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专题19 圆锥曲线高频考点深度剖析压轴解答题
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................24
题型一：轨迹方程
24
题型二：向量搭桥进行翻译
31
题型三：弦长、面积背景的条件翻译
39
题型四：斜率之和差商积问题
44
题型五：弦长、面积范围与最值问题
50
题型六：定值问题
57
题型七：中点弦与对称问题
63
题型八：定点问题
68
题型九：三点共线问题
74
题型十：四点共圆问题
82
题型十一：切线问题
90
题型十二：定比点差法
98
题型十三：齐次化
103
题型十四：极点极线问题
108
题型十五：同构问题
115
重难点突破：蝴蝶问题
119
解析几何作为高考数学中的一个关键部分，其题目往往设计得既具有挑战性又富有区分度，常作为试
1
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卷中用以检验学生能力和拉开分数差距的难题。这类题目不仅思维要求高，而且计算也相当复杂，常常让
学生感到棘手。通过深入分析近年来的高考真题和模拟试题，我们可以总结出以下几个主要的考查点：
（1）探究解析几何的基本方法和通用策略；
这涉及到运用解析几何的基本原理和公式，去求解和证明相关的几何问题。
（2）圆锥曲线中的极值、定点和定值问题；
这些问题通常要求学生能够灵活运用圆锥曲线的性质和方程，通过代数运算和几何分析，找出特定的
数值或位置关系。
（3）解析几何中常见的模型和问题类型；
这包括直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的位置关系，以及它们之间的交点、切线等几何
特征。
解析几何的核心内容可以用“定义、方程、位置关系”这八个字来概括。无论是高考中的哪一道解析
几何题目，都是围绕这八个字的内容，并结合上述三大核心考点来设计的。因此，掌握这八个字和三大考
点，对于提高解析几何的解题能力和应对高考都具有重要的意义。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
轨迹问题
掌握轨迹方程
2023 年II 卷第21 题，12 分
预计在2025 年的高
考数学中，解析几何题目
更可能以解答题的形式呈
现，并且这些题目将着重
考查学生的四大核心素
养：数学抽象能力、数学
建模能力、逻辑推理能力
和数学运算能力。
此外，我们预测解析
几何的热点问题将继续聚
焦于定点定值问题和极点
极线问题。这些问题不仅
要求学生具备扎实的数学
基础，还需要他们具备灵
活运用数学知识解决实际
问题的能力，以及深入理
解和分析几何图形性质的
能力。
弦长、面积问题
精通弦长面积计
算，提升几何解
题能力
2024 年I 卷第16 题，15 分
2023 年甲卷第21 题，12 分
2023 年天津卷第18 题，15 分
2023 年I 卷第22 题，12 分
斜率之和差商积问题
掌握斜率运算规
律
2022 年甲卷第21 题，12 分
2021 年乙卷第20 题，12 分
2021 年I 卷第21 题，12 分
定点定值问题
精通圆锥曲线定
点定值，精准解
题
2024 年天津卷第18 题，15 分
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年乙卷第20 题，12 分
2
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3
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1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
6、已知点
是椭圆上一个定点，椭圆
上有两动点
、
（1）若直线
，则直线
过定点
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若直线
，则直线
过定点
（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
7、过双曲线
上任一点
，
、
为双曲线上两动点
（1）若
，则直线
恒过定点
．
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若
，则直线
恒过定点
．
4
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（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
8、过抛物线
上任一点
引两条弦
、
，
（1）若
，则直线
恒过定点
．（2018 全国一卷文科）
（2）若
，则直线
恒过定点
．
（3）若直线
，则直线
斜率为定值则
．
5
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1．（2024 年北京高考数学真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
【解析】（1）由题意
，从而
，
所以椭圆方程为
，离心率为
；
（2）直线
斜率不为0，否则直线
与椭圆无交点，矛盾，
从而设
，
，
联立
，化简并整理得
，
由题意
，即
应满足
，
所以
，
6
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若直线
斜率为0，由椭圆的对称性可设
，
所以
，在直线
方程中令
，
得
，
所以
，
此时
应满足
，即
应满足
或
，
综上所述，
满足题意，此时
或
.
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
【解析】（1）设
，由题设有
且
，故
，故
，故
，
故椭圆方程为
.
（2）直线
的斜率必定存在，设
，
，
，
由
可得
，
7
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故
，故
，
又
，
而
，故直线
，故
，
所以
，
故
，即
轴.
3．（2024 年天津高考数学真题）已知椭圆
的离心率为
．左顶点为
，下顶点为
是线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，
求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为
，故
，
，其中为半焦距，
所以
，故
，
8
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故
，所以
，
，故椭圆方程为：
.
（2）
若过点
的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
，
设
，
由
可得
，
故
且
而
，
故
，
9
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因为
恒成立，故
，解得
.
若过点
的动直线的斜率不存在，则
或
，
此时需
，两者结合可得
.
综上，存在
，使得
恒成立.
4．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
【解析】（1）由题意得
，解得
，
所以
.
（2）法一：
，则直线
的方程为
，即
，
，由（1）知
，
设点
到直线
的距离为
，则
，
则将直线
沿着与
垂直的方向平移
单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点
，
设该平行线的方程为：
，
10
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则
，解得
或
，
当
时，联立
，解得
或
，
即
或
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，联立
得
，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为
或
.
法二：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
设
，则
，解得
或
，
即
或
，以下同法一.
法三：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
11
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设
，其中
，则有
，
联立
，解得
或
，
即
或
，以下同法一；
法四：当直线
的斜率不存在时，此时
，
，符合题意，此时
，直线的方程为
，即
，
当线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
联立椭圆方程有
，则
，其中
，即
，
解得
或
，
，
，
令
，则
，则
同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
则
，解得
，
此时
，则得到此时
，直线的方程为
，即
，
综上直线的方程为
或
.
12
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法五：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当的斜率存在时，设
，令
，
，消
可得
，
，且
，即
，
，
到直线
距离
，
或
，均满足题意，
或
，即
或
.
法六：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当直线斜率存在时，设
，
设与
轴的交点为
，令
，则
，
13
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联立
，则有
，
，
其中
，且
，
则
，
则
，解的
或
，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为
或
，即
或
.
5．（2023 年北京高考数学真题）已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、
下顶点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
【解析】（1）依题意，得
，则
，
又
分别为椭圆上下顶点，
，所以
，即
，
14
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所以
，即
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）因为椭圆
的方程为
，所以
，
因为
为第一象限
上的动点，设
，则
，
易得
，则直线
的方程为
，
，则直线
的方程为
，
联立
，解得
，即
，
而
，则直线
的方程为
，
令
，则
，解得
，即
，
又
，则
，
，
15
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所以
，
又
，即
，
显然，
与
不重合，所以
.
6．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线
与抛物线
交于
两
点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
【解析】（1）设
，
由
可得，
，所以
，
所以
，
即
，因为
，解得：
．
（2）因为
，显然直线
的斜率不可能为零，
设直线
：
，
，
由
可得，
，所以，
，
，
16
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因为
，所以
，
即
，
亦即
，
将
代入得，
，
，
所以
，且
，解得
或
．
设点
到直线
的距离为
，所以
，
，
所以
的面积
，
而
或
，所以，
当
时，
的面积
．
7．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为
定点．
17
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【解析】（1）由题意可得
，解得
，
所以椭圆方程为
.
（2）由题意可知：直线
的斜率存在，设
，
联立方程
，消去y 得：
，
则
，解得
，
可得
，
因为
，则直线
，
令
，解得
，即
,
同理可得
，
则
，
所以线段
的中点是定点
.
18
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8．（2023 年天津高考数学真题）已知椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，
已知
．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点
在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积
的二倍，求直线
的方程．
【解析】（1）如图，
由题意得
，解得
，所以
，
所以椭圆的方程为
，离心率为
.
19
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（2）由题意得，直线
斜率存在，由椭圆的方程为
可得
，
设直线
的方程为
，
联立方程组
，消去
整理得：
，
由韦达定理得
，所以
，
所以
，
.
所以
,
,
，
所以
，
所以
，即
，
解得
，所以直线
的方程为
.
9．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距
离，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
【解析】（1）设
,则
，两边同平方化简得
，
故
.
（2）法一：设矩形的三个顶点
在
上,且
，易知矩形四条边
20
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所在直线的斜率均存在，且不为0，
则
,令
，
同理令
，且
，则
，
设矩形周长为
,由对称性不妨设
，
，
则
，易知
则令
,
令
，解得
，
当
时，
，此时
单调递减，
当
，
，此时
单调递增，
则
，
故
,即
.
当
时,
,且
，即
时等号成立，矛盾，故
,
得证.
