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2025 年高考押题预测卷
数学（天津卷02）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共9 小题，每小题5 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算
【分析】先求出集合B，再利用集合的交运算即可求得结果.
【详解】易知
，所以
，
故选：A．
2．使不等式
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式
可得
，结合充分条件及必要条件的定义判断结论.
【详解】解不等式
，可得
，
所以不等式
成立的一个充分不必要条件必须为
的非空真子集，
所以可以排除选项A，B，C，
因为由
可推得
，由
不能推得
，
所以使不等式
成立的一个充分不必要条件为
．
故选：D．
3．函数
的图象大致为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断
【分析】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.
【详解】首先：
，
所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，故排除CD.
又
，故排除B.
故选：A
4．设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较正弦值的大小、比较对数式的大小
【分析】
利用换底公式即可化简；
利用对数函数的性质；利用正弦函数的值域即可.
【详解】
；
；
，
则
故选：A
5．下列结论中，错误的是（ ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8 的第60 百分位数为6
B．若随机变量
，则
C．已知经验回归方程为
，且
，则
D．根据分类变量
与
成对样本数据，计算得到
，依据小概率值
的
独立性检验
，可判断
与
有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
2
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【答案】D
【知识点】独立性检验的概念及辨析、总体百分位数的估计、指定区间的概率、根据样本中心点求参数
【分析】
A 选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B 选项，由正态分布的对称性得到答案；C 选项，
将样本中心点代入回归方程，求出
；D 选项，由
得到D 错误.
【详解】A 选项，数据4，1，6，2，9，5，8 排序后得到1，2，4，5，6，8，9，
，故选取第5 个数据作为第60 百分位数，即为6，A 正确；
B 选项，因为
，根据对称性可知
，
故
，B 正确；
C 选项，已知经验回归方程为
，且
，则
，
解得
，C 正确；
D 选项，
，故不能得到此结论，D 错误
故选：D
6．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
在区间
上单调递增，且在区间
上有且仅有1 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解
析式
【分析】先求出
，结合
在区间
上单调递增可得
，再由
在区间
上有
且仅有1 个零点，可得
可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案.
【详解】由题意可得：
，
因为
在区间
上单调递增，
因为
，
，
所以
，解得：
，
3
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又
在区间
上有且仅有1 个零点，
所以
，
，
结合
，所以
，
所以这个零点可能为
或
或
，
当
时，
，
，
解得：
，
当
时，
，
，
解得：
，
当
时，
无解，
综上：
的取值范围为
.
故选：A.
7．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过
作
的垂线与
在
第一象限内交于点
，且
．设
的离心率为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析
【分析】先根据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出
，最后利用余
弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解.
【详解】
4
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如图，连接
，设
与
交于点 M.
由
，可设
，则
，其中
，
由椭圆的定义，得
，从而
，
又因为
，所以
，在
中，设
，
则
为锐角，所以
，即
，
由余弦定理，得
，即
，解得
.
故选：C.
8．已知正四面体
（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为
，
设能装下正四面体
的最小正方体的体积为
，正四面体
的外接球（四面体各顶点都在球的表
面上）体积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接
问题
【分析】设正四面体的棱长为
，设正四面体
内切球球心为
，半径为
，由等体积法求出
，
将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体
的最小正方体，即可求出
，设正四面体
的外接球的半径
，根据正方体和正四面体的外接球为同
一个球计算出
，即可得出答案．
【详解】设正四面体的棱长为
，则正四面体的表面积为
，
由题设底面
的外接圆半径
，则
所以正四面体的高为
，
其体积为
，
设正四面体
内切球球心为
，半径为
，
5
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解得：
，所以
，解得：
，
将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，
此时即为能装下正四面体
的最小正方体，
正四面体
的最小正方体的边长为
，如下图，即
，所以
，
体积为
，设正四面体的外接球半径为
，
则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为
，
所以
，所以外接球的体积为
，
.
故选：A.
9．函数
，关于x 的方程
有2 个不相等的实数根，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含
参）
【分析】由已知可得
为方程
的一个根，则当
时，直线
与函数
仅有一个交点，作出
的图象，结合图象求解即可.
