析
3
较易
单选题
函数y = √x −
1
√x (x > 1)的值域 ( )
4
A. x ≥2
B. y ≥2
C. y ≥3
D. y > 0
D
答案
解析
B组
1
一般
解答题
已知函数f (x) = x + a
x , a ∈R．函数y = f (x)的定义域为D
(1)
当a = 2, D = (−∞, 0)时，求函数y = f (x)的值域．
(2)
当a = −1, D = (0, +∞)时，判断函数y = f (x)的单调性并说明理由．
(1) (−∞, −2√2)
(2) 函数 y = f (x)在 (0, +∞)上单调递增，理由见详解
(1) 当a = 2，f (x) = x + 2
x = −(−x +
2
−x )，
因为x < 0，所以−x > 0，所以−x +
2
−x ≥2√(−x) ( 2
−x ) = 2√2，
所以f (x) = −(−x +
2
−x ) ≤−2√2，当且仅当−x =
2
−x ，即x = −√2时，等号成立，
所以函数y = f (x)的值域为(−∞, −2√2).
(2) 当a = −1，f (x) = x −1
x ，函数y = f (x)在(0, +∞)上单调递增，理由如下：
设x1，x2是(0, +∞)上任意两个实数，且x1 < x2，
则
f (x1) −f (x2) = x1 −1
x1
−(x2 −1
x2
) = x1 −x2 −( 1
x1
−1
x2
) = x1 −x2 −x2 −x1
x1x2
=
(x1 −x2) (x1x2 + 1)
x1x2
因为x1 < x2，所以x1 −x2 < 0，
又x1 > 0，x2 > 0，所以x1x2 > 0，x1x2 + 1 > 0，
所以(x1 −x2) (x1x2 + 1)
x1x2
< 0，即f (x1) −f (x2) < 0，f (x1) < f (x2)，
所以函数y = f (x)在(0, +∞)上单调递增.
答案
解析
5
考点3：指数函数图像与性质
A组
1
较易
填空题
某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程p = p0er⋅n，实验检测，这种微生物经过一
周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r =
.（精确到1）
25
依题意列出方程14.86 = 2.58 × e7r，改为对数式后，利用计算器可解得结果.依题意有14.86 = 2.58 × e7r，所以
e7r = 14.86
2.58 ≈5.76，
所以7r ≈ln 5.76 ≈1.75，所以r = 25.
故答案为：25
本题考查了指数式化对数式，考查了利用计算器求近似值，属于基础题.
答案
解析
2
较易
填空题
函数y = ( 1
2 )
x
+ m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为
．
(−∞, −1]
借助函数图像即可求解；
画出y = ( 1
2 )
x
的图像（红线），同时向下平移一个单位得到y = ( 1
2 )
x
−1（黑线）
结合图象可知：m ≤−1，
故答案为：(−∞, −1]
答案
解析
6
B组
1
一般
填空题
已知函数f(x) = ax −b(a > 0且a ≠1, b ∈R)，g(x) = x + 1，若对任意实数x均有f(x) ⋅g(x) ≤0，则1
a + 4
b 的最小
值为
.
4
由题意，分别作出函数f(x)和g(x)的图像，如图所示，
函数g(x) = x + 1图象过定点(−1, 0)，
要使得对任意实数x均有f(x) ⋅g(x) ≤0，
则f(x) = ax −b必过点(−1, 0)，所以a−1 −b = 0，即ab = 1，
因为a > 0，所以b > 0，
所以1
a + 4
b = b + 4
b ≥4，当且仅当a = 1
2 , b = 2时取等号，
故1
a + 4
b 的最小值为4.
故答案为4 .
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求
的最值，这也是最容易发生错误的地方.
答案
解析
考点4：对数运算
A组
7
1
较易
填空题
方程log3 (x2 −1) = 2 + log3(x −1)的解为x =
.
8
由对数运算法则化方程为log3(x2 −1) = log3[9(x −1)]．再根据对数函数的性质求解．
由log3 (x2 −1) = 2 + log3(x −1)得log3(x2 −1) = log3[9(x −1)]，
所以{
，解得x = 8．
故答案为：8．
答案
解析
x2 −1 = 9(x −1)
x −1 > 0
2
容易
填空题
已知 lg ab = 1 ，则 lg a2024 + lg b2024 =
2024
lg a2024 + lg b2024 = lg(ab)2024 = 2024 lg ab = 2024 ．
故答案为： 2024 ．
答案
解析
3
较易
填空题
若9a = 4b = m，且1
a + 1
b = 2，则m =
．
6
根据指对互化，结合换底公式即可求解.
由9a = 4b = m可得a = log9 m, b = log4 m，
故1
a + 1
b =
1
log9 m +
1
log4 m = logm 9 + logm 4 = logm 36 = 2，
由于m > 0，故m = 6，
答案
解析
8
故答案为：6
B组
1
一般
填空题
已知log7 3 = a, 7b = 2，用a、b的代数式表示 log6 14 =
.
1 + b
a + b
根据指对数互化，即可利用对数的性质求解.
由log7 3 = a, 7b = 2可得log7 3 = a, b = log7 2，
所以log6 14 = log7 14
log7 6 =
1 + log7 2
log7 2 + log7 3 = 1 + b
a + b ，
故答案为：1 + b
a + b
答案
解析
2
一般
填空题
记A = 1 × 2 × 3 × ⋯× 100，那么
1
log2A +
1
log3A +
1
log4A + ⋯+
1
log100A =
.
1.
根据对数运算法则
1
logab = logba，化简原式，求值.
1
log2A +
1
log3A +
1
log4A + ⋯+
1
log100A
= logA2 + logA3 + logA4+. . . . . . +logA100
= logA2 × 3 × 4×. . . . . . ×100 = 1.
故答案为：1
本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型.
答案
解析
考点5：对数函数图像与性质
A组
1
较易
填空题
9
已知函数f (x) =
，则不等式f(x) > 1的解集为
.
(−∞, 0) ∪(2, +∞)
根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性分段解不等式即得.
函数f (x) =
，则不等式f(x) > 1化为：
或{
，
解得x < 0或x > 2，
所以不等式f(x) > 1的解集为(−∞, 0) ∪(2, +∞).
故答案为：(−∞, 0) ∪(2, +∞)
⎧
⎨
⎩
( 1
2 )
x
, x ≤0
log2 x, x > 0
答案
解析
⎧
⎨
⎩
( 1
2 )
x
, x ≤0
log2 x, x > 0
⎧
⎨
⎩
x ≤0
( 1
2 )
x
> 1
x > 0
log2 x > 1
2
较易
填空题
函数f(x) = loga(2x + 1)（a＞0且a≠1）必过定点
．
(0, 0)
根据函数y＝log x过定点（1，0），得函数f(x) = loga(2x + 1)必过定点(0, 0)．由于函数y＝log x过定点（1，
0），则在函数f(x) = loga(2x + 1)中，
令2x+1＝1，可得x＝0，此时f(x) = loga(2x + 1)＝0，
故函数f(x) = loga(2x + 1)（a＞0且a≠1）必过定点（0，0）．
故答案为（0，0）．
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
答案
解析
a
a
B组
1
一般
填空题
若函数y = log2 (ax2 + 3x + a)的定义域是R，则a的取值范围是
.
答案
10
( 3
2 , +∞)
由二次不等式恒成立解Δ < 0对应的不等式即可.
当x ∈R时，要满足ax2 + 3x + a > 0恒成立，即{
，解得a ∈( 3
2 , +∞)，
故答案为：( 3
2 , +∞)
解析
a > 0
Δ = 9 −4a2 < 0
2
一般
填空题
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是
.
1 < a < 3
2
利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围.
由y = loga (3 −ax)，得a > 0且a ≠1，因此函数u = 3 −ax单调递减，而x ∈[0, 2]，则umin = 3 −2a，
由y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，得函数y = loga u在(0, +∞)上单调递增，且3 −2a > 0，
因此{
，解得1 < a < 3
2 ，
所以实数a的取值范围是1 < a < 3
2 .
故答案为：1 < a < 3
2
答案
解析
a > 1
3 −2a > 0
03 函数概念
1
巩固练习
考点1：函数的定义
A组
1
下列同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A. y = x, y = √x2
B. y = x, y = eln x
C. y = x, y = ( 1
x )
−1
D. y = x + 1, y = t + 1
D
判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.
对于A，y = √x2 = |x|，显然与y = x的对应法则不同，故A错误；
对于B，因为y = x的定义域为R，y = eln x的定义域为(0, +∞)，故B错误；
对于C，因为y = x的定义域为R，y = ( 1
x )
−1
的定义域为{x|x ≠0}，故C错误；
对于D，显然y = x + 1, y = t + 1的解析式一样，则其定义域与对应法则相同，故D正确.
故选：D.
答案
解析
2
以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A.
B.
2
C.
D.
A
利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论.
根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，
A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.
故选：A
答案
解析
考点2：函数的定义域
A组
1
设集合A = {x
y = lg (x2 −4x + 5)}，则A =
.
R
要使函数y = lg (x2 −4x + 5)有意义，则只需x2 −4x + 5 > 0，又Δ < 0,
所以不等式x2 −4x + 5 > 0的解集为R，故A = R.
故答案为：R.
求解有关对数型复合函数的定义域时，只需满足真数部分大于零，然后求解关于x的不等式得到答案.
答案
解析
2
函数y = √1 −x
x
的定义域为
．
答案
3
(−∞, 0) ∪(0, 1]
根号下的数非负以及分母不为0，两个原则，即可求函数定义域.
1 −x ≥0且x ≠0，得x ≤1且x ≠0，则函数定义域为(−∞, 0) ∪(0, 1]
故答案为：(−∞, 0) ∪(0, 1]
解析
3
函数 y = x−2
3 的定义域是
(−∞, 0) ∪(0, +∞)
因为函数 y = x−2
3 =
1
3√x2 ，所以其定义域为 (−∞, 0) ∪(0, +∞)故答案为：(−∞, 0) ∪(0, +∞) ．
答案
解析
B组
1
已知函数y = f (x)的定义域为[−1, 3]，则函数y = f (2x −1)
lg (x −1) 的定义域为（ ）
A. (1, 2]
B. (1, 2)
C. (1, 5]
D. (1, 2) ∪(2, 5]
B
由抽象函数定义域及对数型函数定义域构造不等式求解即可.
因为y = f (x)中−1 ≤x ≤3，
所以函数y = f (2x −1)
lg (x −1) 中{
，即1 < x < 2，
所以y = f (2x −1)
lg (x −1) 的定义域为(1, 2)，
故选：B．
答案
解析
−1 ≤2x −1 ≤3
x −1 > 0且x −1 ≠1
4
2
若函数f (x) = lg [(a2 −1)x2 + (a + 1)x + 1]的定义域为R，则实数a的取值范围是
．
a > 5
3 或 a ≤−1．
根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可．
∵f (x)的定义域为R，
∴(a2 −1)x2 + (a + 1)x + 1 > 0恒成立，
当a2 −1 = 0，即a = 1或a = −1，
若a = 1，不等式等价为2x + 1 > 0，此时x > −1
2 ，不恒成立，不满足条件．
若a = −1，不等式等价为1 > 0，恒成立，满足条件．
当a ≠±1时，要使不等式恒成立，
则{
，
即{
或{
，
解得a > 5
3 或a < −1，
综上可知，实数a的取值范围是a > 5
3 或a ≤−1．
故答案为：a > 5
3 或a ≤−1．
答案
解析
a2 −1＞0
Δ = (a + 1)2 −4 (a2 −1)＜0
a > 1
(a + 1) (−3a + 5)＜0
a < −1
(a + 1) (−3a + 5)＜0
考点3：函数解析式的求解
A组
1
求下列函数的解析式.
(1)
已知函数f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3(x ≥1)，求f(x)；
(2)
已知f(x)是一次函数，且f[f(x)] = 9x + 8，求f(x).
5
(1) f(x) = 2x2 + 1(x ≥2)
(2) f(x) = 3x + 2或 f(x) = −3x −4
(1) 因为函数f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3，
令t = x + 1,则f(t) = 2(t −1)2 + 4(t −1) + 3 = 2t2 + 1，
因为x ≥1，所以t ≥2，
所以f(x) = 2x2 + 1(x ≥2).
(2) 设f(x) = ax + b(a ≠0)，
则有f[f(x)] = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a2x + ab + b，
因为f[f(x)] = 9x + 8，
所以{
，
解得{
或{
，
所以f(x) = 3x + 2或f(x) = −3x −4
答案
解析
a2 = 9
ab + b = 8
a = 3
b = 2
a = −3
b = −4
B组
1
为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中
的含药量y（mg/m3）与时间t（h）成正比（0 < t < 1
2 ）；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y = ( 1
4 )
t−a
（a
为常数，t ≥1
2 ），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5（mg/m3）以下时，学生方可进教室，则学校应
安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作
6
A. 30
B. 40
C. 60
D. 90
C
根据图像：函数过点( 1
2 , 1)，故y = f (t) =
，
当t ≥1
2 时，取f (t) = ( 1
4 )
t−1
2 = 1
2 ，解得t = 1小时= 60分钟.
故选：C.
本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
2x, 0 < t < 1
2
( 1
4 )
t−1
2 , t ≥1
2
考点4：函数值域的求解
A组
1
下列函数中，值域为[0，+∞）的是（ ）
A. y = x
1
2
B. y = 3x
C. y = log2 (x −1)
D. y =
x
x −1
A
根据幂函数，指数函数，对数函数及反比例函数的性质对选项进行判断即可．由幂函数的性质可知,y=x
1
2 ≥0；
由指数函数的性质可知,y=3 ＞0；
y=log （x-1）的值域为R；y =
x
x−1 =1+
1
x−1 ≠1.
故选A
答案
解析
x
2
7
本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．
2
若函数y＝
1
x −2 的定义域为A，函数y＝√2x + 6的值域是B，则A∩B＝
.
[0，2) ∪(2，＋∞)
函数有意义，有x −2 ≠0 ，则A = {x|x ≠2} ； B = {y|y ≥0} ，所以$$A ∩B＝[0，2) ∪(2，＋∞)
答案
解析
3
已知f (x) = x + c
x ，若对任意x ∈(0, +∞)，都有f (x) ≥f (3)，则实数c的值是
．
9
利用基本不等式结合基本不等式取等的条件求解即可.
若对任意x ∈(0, +∞)，都有f (x) ≥f (3)，
则f (x) = x + c
x 在x = 3处取得最小值，则c > 0
由基本不等式得：x + c
x ≥2√x ⋅c
x = 2√c,
当且仅当x = c
x 时，即x = √c时取等号,
则√c = 3,即c = 9.
故答案为：9.