21
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法二：不妨设
在
上，且
，
依题意可设
，易知直线
，
的斜率均存在且不为0，
则设
,
的斜率分别为
和
，由对称性，不妨设
，
直线
的方程为
，
则联立
得
，
，则
则
，
同理
，
令
，则
，设
，
则
，令
，解得
，
22
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当
时，
，此时
单调递减，
当
，
，此时
单调递增，
则
，
，
但
，此处取等条件为
，与最终取等时
不一致，故
.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动
个单位得抛物线
,
矩形
变换为矩形
,则问题等价于矩形
的周长大于
.
设
, 根据对称性不妨设
.
则
, 由于
, 则
.
由于
, 且
介于
之间,
则
. 令
,
,则
,从而
故
①当
时,
23
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②当
时,由于
,从而
,
从而
又
,
故
,由此
，
当且仅当
时等号成立，故
，故矩形周长大于
.
.
10．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率
为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
24
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与
交于点P．证明:点
在定直线上.
【解析】（1）设双曲线方程为
，由焦点坐标可知
，
则由
可得
，
，
双曲线方程为
.
（2）由(1)可得
，设
，
显然直线的斜率不为0，所以设直线
的方程为
，且
，
与
联立可得
，且
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
与直线
的方程可得：
，
25
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由
可得
，即
，
据此可得点
在定直线
上运动.
26
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题型一：轨迹方程
【典例1-1】一动圆
与圆
外切，与圆
内切． 设动圆圆心
的轨
迹为
(1)求曲线
的方程；
(2)直线与曲线
分别交于
两点，以
为直径的圆过坐标原点O，动点
在上，且
成等比数列，求动点
的轨迹方程．
【解析】（1）设动圆
的半径为，圆心
.
圆
，其圆心
，半径
；
圆
，其圆心
，半径
.
因为动圆
与圆
外切，所以
；动圆
与圆
内切，所以
.
则
，而
.
根据椭圆的定义：
（
为长半轴长），
（为半焦距），可得
，
.
根据
，可得
.
所以曲线
的方程为
.
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
，
.
27
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联立
，消去
得
.
则
，即
.
由韦达定理得
，
.
因为以
，
为直径的圆过原点
，所以
，即
.
.
则
.
将
与
代入可得：
，化简得
.
设
，因为
，
，
成等比数列，所以
.
设
，
在直线上的射影分别为
根据直角三角形射影定理可得
.
设直线的倾斜角为
，则
，
.
，
.
将
与
代入并结合
以及
化简可得
.
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为
，
，
.
代入椭圆方程可得
，
.
因为
，所以
，解得
.
28
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此时
.
则动点
的轨迹方程
.
【典例1-2】线段
的长为3，端点
分别在
轴和
轴上运动，点
满足
，记点
的轨迹
为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)曲线
与
轴的左右两个交点分别为
为
上异于
的动点.过点
分别作直线
，直
线
，其中与曲线
交于
两点，
交直线
于点
，点
满足
.
①求点
的轨迹方程；
②
的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设点
，
，
，由
，则
，
由
，可得
，即
，代入
，
可得
，
所以曲线
的方程为
.
（2）①因为
，所以
，
29
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不妨设
，则
，
设
，
，
，
则
①，
②，
由
，得
，则
，
即
，
由
，得
，
则
，即
，
又①
②得
，
，即得
，且
，
所以点
的轨迹方程为
.
②设
，则
，
设直线
的斜率分别为
，则
，
30
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联立
，得
，
联立
，得
，
设直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的面积存在最小值，最小值为3.
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点
的坐标
、
表示相关点
的坐标
、
，然后代入点
的坐标
所
满足的曲线方程，整理化简可得出动点
的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标
、
之间的直接关系难以找到时，往往先寻找
、
与某一参数得到方
程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【变式1-1】过点
的直线与抛物线
交于点M，N，且当直线恰好过抛物线C 的
焦点F 时，
．
(1)求抛物线C 的方程；
31
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(2)设点Q 在线段MN 上（异于端点），且
，求点Q 的轨迹方程．
【解析】（1）当直线恰好过抛物线C 的焦点
时，设直线的方程为：
，其中
，
设
，
联立直线与抛物线方程：
，可得：
，此时
，
化简可得：
，解得：
，
所以抛物线C 的方程为：
.
（2）设直线的方程为：
，设
，
，
联立直线与抛物线方程：
，可得：
，
且
，解得：
且
，
，
因为
，即
，则有
，
整理可得：
，
即
，
，所以
，
即
的轨迹方程为：
且
.
32
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1．已知动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的比为常数
，其中
，且
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点
，若曲线
上两动点
均在
轴上方，
，且
与
相交于点
．当
时，
（ⅰ）求证：
为定值
（ⅱ）求动点
的轨迹方程．
【解析】（1）设点
，由题意可知
，即
，
经化简，得
的方程为
，
当
时，曲线
是焦点在
轴上的椭圆；
当
时，曲线
是焦点在
轴上的双曲线．
（2）当
时，由（1）可知
的方程为
，
设点
，其中
且
，
33
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（i）证明：因为
，所以
，
因此，
三点共线，
且
，
设直线
的方程为
，联立
的方程，得
，
，
则
，
由（1）可知
，
所以
（定值），
（ⅱ）由椭圆定义
，得
，
，
解得
，
同理可得
，
所以
34
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．
所以，点
在以点
为焦点长轴长为6 的椭圆上，由于点
均在
轴上方，所以动点
的轨迹方程
为
题型二：向量搭桥进行翻译
【典例2-1】在平面直角坐标系中，已知曲线
，点P、Q 分别为
上不同的两点，
．
(1)求
所在椭圆的离心率；
35
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(2)若
在y 轴上，若T 到直线
的距离为
，求P 的坐标；
(3)是否存在t，使得
是以T 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请
说明理由．
【解析】（1）由
，则
，即离心率为
；
（2）由题设，问题化为以
为圆心，
为半径的圆与过
的直线相切，
且切线与
有交点，显然切线斜率存在，令切线为
，
所以
，可得
，则
或
，
当
，则切线为
，联立
，可得
，
则
或
，故此时
，满足；
当
，则切线为
，联立
，可得
，
则
或
，故此时
，不满足；
综上，
.
（3）由题设，直线
的斜率存在，可设
，
，
联立
，整理得
，
其中
，即
，
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所以
，
，则
，
，
所以
且
，故
，
当
时，则
且
，则
，此时
，满足；
当
，而
的中点为
，又
，
则
，即
，
且
，
，
所以
，则
，
所以
，则
，故
所以
，则
.
综上，
.
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【典例2-2】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，右顶点为
，上顶点为
，设
为
上的
一点．
(1)当
时，求
的值；
(2)若
点坐标为
，则在
上是否存在点
使
的面积为
，若存在，请求出所有满足条件
的点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知
点坐标为
，过点
和点
的直线与椭圆
交于另一点
，当直线与
轴和
轴均不平行
时，有
，求实数
的取值范围．
【解析】（1）由椭圆方程知：
，
，
，则
，
设
，
，解得：
，即
，
由椭圆定义知：
.
（2）由（1）知：
，
，
；
若存在点
，使
的面积为
，
则点
到直线
的距离
，
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，
直线
方程为：
，即
，
设平行于直线
且到直线
的距离为
的直线方程为
，
，解得：
或
；
当
时，直线方程为
，
由
得：
，解得：
或
，
或
，
点
或
；
当
时，直线方程为
，
由
得：
，方程无解，
即直线
与椭圆
无交点，此时不存在满足题意的点
；
综上所述：存在满足条件的点
，
点坐标为
或
.
（3）由题意可设直线
，
，
，
39
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由
得：
，
，即
，
，
，
设线段
中点为
，则
，
，
，又
为
中点，
，
，
，即
，
，
直线与
轴和
轴均不平行，
，
，
，整理可得：
，
，
，解得：
，
所以实数
的取值范围为
.
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
40
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【变式2-1】已知动圆
与圆
外切，与圆
内切，记动圆
圆
心的运动轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)若
分别是
的左､右顶点，
是圆
上一点，设
和
的夹角为
，求
的取值范
围.
【解析】（1）由题可知，
的半径为
的半径为
.
设
的半径为，由
与
外切，与
内切，得
则
.
由椭圆的定义知，曲线
是长轴长为
，左､右焦点分别为
的椭圆，
故
的方程为
.
（2）由（1）可知，
，设
，则
，
则
，
所以
，则
，得
.
若
在
轴上，则
，从而
.
若
在不在
轴上，则
，
且
，由
，得
，
则
，得
.
41
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因为
，所以
，则
，
由
，
解得
.
综上所述，
的取值范围为
.