【详解】当
时，
，即关于x 的方程
始终有一个根为
，
6
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当
时，由
，得
，
由题意可知当
时，直线
与函数
仅有一个交点，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以当
时，
取到最大值
，
当
时，
，
作出函数
的图象如下图所示，
由图象可知，要使直线
与函数
仅有一个交点，则
，或
，或
故选：A
【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数与导数的综合问题，解题的关键是根据函
数解析式画出函数图象，结合图象可求得结果，考查数形结合的思想，属于较难题.
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
10．i 是虚数单位，则复数
．
【答案】
【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算
【分析】直接利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
.
7
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故答案为：
11．在
的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
【答案】
【知识点】求二项展开式、求指定项的系数
【分析】根据二项式定理的通项公式，利用
项的指数为
即为常数项.
【详解】由
的展开式的通项为
，
令
，
，则
，
即在
的展开式中，常数项为
，
故答案为：
.
12．已知圆
的方程为
．当圆
的面积最小时，直线
与圆
相切，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先求得圆
面积最小时圆的半径，然后根据点到直线的距离等于半径列方程求得
.
【详解】依题意，圆
的方程为
，
所以
，所以圆心为
，半径为
，
所以当
时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为，
此时圆心
到直线
的距离为
或
（舍去）.
故答案为：
13．第十五届中国国际航空航天博览会在2024 年11 月12 日至17 日在广东珠海举行.此次航展，观众累计
参观近60 万人次，签约金额超2800 亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举
行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7 个大小相同的小球，
其中3 个是红球，4 个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2 球，若取出的球颜
色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客
两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为
.
【答案】
/
【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式
8
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【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解.
【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为
，
设顾客第一次抽奖没有中奖为事件
，第二次抽奖中奖为事件
，
则
，
，
，
该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为
.
故答案为：
，
.
14．已知
为抛物线
上的动点，
，
为圆
上的两个不同点，若
恰为圆
的一条直径，则
的最小值为 ；若
，
均与圆
相切，则
的最小值为
.
【答案】
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径、抛物线方程的四种形
式与位置特征
【分析】求圆
的圆心坐标和半径，设
，利用
表示
并求其最小值，再结合向量运算法则
求
的最小值，设
，根据数量积的定义及二倍角公式利用
表示
，结合对勾函数
性质求最小值即可.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
设
，则
，
，
（
时取等号）.
所以
，
当
为圆
的一条直径时，
，
，
所以
，
当且仅当点
的坐标为
时等号成立，
所以
的最小值为.
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当
，
均与圆
相切时，则
，
设
，则
，
所以
，
因为函数
在
上单调递增，
，
所以当
时，即点
的坐标为
时，
取最小值，最小值为
.
故答案为：；
.
15．已知正实数m，n，满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、基本不等式求和的最小值、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】
，利用函数
单调性可得
，又注意
到
，后由基本不等式可得答案.
【详解】
，构造函数
，则
，
即
在
上单调递增，
则
.则
，
10
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当且仅当
，即
时取等号.
故答案为：
.
三、解答题：本题共5 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）
在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)若
的面积为
，求的值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)4.
【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、二倍角的余弦公式、正弦定
理边角互化的应用
【分析】（1）应用正弦边角关系得
，结合已知及余弦定理得
，再由平方关系求
；
（2）应用二倍角正余弦公式、和角余弦公式求函数值；
（3）由三角形面积公式得
，结合
、
即可求边长.
【详解】（1）因为
，所以
，而
，
，
，
；
（2）由（1）
，
，
；
（3）由（1）
，则
，又
，则
，
又
，则
.
17．（本小题满分15 分）
11
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在如图所示的几何体中，四边形
是正方形，四边形
是梯形，
，
且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的大小；
(3)已知点
在棱
上，且异面直线
与
所成角的余弦值为
，试确定点
的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点
为靠近
的四等分点
【知识点】由异面直线所成的角求其他量、面面角的向量求法、证明线面平行
【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合线面平行的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案；
（3）由（2）的空间直角坐标系，表示出直线的方向向量，利用线线角的向量公式，建立方程，可得答案.
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，如下图：
因为
为
的中点，所以
，由
，则
，
因为
，所以四边形
是平行四边形，则
，且
，
因为在正方形
中，
且
，即
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
12
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（2）由
，则
，
在正方形
中，
，所以
两两垂直，
以
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如下图：
则
，
可得
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，所以平面
的一个法向量
；
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，所以平面
的一个法向量
，
设平面
与平面
的所成角为
，
则
，由
，则
.
