专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解任意角的概念和弧度制
(2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性
(3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
任意角和弧
度制
北京卷：第13 题，5
分
三角函数的
概念
北京卷：第12 题，5
分
天津卷：第2 题，5 分
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命题规律
分析
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的常
考内容之一。从近几年的高考情况来看，高考对本节内容的考查较为稳定，
考查内容、频率、题型、难度均变化不大，主要考察终边相同的角、三角函
数的定义等内容，一般以选择题、填空题的形式考查，试题比较简单。
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知识点1
任意角和弧度制的基本概念
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β.
一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几
象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称
这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
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第四象限角
4．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1 度的角等于周角的
.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
(2)弧度制的相关概念
①1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad 表示，读作弧度.
4．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α
.
(1)弧长公式
由公式
，可得
.
(2)扇形面积公式
.
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
角度制
弧度制
弧长公式
l=αR
扇形面积公式
注意事项
R 是扇形的半径，n
是圆心角的角度数.
R 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数.
知识点2
任意角和弧度制的解题策略
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，
然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定
，
(k∈N*)的终边位置的方法
先写出
或
的范围，然后根据k 的可能取值确定
或
的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
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(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
知识点3
三角函数的概念
1．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作
，即y=
；
②把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作
，即x=
；
③把点P 的纵坐标与横坐标的比值
叫做α的正切，记作
，即
=
(x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O 重合)的坐标为(x,y)，点P 与原点的距离为r.
则
，
，
.
知识点4
三角函数的定义及应用的解题策略
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三
角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限
的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
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【题型1
终边相同的角】
【例1】（25-26 高一上·河北石家庄·期末）与−2048°角终边相同的角是（
）
A．48°
B．112°
C．148°
D．248°
【答案】B
【解题思路】由终边相同的角的表示方法可得−2048° = 112° −360° × 6，由此可得出答案.
【解答过程】由于−2048° = 112° −360° × 6，故与−2048°角终边相同的角是112°.
故选：B.
【变式1-1】（25-26 高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列与45∘终边相同角的集合中正确的是（
）
A．��=
π
4 + �π, �∈Z
B．��=
7π
4 + 2�π, �∈Z
C．��=−
7π
4 + �π, �∈Z
D．��=
π
4 + 2�π, �∈Z
【答案】D
【解题思路】根据终边相同角的定义可得.
【解答过程】45° =
π
4.
��=
π
4 + �π, �∈Z 表示终边与
π
4终边相同或与
5π
4 终边相同的角的集合，所以A 错误；
��=
7π
4 + 2�π, �∈Z 表示与
7π
4 终边相同的角的集合，
π
4与
7π
4 终边不相同，所以B 错误；
��=−
7π
4 + �π, �∈Z = ��=
π
4 + �π, �∈Z ，所以表示与
π
4终边相同或与
5π
4 终边相同的角的集合，所
以C 错误；
��=
π
4 + 2�π, �∈Z 表示与
π
4终边相同的角的集合，所以D 正确.
故选：D.
【变式1-2】（25-26 高一下·河南·期中）与角−230∘终边相同的最小正角是__________.（用弧度表示）
【答案】
13π
18
【解题思路】根据终边相同的角的概念计算即可.
【解答过程】与角−230∘终边相同的最小正角是−230∘+ 360∘= 130∘，
将角度化为弧度可得130∘×
π
180∘=
13π
18
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故答案为：
13π
18 .
【变式1-3】（2026 高一上·湖北武汉·专题练习）在与1227°角终边相同的角中，最大的负角为___________.
【答案】−213°
【解题思路】首先写出与1227°终边相同的角，再取最大的负角即可.
【解答过程】与1227°终边相同的角�= �× 360° + 1227° = �+ 4 × 360° −213°，
令�=−4，即�=−213°，
所以与1227°终边相同的最大负角是−213°.
故答案为：−213°．
【题型2
象限角及其判定】
【例2】（25-26 高一上·湖北武汉·期末）2026°是第（
）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】C
【解题思路】将2026°改为360° × 5 + 226°，判断226°所在的象限即得.
【解答过程】∵2026° = 360° × 5 + 226°，
∴2026°与226°终边相同，
∵226°是第三象限角，∴2026°是第三象限角.