1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
的离心率为
，A 为椭圆左顶点，已知点
，
且直线PA 的斜率为
.过点
作直线l 交椭圆于B，C 两点（B 在x 轴上方，C 在x 轴下方），设PB，
PC 两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E 分别在线段PD，PC 上）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当
时，若l 的斜率小于零，且
的面积为
，求证：
；
(3)若存在实数
，使得
，求此时直线DC 的斜率.
【解析】（1）由题意
，
，
，
42
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又
，所以
，
所以椭圆标准方程为
；
（2）由题意可设直线方程为
，
，
由
得
，
，
，
，
所以
，
解得
，又直线的斜率小于零，所以
，即直线
，
则有
，解得
或
，从而有
，
又
，
，由对称性知
，且
，而
轴，
，
所以
，
所以
.
（3）若存在实数
，使得
，则
，所以
，
由题意可知
，
设
，由
得
，
43
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又
均在椭圆上，所以
，
上式变形为
，
所以
，
整理得
，
同理可得
，
所以直线
方程为
所以
的斜率为
．
题型三：弦长、面积背景的条件翻译
【典例3-1】已知两定点
，
，动点P 满足
(1)求点P 的轨迹方程;
(2)过
的直线l 与动点P 的轨迹交于两点A，B，与直线
交于点C，设O 为坐标原点，若
，求直线l 的方程.
44
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【解析】（1）依题意知
，
，
点P 的轨迹是以
、
为焦点的椭圆，且焦点在x 轴上，
设椭圆方程为
，
由
，
，得
，
，
，
故所求点P 的轨迹方程为
（2）依题意，设直线l 的斜率为
，则直线l 的方程为
，
设
，
，
联立
，消y 得
，
，
可得：
①，
②，
由
，
，
，
，整理得
③，
由①③得
，
，代入②，解得
，
直线l 的方程为
或
【典例3-2】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现过圆
上任意一点作双曲线
的两条切线，这两条切线互相垂直.我们通常把这个圆
称作双曲线
的蒙日圆.如
图，过双曲线
的蒙日圆上一点
作
的两条切线，与该蒙日圆分别交于异于点
的
，
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两点，
，且
的周长为
.
(1)求双曲线
的标准方程.
(2)过双曲线
的右焦点
的直线与
交于
，
两点（异于顶点），线段
的中垂线与
轴交于一点
，
是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题可知，双曲线
的蒙日圆方程为
，且
，
所以
为蒙日圆的直径，
，又
，
所以
，
，
，
.
所以
的周长为
，所以
.
故双曲线
的标准方程为
.
（2）由（1）得
，由已知可得，直线
的斜率存在且不为
，
设直线
的方程为
，
，
，
将直线
的方程与双曲线方程联立得
，
整理得关于
的方程
，
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当
，即
时，直线AB 与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，不符合题意，
故
，且
，所以
，
，
.
设线段
的中点为
，则
，
，所以
.
因为
是线段
的中垂线，所以直线
的斜率为
，所以其方程为
，
令
，得
，故
，所以
，
，
所以
，存在
使得
，且
.
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点
设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公
47
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式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）
关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数
间的关系．
【变式3-1】已知圆A：
，圆B：
，圆C 与圆A、圆B 都外切，记圆心C 的
轨迹为E．
(1)求E 的方程；
(2)过点
的直线交E 于M，N 两点，与直线
交于点T，过点T 作x 轴的平行线l，直线OM，ON
与直线l 分别交于S，Q 两点，证明：
与
的面积相等．
【解析】（1）设圆C 的半径为r，又圆C 与圆A、圆B 外切，所以
，
，
则
，故点C 的轨迹为以A，B 为焦点的双曲线的一支，
所以曲线E 的方程为
.
（2）由题意，直线MN 斜率存在且不为0，设直线MN 为
，
，
，
其中
且
，
联立方程组
，消去x 有
，
则
，
，
，
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直线MN：
与直线
的交点
，
直线MO：
与直线l：
的交点
，
直线NO：
与直线l：
的交点
，
由于
，
故点T 是QS 的中点，所以
与
的面积相等．
1．对于椭圆：
（
），我们称双曲线：
为其伴随双曲线.已知椭圆C：
（
），它的离心率是其伴随双曲线
离心率的
倍.
(1)求椭圆C 伴随双曲线
的方程；
(2)点F 为
的上焦点，过F 的直线l 与
上支交于A，B 两点，设
的面积为S，
（其中O
为坐标原点）.若
，求
的值.
【解析】（1）设椭圆C 与其伴随双曲线
的离心率分别为
，
，
依题意可得
，
，即
，
49
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即
，解得
，
所以椭圆C：
，则椭圆C 伴随双曲线
的方程为
．
（2）由（1）可知
，直线l 的斜率存在，故设直线l 的斜率为k，
，
，则直线l
的方程
，
与双曲线
联立并消去y，得
，
则
，
，
，
，
需满足
，则
，
又
，
则
，解得
；
又
，
所以
，
50
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所以
.
题型四：斜率之和差商积问题
【典例4-1】已知椭圆C：
的长轴长是短轴长的2 倍，焦距为
，点A，B 分别为C
的左、右顶点，点P，Q 为C 上的两个动点，且分别位于x 轴上、下两侧，
和
的面积分别为
，
，记
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
，求证直线PQ 过定点，并求出该点的坐标；
(3)若
，设直线AP 和直线BQ 的斜率分别为
，
，求
的取值范围．
【解析】（1）由题意知，
，
，又
，
，
，
所以椭圆C 的方程为：
（2）证明：由
知
，
，由图形对称性可知，定点M 在x 轴上，
设直线PQ 方程为：
，
，
，
，
，解得
，
即定点坐标为
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（3）设直线PQ 的方程为
，
，
联立
可得
，
则
，
，且
于是
，
，
，即
的范围是
【典例4-2】已知双曲线
的方程为
，虚轴长为
，点
在曲线
上.
(1)求双曲线
的离心率；
(2)过原点
的直线与双曲线
交于
两点，已知直线
和
的斜率存在.证明：直线
和
的斜率
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之积为定值.
【解析】（1）由题意
，
从而
，
所以双曲线方程
，离心率
.
（2）证明：由题意知点
关于原点对称，
不妨设
，则
，
设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
因为
，
所以
（*）
又点
，在曲线
上，即
，
代入（*）得
，
所以直线
的斜率和直线
的斜率之积为定值3.
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在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将
斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【变式4-1】已知椭圆
，直线
与
交于点
，过椭圆
上一点
（非顶
点）作
的切线与直线
和
分别交于点
.
(1)若
，求
取得最小值时椭圆
的标准方程；
(2)若椭圆
的右顶点为
，直线
与
轴交于点
，直线
与直线
交于点
，直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，求证：
，
，
成等差数列.
【解析】（1）由于
在椭圆
上，所以
，
由
，得
，
当且仅当
，即
时，
取得最小值.
故
取得最小值时椭圆
的标准方程为
.
（2）根据
不是椭圆的顶点可知直线
的斜率存在且不为0，
设直线
为
，所以
，
.
54
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由
，得
由于直线
与椭圆
相切，所以
，
即
，得
，
所以（*）式可化为
，即
，得
，故
.
由题，得
，所以
，
故直线
的方程为
，
令
，得
，故
.
所以
，
所以直线
的方程为
，
令
，得
，
所以
.易知
，
由于
，所以
.
设
，故
，
，
，
故
，
55
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故
成等差数列.
1．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆相交于
两点，
的面积为
，求直线
的斜率之积的值.
【解析】（1）由题意可得
，解得
椭圆的标准方程为
.
（2）设
①当直线的斜率不存在时，根据陏圆的对称性不妨设点
在第一象限，则
因为
，所以
又因为
，解得
所以
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
由
联立，得
56
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得
点
到直线的距离为
，
则
解得
综上所得，求直线
的斜率之积
的值
.
题型五：弦长、面积范围与最值问题
【典例5-1】已知点
是椭圆
：
（
）上一点，
的焦距为2.
(1)求
的方程；
57
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(2)过
的右焦点作斜率不为0 的直线，交
于
，
两点，
，
是
的左、右顶点，记直线
，
的斜率分别为
，
.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）设
为直线
与直线
的交点，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最小值.
【解析】（1）由题意知
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）
（ⅰ）设直线的方程为
，
，
，
由
得，
，
所以
，
，
所以
，
由（1）得
，
，
则
58
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.
（ⅱ）设直线
的直线方程为
，
由（ⅰ）可知
，
则直线
的方程为
，联立解得
的横坐标为4.
所以
由（ⅰ）知，
，
，
所以
，
所以当
时，
的最小值为
.
【典例5-2】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线交椭圆于
、
两点，过
的
直线交椭圆于
、
两点，且
⊥
，垂足为
.
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(1)求
点的轨迹方程；
(2)证明：当
的斜率
存在且
时，
、
弦长的倒数和为定值；
(3)求四边形
的面积的最小值.