答案
解析
B组
1
记y = log0.7 (1 −16x2)的减区间D，则y = 8x2 −6x + 4
2x −1
在x ∈D上的值域为
．
[−4, 1 −2√6]
答案
8
由复合函数的单调性判断方法求出区间D，由对勾函数的单调性求出函数y = 8x2 −6x + 4
2x −1
的值域.
y = log0.7 (1 −16x2)的定义域为x ∈(−1
4 , 1
4 )，y = log0.7 x在定义域上为减函数，且当x ∈(−1
4 , 0]时，
y = 1 −16x2为增函数，由复合函数的单调性判断方法知y = log0.7 (1 −16x2)的减区间为(−1
4 , 0]，
y = 8x2 −6x + 4
2x −1
= 2(2x −1)2 + (2x −1) + 3
2x −1
= 2 (2x −1) +
3
2x −1 + 1，
令t = 2x −1，由x ∈(−1
4 , 0]得t ∈(−3
2 , −1]，则y = 2t + 3
t + 1，
因为y = 2t + 3
t + 1在t ∈(−3
2 , −√6
2 ]时为增函数，t ∈[−√6
2 , −1]为减函数，
所以当t = −√6
2 即x = 2 −√6
4
时，函数取得最大值1 −2√6，当 t = −1即x = 0时，函数取得最小值−4.
故答案为：[−4, 1 −2√6]
解析
2
如果|x + 1| + |x + 9| > a对任意实数x总成立，那么a的取值范围是
.
(−∞, 8)
先利用绝对值三角不等式求出|x + 1| + |x + 9|的最小值，进而求出a的取值范围.
|x + 1| + |x + 9| ≥|x + 1 −(x + 9)| = 8，当且仅当−9 ≤x ≤−1时等号成立，故a < 8，所以a的取值范围是
(−∞, 8).
故答案为：(−∞, 8)
答案
解析
04 奇偶性
1
巩固练习
考点1：函数奇偶性的判定
A组
1
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=√9 −x2 + √x2 −9；
(2)f(x)=(x + 1)√1 −x
1 + x ；
(3)f (x)＝
√4 −x2
|x + 3| −3
（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
（1）求得定义域可得f (x) = ±f (−x)，所以f (x)既是奇函数，又是偶函数.
（2）求出函数定义域，由定义域不关于原点对称可得函数非奇非偶；
（3）先求解函数的定义域，再判断f (x)＝－f (－x)，可得f(x)是奇函数．
（1）由{
，得x = ±3 ，
所以f (x)的定义域为{−3, 3}，关于原点对称.
又f (3) + f (−3) = 0，即f (x) = ±f (−x).
所以f (x)既是奇函数，又是偶函数.
答案
解析
9 −x2 ≥0
x2 −9 ≥0
2
（2）由 {
，得$－\text{1}．
∵f(x)的定义域(－1, 1]不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由 {
，得－2 ≤x ≤2且x ≠0．∴f(x)的定义域为[－2, 0) ∪(0, 2]，关于原点对称．
∴f (x) = √4 −x2
x + 3 −x = √4 −x2
x
．∴f (x)＝－f (－x)，∴f(x)是奇函数．
判断函数的奇偶性时要注意两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
1 −x
1 + x ≥0,
1 + x ≠0,
4 −x2 ≥0,
|x + 3| −3 ≠0,
2
给出下列结论：
①若f (x)的定义域关于原点对称，则f (x)是偶函数；
②若f (x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称；
③若f (−2) = f (2)，则f (x)（x ∈R）是偶函数；
④若f (x)（x ∈R）是偶函数，则f (−2) = f (2)；
⑤若f (2) ≠f (−2)，则f (x)（x ∈R）不是偶函数；
⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x) = 0（x ∈R）；
⑦若f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0) = 0．
其中正确的结论是
（填序号）．
②④⑤⑦
根据函数的奇偶性定义即可作出判断.
只有f (x)的定义域关于原点对称，且f (−x) = f (x)时，f (x)才是偶函数，故①错误；f (x)的定义域关于原点
对称是f (x)为偶函数的必要条件，故②正确；
对任意x ∈R，满足f (−x) = f (x)，f (x)才是偶函数，仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶
性，故③错误而④正确；
为了说明f (x)不是偶函数，举一个反例即可，故⑤正确；
f (x) = 0，定义域为[−1, 1]，该函数既是奇函数又是偶函数，故⑥错误；
由于f (x)是奇函数，且定义域为R，所以∀x ∈R，f (−x) = −f (x)，令x = 0，
则f (0) = −f (0)，即f (0) = 0．故⑦正确．
故答案为：②④⑤⑦
答案
解析
3
3
已知集合A = {−1, −1
2 , 0, 2, 3}，B = {y = f (x)|f (x) = xk, k ∈A且y = f (x)为奇函数}，则集合B的子集个数为
.
4
根据题意，由幂函数的性质可得集合B，进而分析可得答案.
根据题意，集合A = {−1, −1
2 , 0, 2, 3}，
B = {y = f (x)|f (x) = xk, k ∈A且y = f (x)为奇函数}，
则B = {f (x) = x−1, f (x) = x3}，则集合B有2个元素，
所以集合B的子集有22 = 4个，
故答案为：4.
答案
解析
B组
1
设函数f (x) = {
，则关于函数f (x)有以下四个命题：
①∀x ∈R, f (f (x)) = 1；②∃x0, y0 ∈R, f (x0 + y0) = f (x0) + f (y0)；③函数f (x)是偶函数；④函数f (x)是周期函数.
其中真命题的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
A
对A，根据f (x)的解析式代入判断即可；对B，分别讨论x, y是有理数和无理数时的四情况分析即可；对C，根
据有理数和无理数的相反数也是有理数和无理数，结合偶函数的定义判断即可；对D，根据x与x + T都是有理
数或都是无理数分析判断即可.
对于①，若x是有理数，则f (x) = 1，则f (1) = 1，若x是无理数，则f (x) = 0，则f (0) = 1，即对于任意的
x ∈R，都有f (f (x)) = 1；故①正确；
对于②，若x, y都是有理数，则f (x + y) = 1，f (x) + f (y) = 2；若x, y是有理数和无理数，则
1, x有理数
0, x为无理数
答案
解析
4
f (x + y) = 0，f (x) + f (y) = 1；若x, y 都为无理数，则f (x + y) = f (x) + f (y)或
f (x + y) = 1，f (x) + f (y) = 0 ；故②正确；
对于③，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R，都有f (−x) = f (x)，则
函数f (x)是偶函数，故③正确；
对于④，若x是有理数，则x + T也是有理数； 若x是无理数，则x + T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取
一个不为零的有理数T，f (x + T) = f (x)对x ∈R恒成立，故④正确；
故选：A.
教法备注
【考点】函数奇偶的应用
【教法】让学生学会奇偶函数的各类判断方法
2
设函数f(x) = 2 sin x sin (x + π
3 + φ)是奇函数，其中φ ∈(0, π)，则φ =
π
6 ；
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，而y = sin x是奇函数，
故y = sin (x + π
3 + φ)为偶函数，所以π
3 + φ = π
2 + kπ, k ∈Z，
又φ ∈(0, π)，所以φ = π
6 ．
故答案为：π
6
本题主要考查利用奇偶性求参数值，同时考查函数奇偶性的运算性质．
教法备注
【考点】函数奇偶的应用
【教法】让学生学会奇偶函数的各类判断方法
答案
解析
考点2：利用函数奇偶性求值/求参/求解析式
A组
5
1
若函数f (x) = log2 (4x + 1) + kx (x ∈R)是偶函数，则k的值为
.
−1
∵函数f (x) = log2 (4x + 1) + kx (x ∈R)是偶函数，
∴f (−x) = f (x)
即log2 (4−x + 1) + k (−x) = log2 (4x + 1) + kx
∴log2 (4−x + 1) −log2 (4x + 1) = 2kx
化简得：−2x = 2kx
即(2k + 2)x = 0，2k + 2 = 0，解得k = −1
答案
解析
2
函数f (x)是[b −1, 2]上的奇函数，则b =
．
−1
利用函数的奇偶性计算即可.
由题意可知b −1 + 2 = 0 ⇒b = −1.
故答案为：−1
答案
解析
B组
1
设a为常数，y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x < 0时，f (x) = a2x + 1
x + 8，若f (x) ≥a + 2对一切x ≥0成
立，则a的取值范围为
．
答案
6
(−∞, −10
3 ]
根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可.
由f (x) ≥a + 2对一切x ≥0成立，有f (0) = 0 ≥a + 2，可得a ≤−2．
当x > 0时，f (x) = −f (−x) = −(−a2x −1
x + 8) = a2x + 1
x −8 ≥2√a2x × 1
x −8 = 2 |a| −8 = −2a −8
，
（当且仅当x = −1
a 时取等号）．又由f (x) ≥a + 2，有−2a −8 ≥a + 2，可得a ≤−10
3 ，
综上所述：a的取值范围为(−∞, −10
3 ]．
故答案为：(−∞, −10
3 ]．
解析
2
定义在R上的函数f (x) = a −
1
2x + 1 是奇函数，则实数a =
.
1
2 | 0.5
根据题意，利用f (0) = 0，求得a = 1
2 ，结合函数奇偶性的定义及判定，即可求解.
由函数f (x) = a −
1
2x + 1 为R上的奇函数，则f (0) = a −
1
20 + 1 = 0，解得a = 1
2 ，
经检验，当a = 1
2 时，f (x) = 1
2 −
1
2x + 1 = 1
2 ⋅2x −1
2x + 1 ，
此时f (−x) = 1
2 ⋅2−x −1
2−x + 1 = −1
2 ⋅2x −1
2x + 1 = −f (x)，此时函数f (x)为奇函数，
所以a = 1
2 .
故答案为：1
2 .
答案
解析
3
已知函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，且当x > 0时，其表达式为f(x) = x2 + 2x，则当x < 0时，其表达式为
f(x) =
．
答案
7
x2 + 2−x
利用偶函数性质求解析式即可.
令x < 0，则−x > 0，故f(−x) = (−x)2 + 2−x = x2 + 2−x，
又f(x) = f(−x) =x2 + 2−x，
所以当x < 0时，f(x) =x2 + 2−x.
故答案为：x2 + 2−x
解析
4
已知函数y = f (x)的表达式为f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 ，且在[−1, c]上为奇函数，则f (c)的值为
.
1
2 | 0.5
根据题意，由奇函数的性质求出c的值，结合函数f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 求出a，b的值，可得函数解析式，计算
可得答案.
根据题意，函数f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 在[−1, c]上为奇函数，
所以有−1 + c = 0 ⇒c = 1，
即f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 在[−1, 1]上为奇函数，
所以f (0) = a = 0，即a = 0，
故f (x) =
x
x2 + bx + 1 ，
则f (−x) =
−x
x2 −bx + 1 =
−x
x2 + bx + 1 = −f (x)，
所以x2 −bx + 1 = x2 + bx + 1 ⇒b = 0，
所以f (x) =
x
x2 + 1 ，则f (c) = f (1) = 1
2 .
故答案为：1
2
教法备注
【考点】函数奇偶的应用
【教法】让学生学会奇偶函数的各类判断方法
答案
解析
05 单调性
1
巩固练习
考点1：函数单调性的判定
A组
练1
1
函数y = lg(x2 −2x + 3)的单调递增区间为
．
(1, +∞)
先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和y = lg u的单调性,结合复合函数的单调性的判断可得出选项.
因为y = lg(x2 −2x + 3)，所以x2 −2x + 3 = (x −1)2 + 2 > 0,所以函数y = lg(x2 −2x + 3)的定义域为R，
设u = x2 −2x + 3，所以u在(−∞, 1)上单调递减，u在(1, +∞)上单调递增，
而y = lg u在(0, +∞)单调递增，由复合函数的单调性可知，函数y = lg(x2 −2x + 3)的单调增区间为(1, + ∞).
故填：(1, + ∞)．
本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.
答案
解析
练2
1
函数f (x) =
1
x + 1 中，有（ ）
A. f (x)在(−1, +∞)上严格增
B. f (x)在(−∞, −1) ∪(−1, +∞)上严格减
C. f (x)在(1, +∞)上严格增
D. f (x)在(−1, +∞)上严格减
D
答案
2
函数f (x) =
1
x + 1 是由函数y = 1
x 向左平移得到的，函数为单调递减函数，单调减区间只要将原来的单调减
区间向左平移一个单位即可
函数y = 1
x 的图象向左平移1个单位可得函数y =
1
x + 1 的图象，
因为函数y = 1
x 在(−∞, 0)和(0, +∞)上严格减，
则函数y =
1
x + 1 在(−∞, −1)和(−1, +∞)上严格减，
而在(−∞, −1) ∪(−1, +∞)不具备单调性．
故选：D．
解析
B组
练1
1
当x > 0时，函数f (x) = (2a −1)x (a > 0, a ≠1
2 )的函数值总大于1，则函数y = loga (2x −x2)在区间________上
是严格增函数
(0, 1]
根据指数函数的性质和复合函数的单调性求解.
当x > 0时，函数f (x) = (2a −1)x (a > 0, a ≠1
2 )的函数值总大于1，
且f (0) = 1，所以f (x) = (2a −1)x单调递增，
所以2a −1 > 1，所以a > 1，
由2x −x2 > 0解得0 < x < 2，
函数y = −x2 + 2x在(0, 1]单调递增，(1, 2)单调递减，
所以y = loga (2x −x2)在区间(0, 1]上是严格增函数.
答案
解析
3
故答案为：(0, 1].
练2
1
已知函数f (x) = 2x −a
2x (a > 0).
（1）判断f (x)在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（2）讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由.
（1） f (x)在其定义域上是增函数，证明见解析（2）当 a = 1时，函数 f (x)是奇函数，当 a ≠1时，函数
f (x)既不是奇函数也不是偶函数，见解析
（1）设x1 < x2，计算f (x2) −f (x1) = (2x2 −2x1) (1 +
a
2x1+x2 ) > 0，得到答案.
（2）讨论a = 1和a ≠1两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.
（1）函数单调递增，
设x1 < x2，则f (x2) −f (x1) = (2x2 −
a
2x2 ) −(2x1 −
a
2x1 ) = (2x2 −2x1) (1 +
a
2x1+x2 )，
易知2x2 −2x1 > 0，1 +
a
2x1+x2 > 0，故f (x2) −f (x1) > 0，f (x2) > f (x1)，函数单调递增.
（2）f (x) = 2x −a
2x ，f (−x) = 2−x −
a
2−x ，
当a = 1时，f (−x) = 2−x −
1
2−x = −f (x)，函数为奇函数；
当a ≠1时，f (0) = 1 −a ≠0，函数不是奇函数，
f (1) = 2 −a
2 ，f (−1) = 1
2 −2a，f (1) ≠f (−1)，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.
综上所述：当a = 1时，函数f (x)是奇函数，当a ≠1时，函数f (x)既不是奇函数也不是偶函数.
本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
答案
解析
4
教法备注
【考点】含参数函数的单调
【教法】通过分类讨论解决奇偶，引导学生选择奇偶方法解决
考点2：利用函数单调性求参/解不等式
A组
练1
1
若函数f (x) = {
在R上单调递减，则实数a的取值范围是
.
( 3
2 , 3]
根据题意，由分段函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
由题意可得，{
，解得3
2 < a ≤3，
所以实数a的取值范围是( 3
2 , 3].
故答案为：( 3
2 , 3]
(3 −2a)x + 4, x ≤1,
−2x + a, x > 1
答案
解析
3 −2a < 0
(3 −2a) + 4 ≥−2 + a
练2
1
若函数f(x) = |x −a + 1|在区间[1, +∞)上是严格增函数，则实数a的取值范围为
．
a ≤2
根据分段函数的性质及区间单调性列不等式求范围即可.
