2027 年高考一轮复习检测卷（全国二卷 04）
数学·参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D D D C C C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AB ABD BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 2
13．12π
(1 )
14． ,1 ∪{0)
3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1）由余弦定理，b2=a2+c2−2accosB，即a2+c2−b2=2accosB. （2分）
又由题设a2+c2−b2=ac，则得2accosB=ac.
1
即cosB= ，因B∈(0,180° )，则B=60°.（4分）
2
1 ❑√3
（2）由S = acsinB= ac=2❑√3，可得ac=8，
△ABC 2 4
又a+c=6，则可将a，c看成方程u2−6u+8=0的两个根，
解得u=2或u=4.由于a>c，所以a=4，c=2. （6分）
1
再由余弦定理，b2=a2+c2−2accosB=16+4−2×4×2× =12，
2
则b=2❑√3.（8分）（3）因为∠ABC=60°，BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=30°，（9分）
又S =S +S ，（11分）
△ABC △ABD △ACD
1 1
则 c·BD·sin30°+ a·BD·sin30°=2❑√3，
2 2
8❑√3 8❑√3 4❑√3
则BD= = = .（13分）
a+c 6 3
16．（15分）
【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，CD在平面ABCD内，所以PA⊥CD，
在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90∘，所以AC=5，
又AD=5，E为CD的中点，所以AE⊥CD，
又AE∩PA=A，
CD在平面ABCD内，所以CD⊥平面PAE，
又CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAE；（6分）
（2）以A为原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴正方向，以AP方向为z轴正方向，建立
空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，C(4,3,0)，（8分）
设P(0,0,t),t>0，平面PCD法向量⃗m=(x,y,z).
{−4x+2y=0)
则⃗CD=(−4,2,0)，⃗DP=(0,−5,t)， ，
−5 y+tz=0
令x=t则⃗m=(t,2t,10)，（10分）
取平面PAD的法向量⃗n=(1,0,0)，
| → →) t 2
所以 cos<m,n ¿¿=| |= ，
❑√100+5t2 5
解得t=4❑√5. （12分）即P(0,0,4❑√5)，⃗PE=(2,4,−4❑√5)，取平面ABCD的法向量⃗s=(0,0,1)（13分）
设直线PE与平面ABCD所成角为θ，
|4❑√5) 2❑√5
则sinθ=|cos⟨⃗PE,⃗s))= = .
❑√100 5
所以tanθ=2，直线PE与平面ABCD所成角的正切值为2. （15分）
17．（15分）
【解析】（1）整理列联表数据如下：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
女性 50 75 125
合计 75 225 300
零假设H ：关注 “甲超” 赛事与性别无关
0
根据卡方公式：
n(ad−bc) 2 300(25×75−150×50) 2
χ2= = ≈25.714，（3分）
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 175×125×75×225
已知小概率值α=0.001，对应临界值k=10.828，
∵χ2≈25.714>10.828，（5分）
根据α=0.001的独立性检验，零假设H 不成立，即认为关注 “甲超” 赛事与性别有关，该推断犯
0
错概率不超过0.001．（7分）
（2）关注赛事的市民中，男性150人，女性75人，性别比例2:1，则抽取3人时，男性2人，女性1
人；
X表示顺利完成问答总人数，取值为：0,1,2,3，（8分）
3 1 1 1
已知男性完成概率 ，未完成概率 ，女性完成概率 ，未完成概率 ，且相互独立；
4 4 2 2
(1) 2 1 1
则P(X=0)= × = ；
4 2 32P(X=1)=C1 ⋅
3
⋅
1
⋅
1
+
(1) 2
⋅
1
=
7
；
2 4 4 2 4 2 32
P(X=2)=
(3) 2
⋅
1
+C1 ⋅
3
⋅
1
⋅
1
=
15
；
4 2 2 4 4 2 32
(3) 2 1 9
P(X=3)= ⋅ = ；（12分）
4 2 32
X 0 1 2 3
1 7 15 9
P
32 32 32 32
（13分）
1 7 15 9
数学期望为：E(X)=0× +1× +2× +3× =2．（15分）
32 32 32 32
