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第三章课后练习
第一节小题篇
1.若
，则下列不正确的是
A．
B．
C．
D．
2.设实数
，若不等式
对任意
恒成立，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
3.若正实数
是函数
的一个零点，
是函数
的一个大于的零点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知实数
、
满足
，则
．
5.（多选）函数
，则
A．若函数
恒成立，则
B．若函数
有两个不同的零点，记为
，
，则
C．若函数
和
共有两个不同的零点，则
D．若函数
和
共有三个不同的零点，记为
，
，
，且
，则
6.已知函数
，
，若直线
与函数
，
的图象都相切，则
的
最小值为 ．
7.已知函数
，
，若
恒成立，则
的最大值是
A．
B．1
C．2
D．
8.已知函数
，若函数
在区间
内存在零点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.若对于
，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
10.（2022•新高考Ⅰ•多选）已知函数
，则
A．
有两个极值点 B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
11.设
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点为
，
函数
的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数
都有拐
点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数
，利用上述探
究结果计算：
．
12.（多选）已知函数
，对于任意的实数
，
，下列结论一定成立的有
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
13.（多选）已知正数
，
满足
，则下列不等式正确的是
A．
B．
C．
D．
14.过坐标原点作曲线
的切线，则切线方程为
A．
B．
C．
D．
15.（多选）过平面内一点
作曲线
两条互相垂直的切线
、
，切点为
、
、
不重合），
设直线
、
分别与
轴交于点
、
，则
A．
、
两点的纵坐标之积为定值B．直线
的斜率为定值
C．线段
的长度为定值 D．
面积的取值范围为
16.对于两个函数
与
，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为
，
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
17.已知
，
分别是函数
图象上的动点，则
的最小值为 ．
18.已知过点
作曲线
的切线有且仅有1 条，则
A．
B．3
C．
或1
D．3 或1
19.（多选）函数
f ( x)= x
e
x ，过点（a，b）作曲线f（x）的切线，下列说法正确的（）
当a＝0，b＝0 时，有且仅有一条切线
B．当a＝0 时，可作三条切线，
0＜b＜4
e
2
C．当a＝2，b＞0 时，可作两条切线 D．0＜a＜2 时，可作两条切线，
b= 4−a
e
2
或a
e
a
20.已知函数
，且
的图象在
处的切线与曲
相切，符合情况的切
线有（ ）
A．
B．
C．
D．
21.已知函数
，
的定义域为
，
为
的导函数，
，
，
．若
，则
（ ）
A．2026 B．1013 C．1
D．
22.已知函数
是定义在
上的增函数，
，
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
23.已知定义在
上的函数
满足
，
（1）
，
为
的导函数，当
，
时，
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
24.（多选）若
，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
25.已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
26.若
，则
A．
B．
C．
D．
27.已知正数
，
，
，满足
，
，
，则下列不
等式成立的是
A．
B．
C．
D．
28.对任意实数
，不等式
恒成立，
求实数
的取值范围 .
29.（多选）若
，若
恒成立，则
的值不可以是
A．
B．1
C．
D．2
30.已知函数
，
，任意
，
，
，都有不等式
成立，
则
的取值范围是
A．
，
B．
C．
D．
31.已知函数
，若
在
上有解，则
的最小值 ．
32.已知是函数
的一个零点，且
，
，则
的最大值为 ．
33.已知
，且
恒成立，则
的最小值为
A．1
B．
C．
D．
34.已知函数
，
，
为实数），若存在实数
，使得
对任意
恒成
立，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
35.若关于
的不等式
为自然对数的底数）在
上恒成立，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
36.已知函数
，若
有两个极值点
，
，且
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
第二节 大题篇练习
1.（2025•北京卷T20）函数
f (x)
的定义域为
(−1,+∞)
的，且
f (0)=0,f ' (x)= ln (x +1)
x +1
,f (x)
在
A (a,f (a))
处的切线为
l1 ．
（1）求 f ' (x) 的最大值；
（2）证：当 −1<a<0 时，除切点 A 外，y = f (x) 均在 l1 上方；
（3）当 a>0 时，直线 l2 过 A 点且与 l1 垂直， l1,l2 与 x 轴的交点横坐标分别为 x1, x2 ，求
