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专题18 圆锥曲线核心考点压轴小题全面梳理与分类解析
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.............................................................................2
题型二：蒙日圆.............................................................................................................2
题型三：阿基米德三角形.............................................................................................3
题型四：仿射变换问题.................................................................................................5
题型五：圆锥曲线第二定义.........................................................................................5
题型六：焦半径问题.....................................................................................................5
题型七：圆锥曲线第三定义.........................................................................................6
题型八：定比点差法与点差法.....................................................................................6
题型九：切线问题.........................................................................................................7
题型十：焦点三角形问题.............................................................................................7
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题.........................................................................8
重难点突破：圆锥曲线与四心问题.............................................................................9
02 重难创新练.............................................................................................................10
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
1．希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆”.
后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系
中，点
1
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，
，若点
是满足
的阿氏圆上的任意一点，点
为抛物线
上的动点，
在直线
上的射影为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．阿波罗尼斯（约公元前262-190 年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B 间的距离为2，动点P 满
足
，则
面积的最大值是（ ）
A．
B．2
C．
D．4
3．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成
果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q，P 的距离之比
，那么点
的轨迹就是阿
波罗尼斯圆．已知动点
的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为
，定点
为
轴上一点，
且
，若点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：蒙日圆
4．加斯帕尔·蒙日是18～19 世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线
的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆
：
，
是直线：
上一点，过
作
的两条切线，切点分别为
、
，连接
（
2
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是坐标原点），当
为直角时，直线
的斜率
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆
心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和．如图所示为稀圆
E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)及其蒙日圆
，点
均为蒙日圆与坐标轴的交点，
分别与
相切于点
，若
与
的面积比为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，其蒙日圆方程为
，M 为蒙日圆上的一个动点，过点
作椭圆
的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q 两点，
若
面积的最大值为36，则椭圆
的长轴长为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
题型三：阿基米德三角形
7．已知抛物线
的焦点为F，直线l 与抛物线
在第一象限相切于点P，并且与直线
和x 轴
分别相交于A，B 两点，直线PF 与抛物线
的另一个交点为Q．过点B 作
交PF 于点C，若
，则|PF|等于（ ）
附加结论：抛物线上两个不同的点A，B 的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，以A，B 为切点的切线PA，
PB 相交于点P，我们称弦AB 为阿基米德
的底边．
定理：点P 的坐标为
；
推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点
，则另一顶点P 的轨迹方程为
.
A．
B．
C．
D．
8．阿基米德（Archimedes，公元前287 年-公元前212 年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西
西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做
阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的
弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的
（即右图中阴影部分面积等于
面
4
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积的
）．若抛物线方程为
，且直线
与抛物线围成封闭图形的面积为6，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
题型四：仿射变换问题
9．过椭圆
的右焦点F 的直线与椭圆交于A，B 两点，则
面积最大值为 .
10．已知A，B，C 分别是椭圆
上的三个动点，则
面积最大值为 .
11．已知椭圆
左顶点为
，
为椭圆
上两动点，直线
交
于
，直线
交
于
，
直线
的斜率分别为
且
，
（
是非零实数），求
.
题型五：圆锥曲线第二定义
12．已知点
，且
是椭圆
的左焦点，
是椭圆上任意一点，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．设
、
分别是椭圆
的左、右焦点，过点
作x 轴的垂线交C 于A、B 两点，
5
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其中点A 在第一象限，且
.若P 是C 上的动点，则满足
是直角三角形的点P 的个数为
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
14．已知点
，
，动点
满足
，当点
的纵坐标是
时，点
到坐标原点
的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：焦半径问题
15．已知双曲线
，焦点到一条渐近线的距离为
，离心率
，过左焦点F 的直线l 交
双曲线C 的同一支于A，B 两点，若
，则
．
16．已知点A、B 位于抛物线
上，
，点M 为线段
的中点，记点M 到y 轴的距
离为d.若d 的最小值为7，则当d 取该最小值时，直线
的斜率
为 .
17．已知抛物线
和圆
，过
点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点
，则
的最小值为
题型七：圆锥曲线第三定义
18．“过原点的直线交双曲线
于
，
两点，点
为双曲线上异于
，
的动点，
若直线
，
的斜率均存在，则它们之积是定值
”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：
6
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过原点的直线交椭圆
于
，
两点，点
为椭圆上异于
，
的动点，若直线
，
的斜率均存在，则它们之积是定值（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知
是椭圆
上关于原点对称的两点，若椭圆
上存在点
，使得直线
斜率的绝对值之和
为1，则椭圆
的离心率的取值范围是 .