18．（17分）
【解析】（1）由条件知c2=a2−b2=4，且2b=2，所以c=2,b=1,a=❑√5，
c 2❑√5
所以E的离心率e= = ；（3分）
a 5
（2）（i）以OF为直径的圆：(x−1) 2+ y2=1，（4分）
设M(m,n),P(x,y)，由题意设m=λx,n=λy(λ>0)①，（5分）
且有(m−1) 2+n2=1②，(m2+n2)(x2+ y2)=25③，
将①代入②有(λx−1) 2+λ2y2=1，即λ(x2+ y2)−2x=0④，（6分）
①代入③有λ2(x2+ y2) 2 =25，即λ(x2+ y2)=5⑤，（7分）
5 5
联立④⑤有x= ，即点P的轨迹方程为x= ；（8分）
2 2
x2
（ii）由题意，椭圆方程为 + y2=1，
5
(5 )
设E的左焦点为G(−2,0),P ,y ,Q(x ,y ),(x >0,y >0)，（9分）
2 0 0 0 0 0
直线FP的方程为y=2y (x−2)，所以N(0,−4 y )， （11分）
0 0
( 1 )
线段NF的垂直平分线方程为x+2y y+4 y 2−1=0，此直线与y轴相交于点H 0, −2y ，
0 0 2y 0
0
（13分）
|HN|= 1 +2y ,△NFG的外接圆方程为x2+ y2+ ( 4 y − 1 ) y−4=0⑥，（15分）
2y 0 0 y
0 0
将Q(x ,y )代入方程⑥，得x2+5 y2−5=0⑦，因为点Q在椭圆E上，所以⑦恒成立，
0 0 0 0
即F,Q,G,N四点始终在同一个圆上，故△NFQ的外接圆过点G(−2,0)．（17分）19．（17分）
【解析】（1）f(x)的定义域为R,f′ (x)=eax+a(x+a)eax=(ax+a2+1)eax. （1分）
1 ( 1 )
当a>0时，由f′ (x)>0得x>−a− ,f(x)在 −a− ,+∞ 上单调递增，
a a
1 1
因为a>0时，a+ ≥2当且仅当a=1时取等号，所以−a− ≤−2.
a a
( 1 )
所以(−2,2)是 −a− ,+∞ 的一个子区间，所以f(x)在(−2,2)上单调递增；（3分）
a
当a=0时，f(x)=x在(−2,2)上单调递增；（4分）
1 ( 1)
当a<0时，由f′ (x)>0得x<−a− ，所以f(x)在 −∞,−a− 上单调递增，
a a
1 1
因为a<0时，−a>0,−a− ≥2，当且仅当−a=− ,a=−1时，取等号.
a a
( 1)
所以(−2,2)是 −∞,−a− 的一个子区间，所以f(x)在(−2,2)上单调递增．
a
综上，对于任意实数a,f(x)在(−2,2)上单调递增．（5分）
（2）（i）因为−2是f(x)的一个极值点，所以f′ (−2)=(−2a+a2+1)e−2a=0，
所以a=1，所以g(x)=(x−b) 2f(x)=(x−b) 2 (x+1)ex，g(x)的定义域为R.（6分）
g′ (x)=2(x−b)(x+1)ex+(x−b) 2 (x+2)ex=(x−b)(x2+4x−bx+2−2b)ex
g(0)=b2,g′ (0)=2b2−2b，（8分）
所以曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y−b2=(2b2−2b)x，
即(2b2−2b)x−y+b2=0．（9分）
（ii）方程x2+4x−bx+2−2b=0，
b−4−❑√b2+8 b−4+❑√b2+8
即x2+(4−b)x+2(1−b)=0的两个实数根为 , ，
2 2
b−4−❑√b2+8 b−4+❑√b2+8
所以g′ (x)=0的3个根为b, , ，（10分）
2 2因为g(x)有3个极值点，所以上述3个根互不相等，从而b≠−1，
b−4−❑√b2+8 b−4+❑√b2+8
x = ,x = ,x =b.
1 2 2 2 3
将x ,x ,x 经过一定排列后成等比数列，则x x =x2 或x x =x2 或x x =x2 .（12分）
1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1
(b−4) 2−(b2+8)
当x x =x2 时， =b2,b2+2b−2=0,b=−1±❑√3,x ,x ,x 成等比数列；
1 2 3 4 1 3 2
(b−4−❑√h2+8)b (b−4+❑√b2+8) 2
当x x =x2 时， = ，
1 3 2 2 2
所以(2−b)❑√b2+8=6,(2−b) 2(b2+8)=36，（13分）
令h(x)=(2−x) 2(x2+8)，
则h′ (x)=2(x−2)(x2+8)+2x(x−2) 2=2(x−2)(2x2−2x+8),
当x<2时，h′ (x)<0,h(x)在(−∞,2)上单调递减，
(1) ( 1) 2 (1 ) ( 1) ( 1) 2 (1 )
因为h = 2− +8 <36,h − = 2+ +8 >36，
2 2 4 2 2 4
( 1) (1 )
又b∈ −∞,− ∪ ,3 ，所以满足条件的b不存在；（15分）
2 2
(b−4+❑√b2+8)b (b−4−❑√b2+8) 2
当x x =x2 时， = ,(b−2)❑√b2+8=6，
2 3 1 2 2
由h(x)在(2,+∞)上单调递增，h(3)=17<36，
( 1) (1 )
又b∈ −∞,− ∪ ,3 ，所以满足条件的b不存在．
2 2
综上，b=−1±❑√3．（17分）