故选：C.
【变式2-1】（25-26 高一上·上海杨浦·期末）已知�为第一象限的角，则
�
2所在象限为（
）
A．第一象限
B．第一、二象限
C．第一、三象限
D．第一、四象限
【答案】C
【解题思路】根据�是第一象限的角，求出
�
2的范围判断即可得解.
【解答过程】因为�是第一象限的角，
所以2�π < �< 2�π +
π
2，�∈Z，
所以�π <
�
2 < �π +
π
4 , �∈Z，
当�= 2�, �∈Z 时，2�π <
�
2 < 2�π +
π
4 , �∈Z，
�
2为第一象限角；
当�= 2�+ 1, �∈Z 时，2�π + π <
�
2 < 2�π + π +
π
4 , �∈Z，
�
2为第三象限角.
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故选：C.
【变式2-2】（25-26 高一上·陕西渭南·期末）−
17π
4 的终边在第________象限.
【答案】四
【解题思路】利用终边相同的角的关系求解.
【解答过程】−
17π
4 =−
16
4 π −
1
4 π =−4π −
1
4 π，
所以−
17π
4 与−
π
4的终边相同，所以终边在第四象限.
故答案为：四.
【变式2-3】（25-26 高一下·上海金山·期中）已知�是第一象限角，那么
�
2是第________象限角.
【答案】一或三
【解题思路】根据�的范围表示出
�
2的范围，然后分类讨论可确定出
�
2所在的象限.
【解答过程】因为�是第一象限角，所以2�π < �< 2�π +
π
2(�∈Z)，
所以�π <
�
2 < �π +
π
4(�∈Z)，
当�= 2�, �∈Z 时，2�π <
�
2 < 2�π +
π
4(�∈Z)，此时
�
2是第一象限角，
当�= 2�+ 1, �∈Z 时，2�π + π <
�
2 < 2�π +
5π
4 (�∈Z)，此时
�
2是第三象限角，
故答案为：一或三.
【题型3
弧度制】
【例3】（25-26 高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150 分钟，在本场考试中，钟表的时针转
过的弧度数为（
）
A．
5
12 π
B．−
π
3
C．
π
6
D．−
5
12 π
【答案】D
【解题思路】经过150 分钟，钟表的时针相当于转了1 圈的
5
24，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上
即可求解.
【解答过程】经过150 分钟，钟表的时针相当于转了1 圈的
150
720 =
5
24，1 圈的弧度数为2π，
则1 圈的
5
24的弧度数为2π ×
5
24 =
5
12 π，
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且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角，
因此钟表的时针转过的弧度数为−
5
12 π，故D 正确.
故选：D.
【变式3-1】（25-26 高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿，当大
轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（
）
A．
12π
5
B．
24π
5
C．
36π
5
D．
48π
5
【答案】B
【解题思路】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小
轮转动的角度.
【解答过程】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48 齿，小轮20 齿，
所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48 个齿，
所以小轮此时转动
48
20 =
12
5 周，
即小轮转动的角度为
12
5 × 2π =
24π
5 .
故选：B.
【变式3-2】（25-26 高一下·上海徐汇·期中）1 小时内秒针转过了__________．（用弧度制表示）
【答案】−120π
【解题思路】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可.
【解答过程】因为1 小时内分针转过了−2π，所以1 小时内秒针转过了−120π.
故答案为：−120π.
【变式3-3】（25-26 高一下·上海·阶段检测）亲爱的考生，本场考试需要1.5 小时，则在本场考试中，钟表
的时针转过的弧度数为____________.
【答案】−
1
4 π
【解题思路】根据时针旋转一周为12 小时，转过的角度为2π计算可得.
【解答过程】因为时针旋转一周为12 小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，
所以经过1.5 小时，时针所转过的弧度数为−
1.5
12 × 2π =−
1
4 π.
故答案为：−
1
4 π.
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【题型4
扇形的弧长与面积的计算】
【例4】（2026·陕西·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环����的外圆
弧��的长为
16π
3 ，圆心为�，点�, �分别为��, ��的中点，扇环����的面积为16π，则��=（
）
A．
4
3
B．2
C．
8
3
D．4
【答案】D
【解题思路】设��= �，∠���= �，则圆弧��= ��，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案.