【解析】（1）椭圆的半焦距
，
由
⊥
知，点
在以线段
为直径的圆上，故
点的轨迹方程
；
（2）当
的斜率
存在且
时，故
的方程为
，
代入椭圆方程
中，
化简得
，
设
，
，则
，
则
，
因为
与
相交于点
，且
的斜率为
.
所以
，
当
的斜率
存在且
时，
、
弦长的倒数和为
；
60
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（3）当
的斜率
存在且
时，由（2）知，
，
，
故四边形
的面积
.
当
时，上式取等号.
当
的斜率
时，如图所示，
此时
，
中，令
得
，故
，
故四边形
的面积
，
当
的斜率不存在，同理可得
，
综上，四边形
的面积的最小值为
.
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线
与椭圆相交得到的
为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于
，有以下三种常见的
表达式：
61
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①
（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②
（横截距已知的条件下使用）
③
（纵截距已知的条件下使用）
【变式5-1】已知曲线
，从
上任意不在
轴上的一点
向
轴作垂线
，
为垂足，
是线段
的中点.
(1)求动点
的轨迹
的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)已知
，若
为轨迹
上位于
轴同侧的两点，且
共线，求四边形
面积的最大值.
【解析】（1）设
，则
，由中点坐标公式得
.
因为点
在曲线
上，所以
.
故线段
的中点
的轨迹
的方程为
.
且轨迹
是以
为焦点，长轴长为4，去掉长轴端点的椭圆.
（2）因为
为轨迹
上位于
轴同侧的两点，且
共线，
所以
，直线
与轨迹
的另一交点为
与轨迹
的另一交点为
，
根据对称性知四边形
的面积为四边形
的面积的一半，
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
与椭圆两交点
的坐标分别为
，
62
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由
得
所以
，
所以
.
直线
的方程为
，
两平行线
与
的距离
，
所以
，
令
，则
，
所以
，
当
时，
最大，最大值为2
当直线
的斜率不存在时，
，
63
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故四边形
的面积的最大值为2.
1．已知双曲线
的离心率为
，焦距为
．
(1)求
的标准方程；
(2)若过点
作直线分别交
的左､右两支于
两点，交
的渐近线于
，
两点，求
的取值范
围．
【解析】（1）因为
的离心率为
，焦距为
，
所以
，解得
，所以
．
所以
的标准方程为
．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为
，双曲线
的渐近线方程为
，
不妨设
分别在左､右位置，联立
，得
，
联立
，得
，
所以
，
联立
，得
，
64
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设
，则
，
由
，即
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的取值范围为
．
题型六：定值问题
【典例6-1】平面直角坐标系中，动点
到点
的距离比它到
轴的距离多1．
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)若点C 为
，过
的直线l 与点
的轨迹交于A，B 两点（A，B 与C 不重合），直线
，
与直线
交于点
，
．证明：以
为直径的圆在
上截得的弦长为定值．
【解析】（1）因为
到点
的距离为
，
到
轴的距离为
．
65
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由题意动点
到点
的距离比它到
轴的距离多1 得
，
整理得
，
，即
．
当
时，
；
当
时，
；
所以动点
的轨迹方程为
或
．
（2）依题意设直线的方程为
，依题意，点
的轨迹方程应取
，
将
代入
，消去
得
，
设
，
，则
，
，
设
，
，
，
则
，
直线
的方程为
，
令
，则
，
，同理可得
，
以线段
为直径的圆与
轴交点设为
，
66
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则
，
，且
，
，
，
或
，
以
为直径的圆在
轴上截得的弦长为定值
．
【典例6-2】已知椭圆
的焦距为2，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上的两个动点，若直线
的斜率与直线
的斜率互为相反数，证明直线
的斜率为
定值，并求出该定值.
【解析】（1）因为焦距为2，所以
，
又
，
且
，
解得
，
椭圆
的方程为
；
（2）设直线
方程：得
，代入
，
得
，
设
，
67
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，
且
，则
，
，
又直线
的斜率与
的斜率互为相反数，在上式中以
代
，可得
，
所以直线
的斜率
，
即直线
的斜率为定值，其值为
.
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
68
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【变式6-1】已知双曲线
的一条渐近线的斜率为
，双曲线
的一
条渐近线的斜率为
，且
的一个焦点到其渐近线距离为2.
(1)求
的方程；
(2)若
上任意一点
关于直线
的对称点为
，过
分别作
的两条渐近线的平行线，与
分别交于
求证：
为定值.
【解析】（1）由题意得
，
，
的焦点到渐近线的距离为
，
，
双曲线方程为
.
（2）令
，由题意
，
在
上，
，得
，
即
，
则过
与其中一条斜率为2 的渐近线平行的直线
，
联立
，可得
，
即
，解得
，
69
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即
，同理可得
，
，证毕.
1．定义：对椭圆
及任意一点
，称直线
为
关于点
的“极
线”.
结论1：若点
在椭圆
上，则
关于点
的极线就是
在点
处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知
是椭圆
的两个焦点，
关于点
的极线
与
相交于
两点.
(1)求
；
(2)设
在点
处的切线为
，在点
处的切线为
，过在
上且在
外一点
作
的两条切线，切点分别
为
,证明：直线
相交于一点；
(3)若
是
上除顶点以外的任意一点，直线
和
分别与直线
相交于点
，证
明：
为定值.
【解析】（1）根据定义，可得
的方程为
，即
，
将其代入
的方程得
，解得
，
70
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不妨取
，所以
.
（2）根据所给结论可知
分别是
关于点
的极线，
如图（1），取
，则
.
由
解得
所以
和
交于点
，
要证明直线
相交于一点，只需证明直线
过点
即可.
设
.
根据所给结论，可知直线
，直线
.
因为直线
和
都经过点
，所以
，
所以直线
的方程为
，将
代入，得
，方程也成立，
所以直线
过点
，故直线
相交于一点.
（3）由题意，
在
点处的切线方程为
，则与
平行，且经过坐标原点.
71
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如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知
.
又因为
，所以
，所以
，所以
.
过
作
，与交于点
，则
，所以
.
另一方面，因为
，所以
，
从而
，所以
.
因此
，故
为定值.
题型七：中点弦与对称问题
【典例7-1】设椭圆
.已知点
，
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过点
的直线与椭圆
交于
两点（
在
右侧），且与线段
交于点
.
（i）证明：
；
（ii）当
为
中点时，求直线
的方程.
【解析】（1）由题意
，且
，可得
，
故椭圆
的标准方程为
；
（2）（i）由题设，直线
，且直线的斜率存在，
设
，
，
，
，
则
，
，且
，
72
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联立
，消去y 可得
，
所以
，可得
，
则
，
，
要证
，即证
，
即证
，整理得
，
即证
，整理得
，
将
，
代入，得
，
所以
，显然两侧相等，结论得证.
（ii）当
为
中点时，由（i）结论
，有
，
所以
，即
，结合韦达定理，
有
，将
代入，得
，
消去
得
，整理得
，
所以
或
，则直线
为
或
.
73
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【典例7-2】已知椭圆
：
的左、右焦点为
，
，
为椭圆上一点，且
，
．
(1)求椭圆
的离心率；
(2)已知直线交椭圆
于
，
两点，且线段
的中点为
，若椭圆
上存在点
，满足
，试求椭圆
的方程．
【解析】（1）因为
，所以
，即
，
则，解得
．
（2）设
，
由
，得
，所以
，所以
设
，即
由于
在椭圆上，则
，
，①
74
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由
，得
，即
由
在椭圆上，则
,
即
，
即
，②
将①代入②得：
，③
若直线
的斜率不存在，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，
线段
的中点为
，设
可知
，
所以
，其中
，解得
，
所以
，
方程为
又
，④
将④代入③得：
，
经检验满足
，
所以椭圆
的方程为
.
75
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对于中点弦问题常用点差法解决．
【变式7-1】已知O 为坐标原点，点
在椭圆C：
上，直线l：
与C 交于
A，B 两点，且线段AB 的中点为M，直线OM 的斜率为
．
(1)求C 的方程；
(2)若
，试问C 上是否存在P，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设
，则
∵
在椭圆上，则
两式相减得
，整理得
∴
，即
，则
又∵点
在椭圆C：
上，则
联立解得
∴椭圆C 的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q 两点关于l：
对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N，则N 为线段PQ 的中点，连接
ON
76
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∵
，则
，即
由（1）可得
，则
，即直线
联立方程
，解得
即
∵
，则
在椭圆C 外
∴假定不成立，不存在P，Q 两点关于l 对称
1．已知双曲线
：
的左右顶点分别为
、
．
(1)求以
、
为焦点，离心率为
的椭圆的标准方程；
(2)直线过点
与双曲线
交于
两点，若点
恰为弦
的中点，求出直线的方程；
【解析】（1）由题意可得，
，
，则
，
又
，
，
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所以椭圆的标准方程为
.