由题设f (x) = {
，显然f(x)在[a −1, +∞)上递增，
要使函数在区间[1, +∞)上是严格增函数，则a −1 ≤1，即a ≤2.
答案
解析
x −a + 1, x ≥a −1
a −1 −x, x < a −1
5
故答案为：a ≤2
B组
练1
1
已知函数f(x) = x−k2+k+2在区间(0, +∞)上是严格增函数，则实数k的取值范围是
．
(−1, 2)
根据函数的单调性列不等式来求得k的取值范围.
由于f (x)在区间(0, +∞)上是严格增函数，
所以−k2 + k + 2 > 0, k2 −k −2 = (k −2) (k + 1) < 0，
解得−1 < k < 2，所以k的取值范围是(−1, 2).
故答案为：(−1, 2)
答案
解析
练2
1
已知g (x) = x + b
x ，若对任意的x1, x2 ∈(1, 2)，都有g (x1) −g (x2)
x2 −x1
> 1 (x1 ≠x2)，则实数b的取值范围是
．
[8, +∞)
由题意首项得到
(x1 + b
x1
) −(x2 + b
x2
)
x2 −x1
=
b
x1x2
−1 > 1 (x1 ≠x2)，即对任意的x1, x2 ∈(1, 2)，b > 2x1x2
恒成立，结合已知由此即可得解.
由题意对任意的x1, x2 ∈(1, 2)，都有g (x1) −g (x2)
x2 −x1
> 1 (x1 ≠x2)，且g (x) = x + b
x ，
答案
解析
6
所以
(x1 + b
x1
) −(x2 + b
x2
)
x2 −x1
=
b
x1x2
−1 > 1 (x1 ≠x2)，x1, x2 ∈(1, 2)，
即对任意的x1, x2 ∈(1, 2)，b > 2x1x2恒成立，
而2x1x2 < 4，不妨设1 < x1 < x2 < 2，令x1 →2，则x2 →2, x1x2 →4, 2x1x2 →8，
所以对任意的x1, x2 ∈(1, 2)，b > 2x1x2恒成立，当且仅当b ≥8，
即实数b的取值范围是[8, +∞).
故答案为：[8, +∞).
练3
1
若f (x)是偶函数，且当x ∈[0, +∞)时，f (x) = x −2，则不等式f
x
1
3 −1
> 1的解集是
．
{x |x < −8或 x > 64}
根据条件知，f (3) = 1，不等式f
x
1
3 −1
> 1可转化为f
x
1
3 −1
> f (3)，再由f (x)的单调性和奇偶性可
得，x
1
3 −1
> 3，从而得到不等式的解集.
当x ∈[0, +∞)时，f (x) = x −2单调递增，且f (x)是偶函数，
所以f (x)在(−∞, 0]上单调递减，且f (3) = 1
不等式f
x
1
3 −1
> 1等价于f
x
1
3 −1
> f (3)，即x
1
3 −1
> 3
解得{x |x < −8或x > 64}.
故答案为：{x |x < −8或x > 64}
答案
解析
练4
1
已知函数f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2，若f (5a −6) + f (a2) ≤4，则实数a的取值范围是
.
答案
7
[−6, 1]
首项确定函数的定义域为x ∈R ，然后可得f (−x) ，观察可得f (x) + f (−x) = 4 ，故不等式
f (5a −6) + f (a2) ≤4可转换为f (5a −6) ≤f (−a2)；再利用指数函数、对数函数、函数定义证明可判断
f (x)在x ∈R上的单调性，故不等式解f (5a −6) ≤f (−a2)，即5a −6 ≤−a2，解不等式可得实数a的取值范
围.
解：因为f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2，定义域满足x + √x2 + 1 > 0，解得x ∈R，
所以
f (−x) = 2023−x + log2023 (−x + √x2 + 1) −2023x + 2 = −2023x + log2023 (
1
x + √x2 + 1
) + 2023−x + 2
= −2023x −log2023 (x + √x2 + 1) + 2023−x + 2，
故f (x) + f (−x) = 4，所以f (a2) + f (−a2) = 4，
则不等式f (5a −6) + f (a2) ≤4，转化为f (5a −6) + f (a2) ≤f (a2) + f (−a2)，即f (5a −6) ≤f (−a2)，
又函数y = 2023x在x ∈R上单调递增，y = 2023−x在x ∈R上单调递减，
∀x1, x2 ∈R，且设x1 < x2，
所以
(x1 + √x2
1 + 1) −(x2 + √x2
2 + 1) = (x1 −x2) + (√x2
1 + 1 −√x2
2 + 1) = (x1 −x2) +
(x2
1 + 1) −(x2
2 + 1)
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
= (x1 −x2) + (x2
1 + 1) −(x2
2 + 1)
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
= (x1 −x2) 1 +
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
= (x1 −x2)
x1 + √x2
1 + 1 + x2 + √x2
2 + 1
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
又x1 + √x2
1 + 1 > 0，x2 + √x2
2 + 1 > 0，因为x1 < x2，所以x1 −x2 < 0，
所以x1 + √x2
1 + 1 < x2 + √x2
2 + 1，由于函数y = log2023 x在x ∈(0, +∞)上单调递增，
所以log2023 (x1 + √x2
1 + 1) < log2023 (x2 + √x2
2 + 1)，故函数y = log2023 (x + √x2 + 1)在x ∈R上单调递
增，
所以由函数单调性的性质可得f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2在x ∈R上单调递增，
故f (5a −6) ≤f (−a2)，可得5a −6 ≤−a2 ⇒a2 + 5a −6 ≤0 ⇒(a + 6) (a −1) ≤0，解得−6 ≤a ≤1，
所以实数a的取值范围是[−6, 1].
故答案为：[−6, 1].
教法备注
【考点】奇偶和单调的结合
解析
8
【教法】通过单调和奇偶解决，引导学生选择单调解决不等式问题
练5
1
设函数f (x) = √x2 + 1 −ax (x > 0)，其中a > 0.
（1）当a = 2时，用定义证明f (x)在区间(0, +∞)上是单调减函数；
（2）若g (x) = √x2 + 1 −1
x −x (x > 0)，G (x) = g (x) −f (x)，若G (x) < 0恒成立，求a的取值范围.
（1）证明见解析；（2） a ≤1.
（1）根据单调性的定义，作差，比较大小，定号即可证明；
（2）分离参数，将恒成立问题，转化为求解函数最值得问题，即可得解.
（1）证明：当a = 2时，f (x) = √x2 + 1 −2x，
设0 < x1 < x2，则f (x1) −f (x2) = √x2
1 + 1 −2x1 −√x2
2 + 1 + 2x2
= (√x2
1 + 1 −√x2
2 + 1) + 2 (x2 −x1)
=
x2
1 −x2
2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
+ 2 (x2 −x1)
=
x2
1 −x2
2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−2 (x1 −x2)
= (x1 −x2)
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−2
∵0 < x1 < x2，∴x1 −x2 < 0，又因为
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
< 1，
答案
解析
9
∴
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−2 < 0，
∴f (x1) −f (x2) > 0，即f (x1) > f (x2).
∴f (x)在区间(0, +∞)上是单调减函数.
（2）∵G (x) = ax −x −1
x (x > 0)，由G (x) < 0恒成立，
∴ax −x −1
x < 0恒成立，即：$ax恒成立，∵x > 0，
∴a < 1 + ( 1
x )
2
恒成立，∵1 + ( 1
x )
2
> 1，
∴a ≤1.
本题考查利用函数单调性定义证明单调性，以及恒成立问题的求解，涉及分母无理化，以及分离参数的数学
技巧，属综合基础题.
教法备注
【考点】单调的结合
【教法】通过单调解决恒成立问题，引导学生选择单调解决恒成立问题
06 函数周期性与对称性
1
巩固练习
考点1：函数对称性的判断
A组
练1
1
已知定义在R上的函数y = f (x)的图像关于点(1, 0)对称，则下列结论成立的是（ ）
A. f (x + 1)为偶函数
B. f (1 + x) = f (1 −x)
C. f (2 + x) + f (−x) = 0
D. f (1) = 0
CD
由题意可得f (2 −x) = −f (x)，根据函数图像的对称性和函数性质，对选项进行判断.
定义在R上的函数y = f (x)的图像关于点(1, 0)对称，则函数图像上的点(x, f (x))关于点(1, 0)的对称点
(2 −x, −f (x))也在函数图像上，所以f (2 −x) = −f (x).
函数f (x + 1)的图像由函数y = f (x)的图像向左平移一个单位得到，则函数f (x + 1)的图像关于点(0, 0)对称，
不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；
由f (2 −x) = −f (x)，令x = 1 −t，则有f (1 + t) = −f (1 −t)，故B选项错误；
由f (2 −x) = −f (x)，令x = −t，则有f (2 + t) = −f (−t)，故C选项正确；
由f (2 −x) = −f (x)，令x = 1，则有f (1) = −f (1)，∴f (1) = 0，故D选项正确.
故选：CD
答案
解析
练2
1
已知函数y = −
x −a
x −a −1 的反函数的图像关于点(−1, 3)成中心对称图形．则实数a等于．
A. 2
B. 3
C. −2
D. −3
2
A
在原函数图像上取点(1, 1
a −1)，则点( 1
a −1, 1)在其反函数图像上，它关于点(−1, 3)的对称点为
(−1 −1
a , 5)．
从而，点(5, −1 −1
a )在原函数图像上．所以，−1 −1
a = −
5 −a
5 −a −1 ⇒a = 2.
故答案为A
答案
解析
B组
练1
1
若函数f (x) = 2x + 3 ⋅2−x的图像关于直线x = m成轴对称图形，则m =
.
1
2 log23
因为函数f (x) = 2x + 3 ⋅2−x的图像关于直线x = m成轴对称图形，
所以f (m −x) = f (m + x)恒成立，
即2m−x + 3 ⋅2x−m = 2m+x + 3 ⋅2−x−m, x ∈R恒成立，
即(2m −3 ⋅2−m) (2x −2−x) = 0, x ∈R恒成立，
所以2m −3 ⋅2−m = 0，即2m = √3，
解得m = 1
2 log23，
故答案为：1
2 log23
答案
解析
练2
1
已知函数f(x) =
1
4 −2x 的图象关于点P对称，则点P的坐标是
.
3
(2 , 1
8 )
设P(m, n)，任意给点M(x, y)关于P(m, n)的对称点为N(2m −x, 2n −y)，
由y = f(x) =
1
4 −2x , 2n −y = f(2m −x) =
1
4 −22m−x ，
∴y = 2n −
1
4 −22m−x = 2n −
2x
2x+2 −22m = (8n −1)2x −n ⋅22m+1
2x+2 −22m
= n ⋅22m−1 −(8n −1)2x−2
22m−2 −2x
又y =
1
4 −2x ，观察系数可得：
，解这个方程组得到m = 2, n = 1
8 ，
故答案为：(2, 1
8 ).
本题考查函数对称中心的求解，属基础题.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
2m −2 = 2
8n −1 = 0
n ⋅22m−1 = 1
练3
1
已知函数f (x)的定义域为R，且y = f (x + 1)的图象关于点(−1, 0)成中心对称.当x > 0时，f (x) =
3
x + 1 ，则
f (−2) =（ ）
A. 1
B. 3
C. −1
D. −3
C
根据题意和抽象函数图象的对称性可得y = f (x)的图象关于原点中心对称，为奇函数，结合奇函数的性质即
可求解.
因为将y = f (x + 1)的图象向右平移1个单位长度后
得到函数y = f (x)的图象且y = f (x + 1)的图象关于点(−1, 0)成中心对称，
所以y = f (x)的图象关于原点成中心对称，则y = f (x)在R上是奇函数，
所以f (−2) = −f (2) = −
3
2 + 1 = −1.
故选：C.
答案
解析
4
练4
1
下列函数中，其图象与函数y=ln(x+1)的图象关于直线x=1对称的是（ ）
A. y=ln(1-x)
B. y=ln(3-x)
C. y=ln(1+x)
D. y=ln(3+x)
B
设A(x, y)为所求曲线上一点，
A关于x = 1对称点A′(2 −x, y)，
∴y = ln(2 −x + 1) = ln(3 −x)，
∴y = ln(3 −x)与y = ln(x + 1)关于x = 1对称，
故选：B.
本题考查利用相关点代入法求曲线方程，属于基础题.
答案
解析
考点2：函数对称性的应用
A组
练1
1
已知定义域为R上的偶函数f(x)在[0, +∞)上单调递增，且f ( 1
2 ) = 0，则不等式f(x −2) > 0的解集是
．
{x
x < 3
2 或 x > 5
2 }
∵f (x)是偶函数且f ( 1
2 ) = 0，
∴不等式f(x −2) > 0等价于f(|x −2|) > f ( 1
2 )，
又∵f(x)在[0, +∞)上单调递增，
答案
解析
5
∴|x −2| > 1
2 ，解得x < 3
2 或x > 5
2 ，
故不等式的解集为{x
x < 3
2 或x > 5
2 }.
故答案为：{x
x < 3
2 或x > 5
2 }.
本题考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.
B组
练1
1
已知定义域为R的函数y = f (x)是奇函数，在(0, +∞)上是严格增函数，且f (3) = 0，则不等式(x −1)f (x) < 0的解
集是
.
(−3, 0) ∪(1, 3)
根据题意分别讨论x < 0，$0<1$和x > 1三种情况，由奇函数的性质以及单调性即可求解.
因为f (x)是奇函数，且在(0, +∞)是严格增函数，f (3) = 0，
所以f (x)在(−∞, 0)也是严格增函数，f (−3) = 0，
当x < 0时，不等式化为f (x) > 0 = f (−3)，解得x > −3，所以$-3<0$；
当$0<1$时，不等式化为f (x) > 0 = f (3)，解得x > 3，此时无解；
当x > 1时，不等式化为f (x) < 0 = f (3)，解得x < 3，所以$1<3$，
综上，不等式的解集为(−3, 0) ∪(1, 3).
故答案为：(−3, 0) ∪(1, 3).
答案
解析
练2
1
若函数y = f (x)满足：①f (x)的图象是中心对称图形；②若x ∈D时，f (x)图象上的点到其对称中心的距离不超过
一个正数M，则称f (x)是区间D上的“M对称函数”.若函数f (x) = (x + 1)3 + m (m > 0)是区间[−4, 2]上的“M对称函
数”，则实数M的取值范围是
A. [3√82, +∞)
B. [√82, +∞)
6
C. (0, 3√82]
D. (3√82, +∞)
A
分析：由图象变换知识明确函数f (x)的对称中心，结合新定义问题转化为求端点值到中心的最值问题.
详解：函数f (x) = (x + 1)3 + m (m > 0)的图象可由y = x3的图象向左平移1个单位，
再向上平移m个单位得到，故函数f (x)的图象关于点Q (−1，m)对称.
由图可知，当x ∈(−4，m −27)或点(2，m + 27)的距离最大，
最大值为d = √9 + (m −27 −m)2 = 3√82，根据条件只需M≥3√82.
故选A
点睛：三次函数具有良好的对称性，其对称中心的横坐标是三次函数二阶导数的零点，把零点代入f (x)即可
得到对称中心的纵坐标.