（3）由题意作图如下：
设
，则
，
13
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可得
，
设异面直线
与
所成角为
，
则
，
整理可得
，解得
，
即
，由
，则
，即
，
故点
为靠近
的四等分点.
18．（本小题满分15 分）
已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为
轴，
轴，且过
两点．
(1)求
的方程；
(2)过点
，斜率不为0 的直线与椭圆交于
两点，点
，直线
与
轴交于
，与
轴交
于
，直线
与
轴交于
，与
轴交于
．若
，求直线的斜率．
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点
求标准方程
【分析】（1）根据椭圆所过的点求参数，即可得方程；
（2）设直线
，联立椭圆并应用韦达定理，再由直线
，
直线
求交点坐标，根据面积关系得
，进而求得
，即可得.
【详解】（1）设
的方程为
且
，
将
两点代入得
，解得
，
故
的方程为
．
（2）依题意，设直线
，
14
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联立
，消去
整理得
，
则
，即
，且
．
直线
，直线
，
令
，则
，
令
，则
，
由
，得
，即
，
整理得
，
因为
，所以
，解得
，
所以直线的斜率为
．
19．（本小题满分15 分）
已知数列
为等差数列，数列
为等比数列，且
，
，
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前
项和
；
(3)当
时，设集合
，集合
中元素的个数记为
，
求数列
的通项公式．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
15
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【知识点】错位相减法求和、数列不等式能成立（有解）问题、等比数列通项公式的基本量计算、分组
（并项）法求和
【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列
的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出
的表达
式，设等比数列
的公比为
，根据已知条件可得出关于
、
的方程组，解出这两个量的值，即
可得出等比数列
的通项公式；
（2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列
的前
项中的奇数项、偶数项的和，即可得出
；
（3）分析可知，集合
中元素个数等价于满足
的不同解
的个数，
、
进行讨论，推出矛盾，可得出
，然后利用不等式的基本性质可得出解
的个数，即可
得出数列
的通项公式.
【详解】（1）因为数列
为等差数列，所以，该数列的公差为
，
所以，
，
设等比数列
的公比为
，
由
可得
，解得
，则
.
（2）当
为奇数时，
，
设数列
奇数项的和为
，
则
.
当
为偶数时，
，设数列
的偶数项的和为
，
则
，
可得
，
上述两个等式作差得
，
整理可得
，
所以，
.
（3）集合
中元素个数等价于满足
的不同解
的个数，
16
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若
，则
，与已知矛盾；
若
，则
，与已知矛盾，所以，
，
又因为
，
所以，
，
即
、
、、
、
，共
个解
，故
.
20．（本小题满分16 分）
已知函数
.
(1)若
，函数
在点
处的切线斜率为
，求函数
的单调区间和极值；
(2)试利用（1）结论，证明：
；
(3)若
，且
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
，函数
的单调递减区间为
，极大值1，无极小值.
(2)证明见解析
(3)
.
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含
参）、求已知函数的极值
【分析】（1）求
，由
求出
，分别解
和
，即可求出函数
的单
调区间和极值；
（2）由（1）可得
令
，可得
，再由放缩法结合等比数列的前
项和
可证明；
（3）将不等式转化为证明
桓成立，分
，
讨论，当
时，对不等式两侧同时取
对数，构建新函数，令
，等价于
恒成立，结合
的单调性可得
，设
，求出
的最大值，即可得出答案.
【详解】（1）当
时，
，
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，由已知
，所以
，
即
，因为
，
所以，当
时，
，当
时，
，
因此，
的单调递增区间为
，函数
的单调递减区间为
.
当
时，函数
取得极大值
，无极小值.
（2）证明：由（1）可得当
时，
，即
令
，可得
，所以
，
所以，
，原式得证.
（3）已知
，则
，不等式为
，
即
桓成立，
（i）当
时，任意
，因此
满足条件.
（ii）当
时，
，不等式两侧同时取对数，
有
，等价于
①，
构建新函数，令
，①式等价于
恒成立，
而
，函数
在其定义域上单调递增，因此对任意
，有
成立，即任意
，有
，
等价于
②，设
，
当
时，
，当
时，
，
所以，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调逆减，
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所以
，因此由（2）式可得
.
综上，正实数
的取值范围为
.
19