【解答过程】设��= �，∠���= �，则圆弧��= ��，
由题意得
16π
3 = �⋅2�
16π =
1
2 ×
16π
3 × 2�−
1
2 × ��× �
，解得�= 4，
所以��= 4.
故选：D.
【变式4-1】（2026·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（
）
A．1
B．
3
2
C．3
D．6
【答案】C
【解题思路】根据扇形面积公式计算求解.
【解答过程】设圆心角为�，所以�=
1
2 �⋅�2 = 2�= 6，所以�=3
故选：C.
【变式4-2】（25-26 高三上·重庆渝中·阶段检测）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮
有25 个齿，小轮有15 个齿，大轮每分钟转3 圈，若小轮的半径为2cm，则小轮每秒转过的弧长是（
）cm．
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A．10π
B．5π
C．
π
3
D．
π
6
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.
【解答过程】由大轮有25 个齿，小轮有15 个齿，大轮每分钟转3 圈，得小轮每分钟转的圈数为
3×25
15 = 5，
因此小轮每秒钟转的弧度数为
5×2π
60 =
π
6，
所以小轮每秒转过的弧长是
π
6 × 2cm =
π
3 cm.
故选：C.
【变式4-3】（2026·陕西·二模）如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3 厘米，两圆的圆心分别
为�和�, �为圆�上一点，且三角形���为直角三角形，则阴影部分的面积为（
）
A．2.5π
B．2.25π
C．3π
D．3.25π
【答案】B
【解题思路】根据扇形的面积公式求解即可.
【解答过程】设∠���= �，∠���= �.
因为三角形���为直角三角形，所以�+ �=
π
2.
所以阴影部分的面积�=
1
2 �× 32 +
1
2 �× 32 =
9
2 �+ �=
9
2 ×
π
2 =
9π
4 .
故选：B．
【题型5
任意角的三角函数的定义及应用】
【例5】（2026·河南开封·二模）已知�的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点�
2
2 ,
1
2 ，
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则sin�=（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
3
D．
6
3
【答案】C
【解题思路】根据题意，利用三角函数的定义，求得�=
(
2
2 )2 + (
1
2 )2 =
3
2 ，即可求解.
【解答过程】已知角�终边过点�(
2
2 ,
1
2 )，
根据�=
�2 + �2，其中�=
2
2 , �=
1
2，
可得�=
(
2
2 )2 + (
1
2 )2 =
3
2 ，
sin�=
�
�=
1
2
3
2
=
1
3 =
3
3 .
故选：C．
【变式5-1】（2026·吉林松原·模拟预测）已知角�的顶点为原点�，始边为�轴的非负半轴，终边经过点(1, −2)，
则
sin2�
cos2�=（
）
A．4
B．−4
C．2
D．−2
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用三角函数的定义，求得tan�=−2，结合正弦的倍角公式和三角函数的基本关
系式，即可求解.
【解答过程】因为角�的终边经过点(1, −2)，由三角函数的定义，可得tan�=
−2
1 =−2，
所以
sin2�
cos2�=
2sin�cos�
cos2�
=
2sin�
cos�= 2tan�=−4．
故选：B.
【变式5-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知角�的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过
点3, −6 ，则sin�+ cos�=__________.
【答案】−
5
5
【解题思路】利用三角函数的定义求解即可.
【解答过程】已知角�的终边过点3, −6 ，则�= 3，
�=−6 .计算半径�=
�2 + �2 = 3 5，
利用三角函数定义：
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可得sin�=
�
�=−
2 5
5 , cos�=
�
�=
5
5 ，
因此，sin�+ cos�=−
2 5
5 +
5
5 =−
5
5 ，
故答案为：−
5
5 .
【变式5-3】（2026·四川成都·模拟预测）已知角�的顶点为坐标原点，始边与�轴的非负半轴重合，终边过点
3, −6 ，若角�与角�关于�轴对称，则cos�=__________.
【答案】−
5
5
【解题思路】由对称性确定角�终边上的点，再结合三角函数的定义即可求解.