答案
解析
练3
1
已知函数f (x) = (x2 −1) (x2 + ax + b)，若对于任意的x ∈R，都有f (x) = f (4 −x)，则f (x)的最小值是
.
−16
根据f (1) = f (−1) = 0及f (x) = f (4 −x)可得f (3) = f (5) = 0即可求出函数解析式，令t = x2 −4x + 4，将
函数转化为二次函数，求出函数的最小值.解：对任意的x ∈R，都有f (x) = f (4 −x)
∵f (1) = f (−1) = 0
∴f (3) = f (5) = 0
∴f (x) = (x2 −1) (x −3) (x −5) = (x2 −4x + 3) (x2 −4x −5)
令t = x2 −4x + 4 ≥0
则∴g (t) = (t −1) (t −9) = (t −5)2 −16
∴g(t)min = −16
所以f (x)的最小值为−16
故答案为：−16
本题考查函数的最值，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题.
答案
解析
7
考点3：函数周期性的判断
B组
练1
1
函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x + 2) =
1
f (x) ，若f (1) = −5,则f (f (5)) =
．
−1
5
解：由f (x + 2) =
1
f (x) 得f (x + 4) =
1
f (x + 2) = f(x)，所以f(5) = f(1) = −5，则
．
答案
解析
练2
1
已知函数y = f (x)，对任意x ∈R，都有f (x + 2) ⋅f (x) = k（k为常数），且当x ∈[0, 2]时，f (x) = x2 + 1，则
f (2023) =
.
5
2
根据k = f (0) ⋅f (2)可得出k的值，推导出函数f (x)是周期为4的周期函数，结合周期性可求得f (2023)的值.
对任意x ∈R，都有f (x + 2) ⋅f (x) = k（k为常数），当x ∈[0, 2]时，f (x) = x2 + 1，
则f (0) = 1，f (2) = 5，则k = f (0) ⋅f (2) = 5，所以，f (1)f (−1) = 5，
所以，f (x + 2) ⋅f (x + 4) = 5且f (x + 2) ⋅f (x) = 5，
所以，f (x + 4) = f (x)，故函数f (x)是周期为4的周期函数，
则f (2023) = f (4 × 506 −1) = f (−1) =
5
f (1) = 5
2 ，
故答案为：5
2 .
答案
解析
8
考点4：函数周期性的应用
A组
练1
1
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x + 2) = f(x)且x ∈[0, 1]时，f(x) = x，则方程f(x) = log3|x|的解有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 多于4个
C
由题意可得函数周期为2，问题转化为f(x)与y = log3|x|图象的交点个数，作图可得．
解：由f(x + 2) = f(x)可得函数的周期为2，
又函数为偶函数且当x ∈[0，1]时，f(x) = x，
故可作出函数f(x)得图象．
∴方程f(x) = log3|x|的解个数等价于f(x)与y = log3|x|图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程f(x) = log3|x|的解个数为4.
故选：C．
答案
解析
9
练2
1
函数y = f(x), x ∈R满足f (x + 2) = f (x)，当0 < x ≤2时，f (x) = log2 (x + 1)，则f (−2023) =
.
1
由f (x + 2) = f (x)得函数的周期，然后通过周期性和对数的运算性质即可求出f (−2023)的值.
由f (x + 2) = f (x)得函数y = f(x), x ∈R的最小正周期为2.
由周期性可得，f (−2023) = f [1 + 2 × (−1012)] = f (1)，
当0 < x ≤2时，f (x) = log2 (x + 1)，则f (1) = log2 (1 + 1) = log2 2 = 1.
所以f (−2023) = 1.
故答案为：1.
答案
解析
B组
练1
1
设函数f(x) = √2
2 cos(2x + π
4 ) + sin2x
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）设函数g(x)对任意x ∈R，有g(x + π
2 ) = g(x)，且当x ∈[0, π
2 ]时，g(x) = 1
2 −f(x)；求函数g(x)在[−π, 0]上
的解析式．
（I） T = π；（II） g(x) = {
f(x) = √2
2 cos(2x + π
4 ) + sin2x = 1
2 cos 2x −1
2 sin 2x + 1
2 (1 −cos 2x)= 1
2 −1
2 sin 2x
（I）函数f(x)的最小正周期T = 2π
2 = π
（2）当x ∈[0, π
2 ]时，g(x) = 1
2 −f(x) = 1
2 sin 2x
答案
−1
2 sin 2x(−π
2 ≤x ≤0)
1
2 sin 2x(−π ≤x < −π
2 )
解析
10
当x ∈[−π
2 , 0]时，(x + π
2 ) ∈[0, π
2 ]
当x ∈[−π, −π
2 )时，(x + π) ∈[0, π
2 )g(x) = g(x + π) = 1
2 sin 2(x + π) = 1
2 sin 2x
得：函数g(x)在[−π, 0]上的解析式为g(x) = {
−1
2 sin 2x(−π
2 ≤x ≤0)
1
2 sin 2x(−π ≤x < −π
2 )
练2
1
设函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x + 3) = −f (x)，若f (1) ≥−2，f (2021) = 3
m ，则实数m的取值范
围是
.
m < 0或 m ≥3
2
根据给定条件，探讨函数f(x)的性质，并求出f(2021)与f(1)的关系，列出不等式求解即得.
由函数y = f (x)是R上的奇函数，且f (x + 3) = −f (x)，得f (x + 6) = −f (x + 3) = f(x)，
因此函数f(x)是以6为周期的周期函数，f(2021) = f(−1 + 6 × 337) = f(−1) = −f(1)，
而f (1) ≥−2，于是f(2021) ≤2，又f (2021) = 3
m ，则3
m ≤2，解得m < 0或m ≥3
2 ，
所以实数m的取值范围是m < 0或m ≥3
2 .
故答案为：m < 0或m ≥3
2
答案
解析
07 函数图像与函数零点
1
巩固练习
考点1：函数图像及其变换
A组
练1
1
已知函数f (x) = 1 + |x| −x
2
（−2 < x ⩽2）．
(1)
用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)
请在方格坐标系中画出函数f(x)的图像．
(1) f (x) = {
(2) 作图见解析
答案
1, 0 ⩽x ⩽2
1 −x, −2 < x < 0
2
(1) 当0 ⩽x ⩽2时，f (x) = 1 + x −x
2
= 1；
当−2 < x < 0时，f (x) = 1 + −x −x
2
= 1 −x．
∴f (x) = {
．
(2) 函数f(x)的图像如下图所示．
解析
1, 0 ⩽x ⩽2
1 −x, −2 < x < 0
B组
练1
1
函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（ ）
A.
B.
3
C.
D.
A
先根据定义域排除部分选项，再利用奇偶性判断.
解：因为函数y=g(x)的图像与y轴没有公共点，
所以函数y=f(x)∙g(x)的图象与y轴没有公共点，排除CD；
由函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像可知：
函数y=f(x)是偶函数，函数y=g(x)是奇函数，
所以函数y=f(x)∙g(x)是奇函数，故排除B,
故选：A
答案
解析
练2
1
已知曲线C1：y = sin x，曲线C2：y = sin (ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π
2 )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
B. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
C. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
D. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
B
1
2
1
2
答案
4
根据图象求出曲线C2对应的函数解析式，再根据正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.
设y = g(x) = sin (ωx + φ)，由图象可知：g (0) = 1
2 , g ( π
12 ) = 0，
g (0) = 1
2 ⇒sin φ = 1
2 ，因为|φ| < π
2 ，所以φ = π
6 ，
g ( π
12 ) = 0 ⇒5π
12 ω + φ = kπ (k ∈Z) ⇒ω = 12k −2
5
(k ∈Z)，
设y = g(x) = sin (ωx + φ)的最小正周期为T，因为ω > 0，
所以由图象可知中：T
2 > 5π
12 ⇒2π
ω > 5π
6 ⇒0 < ω < 12
5 ，
而ω = 12k −2
5
(k ∈Z)，所以令k = 1，则ω = 2，
因此y = g (x) = sin (2x + π
6 )，
选项A，将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin ( 1
2 x + π
6 )，故本选项不正确；
选项B，将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin (2x + π
6 )，故本选项正确；
选项C，将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin ( 1
2 x + π
3 )，故本选项不正确；
选项D，将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin (2x + π
3 )，故本选项不正确，
故选：B.
解析
1
2
1
2
练3
1
设函数f (x)在(−∞, +∞)内有定义，对于给定的正数K，若定义函数fK (x) = {
，取函数f (x) = 2−|x|
，当K = 1
4 时，函数fK (x)的单调递增区间为
．
(−∞, −2)
根据题意，将函数f (x)写成分段函数的形式，分析f (x) > k，即2−|x| > 1
4 的解集，据此可得fK (x)的解析
式，进而分析可得答案．解：根据题意，函数f (x) = 2−|x| = {
，K = 1
4 ，
若f (x) > k，即2−|x| > 1
4 ，也即( 1
2 )
|x|
> ( 1
2 )
2
进而|x| < 2解可得$-2<2$，
f(x),f(x)≤K
K, f (x) > K
答案
解析
2x,x≤0
2−x, x > 0
5
则此时${{f}_{K}}\left( x \right)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }\begin{matrix} {{2}^{x}},x\le -2 \ \dfrac{1}{4},-2<2 \
{{2}^{-x}},x\ge 2 \ \end{matrix}\text{ }$，其单调递增区间为(−∞, −2)；
故答案为(−∞, −2)．
本题考查分段函数的应用，注意分析fk (x)的含义，属于中档题．
练4
1
设实数a > 0，且a ≠1，b ∈R，函数f (x) = ax + b (x > 0)．若f (x)的图像与x轴没有交点，则（ ）
A. {
或{
B. {
或{
C. {
或{
D. {
或{
A
分a > 1和0 < a < 1，根据题意结合指数函数性质运算求解即可.
①当a > 1时，f (x) = ax + b (x > 0)单调递增，则f (x) > f (0) = b + 1，
为使f (x)的图象与x轴没有交点，则b + 1 ≥0 ⇒b ≥−1；
②当0 < a < 1时，f (x) = ax + b (x > 0)单调递减，
且x > 0，则0 < ax < 1，可得b < ax + b < b + 1，
若f(x)的图象与x轴没有交点，则b ≥0或b + 1 ≤0，解得b ≥0或b ≤−1；
综上所述：{
或{
.
故选：A.
a > 1
b ≥−1
0 < a < 1
b ≤−1或b ≥0
a > 1
b < −1
0 < a < 1
−1 < b < 0
a > 1
b ≤−2
0 < a < 1
−0.5 < b < 0
a > 1
−2 < b < −1
0 < a < 1
−1 < b < −0.5
答案
解析
a > 1
b ≥−1
0 < a < 1
b ≤−1或b ≥0
考点2：已知零点个数求参
A组
练1
1
已知函数f (x) = {
，若函数f (x)存在零点，则实数t的取值范围是
.
3x, x ≥t
−x, x < t
6
(0, +∞).
根据题意，利用指数函数和一次函数的图象与性质，结合函数零点的概念，列出关系式，即可求解.
由题意，当x ≥t时，f (x) = 3x，根据指数函数的性质，可得f (x) > 0，
所以函数y = f (x)在x ∈[t, +∞)上没有零点；
要使得函数y = f (x)存在零点，即x ∈(−∞, t)上函数存在零点，
当x < t时，f (x) = −x为单调递减函数，
要使得函数y = f (x)存在零点，则满足t > 0，
即实数t的取值范围为(0, +∞).
故答案为：(0, +∞).
答案
解析
练2
1
函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数为
.
2
将问题转化为函数y = 1
2x 与y = 3 −x2的交点个数，作出函数图象即可得到结果.
函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数等价于方程1
2x = 3 −x2的解得个数，
即函数y = 1
2x 与y = 3 −x2的交点个数，
作出函数y = 1
2x 与y = 3 −x2的图象如下图所示，
由图象可知：函数y = 1
2x 与y = 3 −x2有且仅有两个不同交点，
∴函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数为2.
答案
解析
7
故答案为：2.
B组
练1
1
若函数f(x) = {
有且仅有1个零点，则实数a的取值范围
(−∞, −3) ⋃[−2, 1)
把函数y = −(x + 3)(x −1)，y = 2x −0.25的图象画在同一直角坐标系中，直线x = a在平移过程中，可得到
函数f(x)与x轴的不同交点个数，从而即可求解.
解：把函数y = −(x + 3)(x −1)，y = 2x −1
4 的图象画在同一直角坐标系中，如图所示：
直线x = a在平移过程中，可得到函数f(x)图象与x轴的不同交点个数，
当a ∈(−∞, −3) ⋃[−2, 1)时，函数f(x) = {
与x轴有且只有一个交点，
所以实数a的取值范围是(−∞, −3) ⋃[−2, 1)，
故答案为：(−∞, −3) ⋃[−2, 1)．
−(x + 3)(x −1), x ≤a
2x −0.25, x > a
答案
解析
−(x + 3)(x −1), x ≤a
2x −0.25, x > a
练2
1
若存在区间[a, b](a, b ∈R)使得函数f (x) = sin x −1
2 在此区间上仅有两个零点，则b −a的取值范围是
．
答案
8
[ 2π
3 , 10π
3 )
由f (x) = sin x −1
2 = 0得sin x = 1
2 ，所以x = π
6 + 2k1π或x = 5π
6 + 2k2π，k1, k2 ∈Z，根据正弦图象结合条
件即可求解结果．
由f (x) = sin x −1
2 = 0得sin x = 1
2 ，所以x = π
6 + 2k1π或x = 5π
6 + 2k2π，k1, k2 ∈Z
当a = π
6 + 2kπ, b = 5π
6 + 2kπ, k ∈Z，b −a = 2π
3 ；
当a = 5π
6 + 2kπ, b = π
6 + 2 (k + 2)π, k ∈Z，b −a = 10π
3
因为在区间[a, b](a, b ∈R)上函数f (x) = sin x −1
2 仅有两个零点，
所以2π
3 ≤b −a < 10π
3
故答案为：[ 2π
3 , 10π
3 )
解析
练3
1
设min {A, B}表示A，B中的较小数.若函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则实数a的取值
范围是
.
[6, +∞)
设g(x) = x2 −ax + 2a −3，h(x) = |x| −2，根据函数h(x)的图象得出a ≥6或a ≤2.然后根据a的取值讨论即
可求解.
设g(x) = x2 −ax + 2a −3，h(x) = |x| −2，
由|x| −2 = 0可得：x = ±2.
要使函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则函数g(x)至少有1个零点，则
Δ = a2 −4(2a −3) ≥0，解得：a ≥6或a ≤2.
(1)当a = 2时，g(x) = x2 −2x + 1，作出函数g(x), h(x)的图象如下图所示：
答案
解析
9
此时函数f(x)只有两个零点，不满足题意；
(2)当a < 2时，设函数g(x)的两个零点分别为x1, x2(x1 < x2)，
要使得函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则x2 ≤−2，
所以{
，解得：a ∈∅；
(3)当a = 6时，g(x) = x2 −6x + 9，作出函数g(x), h(x)的图象如下图所示：
由图可知，函数f(x)的零点个数为3，满足题意；
(4)当a > 6时，设函数g(x)的两个零点分别为x3, x4(x3 < x4)，
要使得函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则x3 > 2，
所以{
，解得：a > 2，此时a > 6，
综上所述，实数a的取值范围是[6, +∞)，
故答案为：[6, +∞).
a
2 < −2
g(−2) = 4a −1 ≥0
a
2 > 2
g(2) = 4 −3 = 1 > 0
练4
1
设f (x)是定义在R上的偶函数，对任意的x ∈R，都有f (x −2) = f (x + 2)，且当x ∈[−2, 0]时，f (x) = ( 1
2 )
x
−1.