（2）设
，点
恰为弦
的中点，则
，
，
又因为
两点在双曲线上，
可得
，两式相减得
，
化简整理得
，即
，
所以直线的方程为
，即
，
经检验，满足题意.
题型八：定点问题
【典例8-1】材料：椭圆
上点
处的切线方程可化为
，抛物线
上点
处的切线方程可化为
．
问题：已知椭圆
上点
处的切线为，且抛物线
与相切．
(1)求切线的方程．
78
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(2)求抛物线
的方程．
(3)已知定点
，不过点
的直线与抛物线
恒有两个不同交点
，且与其准线交于点
（点
不在
轴上）．若直线
的斜率分别是
，且
成等差数列，证明：直线恒过定点．
【解析】（1）由材料知椭圆
上点
处的切线为
，
即
，
所以切线的方程为
．
（2）设抛物线
与直线
相切于点
，
由题知抛物线
在点
处的切线方程为
，
即
．
与
对照得：
．
又因为
，所以
，解得
．
所以抛物线
的方程为
．
（3）设直线的方程为
，
由（2）得
的准线方程为
．
联立
得
，即点
．
由点
得
．
由
成等差数列，得
，
79
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即
①，
由
，
在直线上得
，代入①得
②
联立
，
则
，即
．
由韦达定理得
③．
将③代入②得
．
化简得
，
即
，
即
，
即
，
即
。
又因为直线不过点
和点
，则
且
，故
．
即直线的方程为
，所以直线恒过定点
．
80
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【典例8-2】已知椭圆
经过点
，其右焦点为
.
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若点
在椭圆
上，右顶点为A，且满足直线
与
的斜率之积为
，求证：直线PQ 过定点.
【解析】（1）依题可得，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.所以离心率
.
（2）由（1）知
，易知直线
与
的斜率存在且同号，所以直线
不垂直于
轴，
故可设
，
由
可得，
，
所以
，
，而
，即
，
化简可得
，
即
，
81
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即
，
化简得
，所以
或
，
所以直线
或
，
因为直线
不经过点A，所以直线
经过定点
.
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明．
【变式8-1】已知椭圆
（
）的焦距为2，点
在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)若过动点P 的两条直线，
均与C 相切，且，
的斜率之积为
，点
，问是否存在定点
B，使得
？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，椭圆C 的半焦距
，焦点分别为
，
，
由椭圆定义得，椭圆长轴长
，
82
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即
，
，所以椭圆C 的方程为
．
（2）设点
，显然
，
过点P 的直线方程为
，
由
，消去y 并整理得
．
因为直线l 与C 相切，则
，
得
，
即
，
设直线，
的斜率分别为
，
，显然
，
是上述关于k 的一元二次方程的两个根，
则
，化简得
，
即点P 到坐标原点O 的距离
，
故点P 在以O 为圆心，
为半径的圆上，并且是动点，而点A 为该圆上一定点，
则当满足
时，
为圆O 的直径，即点
，
所以存在点
满足题意．
83
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1．已知椭圆
过点
，离心率为
，一条直线与椭圆
交于
、
两点，线
段
的垂直平分线为，
为直线
与直线的交点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.
【解析】（1）因为椭圆
过点
，离心率为
，
则
，解得
，
因此，椭圆
的方程为
.
（2）设点
、
，则
，
当直线
的斜率存在且不为零时，设直线
的方程为
，
联立
可得
，
则
，可得
，
当
时，由韦达定理可得
，整理可得
，
可得
，
84
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此时，
，则
，
所以，直线的方程为
，即
，
此时，直线恒过定点
；
当直线
轴时，则线段
的方程为
，此时点
、
关于
轴对称，
则直线为
轴，此时，直线过点
；
当直线
轴时，此时点
、
关于
轴对称，则
，不合乎题意.
综上所述，直线恒过定点
.
题型九：三点共线问题
【典例9-1】已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，斜率为
的直线与椭圆
有两个不同的交点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线的方程为：
，椭圆上点
关于直线的对称点
（与
不重合）在椭圆
上，求的值；
(3)设
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，若点
和点
三点共线，求
的值.
85
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【解析】（1）椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
则
，则
，则
，
则椭圆
的方程为
.
（2）设椭圆上点
关于直线的对称点
，
则
，
解之得
，则
，
由
在椭圆
上，可得
，
整理得
，解之得
或
，
当
时
与点
重合，舍去，
则
.
（3）设
，则
，
又
，则
，直线
的方程为
，
86
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由
，整理得
，
则
，则
，
又
，则
，
则
，则
，
令则
，直线
的方程为
，
由
，整理得
，
则
，则
，
又
，则
，
则
，则
，
则
，
，
由点
和点
三点共线，可得
，
87
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则
，
整理得
，则
.
【典例9-2】已知椭圆
的一个焦点为
，点
在椭圆
上，过点
作一
直线交椭圆于
、
两点，且坐标原点
关于点
的对称点记为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)求
面积的最大值；
(3)设点
为点
关于
轴的对称点，求证：
、
、
三点共线.
【解析】（1）根据题意可得
，解得
，
，所以椭圆
的方程为
.
（2）由题可得原点
关于点
的对称点
的坐标为
，
显然直线斜率不为零，故设过点
的直线的方程为
，
，
，
88
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所以
，得
，
其中
，
，
，
则
，
所以
，
令
，
，则
，
所以
，当且仅当
，即
，
时取等号，
则直线的方程为
时，
面积的最大值为
.
（3）证明：设
，则
，
，
由
，
所以，
与
共线，即
，
，
三点共线.
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直
线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个
距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其
中两点的直线方程，在证明第3 点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，
计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形
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的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思
想”．
【变式9-1】椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为A，B，过点
的动直
线与椭圆
相交于P，Q 两点，当直线的斜率为1 时，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设直线AP 与直线
的交点为
，是否存在定实数，使Q，B，N 三点共线?若存在，求出的值；若
不存在，请说明理由.
【解析】（1）
如图，设
，当直线的斜率为1 时，直线方程为
.
联立
消去
，得
.显然
，
则
即
.
又离心率
则
，即
.
解得
.
90
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椭圆
的标准方程为
.
（2）由题意知
，当直线与
轴垂直时，
，
则AP 的方程为
，
令
，得
，
，
由
三点共线，可得，
，解得
当直线不与
轴垂直时，设直线的方程为
.
联立
消去
，得
.
，AP 的方程为
，
令
，得
，
即
共线，故Q，B，N 三点共线.
故存在定实数
，使Q，B，N 三点共线.
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1．已知椭圆
（
）的长轴为
，短轴长为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设直线l：
与椭圆
交于不同两点
；
①若
，求直线
的方程．
②已知点
，
，连接
交椭圆于另一点
，连接
交椭圆于另一点
，求证
三点
共线.
【解析】（1）由已知长轴为
，短轴长为
，
可得
，
，
则椭圆
的标准方程为：
；
（2）①依题意
，解得
，
因为
，可得
，
且
，
因为
，
解得
，
所以直线
的方程为：
．
②证明：设
，
92
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，
联立
，消去
整理得：
，
，
又
，
代入整理得：
，
，
，
同理可得
，
93
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，
而
所以有
，
整理得
，
，
，
因此
∥
，
故
三点共线.
题型十：四点共圆问题
【典例10-1】在平面直角坐标系
中，椭圆
的长轴长为4，离心率为
，直线
交
于
两点.
(1)求
的方程；
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(2)若直线过
的右焦点，当
面积最大时，求
；
(3)若直线不过原点，
为线段
的中点，直线
与
交于
两点，已知
四点共圆，证明：
.
【解析】（1）依题意可得
，解得
，
所以
，故椭圆的方程为
.
（2）由（1）可知
，由题可设直线的方程为
，
，
联立
，消去
可得
，
则
恒成立，
则
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，所以直线垂直于
轴时，
的面积取最大值，
此时，
.
（3）
95
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若直线的斜率为
，
为上下顶点，且
，
若
四点共圆，则
不成立，
所以由题可设直线的方程为
，
，
则
，联立
，可得
，
当
，
即
时，
，
所以中点
的坐标为
，所以
，
故直线
，
由
四点共圆，则
，
由
，
联立
，可得
，即
，
所以
，
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所以
，可得
，
所以
，
又直线不过原点，所以
，所以
，
，
即
.