2a−x2−x1
x2−x1
的取值范围．
2.已知
，其中
．
（1）请利用
的导函数推出
导函数，并求函数
的递增区间；
（2）若曲线
在点
，
处的切线与曲线
在点
，
的切线平行，求
（化简为只含
的代数式）；
（3）证明：当
时，存在直线，使得既是
的一条切线，也是
的一条切线．
3.已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标．
4.已知
．
（1）求函数
、
的单调区间和极值；
（2）请严格证明曲线
、
有唯一交点；
（3）对于常数
，若直线
和曲线
、
共有三个不同交点
，
、
，
、
，
，其中
，求证：
、
、
成等比数列．
5.已知函数
．
（1）当
时，判断函数
的单调性；
（2）已知
对任意
恒成立，求
的取值范围．
6.求证：（1）
，（2）
7.已知函数
．
证明:
，
．
8. 麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，
的麦克劳林展开式为：
，其中
表示
的
阶导数在0 处
的取值，我们称
为
麦克劳林展开式的第
项．例如：
．
（1）请写出
的麦克劳林展开式中的第2 项与第4 项；
（2）数学竞赛小组发现
的麦克劳林展开式为
，这意味着：当
时，
，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
（3）当
时，若
，求整数
的最大值．
9.已知
，
．
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，证明
对于任意的
成立．
10.已知曲线
在点
处的切线斜率为
．
（1）求
的值，并求函数
的极小值；
（2）当
时，求证：
．
11.（1）求证：
时，
恒成立；
（2）当
时，
，证明不等式
恒成立．
12.已知函数
求证：
讨论
单调性
求证：
有唯一零点
13.已知函数
．
若
存在两个极值点，求
的取值范围．
14.已知
，判断
的零点个数.
15.已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若
在区间
，
各恰有一个零点，求
的取值范围.
16.已知函数
．
（1）求
处的切线方程；
（2）求证：
仅有一个极值点；
（3）若存在
，使
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围
17.已知函数
满足
．
（1）求
的解析式及单调区间；
（2）若
，求
的最大值．
18.已知函数
．
(1)当
时，曲线
与
关于点
中心对称，求函数
的解析式；
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)若关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数λ 的取值范围．
19.已知
，
．
（1）若
，讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求
的取值范围．
20.已知函数
f (x)=ex+acosx−√2x−2
，
f
'( x)
为
f ( x)
的导函数．
（1）讨论f
'( x)在区间
(0 ，π
2
)
内极值点的个数；
（2）若
x∈[−π
2
，0]
时，f ( x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．
21.已知函数
，
，其中为自然对数的底数．
（1）证明：
时，
；
（2）求函数
在
内的零点个数；
（3）若
，求
的取值范围．
22.已知函数
．
若
，其中
且
，求实数
的值．
23.已知函数
．
(3)若
时，
，求
的取值范围．
24.已知函数
．若
，求
的取值范围．
25.已知函数
．若
，使得
，则实数
的最大值为．
26.已知
，函数
，其中
为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数
在
上有唯一零点；
（Ⅱ）记
为函数
在
上的零点，证明：（ⅰ）
；（ⅱ）
．
27.已知函数
，
．
（1）若
，求
在
，
（1）处的切线方程；
（2）讨论
的单调性；
（3）若
存在两个极值点
，
，求证：
．
28.已知函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若
的最大值是
，求
的值；
（Ⅲ）设函数
，若
有两个极值点
，
，证明：
．
29.已知函数
．
(1)若函数
是减函数，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
．
30.已知函数
．
（1）若
单调递减，求
的取值范围；
（2）若
有两个极值点
，
，且
，证明：
．
31.已知函数
.
(1)若
，当
与
的极小值之和为0 时，求正实数
的值；
(2)若
，求证：
.
32.已知函数
的导函数为
，（
为自然对数的底数）.
(1)当
时，求函数
在点
处的切线的斜率；
(2)若
且函数
在
上是单调递增函数，求
的取值范围；
(3)若
满足
，证明：
.
33.已知函数
，且
.
(1)求
;
(2)已知
为函数
的导函数，证明：对任意的
，均有
；
(3)证明：对任意的
，均有
.
34.已知函数
.
(1)若x 轴是曲线
的一条切线，求实数a 的值；
(2)若
在
上恒成立，求a 的最小值；
(3)证明：
（
且
）.
35.已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
(3)证明：
36.已知函数
．
（1）求函数
的零点个数；
（2）若
，且
，求证：
．
37.已知函数
(1)当
时，求
的零点个数；
(2)若
，求
的最大值；
(3)证明：
.
38.已知函数
，其中
．
(1)证明：曲线
是中心对称图形；
(2)讨论函数
在
内零点的个数；
(3)若存在
，当
时，总有
成立，求符合条件的m 的最小值．