若在区间(−2, 6]内关于x的方程f (x) −loga (x + 2) = 0 (a > 1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
.
答案
10
(
3√4, 2)
由周期性与奇偶性作出函数图象，通过图象观察，可得关于a的不等式组，解出即可．
由f (x) −loga (x + 2) = 0 (a > 1)可得f (x) = loga (x + 2)，
所以，函数y = f (x)和函数y = loga (x + 2) (a > 1)在(−2, 6]上的图象有3个交点，
因为对任意的x ∈R，都有f (x −2) = f (x + 2)，即f (x) = f (x + 4)，
所以，函数f (x)是周期为4的周期函数，
因为f (x)是定义在R上的偶函数，
且当x ∈[−2, 0]时，f (x) = ( 1
2 )
x
−1，则f (−2) = 3.
作出函数y = f (x)和函数y = loga (x + 2) (a > 1)在(−2, 6]上的图象如下图所示：
要使得函数y = f (x)和函数y = loga (x + 2) (a > 1)在(−2, 6]上的图象有3个交点，
则
，解得
3√4 < a < 2.因此，实数a的取值范围是(
3√4, 2).
故答案为：( 3√4, 2)
解析
⎧
⎨
⎩
loga 4 < 3
loga 8 > 3
a > 1
考点3：利用函数性质探究零点关系
A组
练1
1
已知函数f(x) = x −2
x (x ≠0)，则该函数的所有零点的和是
.
0
答案
11
函数的零点转化为方程的根，求出方程的根，然后推出所有零点的和.
函数f(x) = x −2
x (x ≠0)的零点，就是方程x −2
x = 0的根，解得：x = ±√2
所以该函数的所有零点的和为：√2 −√2 = 0，
故答案为：0
解析
B组
练1
1
已知定义在R上的奇函数f (x)，满足f(x −4) = −f(x)，且在区间[0, 2]上是增函数，若方程f(x) = m(m > 0)，在区
间[−8, 8]上有四个不同的根x1, x2, x3, x4，则x1 + x2 + x3 + x4 =（ ）
A. -12
B. -8
C. -4
D. 4
B
先根据题意可得f (x)的最小正周期为8，再画出简图，结合函数的对称性求解即可
f(x −4) = −f(x) ⇒f(x −8) = f[(x −4) −4] = −f(x −4) = f(x)，故函数f (x)的最小正周期为8．又因为函
数是奇函数，且在区间[0, 2]上是增函数，所以可以粗略画出简图，不妨设x1 > x2 > x3 > x4，由图象可知，
x1 + x2 = 4, x3 + x4 = −12，所以x1 + x2 + x3 + x4 = −8．
故选：B
答案
解析
练2
1
已知f (x) = 2 sin πx，g (x) =
3√x −1，则f (x)与g (x)图象交点的横坐标之和为
.
答案
12
17.
作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论.作出f (x)与g (x)的图象，如图，
令3√x −1 = 2，解得x = 9，令3√x −1 = −2，解得x = −7，
∴f (x)与g (x)图象共有17个交点.
∵则f (x)与g (x)关于(1, 0)对称，
设17个交点横坐标为x1, x2, x3, ⋯, x17，
则x1 + x2 + x3 + ⋯+ x17 = 2 × 8 + 1 = 17.
故答案为：17.
本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题
的关键.
解析
练3
1
已知函数f (x) = {
，若存在x1 < x2 < x3，使得f (x1) = f (x2) = f (x3)，则x1 + x2 + x3的取值
范围是（ ）
A. (0, √6)
B. (√3, √6)
C. (0, √6]
D. (√3, √6]
D
设f (x1) = f (x2) = f (x3) = t，则直线y = t与函数f (x)的图象有三个交点，分析可知点(x1, t)、(x2, t)关于直
线x = −1对称，可得出x1 + x2的值，求出x3的取值范围，由此可求得x1 + x2 + x3的取值范围.
设f (x1) = f (x2) = f (x3) = t，作出函数f (x)与y = t的图象如下图所示：
由图可知，当0 < t ≤3时，直线y = t与函数f (x)的图象有三个交点，
|x + 1|, x ≤2
x2 −4x + 1, x > 2
答案
解析
13
由图可知，点(x1, t)、(x2, t)关于直线x = −1对称，则x1 + x2 = −2，
且函数f (x)在(2, +∞)上为增函数，
由f (x3) = x2
3 −4x3 + 1 ∈(0, 3]，因为x3 > 2，解得2 + √3 < x3 ≤2 + √6，
所以，x1 + x2 + x3 = x3 −2 ∈(√3, √6].
故选：D.
关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出x1 + x2，
结合不等式求出x3的取值范围，进而求解.
08 三角比
1
巩固练习
考点1：任意角与弧度制
A组
1
一个扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则圆心角为
弧度．
2
设出扇形的圆心角和半径，利用扇形的周长和面积列方程组求出圆心角的值．
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，
则扇形的周长为αr + 2r = 4，…①
面积为1
2 αr2 = 1，…②
由①②解得α = 2，r = 1；
所以扇形的圆心角为2弧度．
故答案为：2
答案
解析
2
下列说法正确的是（ ）
A. 终边在x轴上角的集合是{α
α = kπ
2 ，k ∈Z}
B. 若角α的终边在第二象限，则角α是钝角
C. 若角α是钝角，则角α的终边在第二象限
D. 终边在直线y = x上角的集合是{α
α = π
4 + kπ，k ∈Z}
CD
根据终边相同的角的表示方式进行判断AD，根据钝角的概念判断BC.
答案
解析
2
对A：终边在x轴上的角的集合是：{α|α = kπ, k ∈Z}，故A错；
对B：终边在第二象限的，未必都是钝角，例如α = 2π + 3π
4 ，故B错；
对C：因为钝角是大于90∘小于180∘的角，必在第二象限，故C对；
对D：终边在直线y = x上的角的集合是：{α
α = π
4 + kπ，k ∈Z}，故D对.
故选：CD
3
中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面
积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为√3 −1
2
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的
圆心角的弧度数为（ ）
A. (4 −2√3)π
B. (2 −√3)π
C. (√3 −1)π
D. (2√3 −2)π
A
设扇形圆心角的弧度数为α，由题意可得出S1
S2
=
α
2π −α = √3 −1
2
，解得α = (4 −2√3)π.
故选：A.
答案
解析
B组
1
已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数是
A.
B.
C.
D. 2
C
先设圆的半径为r,再求出内接正三角形的边长为√3r，再根据已知求出其圆心角α的弧度数.设圆半径为r，则其
内接正三角形的边长为
r，所以
r＝α·r，∴α＝
.
故答案为C
（1）本题主要考查圆心角和弧长公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 圆心角α的弧
答案
解析
3
度数：∣α∣= l
r 其中l代表弧长, r代表圆的半径.
考点2：三角比
A组
1
若角α的终边经过点P(5t, 12t)(t > 0)，则sin α =
．
12
13
根据给定条件，利用正弦函数的定义求出正弦值.
依题意，sin α =
12t
√(5t)2 + (12t)2 = 12t
13t = 12
13 .
故答案为：12
13
答案
解析
2
已知 tan α = 2 ，则 sin2 α −sin α cos α 的值是
2
5
【详解】因为 tan α = 2 ，所以 sin2 α −sin α cos α = sin2 α −sin α cos α
sin2 α + cos2 α
= tan2 α −tan α
tan2 α + 1
= 22 −2
22 + 1 = 2
5 ．
故答案为：2
5
答案
解析
B组
1
已知集合A = {α| tan α > 0}，集合B = {β| cot β
2 > 0}，则B ∩A =
．
–
4
(2kπ −π, 2kπ −π
2 ) (k ∈Z)
利用正切函数、余切函数的定义求出集合A, B，再利用补集、交集的定义求解.
集合A = {α| tan α > 0} = (kπ, kπ + π
2 ) (k ∈Z)，
集合B = {β| cot β
2 > 0} = {β|kπ < β
2 < kπ + π
2 , k ∈Z} = (2kπ, 2kπ + π) (k ∈Z)，
则B = [2kπ −π, 2kπ] (k ∈Z)，所以B ∩A = (2kπ −π, 2kπ −π
2 ) (k ∈Z).
故答案为：(2kπ −π, 2kπ −π
2 ) (k ∈Z)
答案
解析
–
–
考点3：诱导公式
A组
1
已知sin(3π + θ) = 1
4 ，求
cos (π + θ)
cos θ [cos (π + θ) −1] +
cos (θ −2π)
cos (θ + 2π) cos (π + θ) + cos (−θ) =
.
32
利用诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”进行化简求值.原式=
−cos θ
cos θ ⋅[−cos θ −1] +
cos θ
cos θ ⋅(−cos θ) + cos θ
=
1
cos θ + 1 +
1
1 −cos θ =
2
sin2θ
，
因为sin(3π + θ) = 1
4 ，所以sin θ = −1
4 ，代入上式，
所以原式= 32
故答案为：32
本题考查诱导公式的应用、已知三角函数值求值，考查基本运算求解能力，求解时注意符号的正负.
答案
解析
B组
1
若点P(cos θ, sin θ)与点Q (cos (θ + π
2 ), sin (θ + π
2 ))关于直线3x −y = 0对称，则tan θ =
.
5
1
2 | 0.5
根据对称关系得垂直关系，利用斜率公式即可得解.
点P(cos θ, sin θ)与点Q (cos (θ + π
2 ), sin (θ + π
2 ))关于直线3x −y = 0对称，
sin (θ + π
2 ) −sin θ
cos (θ + π
2 ) −cos θ
= −1
3
cos θ −sin θ
−sin θ −cos θ = −1
3
3 cos θ −3 sin θ = sin θ + cos θ
2 cos θ = 4 sin θ
所以tan θ = 1
2
故答案为：1
2
答案
解析
考点4：两角的和差公式
A组
1
若 cos (θ + π
3 ) = 1 ，则 cos θ =
1
2
根据 cos θ = cos (θ + π
3 −π
3 ) ，利用两角差的余弦公式可求出结果.
因为 cos (θ + π
3 ) = 1 ，所以 sin (θ + π
3 ) = 0 ，
所以 cos θ = cos (θ + π
3 −π
3 ) = cos (θ + π
3 ) cos π
3 + sin (θ + π
3 ) sin π
3
答案
解析
= 1 × 1
2 + 0 × √3
2
= 1
2 .
6
故答案为: 1
2 .
2
已知α、β ∈(−π
2 , 0)，且tan α + tan β + √3 tan α tan β = √3，则α + β =
．
−2
3 π
将条件变形为tan α + tan β
1 −tan α tan β = √3，利用两角和的正切公式可得tan (α + β) = √3，在根据α + β ∈(−π, 0)，
可得α + β的值.
解：由tan α + tan β + √3 tan α tan β = √3得：tan (α + β) =
tan α + tan β
1 −tan α tan β = √3，
又α，β ∈(−π
2 ，0)，则α + β ∈(−π, 0)，
∴α + β = −2
3 π.
故答案为：−2
3 π
答案
解析
B组
1
已知点A的坐标为(√3, −1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转5π
6 至OB，则点B的纵坐标为
.
√3
设α的终边经过点A，β的终边经过点B，B (x0, y0)，β = α + 5π
6 .根据三角函数的定义求出sin α, cos α的值，根
据两角和的正弦公式，求出sin β的值，然后根据三角函数的定义，即可得出答案.
设α的终边经过点A，β的终边经过点B，则β = α + 5π
6 ，设B (x0, y0)，
根据三角函数的定义可得，sin α =
−1
√(√3)
2
+ (−1)2
= −1
2 ，cos α = √3
2 ，
所以，sin β = sin (α + 5π
6 )= sin α cos 5π
6 + cos α sin 5π
6 = −1
2 × (−√3
2 ) + √3
2
× 1
2 = √3
2 .
又|OB| = |OA| = 2，
答案
解析
7
所以，根据三角函数的定义可知，sin β =
y0
|OB| ，则y0 = 2 × √3
2
= √3.
故答案为：√3.
2
设α, β ∈(0, π
2 )，cos (α + π
6 ) = 5
13 ，sin (β −π
3 ) = −3
5 ，则cos(α −β) =（ ）
A. 63
65
B. −63
65
C. 33
65
D. −33
65
A
先计算得到sin (α + π
6 ) = 12
13 ，cos (β −π
3 ) = 4
5 ，再利用cos(α −β) =
cos [(α + π
6 ) −(β −π
3 ) −π
2 ]展开得到答案.
α, β ∈(0, π
2 )，α + π
6 ∈( π
6 , 2π
3 )，cos (α + π
6 ) = 5
13 ∴sin (α + π
6 ) = 12
13 ；
β −π
3 ∈(−π
3 , π
6 )，sin (β −π
3 ) = −3
5 ∴cos (β −π
3 ) = 4
5 ；
cos(α −β) = cos [(α + π
6 ) −(β −π
3 ) −π
2 ] = sin [(α + π
6 ) −(β −π
3 )]
= sin (α + π
6 ) cos (β −π
3 ) −cos (α + π
6 ) sin (β −π
3 ) = 12
13 × 4
5 + 5
13 × 3
5 = 63
65
故选：A
本题考查了三角函数值的计算，变换cos(α −β) = cos [(α + π
6 ) −(β −π
3 ) −π
2 ]是解题的关键.
答案
解析
考点5：二倍角、半角与辅助角公式
A组
1
已知点P(3, −4)是角α终边上一点，则cos 2α =
．
−7
25
根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
因为点P(3, −4)是角α终边上一点，，
答案
解析
8
所以sin α =
−4
√32 + (−4)2
= −4
5 ，
则cos 2α = 1 −2 sin2 α = 1 −2 × (−4
5 )
2
= −7
25 .
故答案为：−7
25 .
2
三倍角的正切公式为tan 3α =
.
tan 3α = 3 tan α −tan3α
1 −3tan2α
.
直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．tan3α＝tan（α+2α）
= tanα + tan2α
1 −tanαtan2α =
tanα +
2tanα
1 −tan2α
1 −tanα ⋅
2tanα
1 −tan2α
= 3tanα −tan3α
1 −3tan2α
．
故答案为：3tanα −tan3α
1 −3tan2α
．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于
基础题型．
答案
解析
B组
1
已知α, β为锐角，且1 −cos 2α = sin α cos α, tan (β −α) = 1
3 ，则tan α =
；β =
.
1
2 | 0.5 ; π
4
根据余弦二倍角公式化简式子，结合α为锐角，即可求得tan α的值；再根据正切两角和公式凑角即可求得
tan β的值，从而可得β的大小.
由1 −cos 2α = sin α cos α，得1 −(1 −2 sin2 α) = sin α cos α，即2 sin2 α = sin α cos α
因为α为锐角，所以sin α ≠0，
所以2 sin α = cos α，即tan α = 1
2 .
