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基本不等式专项训练04（较难）（解析版）
1．已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不
可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注
意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
2．若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离变量将问题转化为 对于任意实数 恒成立，进而求出 的最大值，
设 及 ，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得， 对于任意实数 恒成立，则只需求 的最大值即可，
，设 ，则 ，再设 ，则，当且仅当
时取得“=”.
所以 ，即实数a的最小值为 .
故选：D.
3．已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得 ，结合 ， 及余弦定理可得
，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，
则 ，
所以 ，即 ，
由 ， ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 在 上单调递减， ，
所以当 取最大值时， .
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性
质和余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.
4．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为 ，则该圆锥的表面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得内切球半径 ，再画图设底面半径为 ，利用三角函数值代换表达出表面积的公式
，再设 ，根据基本不等式求最小值即可
【详解】设圆锥的内切球半径为 ，则 ，解得 ，设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，
底面圆心为 ，内切球球心为 ，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则
，又 ，故 ，又
，故 ，故该圆锥的表面积为
，令 ，则，当且仅当 ，即 时取等号.
故选：A.
5．在正四棱台 中， ， ．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子
表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延
长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.
【详解】
图1
设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1， 分别是上下底面的中心，连结 ， ， ， 根据
边长关系，知该棱台的高为 ，则 ，由 ，且四边形 为直角梯形， ， ，可得
，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时棱台的高为1.
上底面外接圆半径 ，下底面半径 ，设球的半径为R，显然球心M在 所在的
直线上.
显然球心M在 所在的直线上.
图2
当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段 上，如图2，设 ，则 ， ，显
然
则，有 ，即
解得 ，舍去.图3
当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段 的延长线上，如图3，设 ，则 ，显
然
即 ，即
解得 ， ，
此时，外接球的表面积为 .
故选：D.
6．已知数列 的首项是 ，前 项和为 ，且 ，设 ，若存
在常数 ，使不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由数列通项与前 项和的关系得到数列 的递推关系 ，再构造等比数列
，求数列 的通项公式，进一步求出数列 的通项公式，从而可求数列 通项公式，代
入所求式子 ，分子、分母同除以 构造基本不等式即可求出 的最大值，从而求出 的范
围.
【详解】由 ，则当 时，得 ，
两式相减得 ，变形可得： ，
又 ， ，所以 ， ，
∴数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，故 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列 求 的通项公式，即可得 通项公式，再由不等式恒成立，
结合基本不等式求 的最值，即可求参数范围.7．设椭圆 的右焦点为 ，椭圆 上的两点 ， 关于原点对称，且满足
， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设椭圆的左焦点 ，由已知条件知四边形 为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到
，再根据 ，得到 的范围，然后利用对勾函数的值域得到 的范围，然后
由 求解.
【详解】如图所示：
设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，
又 ，即 ，所以四边形 为矩形， ，
设 ， ，在直角 中， ， ，
得 ，所以 ，令 ，得 ，
又 ，得 ，所以 ，所以 ，即 ，所以
所以椭圆 的离心率的取值范围为 ，
故选：B
8．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线
的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l，l 相交于P点，那么阿基米德三角
1 2
形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且 为直角；
③PF⊥AB.已知P为抛物线 的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出直线 方程，联立抛物线求得 ，通过PF⊥AB求得 ，进而得到 为
中点，由 表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可.
【详解】
易知，焦点 ，准线方程 ，直线 斜率必然存在，设 ，， ，联立 化简得 ， 显然 ；又
PF⊥AB可得 ，即 ，化简得 ，过 作 轴交 于
点，可得 为 中点，故 ，故
，当且仅当 时取等. 故三角形
PAB的面积的最小值为4.
故选：C.
9．已知函数 ，若实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出 ，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有 ，
另一方面若有 成立，
结合以上两方面有 ，且注意到 ，
所以由复合函数单调性可得 在 上严格单调递增，
若 ，则只能 ，
因此 当且仅当 ；
又已知 ，
所以 ，即 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现 当且仅当 ，从而得出 ，从
而由基本不等式即可顺利求解.
10．在 中， ， ， ， 为线段 上的动点，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由已知条件求得解得 ， ， ，再求得 ，可得到 ，用基本不等式求 的最
小值.
【详解】设 ， ，根据题意得 ，
解得 ， ， ， ，
，
又 、 、 三点共线， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键是由已知条件求出 后，再由 三点共线，得 ，所以
化简后结合基本不等式可求出其最小值，