【解答过程】因为角�终边过点3, −6 ，又角�与角�关于�轴对称，
所以角�终边过点−3, −6 ，
所以cos�=
−3
−3 2+ −6 2 =−
5
5 ，
故答案为：−
5
5 .
【题型6
三角函数值符号的判定】
【例6】（2026·湖南·模拟预测）“sin�> 0”是“�为第二象限角”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【解答过程】若sin�> 0，则�为第一象限、第二象限角或终边在�轴正半轴上；
若�为第二象限角，则sin�> 0，
所以“sin�> 0”是“�为第二象限角”的必要不充分条件．
故选：A.
【变式6-1】（2026·黑龙江·模拟预测）若sin�=−
2
2 且tan�= 1 同时成立，则�是（
）
A．第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一象限角
【答案】B
【解题思路】利用三角函数值的符号判断所在象限即可.
【解答过程】因为sin�=−
2
2 < 0，tan�= 1 > 0，
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所以cos�< 0，即�是第三象限角，故B 正确.
故选：B.
【变式6-2】（2026·山东·一模）“�为第三象限角或第四象限角”是“sin�< 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据象限角的符号和充分必要条件的定义即可求解.
【解答过程】若�为第三象限角或第四象限角，则sin�< 0，故充分性成立；
若sin�< 0，则�为第三象限角或第四象限角或�=
3π
2 + 2�π �∈Z ，故必要性不成立；
所以“�为第三象限角或第四象限角”是“sin�< 0”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式6-3】（25-26 高一上·江苏连云港·阶段检测）若sin�cos�< 0，且sin�−cos�> 0，则�是（
）
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
【答案】B
【解题思路】判断出角�的正余弦的正负，进而可得答案.
【解答过程】由
sin�cos�< 0
sin�−cos�> 0 ，得sin�> 0
cos�< 0 ，
所以角�位于第二象限的角.
故选：B.
一、单选题
1．（25-26 高一上·黑龙江·期末）下列各角中，与283∘角终边相同的角是（
）
A．−77∘
B．77∘
C．−13∘
D．13∘
【答案】A
【解题思路】利用终边相同的角的定义求解.
【解答过程】因为360∘× −1 + 283∘=−77∘，所以与283∘角终边相同的角是−77∘.
故选：A.
2．（2026 高三上·江苏·学业考试）将时钟拨慢15 分钟，分针转过的弧度数为（
）
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A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
【答案】D
【解题思路】利用分针转一周为60 分钟，转过的角度的大小为2π，根据15 分钟占60 分钟的比例，即可得
解.
【解答过程】时间过去1 小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为2π，
故将时钟拨慢15 分钟，分针逆时针转过的弧度数为
15
60 ⋅2π =
π
2.
故选：D.
3．（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】利用弧长公式和面积公式求出弧长，再结合题意取舍即可.
【解答过程】设扇形的弧长为�，扇形的半径为�，圆心角为�，
因为扇形的周长为6，面积为2，
所以
�+ 2�= 6
1
2 ��= 2
，解得�= 1, �= 4 或�= 2, �= 2，
当�= 1, �= 4 时，�=
�
�=
4
1 = 4 >
π
2，不是锐角，故排除，
当�= 2, �= 2 时，�=
�
�=
2
2 = 1 <
π
2，符合题意，故B 正确.
故选：B.
4．（25-26 高一上·天津河西·阶段检测）已知�为第三象限角，那么
�
3不可能是（
）
A．第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一象限角
【答案】C
【解题思路】由题意可得2�π + π < �< 2�π +
3π
2 , �∈Z，可得
2
3 �π +
π
3 <
�
3 <
2
3 �π +
π
2 , �∈Z，讨论�的取值，
即可确定答案.
【解答过程】由题意�是第三象限角，即2�π + π < �< 2�π +
3π
2 , �∈Z，
故
2
3 �π +
π
3 <
�
3 <
2
3 �π +
π
2 , �∈Z，
当�= 3�, �∈Z 时，2�π +
π
3 <
�
3 < 2�π +
π
2 , �∈Z，
�
3是第一象限角；
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当�= 3�+ 1, �∈Z 时，2�π+π <
�
3 < 2�π +
7π
6 , �∈Z，
�
3是第三象限角；
当�= 3�+ 2, �∈Z 时，2�π +
5π
3 <
�
3 < 2�π +
11π
6 , �∈Z，
�
3是第四象限角；
故
�
3不可能是第二象限角.