答案
解析
9
tan β = tan [α + (β −α)] =
tan α + tan (β −α)
1 −tan α ⋅tan (β −α) =
1 −1
2 × 1
3
= 1
因为β为锐角，所以β = π
4 .
故答案为：1
2 ；π
4
1
2 + 1
3
09 解三角形
1
巩固练习
考点1：正弦定理及其应用
A组
1
在△ABC中，若A = 60∘，AB = 2，AC = 2√3，则△ABC的面积是
．
3
△ABC的面积为S = 1
2 AB ⋅AC ⋅sin A = 1
2 × 2 × 2√3 × √3
2
= 3.
故答案为：3
本题考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.
答案
解析
2
在△ABC中，已知BC = 5, AC = 4, A = 2B，则cos B的值为
.
5
8
根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.
在△ABC中，由正弦定理得BC
sin A =
AC
sin B ，而BC = 5, AC = 4, A = 2B，
因此
5
sin 2B =
4
sin B ，即
5
2 sin B cos B =
4
sin B ，所以cos B = 5
8 .
故答案为：5
8
答案
解析
B组
2
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A. a = 8，b = 10，A = 45∘
B. a = 60，b = 81，B = 60∘
C. a = 7，b = 5，A = 80∘
D. a = 14，b = 20，A = 45∘
A
由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断△ABC解的个数即可得解．
对于A，若a = 8，b = 10，A = 45∘，由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得
8
sin 45
∘=
10
sin B ，
得sin B = 5√2
8
> √2
2
= sin A，再根据b＞a，可得B＞A，得B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故
△ABC有两解；
对于B，若a = 60，b = 81，B = 60∘，由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得60
sin A =
81
sin 60∘，
得sin A = 10√3
27
< √3
2
= sin B，再根据b＞a，可得B＞A，B只能是锐角，故△ABC有一个解；
对于C，若a＝7，b＝5，A＝80°，∵a＝7，b＝5，A＝80°，由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得
7
sin 80
∘=
5
sin B ，得sin B = 5 sin 80∘
7
< 1，再根据b＜a，∴B只能是锐角，故△ABC有一解；
对于D，若a＝14，b＝20，A＝45°，则由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得
14
sin 45∘=
20
sin B ，求得sinB＝
5√2
7
> 1，故B无解，得△ABC不存在.
故选：A．
思路点睛：判断三角形解的个数问题：先利用正弦定理，余弦定理以及大边对大角来判定三角形的解的情
况，再利用三角形的内角和定理，以及三角函数的图象与性质.
答案
解析
考点2：余弦定理及其应用
A组
1
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 4、b = 5、c = 6，则sin A =
.
√7
4
答案
3
利用余弦定理可得cos A = 3
4 ，进而可求sin A.
因为a = 4、b = 5、c = 6，
由余弦定理可得cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= 25 + 36 −16
2 × 5 × 6
= 3
4 ，
且0 < A < π，所以sin A = √1 −cos2 A = √7
4 .
故答案为：
√7
4 .
解析
2
某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m），且该区域的租金为每天4
元/m ．若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需________元．（结果保留整数）
520
根据余弦定理求出一个角，根据面积公式求出三角形的面积后可得结果.
设△ABC的A, B, C对应的边为a, b, c，且a = 14, b = 10, c = 6，
由余弦定理可得cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= 102 + 62 −142
2 × 10 × 6
= −1
2 ，
因为$0<\pi $，所以A = 2π
3 ，
所以sin A = √3
2 ，
所以S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 × 10 × 6 × √3
2
= 15√3，
所以仅场地的租用费为15√3 × 4 × 5 = 300√3≈520元.
故答案为：520
2
答案
解析
4
3
在△ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c，若a2 −b2 = 3bc, sin C = 2 sin B，则A =
.
2π
3
首先根据正弦定理角化边公式得到c = 2b，再结合余弦定理求解即可.
因为sin C = 2 sin B，所以c = 2b，因为a2 −b2 = 3bc，
所以cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= −3bc + 2bc
2bc
= −1
2 ，
因为0 < A < π，所以A = 2π
3 .
故答案为：2π
3
答案
解析
B组
已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边，且c cos B + (b −2a) cos C = 0.
(1)
求C；
(2)
若CD为AB边上的中线，cos A = 1
7 ，CD = √129
2
，求△ABC的面积.
(1) C = π
3
(2) 10√3
(1) 因为c cos B + (b −2a) cos C = 0，由正弦定理得
答案
解析
5
sin C cos B + (sin B −2 sin A) cos C = 0，
∴sin (B + C) = 2 sin A cos C
在△ABC中，∵sin (B + C) = sin A ≠0，
∴cos C = 1
2
又C ∈(0, π)，∴C = π
3 .
(2) 在△ABC中，由cos A = 1
7 ，得sin A = 4√3
7
，
则sin B = sin (A + C) = sin A cos C + cos A sin C = 4√3
7
× 1
2 + 1
7 × √3
2
= 5√3
14
由正弦定理得c
b = sin C
sin B = 7
5
设c = 7x, b = 5x，在△ACD中，由余弦定理得
CD2 = AC2 + AD2 −2AC ⋅AD cos A，则
129
4
= 25x2 + 1
4 × 49x2 −2 × 5x × 1
2 × 7x × 1
7 ，解得x = 1
即c = 7, b = 5
故S△ABC = 1
2 bc sin A = 10√3.
考点3：解三角形的实际应用
A组
1
如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B和C，在B点处观测到C的方位角为155∘，B点和C点相距25千
米．某日两个观测站都观测到了A处出现火情，在B点处观测到A的方位角为125∘．在C点处，观测到A的方位角为
80∘，则观测站C与火情A之间的距离为
．
25√2
2
千米
由正弦定理求解即可
在△ABC中，∠ABC = 155∘−125∘= 30∘，∠BCA = 180∘−155∘+ 80∘= 105∘，
答案
解析
6
∠BAC = 180∘−30∘−105∘= 45∘，BC = 25，
由正弦定理可得
AC
sin ∠ABC =
BC
sin ∠BAC ，即
AC
sin 30∘=
25
sin 45∘，
所以AC = 25 × sin 30∘
sin 45∘
= 25√2
2
（千米），
所以观测站C与火情A之间的距离为25√2
2
千米
故答案为：25√2
2
千米
2
如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，
已知AB = a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼
与东方明珠塔之间的距离d =
.
a
tan α −tan β
根据正切函数的定义得到方程，解出即可.
分别过点A, B作CD的垂线，垂足分别为M, N，
则根据正切函数的定义得CM = d tan α，CN = d tan β，
则MN = AB = d tan α −d tan β = a，解得d =
a
tan α −tan β .
答案
解析
7
故答案为：
a
tan α −tan β .
B组
某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角
∠ACB = π
3 ，墙AB的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记∠ABC = θ.
(1)
若θ = π
4 ，求三角形的周长（结果精确到0.01）；
(2)
为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室
面积最大？并求出最大面积.
(1) 22.45米．
(2) AC = BC = 8米时，活动室面积最大，最大面积为 16√3．
(1) 由正弦定理AC
sin θ =
AB
sin C ，即AC
sin π
4
=
8
sin π
3
，AC = 8√6
3
，
sin ∠CAB = sin (π −π
3 −π
4 ) = sin ( π
3 + π
4 ) = sin π
3 cos π
4 + cos π
3 sin π
4 = √3
2
× √2
2
+ 1
2 × √2
2
=
√6 + √2
4
，
答案
解析
8
由
BC
sin ∠CAB =
AB
sin C 得BC = AB sin ∠CAB
sin C
=
8 × √6 + √2
4
√3
2
= 4 (√2 + √6
3 )，
三角形周长为
l = 8 + 8√6
3
+ 4 (√2 + √6
3 ) = 8 + 4√6 + 4√2 = 8 + 4 × 2.449 + 4 × 1.414 ≈22.45（米）．
所以三角形周长约为22.45米．
(2) 由AC
sin θ =
AB
sin C 得AC = 8 sin θ
sin π
3
= 16√3
3
sin θ，
又sin ∠CAB = sin (π −π
3 −θ) = sin ( π
3 + θ)，
BC
sin ∠CAB =
AB
sin C 得BC = 8 sin ∠CAB
sin π
3
= 16√3
3
sin ( π
3 + θ)，
所以S△ABC = 1
2 AC ⋅BC sin π
3 = 1
2 × 16√3
3
sin θ × 16√3
3
sin ( π
3 + θ) × √3
2 = 64√3
3
sin θ sin ( π
3 + θ)，
y = sin θ sin ( π
3 + θ) = sin θ (sin π
3 cos θ + cos π
3 sin θ) = √3
2 sin θ cos θ + 1
2 sin2 θ
= √3
4 sin 2θ + 1
4 (1 −cos 2θ) = 1
4 + 1
2 ( √3
2 sin 2θ −1
2 cos 2θ)= 1
4 + 1
2 sin (2θ −π
6 )，
因为θ ∈(0, π)，所以2θ −π
6 = π
2 ，即θ = π
3 时，ymax = 3
4 ，此时AC = BC = AB = 8，
此时三角形ABC取得最大面积64√3
3
× 3
4 = 16√3．
10 三角函数的图像与性质
1
巩固练习
考点1：三类基本三角函数的图像及其性质
A组
1
函数y = 2 cos2 x + 1(x ∈R)的最小正周期为
.
π
根据二倍角公式，结合周期公式求解即可.
解：y = 2 cos2 x + 1 = cos 2x + 2，
所以，其最小正周期为2π
2 = π.
故答案为：π
答案
解析
2
“函数f(x) = sin(ωx)（x、ω ∈R，且ω ≠0）的最小正周期为 π ”是“ω = 2”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
B
根据最小正周期计算ω，再利用充分必要性判断即可.
因为最小正周期T = 2π
|ω| = π，故ω = ±2，
所以“函数f(x) = sin(ωx)（x、ω ∈R，且ω ≠0）的最小正周期为 π ”是“ω = 2”的必要非充分条件.
故选：B.
答案
解析
2
3
下列说法正确的是（ ）
A. 函数y = sin x在第一象限内是严格增函数
B. 函数y = cos x的图象是中心对称图形
C. 函数y = tan x在其定义域中是严格增函数
D. 函数y = sin x
x
是周期函数
B
在第一象限内取两特殊值可判断A;根据余弦函数的图象和性质判断B;在正切函数的定义域内取两特殊角，可判
断C；根据函数式的特征可判断D.
取α = 30∘, β = 390∘ ，都是第一象限角，但是sin α = sin β，故A错误；
根据余弦函数的图象和性质知，函数y = cos x的图象是中心对称图形，故B正确；
取α = 30∘, β = 210∘，两角都在y = tan x定义域内，但tan α = tan β，故C错误；
函数y = sin x 具有周期性，而y = x 不具有周期性，因此函数y = sin x
x
不是周期函数，故D错误；
故选：B.
答案
解析
B组
1
求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值.
(1)y = −sin2x + √3 sin x + 5
4 ;
(2)y = cos2x −sin x,x ∈[−π
4 , π
4 ].
见解析
答案
3
解:(1)y = −sin2x + √3 sin x + 5
4 = −(sin x −√3
2 )
2
+ 2.
因为−1 ≤sin x ≤1,所以当sin x = √3
2 ,即x = 2kπ + π
3 (k ∈Z)或x = 2kπ + 2π
3 (k ∈Z)时,函数取得最大值,
ymax = 2;当sin x = −1,即x = 2kπ + 3π
2 (k ∈Z)时,函数取得最小值,ymin = 1
4 −√3.
(2)y = cos2x −sin x = 1 −sin2x −sin x = −(sin x + 1
2 )
2
+ 5
4 .因为−π
4 ≤x ≤π
4 ,所以−√2
2
≤sin x ≤√2
2 ,所
以当sin x = −1
2 ,即x = −π
6 时,函数取得最大值,ymax = 5
4 ;当sin x = √2
2 ,即x = π
4 时,函数取得最小值,
ymin = 1
2 −√2
2 .
本题主要考查含sinx的二次型函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析
考点2：正弦型三角函数
A组
1
已知函数f(x) = √3 sin ωx −cos ωx (ω > 0)在[0, π
2 ]内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A. ( 13
3 , 16
3 ]
B. [ 13
3 , 16
3 )
C. ( 14
3 , 17
3 ]
D. [ 14
3 , 17
3 )
B
f(x) = √3 sin ωx −cos ωx = 2 sin(ωx −π
6 ), 0 ≤x ≤π
2 ，
∴−π
6 ≤ωx −π
6 ≤ωπ
2 −π
6 ，
⇒
，
则ω的取值范围是[ 13
3 , 16
3 ).
故选：B.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
ωπ
2 −π
6 ≥2π
ωπ
2 −π
6 < 5π
2
⎧
⎨
⎩
ω ≥13
3
ω < 16
3
2
已知函数f (x) = 2 sin (2x + 2π
3 ).
(1)
求f (x)的单调增区间；
4
(2)
求函数f (x)在[0, 2π
3 )的值域.
(1) [−7π
12 + kπ, −π
12 + kπ], k ∈Z
(2) [−2, √3]
(1) 由−π
2 + 2kπ ≤2x + 2π
3 ≤π
2 + 2kπ, k ∈Z可得−7π
6 + 2kπ ≤2x ≤−π
6 + 2kπ, k ∈Z，
所以−7π
12 + kπ ≤x ≤−π
12 + kπ, k ∈Z，
所以函数f(x)单调递增区间为：[−7π
12 + kπ, −π
12 + kπ], k ∈Z；
(2) 令t = 2x + 2π
3 ，由x ∈[0, 2π
3 )可得t ∈[ 2π
3 , 2π)，
又因为函数y = sin t在[ 2π
3 , 3π
2 ]单调递减，在( 3π
2 , 2π)单调递增，
所以y = sin t在t = 3π
2 时有最小值-1，又sin 2π
3 = √3
2 ，sin 2π = 0，
所以sin t ∈[−1, √3
2 ]，所以函数f(x)在[0, 2π
3 )上的值域为[−2, √3]．
答案
解析
B组
1
已知函数f(x)=2sin(ωx+ π
4 )(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A. [ 19π
4 , 27π
4 )
B. [ 9π
2 , 13π
2 )
C. [ 17π
4 , 25π
4 )
D. [4π, 6π)
答案
5
C
根据区间[0，1]，求出ωx+ π
4 的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等关系，求解即可．
函数f（x）＝2sin（ωx+ π
4 ）（ω＞0），
∵x∈[0，1]上，∴ωx+ π
4 ∈[ π
4 ，ω+ π
4 ]，
图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
∴4π + π
2 ≤ω + π
4 < 6π + π
2 ，解得：17π
4
≤ω < 25π
4 ．
故选：C．
本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查整体代换的思想，属于基础题.
解析
考点3：三角方程
A组
1
已知cos x = −1
3 ，x是第二象限的角，那么x =
．
2kπ + π −arccos 1
3 ， k ∈Z
由反三角及终边相同角的表示即可求解；
因为cos x = −1
3 ，x是第二象限的角，
所以x =2kπ + π −arccos 1
3 ，k ∈Z，
故答案为：2kπ + π −arccos 1
3 ，k ∈Z
答案
解析
2
方程cos 2x −sin x = 0在区间[0, 2π]上的所有解的和为
.
