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第四章 三角函数与解三角形
必刷小题8 解三角形
[分值：73分]
【高考考向预测】
近三年高考解三角形为高频必考题型，常以选填小题与解答大题形式出现，核心考查正余弦
定理、面积公式、边角互化、三角恒等变换及最值范围求解，多结合平面向量、实际测量情境命
题；预测2027 年依旧保持核心考查地位，命题侧重多条件融合解题、边角混合式化简、三角形内
取值范围与最值探究，增多隐藏条件题型，强化数形结合与分类讨论，愈发注重公式灵活变通与
实际应用，常与三角函数性质综合设问，侧重考查逻辑运算与综合推演能力。
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
π
1.在△ABC中，B= ，AB=8，AC=7，则BC等于( )
3
A.5 B.3或5
C.4 D.2或4
【答案】B
【解析】由余弦定理，得AB2+BC2-2AB·BCcos B=AC2，
即64+BC2-8BC=49，即BC2-8BC+15=0，
解得BC=3或BC=5，
经检验，均满足题意.
a+b+c
2.(苏教版必修第二册P101练习T4)在△ABC中，若A=60°，a=❑√3，则 等于 ( )
sin A+sinB+sinC
1 ❑√3
A.2 B. C.❑√3 D.
2 2
【答案】A
a b c ❑√3
【解析】由正弦定理得 = = = =2，
sin A sinB sinC sin60°
a+b+c 2(sin A+sinB+sinC)
所以 =
sinA+sinB+sinC sin A+sinB+sinC
=2.
❑√3
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=6，b=2❑√3，cos C= ，则sin B等于( )
3
❑√3 ❑√2 ❑√6 2❑√2
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】A❑√3
【解析】在△ABC中，由a=6，b=2❑√3，cos C= 及余弦定理，得c=
3
√ ❑√3 ❑√6
❑62+(2❑√3) 2−2×6×2❑√3× =2❑√6，C为锐角，则sin C=❑√1−cos2C= ，
3 3
❑√6
bsinC 2❑√3× ❑√3
所以由正弦定理得sin B= = 3 = .
c 3
2❑√6
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为(
)
❑√3 3❑√3
A. B. C.❑√3 D.2❑√3
3 2
【答案】C
【解析】由(a+b)2-c2=4，
可得a2+b2-c2=4-2ab，
1 a2+b2−c2
由C=120°，可得- = ，
2 2ab
1 4−2ab
所以- = ，
2 2ab
解得ab=4，
1 1 ❑√3
所以△ABC的面积为 absin C= ×4× =❑√3.
2 2 2
5.(2025·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c-acos B=(2a-b)cos A，则
△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理，得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A，
所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A，
故cos A(sin B-sin A)=0，
所以sin A=sin B或cos A=0，
π
即A=B或A= ，
2
故△ABC为等腰或直角三角形.
6.(2025·南昌模拟)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测
量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大
楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为( )2tsin(α+β) 2tsin(α+β)
A. m B. m
sin2α sin2β
tsin(α+β) tsin(α+β)
C. m D. m
sinαcosβ cosαsinβ
【答案】D
【解析】由题意可得CD=t，∠DAC=β，∠ADB=α+β，
CD t
则在Rt△ADC中，AD= = ，
sinβ sinβ
π
在△ABD中，∠ABD= -α，
2
AB AD
由正弦定理得 = ，
sin∠ADB sin∠ABD
AD
AB
即 = (π )，
sin(α+β) sin −α
2
ADsin(α+β) tsin(α+β)
所以AB= = (m).
cosα cosαsinβ
7.在锐角△ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是( )
(❑√3 ) (❑√3 ❑√3)
A. ，1 B. ，
4 4 2
(❑√3 ) (❑√3 )
C. ，❑√3 D. ，❑√3
2 4
【答案】D
❑√3
【解析】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h=asin B= a，
2
❑√3 1
csinA sin(120°−C) cosC+ sinC ❑√3 1
由正弦定理得a= = = 2 2 = + .
sinC sinC 2tanC 2
sinC
由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°，
❑√3 ❑√3 1 (1 )
则tan C> ，所以a= + ∈ ，2 ，
3 2tanC 2 2
(❑√3 )
从而h∈ ，❑√3 ，
4(❑√3 )
因此AB边上的高的取值范围是 ，❑√3 .
4
2π
8.(2025·江门模拟)在△ABC中，已知∠BAC= ，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S =2S ，
3 △ABD △ACD
则tan B等于( )
❑√3 ❑√3 ❑√21 ❑√21
A. B. C. D.
5 15 5 15
【答案】A
【解析】如图所示，因为AD平分∠BAC，由角平分线的性质可知点D到边AB，AC的距离相等，
S AB
因为
△ABD
= =2，设AB=2t(t>0)，则AC=t，
S AC
△ACD
1 2π 3 π
由S =S +S =3S 可得 AB·ACsin = AC·ADsin ，
△ABC △ABD △ACD △ACD 2 3 2 3
AB 2t
可得AD= = ，
3 3
π
在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos
3
4t2 2t 1 28t2
=4t2+ -2×2t× × = ，
9 3 2 9
2❑√7
故BD= t，
3
BD
AD
由正弦定理可得 π = ，
sin sinB
3
2t ❑√3
π ×
ADsin 3 2 ❑√21
所以sin B= 3 = = ，
2❑√7 14
BD t
3
易知B为锐角，则cos B=❑√1−sin2B=❑
√
1−
(❑√21) 2
=
5❑√7
，
14 14
sinB ❑√3
所以tan B= = .