故选：C.
5．（2026·广西·模拟预测）角�的终边与单位圆的交点坐标为
1
2 ,
3
2 ，则cos �−
π
3 =（
）．
A．
1
2
B．
3
2
C．1
D．0
【答案】C
【解题思路】根据题意，利用三角函数的定义和两角差的余弦公式，准确计算，即可求解.
【解答过程】因为角�的终边与单位圆的交点坐标为
1
2 ,
3
2 ，可得cos�=
1
2 , sin�=
3
2 ，
则cos �−
π
3 = cos�cos
π
3 + sin�sin
π
3 =
1
2 ×
1
2 +
3
2 ×
3
2 = 1.
故选：C.
6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知点�
3
5 , −
4
5 是角�终边上的一点，则sin�+ 2cos�=（
）
A．−1
B．1
C．−
2
5
D．
2
5
【答案】D
【解题思路】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案.
【解答过程】由题意可得sin �=
−4
5
3
5
2
+ −4
5
2 =−
4
5，cos �=
3
5
3
5
2
+ −4
5
2 =
3
5，
则sin �+ 2 cos �=−
4
5 + 2 ×
3
5 =
2
5.
故选：D.
7．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知角�的顶点与坐标原点重合，始边与�轴的非负半轴重合，终边经过点
�2, �，且tan�=−
2
5，则实数�的值为（
）
A．5
B．
4
5
C．−
4
5
D．−5
【答案】C
【解题思路】借助三角函数定义计算即可得.
【解答过程】由题意可得tan�=
�
2 =−
2
5，则�=−
4
5.
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故选：C.
8．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50 个齿，
小轮有15 个齿，小轮每分钟转10 圈，若大轮的半径为2cm，则大轮每秒转过的弧长是（
）
A．12πcm
B．6πcm
C．
π
10 cm
D．
π
5 cm
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，求出大轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得
【解答过程】由大轮有50 个齿，小轮有15 个齿，小轮每分钟转10 圈，得大轮每分钟转的圈数为
15×10
50
= 3，
因此大轮每秒钟转的弧度数为
3×2π
60 =
π
10，所以大轮每秒转过的弧长是
π
10 × 2cm =
π
5 cm.
故选：D.
二、多选题
9．（25-26 高一上·广东深圳·阶段检测）与−835°终边相同的角有（
）
A．−245°
B．245°
C．−115°
D．−475°
【答案】BCD
【解题思路】利用周期性写出与−835°终边相同的角，即可得.
【解答过程】由−835° =−360° −475° = 2 × ( −360°) −115° = 3 × ( −360°) + 245°，显然与245°、−115°、
−475°的终边相同.
故选：BCD.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知角�的终边经过点�−3,4 ，则（
）
A．cos�=−
3
5
B．tan�=−
3
4
C．cos �+ π =
4
5
D．sin �−
π
2 =
3
5
【答案】AD
【解题思路】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.
【解答过程】由题意cos�=
−3
−3 2+42
=−
3
5 , sin�=
4
−3 2+42
=
4
5 , tan�=
4
−3 =−
4
3，
从而cos �+ π =−cos�=
3
5 , sin �−
π
2 =−cos�=
3
5.
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故选：AD.
11．（25-26 高一上·江苏苏州·阶段检测）下列结论正确的是（
）
A．第四象限角不一定是负角
B．−
4π
3 是第三象限角
C．若角�为锐角，则角2�为钝角
D．若圆心角为
π
6的扇形的弧长为
π
2，则该扇形面积为
3π
4
【答案】AD
【解题思路】根据象限角的定义即可判断A 项；找到与−
4π
3 终边相同的角即可判断B 项；利用举反例可判断
C 项错误；利用扇形弧长与面积公式可判断D 项.
【解答过程】对于A，因为第四象限角为
3π
2 + 2�π, 2π + 2�π
�∈Z ，当�∈N 时，均为正角，故A 正确；
对于B，−
4π
3 =−2π +
2π
3 ，即−
4π
3 与
2π
3 终边相同，为第二象限角，故B 错误；
对于C，若取�= 30∘为锐角，但2�= 60∘也是锐角，故C 错误；
对于D，设扇形半径为�，依题意，
π
6 �=
π
2，解得�= 3，
则扇形面积为
1
2 ��2 =
1
2 ×
π
6 × 32 =
3π
4 ，故D 正确.