【典例10-2】已知椭圆T：
的右焦点为
，直线l：
与椭圆T 相切．
(1)求椭圆T 的方程；
(2)过点
作与x 轴平行的直线交椭圆T 于M，N 两点，直线PE 与y 轴交于点Q，证明：
M，N，E，Q 四点共圆．
【解析】（1）联立
，得
．
由题意可得
，
化简得
．
联立
解得
所以椭圆T 的方程为
．
（2）因为点M，N 关于y 轴对称，所以
外接圆的圆心在y 轴上．
设
的外接圆方程为
．
因为点E 在
的外接圆上，所以
，解得
．
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联立
解得
．不妨取
，
．
因为点N 在
的外接圆上，所以
，
解得
，所以
的外接圆方程为
．
直线PE 的方程为
，
令
，解得
，所以
．
将点
代入
，
得
，等式成立．
所以点Q 也在
的外接圆上，故M，N，E，Q 四点共圆．
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
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则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内对
角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【变式10-1】已知椭圆
，C 的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，
离心率为
．过F1作垂直于x 轴的直线与C 交于D，E 两点，且
．
(1)求C 的方程；
(2)若M，N 是C 上任意两点
①若点
，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G，设
和
的面积分别为
，
，
若
，求线段MN 的长度；
②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P，Q 两点，已知P，Q，M，N
四点共圆， 求证：线段
的长度不大于
．
【解析】（1）由离心率为
，得
，
由
得
在椭圆上，可得
，
解得
，
所以故椭圆C 的方程为
.
（2）①由（1）可得
，
连接
，因为
，
，
所以
，得
;
99
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所以
，所以直线ON 的方程为，
，
由
得
（舍去）.
所以
.
②设直线
，
，则
联立
可得
，
所以，
，
，得
．
所以中点H 的坐标为
，所以
，
故直线OH：
.
由P，Q，M，N 四点共圆，则
，
由
;
联立
可得，
，所以
，
所以
，
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所以
得，
所有
，得
即
.
1．已知抛物线
的焦点为F，过点
的直线l 与
交于A、B 两点．设
在点A、B 处的切线分
别为，
，与x 轴交于点M，
与x 轴交于点N，设与
的交点为P．
(1)设点A 横坐标为a，求切线的斜率，并证明
；
(2)证明：点P 必在直线
上；
(3)若P、M、N、T 四点共圆，求点P 的坐标．
【解析】（1）点A 横坐标为a，则
，
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因为
，
，所以点A 处的切线斜率为a
所以切线的方程为
，
切线与x 轴的交点为
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
当
时，亦有
；
结论得证.
（2）证明：设
，
，由
，得
，
所以
，
所以直线
，直线
，
由
，得
，即两直线的交点
，
因为点
，
，
三点共线，
所以
，
，得
，
所以
，所以
所以点P 在直线
上
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（3）因为直线
，直线
，
所以
，
，由（2）可知
，
设
的外接圆方程为
，
则
，
解得
，
，
所以外接圆方程为
将
代入方程，得
又
，解得
，
，
所以点P 坐标为
解法二:抛物线
的焦点
，
由（1）可知
，同理可证得
，
所以F，M，N，P 四点共圆，
所以PF 是
的外接圆的直径，
因为P、M、N、T 四点共圆，所以点
在
的外接圆上，
所以
，
所以
，即
，得
，
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所以直线TP 方程为
，即
又点P 在直线
上，
则由
，得
，
所以点P 坐标为
题型十一：切线问题
【典例11-1】平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，其右焦点与抛物线
的焦点重合．
(1)求
，
的方程；
(2)点
是
上位于第一象限的动点，
在点
处的切线与
交于不同的两点
，
，线段
的中点为
，
直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
．问点
是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；
若不在，说明理由．
【解析】（1）因为椭圆
的右焦点与抛物线
的焦点重合，
所以椭圆
的焦点在
轴上，又因为椭圆
离心率为
，
所以
，解得
，
所以椭圆
，右焦点为
，所以
，
，
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所以抛物线
；
（2）
由题可设
，
当
时，由
得
，
，
所以点
处切线的斜率为
，
设
，
，则
，
因为
，
在椭圆上，所以
，
两式作差得
，即
，
所以直线
的方程为
，
令
，解得
，所以
，
所以点
在定直线
上运动.
【典例11-2】给出如下的定义和定理：定义：若直线l 与抛物线
有且仅有一个公共点P，且l 与
的对称
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轴不平行，则称直线l 为抛物线
的切线，公共点P 称为切点.定理：过抛物线
上一点
处的切线方程为
.运用上述材料解决以下问题.已知过抛物线
的焦点F 的直
线l 与C 相交于A，B 两点，过A，B 两点分别作C 的切线，两切线交点为M.
(1)当线段AB 中点的纵坐标为
时，求直线l 的斜率；
(2)求
的值；
(3)若点D 与点F 关于原点对称，过点D 作直线与C 相交于不同的两点P，Q，分别过P，Q 作C 的切线，
两切线相交于点R，问：是否存在直线，使得
与
的面积相等？若存在，求出的方程；若
不存在，试说明理由.
【解析】（1）设
，
，则
，
，
两式相减得
，由线段AB 中点的纵坐标为
，
得
，
所以
，即直线的斜率为
.
（2）设
，
，则直线
，即
，
同理得
，联立
，
解得
，则
，
再设直线
，联立
，得
，
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则
，则
，
而
故
，所以
.
（3）由已知可得
，设
，
，直线
，
联立
，得
，
，
则
，
.
由（2）可知，C 在点P 处的切线方程为
，
C 在点Q 处的切线方程为
，
联立
得
，
所以
轴.
故
，
，
假设存在直线，使得
与
的面积相等，
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则
，即
.
又
，解得
或
，此时P，Q 重合，与题意矛盾，
故不存在直线，使得
与
的面积相等.
（1）若点
是圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（2）若点
是圆
外的点，由点
向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB
所在直线方程为
．
（3）若点
是椭圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（4）若点
是椭圆
外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦
AB 所在直线方程为
．
【变式11-1】已知椭圆
的短轴长为
，且过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
为椭圆
外的一点，过
作两条直线与椭圆
相切，且这两条直线互相垂直，求点
的轨迹方程
；
(3)过平面上一点
作（2）中的轨迹
的两条切线且这两条切线互相垂直，设点
的轨迹方程为
.依此
类推，过平面上一点
作轨迹
的两条切线且这两条切线互相垂直，设点
的轨迹方程为
.在每条轨迹
方程
上任取三个点
，且使得
均为钝角（
为坐标原点）.求证：
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【解析】（1）由于椭圆C：
的短轴长为
，所以有
.
又由于椭圆过点A
，所以有
，所以有
所以有椭圆C 的方程为
.
（2）当过
作两条直线与椭圆C 相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点
的坐标为
当过
作两条直线与椭圆C 相切的直线中两条直线的斜率均存在时，可设这两条直线的斜率为
，
.
设点
的坐标为
，则切线方程可设为
与
联立
，
可得
由于相切，
则
.
则
，即
.
同理可得
所以
，
可以看成是
的两根.
由于这两条切线互相垂直，则
，所以有
.
注意到，当当过
作两条直线与椭圆C 相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，
点
的坐标为
，也满足
，则点
的轨迹方程
为
.
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（3）由于点
的轨迹方程
为
是一个圆，则过平面上一点
作（2）中的轨迹
的两条切线
且这两条切线互相垂直，
点
的轨迹方程
也是一个圆，设轨迹方程
的半径为
，则点
的轨迹方程
的半径为
，
依次类推，设轨迹方程
的半径为
，则点
的轨迹方程
的半径为
，
不难发现
是以
为首项，
为半径的一个等比数列，则
.
由于
､
､
是轨迹方程
上任意三点，可设
，
，
，
由于
，
，
均为钝角，则
.
.
.
记
，
，则
，
，
110
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令
，解得
或
（舍去），此时
，
则当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
取得最大值
.
.
1．如图，已知椭圆
的上、下焦点分别为
，
，焦距为2，离心率为
，称圆
心
在椭圆
上运动，且半径为
的圆
是椭圆
的“环绕圆”.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)记直线
与椭圆
的另一个交点为点
，“环绕圆”
的面积为
，三角形
的面积为
，试
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判断，是否存在点
，使
，若存在，求满足条件的直线
的条数，若不存在，请说明理由；
(3)若过原点
可作“环绕圆”
的两条切线，分别交椭圆
于
、
两点，直线
，
的斜率存在，记
为
，
，求
的取值范围.
【解析】（1）由题意，
，得
，故椭圆
的标准方程为
；
（2）由（1）知：
，显然直线
不与
轴重合，
设直线
为
，
，
联立
，得
，显然
，
所以
，
，
则
，
圆
半径为1，则
，故
，
所以
（负值舍），即满足条件的直线
有2 条；
（3）设切线
方程为
，切线
方程为
，且
，
112
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圆
与
相切，则
，化简得
，
同理
，
所以
是
的两个不相等实根，则
，
又
在椭圆
上，故
，则
，
由
存在，则
，即
，
所以
.