5π
2
| 5
2 π
答案
解析
6
利用倍角余弦公式得到关于sin x的一元二次方程求解，由正弦函数值求x，即可得结果.
由cos 2x −sin x = 0，即1 −2 sin2 x −sin x = 0，解得sin x = −1或sin x = 1
2 ，
在[0, 2π]，当sin x = −1时x = 3π
2 ，当sin x = 1
2 时x = π
6 或x = 5π
6 ，
所以所有解的和为5π
2 .
故答案为：5π
2
3
已知tan x = 3，x ∈( π
2 , 3π
2 )，则角x为
.
π + arctan 3
根据条件，利用y = tan x在区间(−π
2 , π
2 )上的单调性和y = tan x的周期性，即可求解.
因为y = tan x在区间(−π
2 , π
2 )上单调递增，
当x ∈(−π
2 , π
2 )时，由tan x = 3，得x = arctan 3，又y = tan x的最小正周期为T = π，
又x ∈( π
2 , 3π
2 )，所以角x为π + arctan 3，
故答案为：π + arctan 3.
答案
解析
B组
1
已知sin 2x = 1
2 , x ∈[0, 2π]，则角x的取值集合为
．
{ π
12 , 5π
12 , 13π
12 , 17π
12 }
由题意，可得2x = π
6 或2x = 5π
6 或2x = 13π
6 或2x = 17π
6 ，求解即可.
因为x ∈[0, 2π]，所以2x ∈[0, 4π]，
又因为sin 2x = 1
2 ，所以2x = π
6 或2x = 5π
6 或2x = 13π
6 或2x = 17π
6 ，
所以x = π
12 或x = 5π
12 或x = 13π
12 或x = 17π
12 ，
答案
解析
7
所以角x的取值集合为{ π
12 , 5π
12 , 13π
12 , 17π
12 }.
故答案为：{ π
12 , 5π
12 , 13π
12 , 17π
12 }.
2
当sin α + √3 cos α = 1，α =
．
α = −π
6 + 2kπ, k ∈Z或 α = π
2 + 2kπ, k ∈Z，
由辅助角公式可得sin (α + π
3 ) = 1
2 ，再取角即可.
因为sin α + √3 cos α = 1，
所以sin α + √3 cos α = 2 sin (α + π
3 ) = 1，
即sin (α + π
3 ) = 1
2 ，
所以α + π
3 = π
6 + 2kπ, k ∈Z或α + π
3 = 5π
6 + 2kπ, k ∈Z，
即α = −π
6 + 2kπ, k ∈Z或α = π
2 + 2kπ, k ∈Z，
故答案为：α = −π
6 + 2kπ, k ∈Z或α = π
2 + 2kπ, k ∈Z.
答案
解析
11 平面向量
1
巩固练习
考点1：向量的概念及线性运算
A组
1
若向量→a与→b 方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ）
A. |→a| + |→b | = |→a −→b |
B. |→a| + |→b | = |→a +→b |
C. |→a| −|→b | = |→a −→b |
D. |→a| −|→b | = |→a +→b |
A
利用平面向量的加法法则计算可得结论.
因为向量→a与
→
b 方向相反，所以|→a| + |
→
b | = |→a −
→
b |，|→a +
→
b | =
|→a| −|
→
b | .
故选：A.
答案
解析
2
给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 若|
→a| = |
→
b |，则
→a =
→
b 或
→a = −
→
b
B. 若向量
→a是向量
→
b 的相反向量，则|
→a| = |
→
b |
C. 在正方体ABCD −A1B1C1D1中，AC = A1C1
D. 若平面向量
→m,
→n,
→p满足
→m =
→n,
→n =
→p，则
→m =
→p
BCD
利用向量模的意义判断A；利用相反向量的定义判断B；结合正方体的结构特征及相等向量的定义判断C；利
用相等向量的定义判断D.
对于A，模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误；
−
→
−
→
答案
解析
2
对于B，向量
→a是向量
→
b 的相反向量，则|
→a| = |
→
b |，B正确；
对于C，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，四边形ACC1A1是矩形，故AC = A1C1 ，C正确；
对于D，
→m =
→n,
→n =
→p，则
→m =
→p，D正确.
故选：BCD
−
→
−
→
3
化简下列算式：
（1）2 (3→a +→b −4→c ) −3 (→a −2→b −→c ) =
.
（2）OB −[OA −(BA −BC)] =
.
3→a + 8→b −5→c ; CB
(1)根据向量线性运算的运算律化简即可.(2) 根据向量线性运算的运算律化简即可.
(1) 2 (3→a +
→
b −4→c ) −3 (→a −2
→
b −→c )
= 6→a + 2→b −8→c −3→a + 6→b + 3→c
= 3→a + 8
→
b −5→c .
(2) OB −[OA −(BA −BC)]
=OB −(OA −CA)
=OB −(OA + AC)
=OB −OC
=CB.
故答案为：3→a + 8→b −5→c ，CB.
−
→
−
→
−
→
−
→
答案
−
→
解析
−
→
−
→
−
→
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→
−
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→
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−
→
−
→
−
→
−
→
3
B组
1
已知→a,→b 是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，AB =→a + 2→b , BC = −4→a −→b , CD = −5→a −3→b ，则四边形
ABCD的形状是（ ）
A. 矩形
B. 平行四边形
C. 梯形
D. 以上都不对
C
根据题意可求得AD，结合AD与BC的关系分析判断.
由题意可得：AD = AB + BC + CD = −8→a −2→b ，
则AD = 4BC，
故AD与BC共线，且AD
= 4
BC ，
∴四边形ABCD是梯形．
故选：C.
−
→
−
→
−
→
答案
解析
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→
−
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−
→
−
→
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→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
考点2：数量积
A组
1
已知e1、e2是夹角为60∘的两个单位向量，若e1 + ke2和ke1 + e2垂直，则实数k =
．
−2 ± √3
由向量垂直的数量积表示列方程求解．
由题意e1 ⋅e2 = 1 × 1 × cos 60∘= 1
2 ，
因为e1 + ke2和ke1 + e2垂直，
则(e1 + ke2)⋅(ke1 + e2)= ke1
2
+ (k2 + 1)e1 ⋅e2 + ke2
2
= k + 1
2 (k2 + 1) + k = 0，解得k = −2 ± √3，
→
→
→
→
→
→
答案
解析
→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
4
故答案为：−2 ± √3．
2
已知
→a = (1, 0)，
→
b = (3, 4)，则向量
→a在向量
→
b 方向上的数量投影为
.
3
5
利用向量的数量积转化求解向量
→a，
→
b 在方向上的数量投影即可．
解：设向量
→a与
→
b 的夹角是θ，则向量
→a在
→
b 方向上的数量投影为：|
→a| cos θ =
→a ⋅
→
b
|
→
b |
= 3
5 ．
故答案为：3
5
答案
解析
3
已知向量→
m = (1, −2),→n = (k, 4)，若→
m⊥→n，则k =
．
8
由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值.
由题设→
m ⋅→n = 1 × k + (−2) × 4 = k −8 = 0 ⇒k = 8.
故答案为：8
答案
解析
B组
1
在直角坐标系中，已知三点A(a, 0)，B(2, b)，C(3, 4)，若向量OA、OB在向量OC方向上的投影相同，则3a −4b的
值是
.
6
−
→
−
→
−
→
答案
5
∵向量OA、OB在向量OC方向上的投影相同，∴AB⊥OC，∴AB ⋅OC = 0，
即(2 −a, b) ⋅(3, 4) = 0，3(2 −a) + 4b = 0，∴3a −4b = 6．
故答案为：6．
关键点点睛：本题考查向量投影的定义，考查向量垂直的坐标表示．掌握向量数量积的几何意义是解题关
键．OA在OC方向上的投影是过A作AD⊥OC，D为垂足，则有向线段OD的数量为OA在OC方向上的投影，
有向线段OD与OC的方向相同，则为正，否则为负（D, O重合，则为0）．它等于OA ⋅OC
OC
．
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
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→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
2
如图，设Ai (i = 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, n)是△AOB所在平面内的点，且OAi ⋅OB = OA ⋅OB，给出下列说法：
（1）OA1
=
OA2
=
OA3
= ⋅⋅⋅=
OAn ；
（2）OAi 的最小值是
OA ⋅OB
OB
；
（3）点A和点Ai共线；
（4）向量OA及OAi在向量OB方向上的数量投影必定相等；
其中正确的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
C
根据向量的数量积公式，结合图形即可判断.
由OAi ⋅OB = OA ⋅OB，可得|OAi| ⋅|OB| cos ∠AiOB = |OA| ⋅|OB| cos ∠AOB，
故有|OAi| cos ∠AiOB = |OA| cos ∠AOB，即OA和OAi在OB上的投影相等，
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
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−
→
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−
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−
→
−
→
答案
解析
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−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
6
即 点A、Ai在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，
故（3）（4）正确，（1）不正确
当OAi恰好为OM, 模长最小，此时OAi
=
OM
=
OA ⋅OB
OB
，（2）正确
故选：C
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
考点3：模长问题
A组
1
已知→a，→b 是两两垂直的单位向量，则→a −2→b
=
．
√5
用向量的模的定义直接运算即可得出答案.
因为→a，→b 是两两垂直的单位向量，
所以→a −2→b
2 = (→a −2→b )
2
= →a 2 −4→a ⋅→b + 4→b 2 = 1 −0 + 4 = 5，则→a −2→b
= √5.
故答案为：√5.
答案
解析
2
已知向量→a,→b 满足→a
= 3，→b
= 4，→a + 2→b
= 7，则→a与→b 的夹角为
7
2 π
3
【分析】利用模长的平方等于向量的平方和向量数量积运算法则求解即可.
【详解】因为→a
= 3，→b
= 4，→a + 2→b
= 7，
所以→a + 2→b
2
= →a 2 + 4→a ⋅→b + 4→b 2 = 9 + 4→a ⋅→b + 64 = 49，解得→a ⋅→b = −6，
所以cos ⟨→a,→b ⟩= →a ⋅→b
|→a||→b |
=
−6
3 × 4 = −1
2 ，
又
0 < ⟨→a,→b ⟩<
π
，故⟨→a,→b ⟩=
2 π
3 .
故答案为：
2 π
3 .
答案
解析
B组
1
已知向量 →a,→b ,→c 满足 →a ⋅→c = |→b −4→c | = |→c | = 2, 则 |→a −→b | 的最小值是 ( )
A. 0
B. 2
C. √2
D. 5
D
根据已知条件设出向量 →c ,→a,→b , 再求出向量 →a −→b , 再根据模长公式结合三角函数的值域得出最小值即可不妨设
→c = (2, 0),→a = (1, t),→b −4→c = (2 cos θ, 2 sin θ), 则
→b = (2 cos θ + 8, 2 sin θ),则 →a −→b = (−2 cos θ −7, t −2 sin θ),
且 t ∈R,则 |→a −→b | = √(−2 cos θ −7)2 + (2 sin θ −t)2 ≥| −2 cos θ −7| ≥5,当 →a = (1, 0),→b = (6, 0) 时,
|→a −
→
b |min = 5.
故选: D.
答案
解析
考点4：向量定理及其运用
A组
1
8
已知向量
→a = (m, 1),
→
b = (2, m −1)，若
→a ∥
→
b ，则实数m =
.
−1
【分析】依题意可得 →a ⋅→b = 0 ，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
【详解】因为 →a = (m, −1),→b = (2, m −1) 且 →a ⊥→b ，
所以 →a ⋅→b = 2m −(m −1) = 0 ，解得 m = −1 ．
故答案为：-1
答案
解析
2
设平面向量
→a = (sin θ, 1)，
→
b = (cos θ, √3)，若
→a，
→
b 不能组成平面上的一个基，则tan θ =
.
√3
3
根据平面的基的概念，判断
→a//
→
b ，利用向量共线的坐标公式计算即得.
由题意可知，
→a//
→
b ，
→a = (sin θ, 1)，
→
b = (cos θ, √3)，
则√3 sin θ = cos θ，解得tan θ = √3
3 .
故答案为：√3
3 .
答案
解析
3
设e1、e2是平面内不共线的向量，已知AB = 2e1 + ke2，CB = e1 + 3e2，CD = 2e1 −e2，若A、B、D三点共线，
则实数k =
．
−8
利用空间向量平行的坐标结论可解.
→
→
−
→
→
→
−
→
→
→
−
→
→
→
答案
解析
9
CB = e1 + 3e2,CD = 2e1 −e2,则BD = CD −CB = e1 −4e2，
若A、B、D三点共线，则存在唯一λ，使得AB = λBD.
即2e1 + ke2 = λ (e1 −4e2)，即2e1 = λe1, ke2 = −4λe2，解得2 = λ, k = −8.
故答案为：−8.
−
→
→
→
−
→
→
→
−
→
−
→
−
→
→
→
−
→
−
→
→
→
→
→
→
→
→
→
B组
1
已知点O(0, 0)， A(2, 1)， B(1, 2)．若平面区域D由所有满足OP = λOA + μOB（1 ≤λ ≤2, 1 ≤μ ≤2）的点P组
成，则D的面积为（ ）
A. 3
2
B. 3
C. 6
D. 12
B
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，延长BC到D，使CD = BC，延长AC到E，使CE = AC，以CD，
CE为邻边作平行四边形CDFE，平行四边形CDFE及内部便是区域D，可求出CD, CE的坐标，然后求出平
行四边形CDFE的面积即可．
如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，延长BC到D，使CD = BC，
延长AC到E，使CE = AC，以CD，CE为邻边作平行四边形CDFE，
因为OP = λOA + μOB（1 ≤λ ≤2, 1 ≤μ ≤2），
则平行四边形CDFE为区域D，且CD = OA = (2, 1)，CE = OB = (1, 2)，
所以CD ⋅CE = 4，CD
= √22 + 12 = √5，CE
= √22 + 12 = √5，
∴cos ∠DCE =
CD ⋅CE
CD
CE
= 4
5 ，且∠DCE ∈(0, π)，∴sin ∠DCE = 3
5 ，
∴区域D的面积为S =
CD
CE
sin ∠DCE = √5 × √5 × 3
5 = 3．
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
10
故选：B．
12 复数
1
巩固练习
考点1：复数的概念
A组
1
已知复数z和–z ，则下列说法正确的是（ ）
A. z + –z 一定是实数
B. z −–z 一定是虚数
C. 若z + –z = 0，则z是纯虚数
D. 若z −–z = 0，则z是纯虚数
A
根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解.
设z = a + bi, b, a ∈R,则–z = a −bi,故z + –z = 2a为实数，故A正确，
对于B，z −–z = 2bi，当b = 0时，此时z −–z 为实数，故B错误，
对于C，z + –z = 2a = 0,则a = 0，当b = 0时，此时z为实数，C错误，
对于D, z −–z = 2bi = 0，则b = 0，则z是实数，故D错误，
故选：A
答案
解析
2
已知复数(m2 −3m −1) + (m2 −5m −6)i = 3（其中i为虚数单位），则实数m =
．
−1
利用复数相等的条件即可求解.