cosB 5
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2026·茂名模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若A=60°，a=b=2，则△ABC有一解B.若A=30°，a=2，b=4❑√3，则△ABC无解
C.若A=150°，a=3，b=4，则△ABC有一解
D.若A=45°，a=❑√2，b=❑√3，则△ABC有两解
【答案】ABD
【解析】A选项，因为A=60°，a=b=2，所以B=A=60°，故C=60°，
则△ABC是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确；
a b 2 4❑√3
B选项，若A=30°，a=2，b=4❑√3，由正弦定理得 = ，即 = ，
sinA sinB sin30° sinB
解得sin B=❑√3>1，△ABC无解，故B正确；
C选项，若A=150°，a=3，b=4，由大边对大角可知B>A，此时三角形中有2个钝角，
不可能，则△ABC无解，故C错误；
a b
D选项，若A=45°，a=❑√2，b=❑√3，由正弦定理得 = ，
sin A sinB
❑√2 ❑√3 ❑√3
即 = ，解得sin B= ，因为b>a，所以B=60°或B=120°，
sin45° sinB 2
所以△ABC有两解，故D正确.
10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离12❑√6 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，
距离8❑√3 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的
是( )
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°
D.D在灯塔B的北偏西30°
【答案】AC
【解析】由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所以B=180°-60°-75°=45°，AB=12❑√6，
AC=8❑√3，
AD AB
在△ABD中，由正弦定理得 = ，
sinB sin∠ADB
❑√2
12❑√6×
2
所以AD= =24，故A正确；
❑√3
2在△ACD中，由余弦定理得
CD=❑√AC2+AD2−2AC·ADcos∠CAD
√ ❑√3
=❑(8❑√3) 2+242−2×8❑√3×24×
2
=8❑√3，故B错误；
因为CD=AC，所以∠CDA=∠CAD=30°，
所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；
由∠ADB=60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
11.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=1，BC=3，CD=❑√6，AD=2，B+D=π，则以下说法正确的
有( )
A.AC=❑√10
π
B.B=
2
C.四边形ABCD的面积为3+2❑√6
D.A=2C
【答案】AB
【解析】连接AC，如图，
对于A，B，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B，
即AC2=1+9-2×1×3cos B=10-6cos B，
在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D，
即AC2=4+6-2×2×❑√6cos D=10-4❑√6cos(π-B)=10+4❑√6cos B，
整理可得4AC2+❑√6AC2=40+10❑√6，解得AC=❑√10(负值舍去)，故A正确；
π
可知AB2+BC2=AC2，则B= ，故B正确；
2
π 1 1 3
对于C，D，可得D= ，所以四边形ABCD的面积为 ×1×3+ ×2×❑√6= +❑√6，故C错误；
2 2 2 23 1
在△ABC中，可得cos∠BCA= ，sin∠BCA= ，
❑√10 ❑√10
❑√3 ❑√2
在△ACD中，可得cos∠DCA= ，sin∠DCA= ，
❑√5 ❑√5
则cos∠BCD=cos(∠BCA+∠DCA)
=cos∠BCAcos∠DCA-sin∠BCAsin∠DCA
3❑√6 1
= - ，
10 5
若∠BAD=2∠BCD，注意到∠BAD+∠BCD=π，
π 1 3❑√6 1
则∠BCD= ，可得cos∠BCD= ≠ - ，
3 2 10 5
不符合题意，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列.若7sin A=3sin
C，则△ABC的面积为 .
15❑√3
【答案】
4
【解析】因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以c=a+4.
因为7sin A=3sin C，由正弦定理可得7a=3c，
解得a=3，b=5，c=7，
由余弦定理可得
a2+b2−c2 9+25−49 1
cos C= = =- ，
2ab 2×3×5 2
2π
因为C∈(0，π)，所以C= ，
3
1 1 2π 15❑√3
所以△ABC的面积为 absin C= ×3×5×sin = .
2 2 3 4
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C，且b=6，则B=
，△ABC外接圆的面积为 .
π
【答案】 12π
3
【解析】由cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C，
可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sin Asin C，
即sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C，
则由正弦定理得ac=a2+c2-b2，
a2+c2−b2 1
由余弦定理得cos B= = ，
2ac 2π
又因为B∈(0，π)，可得B= ，
3
b
设△ABC外接圆的半径为R，则R= =2❑√3，
2sinB
所以△ABC外接圆的面积为πR2=12π.
sinB 6a−b
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=6， = ，则△ABC面积的最
sin A b
大值为 .
【答案】12
sinB 6a−b b 6a−b
【解析】由 = ，由正弦定理得 = ，即(b-2a)(b+3a)=0，
sinA b a b
所以b=2a，
a2+b2−c2 5a2−36
由余弦定理得cos C= = ，
2ab 4a2
√ (5a2−36) 2
所以sin C=❑√1−cos2C=❑1−
16a4
❑√−9a4+360a2−1 296
= ，
4a2
1
所以S = absin C
△ABC 2
❑√−9a4+360a2−1 296
=a2·
4a2
❑√−9(a2−20) 2+2 304
= ，
4
当a2=20，即a=2❑√5时，S 取得最大值12.
△ABC