题型八：定比点差法与点差法
20．已知椭圆
，过点
的直线与椭圆
交于
两点，若点
恰为弦
中点，则直线
斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．已知椭圆
，一组平行直线的斜率是
，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段
的中点轨迹方程是 ．
22．设
、
分别为椭圆
的左、右焦点，点A、
在椭圆上，若
，则点A 的坐标是 ．
题型九：切线问题
23．已知圆
与抛物线
相交于两点
，分别以
为切点作
的切
线
. 若
都经过
的焦点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知双曲线
的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线
在
处的切
7
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线垂直，M，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
25．已知椭圆
的左､右焦点分别为
，过
向圆
引切线交椭圆于点
为坐标原点，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：焦点三角形问题
26．已知抛物线
上一点
到焦点的距离为
，圆
与C 交于
A，B 两点，则
（点M 为圆M 的圆心）的面积为 ．
27．已知抛物线
的焦点为
，直线
与
交于
两点，点
，则当
的面积取得最大值时，
．
28．已知抛物线
的焦点为F，准线为过F 的直线交C 于A，B 两点，过A，B 分别作l
的垂线，垂足分别为M，N，若
，则
的面积是
面积的 倍.
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题
29．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛
物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物线
上一点，一条光线沿
射出，经过抛物线
上的点
（异于点
）反射，
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反射光线经过点
，若
，则抛物线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．如图1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
的左、右焦点分别为
，从
发出
的光线经过图2 中的A，B 两点反射后，分别经过点
和
，且
，则
的离心率
为( )
A．
B．
C．
D．
31．如图1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
的左、右焦点分别为
，
，从
发
出的光线经过图2 中的
，
两点反射后，分别经过点
和
，且
，
，则
的离
心率为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
重难点突破：圆锥曲线与四心问题
32．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，过焦点
的直线l 与椭圆C 相交于
两点，
椭圆C 在
两点处的切线交于点P，则点P 的横坐标为 ，若
的垂心为点H，则
的最小
值是 ．
33．已知
三点均在抛物线
上.若抛物线的焦点
恰好是
的重心，则
的三条中线
的长度之和为 .
34．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，圆
上的点到
的一条渐
近线的距离的最大值为
是双曲线
右支上一点，线段
与双曲线
的左支交于点
，若
的
重心与内心重合，则直线
的方程为 ．
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1．（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：
的焦点F 的直线l 交C 于A，B 两点，交直线
于点
P，若
，则
与
的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过焦点
的直线与抛物线交
于
两点，
为坐标原点，若直线
与
的斜率之和为2，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．4
3．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，点P，Q 在
的准线上且关于
轴
对称，
，线段
与
分别相交于点
，且
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系
中，满足不等式组
的点
表示的区
域面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线
的左､右焦点分别为
，过
的直线l 与双曲线的左､
11
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右两支分别交于A，B 两点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高二上·天津武清·阶段练习）抛物线：
焦点为
，准线与
轴交于K，点P 为抛
物线上任意一点，
的角平分线与
轴交点为
，则m 最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·安徽亳州·期末）已知抛物线
的焦点为
，直线
与
交于
，
两点，则
的面积为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8
8．（24-25 高三上·山东菏泽·期末）已知
分别为抛物线
的焦点，平行于x 轴
的直线与
分别交于A，B 两点，且
，则四边形
为（ ）
A．任意不规则的四边形
B．直角梯形
C．等腰梯形
D．平行四边形
9．（多选题）（24-25 高三上·海南三亚·期末）设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线
的一部分，则（ ）
A．点
在
上
12
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B．将
在
轴上方的部分看作函数
的曲线，则
是
的极小值点
C．过
作
的切线，其与
的交点的横纵坐标均为有理数
D．
在
轴左边的部分到坐标原点
的距离均大于
10．（多选题）（24-25 高三上·贵州黔南·期末）已知直线y =k (x−1)与抛物线
交于
两点，
是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．若
，则
B．
的最小值为5
C．过点
作
的垂线，垂足为
，则
三点共线
D．以
为直径的圆与
相切
11．（多选题）（2025·广东·一模）设双曲线
的左、右顶点分别为
为
上一点，且位
于第一象限，直线
交
轴于点
，记
的面积为，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
12．（24-25 高三上·浙江·阶段练习）设
，
为抛物线
上不同象限内的两点，且直线
的斜率为1．记
为原点，则
的取值范围是 ．
13．（24-25 高三下·辽宁本溪·开学考试）在平面上给定相异两点
，设点
在同一平面上且满足
，当
且
时，
点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我
13
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们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线
分别为双曲线的左、右焦点，
为
双曲线虚轴的上，下端点，动点
满足
面积的最大值为4.点
在双曲线上，且关于原点
对称，
是双曲线上一点，直线
和
的斜率满足
，则双曲线方程是 ；
14．（24-25 高三上·贵州铜仁·期末）已知边长为
的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在
抛物线
上，则
的方程是 ；设点
在直线
上，过点
的两条直线分
别与
相切于
两点，记直线
的斜率分别为
，则
的最小值是 .
14