由题意可知，{
，解得m = −1,
所以实数m = −1.
答案
解析
m2 −3m −1 = 3
m2 −5m −6 = 0
2
故答案为：−1.
3
设a ∈R.若(a −2i) (1 + i)为纯虚数(i为虚数单位)，则a=
.
-2
先将(a −2i)(1 + i)展开化简，然后根据纯虚数的概念来求解a的值.
展开(a −2i)(1 + i) = a × 1 + a × i −2i × 1 −2i × i = a + ai −2i −2i2,
因为i2 = −1，所以原式可化为a + ai −2i + 2 = (a + 2) + (a −2)i.
因为(a −2i)(1 + i)为纯虚数，所以实部a + 2 = 0，解得a = −2.
此时虚部a −2 = −2 −2 = −4 ≠0，符合纯虚数的定义.
故答案为：-2
答案
解析
B组
1
已知z均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A. 若z = ¯z 则z为实数
B. 若z2 < 0，则z为纯虚数
C. 若|z + 1| = |z −1|，则z为纯虚数
D. 若z3 = 1，则¯z = z2
C
设复数z = a + bi(a, b ∈R)，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.由题意，设复
数z = a + bi(a, b ∈R)，
对于A中，由z = ¯z ，即a + bi = a −bi，解得b = 0，所以复数z为实数，所以A正确；
对于B中，复数z2 = a2 −b2 + 2abi，因为z2 < 0，可得a = 0，b ≠0，所以复数z为纯虚数，所以是正确的；
对于C中，当z = 0时，满足|z + 1| = |z −1|，所以复数z不一定为纯虚数，所以不正确；
对于D中，由z3 = 1，可得z3 −1 = 0，即(z −1)(z2 + z + 1) = 0，解得z = 1或z = −1
2 ± √3
2 i，
所以¯z = z2，所以是正确的.
故选C.
答案
解析
3
本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用
复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
考点2：复数的运算
A组
1
已知复数 Z
i = 1 −2i（ i 为虚数单位），则 z =
【答案】 2+i | i+2
【分析】由复数的乘法即可求得答案．
【详解】 z = i −2i2 = 2 + i
故答案为： 2 + i
答案
解析
2
已知复数z = 2 + i
2 −i ，其中i为虚数单位，则|z| =
.
1
应用复数除法化简，进而求复数的模.
z = 2 + i
2 −i =
(2 + i)2
(2 −i) (2 + i) = 3 + 4i
5
= 3
5 + 4
5 i，则|z| = √( 3
5 )
2
+ ( 4
5 )
2
= 1.
故答案为：1
答案
解析
3
设i是虚数单位，则i6 + i7 + i2
=
．
4
√5
根据虚数i的性质即可求得代数式的值.
i6 + i7 + i2
=
i2 + i3 −1
= |−1 −i −1| = |−2 −i| = √(−2)2 + (−1)2 = √5.
故答案为：√5.
答案
解析
B组
1
若z1，z2，z3均为复数，则下列结论中正确的有
.（填所有正确的结论序号）
（1）若z1 −z2 > 0，则z1 > z2.
（2）若(z1 −z2)2 + (z2 −z3)2 = 0，则z1 = z2 = z3.
（3）|z1 −z2| = √(z1 + z2)2 −4z1z2.
（4）若z2
1 = z2
2，则z1 ⋅z1 = z2 ⋅z2.
（4）
根据复数的四则运算法则，依次举出反例分别判断即可.
（1）若z1 = 2 + i，z2 = 1 + i，则z1 −z2 > 0，但是z1与z2不能比较大小，则（1）错误；
（2）设z1 = 1 + i，z2 = 1，z3 = 0，则(z1 −z2)2 + (z2 −z3)2 = 0，但是z1 ≠z2 ≠z3，
则（2）错误；
（3）设z1 = 1 + 2i，z2 = 1 + i，|z1 −z2| = |i| = 1，
而√(z1 + z2)2 −4z1z2 = √(z1 −z2)2 = √−1 = i，所以两者不等，则（3）错误；
（4）令z1 = a + bi，a, b ∈R ,z2 = c + di，c, d ∈R ,
z2
1 = (a2 −b2) + 2abi，z2
2 = (c2 −d2) + 2cdi，
由于z2
1 = z2
2，则{
，
两式分别平方后相加得(a2 + b2)
2 = (c2 + d2)
2，即a2 + b2 = c2 + d2，
所以(a + bi) (a −bi) = (c + di) (c −di) ，所以z1 ⋅z1 = z2 ⋅z2，则（4）正确；
故答案为：（4）.
–
–
答案
解析
a2 −b2 = c2 −d2
2ab = 2cd
–
–
5
考点3：复数的几何意义
A组
1
设复数z = 3 −i，则复数i ⋅z在复平面内对应的点的坐标是
.
(1, 3)
利用复数的乘法化简复数i ⋅z，利用复数的几何意义可得出结论.
因为z = 3 −i，则i ⋅z = i (3 −i) = 1 + 3i，
因此，复数i ⋅z在复平面内对应的点的坐标是(1, 3).
故答案为：(1, 3).
答案
解析
2
复数2 −i
1 −3i 在复平面内对应的点在第
象限．
一
化简后利用复数的几何意义求解即可.
因为2 −i
1 −3i = (2 −i) (1 + 3i)
(1 −3i) (1 + 3i) = 5 + 5i
10
= 1
2 + 1
2 i，
所以复数2 −i
1 −3i 在复平面内对应的点为( 1
2 , 1
2 )，在第一象限，
故答案为：一
答案
解析
3
在复平面内，O为坐标原点，复数z1 = i (−4 −3i)，z2 = 12 + 5i对应的点分别为Z1、Z2，其中i为虚数单位，则
⟨OZ1, OZ2⟩的大小为
．
−
→
−
→
答案
6
arccos 16
65 .
由复数乘法运算求得z1，进而得到OZ1，OZ2，利用向量数量积运算和模长公式求得cos ⟨OZ1, OZ2⟩，进而
得到⟨OZ1, OZ2⟩.
因为z1 = i (−4 −3i) = 3 −4i，z2 = 12 + 5i，
所以OZ1 = (3, −4)，OZ2 = (12, 5)，
所以cos ⟨OZ1, OZ2⟩=
OZ1 ⋅OZ2
OZ1
OZ2
=
3 × 12 −20
√32 + (−4)2 × √122 + 52
= 16
65 ，
所以⟨OZ1, OZ2⟩= arccos 16
65 .
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
B组
1
设z1, z2 ∈C且z1 = i ⋅z2，满足|z1 −1| = 1，则|z1 −z2|的取值范围为
．
[0, 2 + √2]
判断出z1, z2对应点的轨迹，从而求得|z1 −z2|的取值范围.
设z1 = a + bi, z2 = c + di, a, b, c, d ∈R，
z2 = c −di，则a + bi = i ⋅(c −di) = d + ci，
所以{
，
|z1 −1| = |(a −1) + bi| = √(a −1)2 + b2 = 1，所以(a −1)2 + b2 = 1，
即z1对应点(a, b)在以(1, 0)为圆心，半径为1的圆(x −1)2 + y2 = 1上.
z2 = c + di = b + ai，z2对应点为(b, a)，
(a, b)与(b, a)关于y = x对称，
所以点(b, a)在以(0, 1)为圆心，半径为1的圆x2 + (y −1)2 = 1上，
|z1 −z2|表示(a, b)与(b, a)两点间的距离，
圆(x −1)2 + y2 = 1与圆x2 + (y −1)2 = 1相交，圆心距为√2，如图所示，
所以|z1 −z2|的最小值为0，最大值为√2 + 1 + 1 = 2 + √2，
–
答案
解析
–
a = d
b = c
7
所以|z1 −z2|的取值范围为[0, 2 + √2].
故答案为：[0, 2 + √2]
考点4：实系数一元二次方程
A组
1
若 x2 = −2 ，则 x = .
±√2i
将方程化为 x2 = (±√2i)2 ，即可解出该方程. ∵x2 = −2 = (±√2i)2, ∴x = ±√2i ，因此，原方程的解为
x = ±√2i.故答案为: ±√2i.
本题考查了二次方程虚根的求解，考査计算能力，属于基础题.
答案
解析
2
若关于x的方程x2 −x + m = 0的一个虚根的模为2，则实数m的值为
．
4
设关于x的方程的两根虚根为x1, x2，则x1x2 = m且x1 = x2，即可求出m的值，再代入检验.
设关于x的方程x2 −x + m = 0(m ∈R)的两根虚根为x1, x2，则x1x2 = m且x1 = x2，
所以|x1| = |x2| = 2，又|x1x2| = |x1| |x2| = |m| = 4，所以m = ±4，
当m = −4时，Δ = (−1)2 −4 × 1 × (−4) > 0，所以关于x的方程x2 −x + m = 0有两个不相等实数根，不符
合题意；
当m = 4时，Δ = (−1)2 −4 × 1 × 4 < 0，所以关于x的方程x2 −x + m = 0有两个虚根，符合题意；
答案
解析
–
–
8
所以m = 4.
故答案为：4
3
已知关于x的一元二次方程x2 + kx + k2 −2k = 0有两个虚根x1, x2，且x2
1 + x2
2 = 3，则实数k的值为
.
3
由题意可得Δ < 0，求出k的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出x1, x2，然后利用x2
1 + x2
2 = 3列方程可
求出k的值.
因为关于x的一元二次方程x2 + kx + k2 −2k = 0有两个虚根x1, x2，
所以Δ = k2 −4(k2 −2k) < 0，即3k2 −8k > 0，得k < 0或k > 8
3 ，
所以x2 + kx + k2 −2k = 0中x1 + x2 = −k, x1x2 = k2 −2k，
因为x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 −2x1x2 = 3，
整理得k2 −4k + 3 = 0，解得k = 3或k = 1（舍），故k = 3，
所以实数k的值为3.
故答案为：3
答案
解析
B组
1
设m是实数，关于x的方程x2 −(m + 2)x + m2 + 3m + 1 = 0有两根x1, x2，
(1)
若x1 = x2，求m的取值范围；
(2)
若|x1 −x2| = 2，求m的取值范围．
–
9
(1) (−∞, −8
3 ] ∪[0, +∞)；
(2) {−2
3 , −2, −4 −2√7
3
, −4 + 2√7
3
}
(1) ∵x1 = x2，∴方程有两个相等实根或一对共轭虚根，
∴Δ≤0，即(m + 2)2 −4 (m2 + 3m + 1)≤0，即m(3m＋8)≥0，
解得m ∈(−∞, −8
3 ] ∪[0, +∞)；
(2) 若方程有两个不等实根，由(1)可知Δ＞0解得m∈(−8
3 , 0)，
|x1 −x2| = 2 ⇒(x1 + x2)2 −4x1x2 = 4 ⇒(m + 2)2 −4 (m2 + 3m + 1) = 4，
即3m2 + 8m + 4 = 0，解得m = −2
3 或−2均满足Δ＞0；
若方程有两个虚根，则Δ＜0，m ∈(−∞, −8
3 ) ∪(0, +∞)，
设两个虚根为x1 = a + bi，a，b ∈R，b ≠0，则x2 = a −bi，
根据韦达定理得，
x1 + x2 = 2a = m + 2 ⇒a = m + 2
2
，
x1x2 = a2 + b2 = m2 + 3m + 1(*)
由|x1 −x2| = 2 ⇒|2bi| = 2 ⇒|2b| = 2 ⇒b2 = 1，
将b2 = 1、a = m + 2
2
代入(*)得，( m + 2
2
)
2
+ 1 = m2 + 3m + 1，
化简得3m2 + 8m −4 = 0，解得m = −4 ± 2√7
3
均满足Δ＜0，
综上，m取值的集合为{−2
3 , −2, −4 −2√7
3
, −4 + 2√7
3
}．
答案
解析
–
考点5：复数的三角形式
A组
1
复数的三角形式cos 2π
5 + i sin 2π
5 （用辐角主值表示）为
．
cos 8π
5 + i sin 8π
5
–
答案
10
由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式求解作答.
cos 2π
5 + i sin 2π
5 = cos 2π
5 −i sin 2π
5 = cos (−2π
5 ) + i sin (−2π
5 ) = cos 8π
5 + i sin 8π
5 ．
故答案为：cos 8π
5 + i sin 8π
5
解析
–
2
设复数z = (1 −√3i)
5
，求复数z的模及辐角主值．
32； π
3 ．
根据复数三角形的乘方运算可计算得解.
z = (1 −√3i)
5
= [2(cos 5π
3 + i sin 5π
3 )]
5
25[cos( 5π
3 × 5) + i sin( 5π
3 × 5)]
32(cos π
3 + i sin π
3 )
所以复数z = (1 −√3i)
5
的模为32，辐角主值π
3 .
答案
解析
3
如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
A. {z
|z| = 1, π
6 ≤arg z ≤5π
6 , z ∈C}
B. {z
|z| ≤1, π
6 ≤arg z ≤5π
6 , z ∈C}
11
C. {z
|z| = 1, Imz ≥1
2 , z ∈C}
D. {z
|z| ≤1, Imz ≥1
2 , z ∈C}
D
由图可得复数的模长、虚部的大小以及A, B坐标，据此进行计算可得答案.
由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故|z| ≤1；
又复数对应点的纵坐标大于等于1
2 ，故其虚部大于等于1
2 ，
所以阴影部分（含边界）对应的复数集合为{z||z| ≤1, Imz ≥1
2 , z ∈C}，
如图可得A (−√3
2 , 1
2 ), B ( √3
2 , 1
2 )，可得∠COA = ∠COB = π
3 ，
所以π
6 ≤arg z ≤5π
6 ，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合是
{z
|z| ≤1, Imz ≥1
2 ，π
6 ≤arg z ≤5π
6 , z ∈C}.
故选：D.
答案
解析
B组
1
设n为正整数.若存在复数z，满足|z| = 1且zn = z −√2，则n的最小值为
.
3
设z = cos θ + i sin θ，θ ∈[0, 2π)，然后代入zn = z −√2中化简可求出θ，再由sin nθ = sin θ结合n为正整数可求
得答案.
不妨设z = cos θ + i sin θ，θ ∈[0, 2π)，
答案
解析
12
因为zn = z −√2，所以(cos θ + i sin θ)n = cos θ + i sin θ −√2，
所以cos nθ + i sin nθ = (cos θ −√2) + i sin θ，
所以{
，
整理得sin2 θ + (cos θ −√2)
2
= 1，解得cos θ = √2
2 ，
因为θ ∈[0, 2π)，所以θ = π
4 ，或θ = 7π
4
①当θ = π
4 时，则
，
n = 1或n = 2时不满足上式，n = 3满足上式，即n最小值为3，
②当θ = 7π
4 ，则
，
n = 1或n = 2时不满足上式，n = 3满足上式，即n最小值为3，
综上可知n = 3.
故答案为：3
sin nθ = sin θ
cos nθ = cos θ −√2
⎧
⎨
⎩
sin nπ
4
= sin π
4 = √2
2
cos nπ
4
= cos π
4 −√2 = −√2
2
⎧
⎨
⎩
sin 7nπ
4
= sin 7π
4 = −√2
2
cos 7nπ
4
= cos 7π
4 −√2 = −√2
2