故选：AD.
三、填空题
12．（25-26 高一上·上海徐汇·期末）在与2026°角终边相同的角中，最大的负角为__________．
【答案】−134°
【解题思路】根据终边相同的角的性质进行求解即可.
【解答过程】因为与2026°角终边相同的角表示为
�⋅360° + 2026° = �⋅360° + 6 × 360° −134° = �+ 6 ⋅360° −134° �∈�，
所以当�=−6 时，最大的负角为−134°.
故答案为：−134°.
13．
（2026·重庆南岸·模拟预测）已知角�的终边与单位圆交于第二象限的点�(cos�,
1
3 )，则tan�=__________.
【答案】−
2
4
【解题思路】利用单位圆求出�的坐标，利用正切函数的定义可求答案.
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【解答过程】因为角�的终边与单位圆交于第二象限的点�(cos�,
1
3 )，所以cos2�+
1
9 = 1，
解得cos�=±
2 2
3 ，因为�在第二象限，所以cos�=−
2 2
3 ，
所以tan�=
1
3
−2 2
3
=−
2
4 .
故答案为：−
2
4 .
14．（2026·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱
翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形���，再在该扇形内剪下一个同心
小扇形���（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面����．当扇子扇形的圆心角为
2π
3 rad 时，扇面看上去
形状较为美观．已知��= 20cm，弧��的长为
20π
3 cm，则此扇面的面积为__________cm2．
【答案】
800π
3
【解题思路】利用弧长公式求出��的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积.
【解答过程】设��= �，因为圆心角�=
2π
3 ，弧��的长为���=
20π
3 cm，代入弧长公式�= ��可得
20π
3 =
2π
3 × �，
解得�= 10cm.
由扇形面积公式�=
1
2 ��2可得：�扇形���=
1
2 ��+ ��2 =
1
2 ×
2π
3 × 10 + 20 2 = 300πcm2，
�扇形���=
1
2 ��2 =
1
2 ×
2π
3 × 102 =
100π
3 cm2，
所以此扇面的面积为�= �扇形���−�扇形���= 300π −
100π
3
=
800π
3 cm2.
故答案为：
800π
3 .
四、解答题
15．（25-26 高一上·河南洛阳·阶段检测）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象
限：
(1)330°；
(2)
6π
5 ；
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(3)−190°.
【答案】(1)
11π
6 rad，第四象限角.
(2)216°，第三象限角
(3)−
19π
18 rad，第二象限角.
【解题思路】利用角度制与弧度制的换算公式，再根据象限角定义判断即可.
【解答过程】（1）330° = 330 ×
π
180 rad =
11π
6 rad，
330°是第四象限角；
（2）
6π
5 rad =
6π
5 ×
180°
π = 216°，
6π
5 是第三象限角；
（3）−190° =−190 ×
π
180 rad =−
19π
18 rad，
−190°是第二象限角.
16．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线��上；
(2)终边落在直线��上；
(3)终边落在阴影区域内（含边界）．
【答案】(1)�1 = ��=
π
3 + 2�π, �∈Z
(2)�2 = ��=
π
6 + �π, �∈Z
(3)�3 = �
π
6 + �π ≤�≤
π
3 + �π, �∈Z
【解题思路】（1）可得出终边落在射线��上的一个角为
π
3，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线��
上的角的集合；
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（2）可得出终边落在射线��上的一个角为
π
6，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线��上的角的集
合；
（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.
【解答过程】（1）终边落在射线��上的一个角为
π
3，则终边落在射线��上的角的集合为�1 = ��=
π
3 +
2�π, �∈Z ；
（2）终边落在射线��上的一个角为
π
6，则终边落在直线��上的角的集合为�2 = ��=
π
6 + �π, �∈Z ；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为�
π
6 + 2�π ≤�≤
π
3 + 2�π, �∈Z ，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为
�7π
6 + 2�π ≤�≤4π
3 + 2�π, �∈Z
= �
π
6 + (2�+ 1)π ≤�≤
π
3 + (2�+ 1)π, �∈Z ，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
�3 = �π
6 + 2�π ≤�≤π
3 + 2�π, �∈Z
∪�π
6 + (2�+ 1)π ≤�≤π
3 + (2�+ 1)π, �∈Z
= �
π
6 + �π ≤�≤
π
3 + �π, �∈Z .