题型十二：定比点差法
【典例12-1】已知椭圆
的离心率为
，半焦距为
，且
．经过椭圆
的左焦点F，斜率为
的直线与椭圆交于A、B 两点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
时，求
的值；
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(3)设
，延长AR，BR 分别与椭圆交于C，D 两点，直线CD 的斜率为
，求证：
为定值．
【解析】（1）由题意，得
解得
∴
，故
的方程为
．
（2）由（1）知
，
∴直线AB 的方程为
，由
即
，
设
，
，
则
，
，
∴
．
设O 点到直线AB 的距离为d，则
．
∴
．
（3）设AB 直线方程
，
设
，
，
，
，
由
由定比分点坐标公式：
，
由于A，C 满足椭圆方程，故得
两式作差得
③，
114
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将①②代入③可得
，和①进行联立，
即
，解得：
由
同理可得
，
∴
，
故
．
【典例12-2】过
的直线与椭圆
交于P，Q，过P 作
轴且与椭圆交于另一点N，F
为椭圆的右焦点，若
，求证：
【解析】设
，则
设直线NQ 与x 轴相交于点
，
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由题设知：
，所以
，
，即
，
①
设
，则
，
，即
，
②
比较①②得
，
，
又
，两式作差得
，
得到
，
得到
，即M 和F 重合．
所以
．
定比点差法是一种在解析几何中常用的方法，特别是在处理圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）上
的特定点时非常有效。该方法通过设定一个定点与曲线上任意两点之间的比值关系，结合点差法，可以简
化计算过程，快速求解出所需参数或几何量。
【变式12-1】已知椭圆
，点
，过点P 作椭圆的割线PAB，C 为B 关于x 轴的对称点．求
证：直线AC 恒过定点．
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【解析】设
，
，则
，
设AC 与x 轴的交点为
，
，
，
由定比分点公式坐标公式得：
；
，
即
①，
②，
③，
④，
由②④得
⑤
∵点A、B 在椭圆上，得
，
两式相减得
，
将①②代入上式得
⑥
∵点A、C 在椭圆上，得
，将③④代入上式同理可得
⑦
可得
，故直线AC 恒过定点
．
1．在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C:
=1(a> b>0 )的离心率为
，以椭圆上的一点和长轴的两
个端点为顶点的三角形面积最大值为
（1）求a，b 的值
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（2）当过点P(6，0)的动直线1 与椭圆C 交于不同的点A，B 时，在线段AB 上取点Q，使得
=
，问点Q 是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
【解析】（1）由已知得
，解得
，所以
；
（2）由（1）得椭圆的方程为C:
，
设点
的坐标分别为
，
.
由题设知
均不为零，记
，则
且
，又
四点共线，从
而
，于是
，
，
，
，从而
①，
②，又点
在椭圆上，所以
③，
④，
所以
①
②并结合③，④，得
，
化简得
.即点
总在定直线
上.
题型十三：齐次化
【典例13-1】已知椭圆
的离心率为
，过椭圆C 右焦点并垂直于x 轴的直线PM 交
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椭圆C 于P，M（点P 位于x 轴上方）两点，且△OPM（O 为坐标原点）的面积为
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 交椭圆C 于A，B（A，B 异于点P）两点，且直线PA 与PB 的斜率之积为
，求点P 到直线l
距离的最大值．
【解析】（1）由题意可得
，∴由题意可得
且
，解得
，
，
∴椭圆的方程为：
．
（2）解法1：由（1）可得
，
当直线 没有斜率时，设方程为：
，则
，此时
，化简得：
又
，解得
或
（舍
去），此时P 到直线l 的距离为
设直线l 有斜率时，设
，
，设其方程为：
，联立可得
且整理可得：
，
，且
，
，
，整理可得：
，
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整理可得
，整理可得
，
即
，
或
，
若
，则直线方程为：
，直线恒过
，与P 点重合，
若
，则直线方程为：
，∴直线恒过定点
，∴P 到直线l 的距离的
最大值为
的值为
，
由于
∴点P 到直线l 距离的最大值
．
解法2：公共点
，左移1 个单位，下移
个单位，
，
，
，
，等式两边同时除以
，
，
，
，
，
过
，右移1 个单位，上移
个单位，过
，∴P 到直线l 的距离的最大值为
的值为
，
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由于
∴点P 到直线l 距离的最大值
．
【典例13-2】如图，点
为椭圆
的右焦点，过
且垂直于
轴的直线与椭圆
相交于
､
两点(
在
的上方)，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
､
是椭圆
上位于直线
两侧的动点，且满足
，试问直线
的斜率是否为
定值，请说明理由.
【解析】（1）由
得：
，
椭圆
的方程：
（2）设直线
的方程为
，
，
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椭圆
的方程即：
即：
联立得：
即
由
得
即：
直线
的斜率为
，是定值.
齐次化处理圆锥曲线是一种数学技巧，旨在将圆锥曲线的非齐次方程通过变量替换或坐标变换转化为
齐次方程。这种处理可以简化问题的复杂度，使得后续的求解过程更为直观和高效，常用于解决与圆锥曲
线相关的几何问题。
【变式13-1】已知抛物线
，过点
的直线与抛物线
交于P，Q 两点，
为坐标原点．证明：
．
【解析】直线
由
，得
则由
，得：
，
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整理得：
，即：
．
所以
，
则
，即：
．
1．已知椭圆C：
.过点
，两个焦点为
和
.设E，F 是椭圆C 上的两个动点.
(1)如果直线AE 的斜率与直线AF 的斜率之和为2，证明：直线EF 恒过定点；
(2)如果直线AE 的斜率与直线AF 的斜率之积为2，证明：直线EF 恒过定点.
【解析】（1）设直线EF 方程为
，即
，
从而
.
又椭圆过点
，可得
整理可得
所以
即
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则
显然这是一个关于
的一元二次方程.
对于问题（1），由韦达定理得
所以
，故
，则
所以直线EF 恒过定点
.
（2）对于问题（2），由韦达定理得
所以
，则
，
所以直线EF 恒过定点
.
题型十四：极点极线问题
【典例14-1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
为上顶点，离心率 为
，
直线
与圆
相切.
(1)求椭圆
的标准方程;
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(2)椭圆方程
，平面上有一点
. 定义直线方程
是椭圆
在
点
处的极线.
① 若
在椭圆
上，证明: 椭圆
在点
处的极线就是过点
的切线;
② 若过点
分别作椭圆
的两条切线和一条割线，切点为
，割线交椭圆
于
两点，
过点
分别作椭圆
的两条切线，且相交于点
. 证明:
三点共线.
【解析】（1）由已知
，
，则
所以直线
，即
，
该直线与圆
与相切，则
，
所以解得
，
，
故椭圆
的标准方程为
（2）① 由(1)得椭圆
的方程是
.
因为
在椭圆
上，所以
，即
，
由定义可知椭圆
在点
处的极线方程为
，
当
时，
，此时极线方程为
，所以
处的极线就是过点
的切线，
当
时，极线方程为
，即
，
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由
，得
，
所以
，
所以
处的极线就是过点
的切线，
综上所述，椭圆
在点
处的极线就是过点
的切线;
② 设点
，
由①可知，过点
的切线方程为
，
过点
的切线方程为
，
因为
都过点
，所以有
，
则割线
的方程为
，
同理可得过点
的两条切线的切点弦
的方程为
，即
，
又因为割线
过点
，代入割线方程得
，即
，
所以
三点共线，都在直线
上．
【典例14-2】阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线
：
，
则称点
和直线：
是圆锥曲线
的一对极点和极线.事实
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上，在圆锥曲线方程中，以
替换
，以
替换
；以
替换
，以
替换
，即可得到
对应的极线方程.特别地，对于椭圆
，与点
对应的极线方程为
；
对于双曲线
，与点
对应的极线方程为
；对于抛物线
，与点
对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理：①当
在圆锥曲线
上时，其极线是曲线
在点
处的切线；②当
在
外时，其极线是从点
向曲线
所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当
在
内时，其极线是曲线
过点
的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已
知椭圆
：
.
(1)点
是直线：
上的一个动点，过点
向椭圆
引两条切线，切点分别为
，
，是否
存在定点
恒在直线
上，若存在，当
时，求直线
的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点
在圆
上，过点
作椭圆
的两条切线，切点分别为
，
，求
面积的最大值.
【解析】（1）设点
，由点
在直线
上运动，得
，
由
消去
并整理得
，显然
，
即此方程组无实数解，于是直线
与椭圆
相离，即点
在椭圆
外，
又
，
都与椭圆
相切，因此点
和直线
是椭圆
的一对极点和极线，
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对于椭圆
，与点
对应的极线方程为
，
将
代入
，整理得
，
显然定点
的坐标与
的取值无关，即有
，解得
，所以存在定点
恒在直线
上，
当
时，
是线段
的中点有在椭圆
内，设
，直线
的斜率为
，
则
，两式相减并整理得
，即
，
所以当
时，直线
的方程为
，即
.