17．（25-26 高一上·四川达州·阶段检测）角�顶点为原点，始边在�轴非负半轴，终边上的一点��, �，�> 0，
�= 2�.
(1)求sin�，cos�的值；
(2)角�逆时针旋转
5π
2 得到角�，
sin�+2cos�
2sin�−cos�= �，求�的值.
【答案】(1)sin�=
2 5
5 ，cos�=
5
5 .
(2)�=−
3
4
【解题思路】（1）利用三角函数的定义即可求解；
（2）由题意得�=
5π
2 + �，利用诱导公式求出sin�, cos�，代入即可求出答案.
【解答过程】（1）因为�> 0，�= 2�，则点��, �在第一象限，角�为第一象限角，
所以sin�=
�
�2+�2 =
2�
�2+ 2�2 =
2 5
5 ，
cos�=
�
�2+�2 =
�
�2+ 2�2 =
5
5 .
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（2）由题意得�=
5π
2 + �，
cos�= cos �+
5π
2
=−sin�=−
2 5
5 ，
sin�= sin �+
5π
2
= cos�=
5
5 ，
代入
sin�+2cos�
2sin�−cos�= �，得�=
sin�+2cos�
2sin�−cos�=
5
5 −2×2 5
5
2× 5
5 +2 5
5
=−
3
4，
所以�=−
3
4.
18．（25-26 高一下·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是�，半径为R，弧长为l．
(1)若�= 60°, �= 10cm，求扇形的弧长l；
(2)若�=
π
3 , �= 2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积；
(3)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角�为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】(1)�=
10π
3 (cm)
(2)
2π
3 −
3 cm2
(3)�= 2
【解题思路】（1）直接根据弧长公式进行计算即可；
（2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积
（3）由题意知�+ 2�= 20，可得�=−(�−5)2 + 25，然后结合二次函数的最值求法可得；
【解答过程】（1）�= 60° =
π
3 , �= 10 ×
π
3 =
10π
3 (cm)．
（2）设弓形面积为�弓．由题知�=
2π
3 cm．
�弓= �扇形−�三角形=
1
2 ×
2π
3 × 2 −
1
2 × 22 × sin
π
3 =
2π
3 −
3 cm2．
（3）由已知得，�+ 2�= 20，
所以�=
1
2 ��=
1
2 (20 −2�)�= 10�−�2 =−(�−5)2 + 25．
所以当�= 5 时，S 取得最大值25cm2，
此时�= 10, �= 2．
19．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，扇形���中有一个小扇形���，已知∠���= 150°，��= 2，��
Ⴃ=
5π
2 ．
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(1)求��
Ⴃ的长；
(2)若∠���= ∠���= 15°，求△���和扇形���的面积之比．
【答案】(1)
5π
6
(2)
3 3
4π
【解题思路】（1）根据弧长公式即可求解，
（2）根据扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可化简求解.
【解答过程】（1）由题意可得∠���= 150° = 150 ×
π
180 =
5π
6 ，则��
Ⴃ=
5π
6 × 2 + ��=
5π
2 ，
解得��= 1，所以��
Ⴃ=
5π
6 × 1 =
5π
6 ．
（2）如图，过点�作��⊥��，垂足为�，因为∠���= 150°，∠���= ∠���= 15°，则∠���= 120° =
2π
3 ，
由（1）知扇形���的半径为3，所以�扇形���=
1
2 ×
2π
3 × 32 = 3π．
在Rt △���中，sin60° =
��
��=
��
3 =
3
2 ，cos60° =
��
��=
��
3 =
1
2，
所以��=
3 3
2 , ��=
3
2，所以��= 3 3，则�△���=
1
2 × 3 3 ×
3
2 =
9 3
4 ，
故
�△���
�扇形���
=
9 3
4
3π =
3 3
4π ．
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