（2）由（1）知直线
的方程为
，由题意知
，
由
消去
并整理得：
，
而
，则
，
设
，
，则
，
，
所以
，
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点
到直线
的距离为：
，
因此
面积
，当
时，令
，
求导得
，即
在
单调递增，则
的最大值为
，
由对称性可知当
时，
的最大值也为
，
所以
面积的最大值为
.
极点极线问题通常涉及圆锥曲线的特殊点和线。解决方法包括利用圆锥曲线的性质和定义，通过设定
极点和极线的关系，运用几何和代数方法求解。关键在于理解极点和极线的几何意义，并灵活运用相关公
式和定理。
【变式14-1】阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：
，则称点P(
，
)和直线
l：
是圆锥曲线G 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以
替换
，以
替换x(另一变量y 也是如此)，即可得到点P(
，
)对应的极线方程.特别地，对
于椭圆
，与点P(
，
)对应的极线方程为
；对于双曲线
，与点P(
，
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)对应的极线方程为
；对于抛物线
，与点P(
，
)对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P 在圆锥曲线G 上时，其极线l 是曲线G 在点P 处的切线；
②当P 在G 外时，其极线l 是曲线G 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P 在G 内时，其极线l 是曲线G 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：
经过点P(4，0)，离心率是
，求椭圆C 的方程并写出与点P 对应的
极线方程；
(2)已知Q 是直线l：
上的一个动点，过点Q 向（1）中椭圆C 引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T 恒在直线MN 上，若存在，当
时，求直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆
过点P(4,0)，
则
，得
，又
，
所以
，所以
，
所以椭圆C 的方程为
.
根据阅读材料，与点P 对应的极线方程为
，即
；
（2）由题意，设点Q 的坐标为(
,
)，
因为点Q 在直线
上运动，所以
，
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联立
，得
，
，该方程无实数根，
所以直线
与椭圆C 相离，即点Q 在椭圆C 外，
又QM，QN 都与椭圆C 相切，
所以点Q 和直线MN 是椭圆C 的一对极点和极线.
对于椭圆
，与点Q(
,
)对应的极线方程为
，
将
代入
，整理得
，
又因为定点T 的坐标与
的取值无关，
所以
，解得
，
所以存在定点T(2,1)恒在直线MN 上.
当
时，T 是线段MN 的中点，
设
，直线MN 的斜率为
，
则
，两式相减，整理得
，即
，
所以当
时，直线MN 的方程为
，即
.
1．已知F 为抛物线
的焦点，直线
与C 交于A，B 两点且
.
（1）求C 的方程.
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（2）若直线
与C 交于M，N 两点，且
与
相交于点T，证明：点T 在定直线上.
【解析】（1）设
，
，由
，得
，
则
，
从而
，
解得
，故
的方程为
.
（2）证明：设
，
，
，
.
因为
，所以
.
根据
得
，则
，
同理得
.
又
两式相加得
，
即
，由于
，所以
.
故点
在定直线
上.
题型十五：同构问题
【典例15-1】抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
是抛物线
上位于第一象限的一点，过
作
（其中
）的两条切线，
分别交抛物线
于点
,
,证明：直线
经过定点．
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【解析】（1）由椭圆方程
可知短轴长为
，
∴抛物线
的焦点到准线的距离
，
故抛物线方程为
．
（2）∵
是抛物线
上位于第一象限的点，∴
且
，∴
．
设
，
，则直线
方程为
，
即
，
∵直线DM：
与圆E：
相切，
∴
，整理可得，
，①
同理，直线DN 与圆E 相切可得，
，②
由①②得a，b 是方程
的两个实根，
∴
，
，
代入
，化简整理可得，
，
令
，解得
，
故直线MN 恒过定点
．
【典例15-2】设抛物线
的焦点为F，过F 作直线l 交抛物线E 于A，B 两点.当l 与x 轴垂
直时，
面积为8，其中O 为坐标原点.
（1）求抛物线E 的标准方程；
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（2）若l 的斜率存在且为
点
，直线
与E 的另一交点为C，直线
与E 的另一交点为D，设直
线
的斜率为
，证明：
为定值.
【解析】（1）由题意不妨设
.
∴
.
；
（2）设
.
则直线l 的斜率为
，直线
为
.
则
.
又点
在直线上，则
.
同理，直线
为
.
点
在直线
上，则
.
同理，直线
为
.
点
在直线
上，则
.
又
，则
，
得证.
利用圆锥曲线的标准方程和性质，通过变量替换、坐标变换等手段，将不同曲线或方程转化为相同或
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相似的形式，从而简化求解过程。
【变式15-1】已知椭圆
的焦距为2，离心率为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）直线与
轴正半轴和
轴分别交于点
，与椭圆分别交于点
，各点均不重合且满足
．若
，证明：直线恒过定点．
【解析】（1）依题意，
．由
，得
．
故椭圆方程为
．
（2）设
，
．
由
，得
，
．
∵点
在椭圆上，
，整理得
．
同理，由
可得
．
为方程
的两不相等实数根，
．
．又
．∴直线恒过定点
．
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1．已知抛物线
上的点
到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)过抛物线
上一点P 作圆
的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线
交于异于点P
的M，N 两点．证明：直线MN 与圆
相切．
【解析】（1）因为点
到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，
所以点
到坐标原点的距离等于该点到焦点
的距离，
所以
，解得
，
所以抛物线
的标准方程为
．
（2）因为圆
，所以圆心
坐标为
，半径
，
设
，
，
，
，所以直线PM 的方程为
，
即
，
因为直线PM 与圆
相切，所以
，整理得
，
同理可得
，所以
，
是关于y 的方程
的
两根，
所以
，
，
又因为直线MN 的方程为
，
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所以圆
的圆心
到直线MN 的距离
，
所以直线MN 与圆
相切．
重难点突破：蝴蝶问题
【典例16-1】已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A，B，点M，N 是椭圆上异于A，B 的不同两点，直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，求证：直线
过定点．
【解析】（1）由椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上，
可得
，所以
，
又点
在该椭圆上，所以
，所以
，
所以椭圆C 的标准方程为
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（2）由于
的斜率为
，设
的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
所以
，所以
，
从而
，即
，
同理可得：由于
的斜率为
，则
，
联立方程组
，可得
，
即
，
所以
，所以
，
从而
，即
，
当
时即
；时，
，过点
，
当
时，
，
，即
，所以直线
过点
，
综上可得，直线
过点
.
【典例16-2】椭圆有两个顶点
过其焦点
的直线与椭圆交于
两点，并与
轴交于
点
，直线
与
交于点
．
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（1）当
时，求直线的方程；
（2）当
点异于
两点时，证明：
为定值．
【解析】（1）由题意，椭圆的方程为
易得直线不与两坐标轴垂直，
故可设的方程为
，设
，
由
消去
整理得
，判别式
由韦达定理得
，①
故
，解得
，
即直线的方程为
．
（2）证明：直线
的斜率为
，故其方程为
，
直线
的斜率为
，故其方程为
，
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由
两式相除得
即
由（1）知
，
故
解得
．易得
，
故
，
所以
为定值1
关键在于利用圆锥曲线的对称性和几何性质，通过设定蝴蝶定理中的关键点，结合代数方法求解。需
要熟练掌握圆锥曲线的标准方程和交点求解技巧。
【变式16-1】设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线
MD 垂直于x 轴时，
．
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(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 另一个交点分别为A，B，记直线
的斜率为
，求
的值．
【解析】（1）由题意可得点
，故
，解得
所以抛物线C 的方程为
.
（2） 设
，直线
，
联立直线
，得
，
，
联立直线
，得
，
，
∴
，同理可得
，
由斜率公式可得
，
，∴
．
则
=2.
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1.已知椭圆
的离心率为
，半焦距为
，且
．经过椭圆的左焦点F，
斜率为
的直线与椭圆交于A、B 两点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
时，求
的值；
(3)设
，延长AR，BR 分别与椭圆交于C，D 两点，直线CD 的斜率为
，求证：
为定值．
【解析】（1）由题意，得
解得
∴
，故
的方程为
．
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（2）由（1）知
，
∴直线AB 的方程为
，由
即
，
设
，
，
则
，
，
∴
．
设O 点到直线AB 的距离为d，则
．
∴
．
（3）设AB 直线方程
，
设
，
，
，
，
由
由定比分点坐标公式：
，
由于A，C 满足椭圆方程，故得
两式作差得
③，
将①②代入③可得
，和①进行联立，
即
，解得：
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由
同理可得
，
∴
，
故
．
144
