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专题二 数列
第3 讲 数列的综合应用
【探究真题.明确方向】
1.(2023·全国乙卷理，T10)已知等差数列{an}的公差为2π
3 ，集合S={cos an|n∈N*}，若S={a，b}，则ab 等
于( )
A.-1
B.-1
2
C.0
D.1
2
2.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、
斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，底面直径依次为
65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为
mm.(不计量器的厚度)
3.(2025·全国Ⅰ卷，T16)已知数列{an}中，a1=3，an+1
n = an
n+1+
1
n(n+1).
(1)证明：数列{nan}为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10
分.
【考向预测】一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的
结合，主要考查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查
概率统计中的递推关系.
考点一 数列在实际问题中的应用
【典例】1 (1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：
甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，
…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回
到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025 年是乙巳年，请问：在100 年后的2125 年为(
)
A.癸未年
B.辛丑年
C.乙酉年
D.戊戌年
1
(2)现将一圆形花坛从圆心向外栽种8 圈某种花卉，圆心处栽1 株(视为第一圈)，第二圈栽3 株花卉，从
第二圈起，第n 圈栽种花卉比第n-1 圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8 圈栽种花卉( )
A.57 株
B.56 株
C.55 株
D.54 株
【变式训练】1 (2025·龙岩模拟)一个弹力球从1 m 高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的4
5
处，那么在第n 次着地后，它经过的总路程超过5 m，则n 的最小值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
考点二 数列与其他知识的交汇
考向1 数列与不等式
【典例】2 (2025·湖南省名校联考)已知{an}是无穷等比数列，其前n 项和为Sn，a1=1，S2=1
2.若对任意
正整数n，都有Sn-(-1)n·A>0，则实数A 的取值范围是( )
A.(−2
3 ，1
2)
B.[−2
3 ，1
2)
C.(−1
2 ，2
3)
D.[−1
2 ，2
3)
考向2 数列与函数
【典例】3 (2025·菏泽模拟)对于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，则f(2 025)等于( )
A.-1
B.1
C.2 025
D.4 049
考向3 数列与几何
【典例】4 (2025·大庆模拟)已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：anx+an+2y+an+5=0(n∈N*)与
圆C：(x-1)2+(y+2)2=1 交于A，B 两点，则∠ACB 的最小值为( )
A.2π
3
B.π
2
C.π
3
D.π
4
考向4 数列与概率统计
【典例】5 将16 处景观分别用A1，A2，…，A16表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意
选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达
A6有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai条，其
中1≤i≤16，i∈N*，记a2n+1=m(1≤n≤7，n∈N*)，则
n
Σ
i=1
a2i= (结果用m 表示).
2
【考法归纳】
数列与函数、不等式、几何、概率统计的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、
数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新
数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.
【变式训练】2 (1)将被3 除余2 的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}
的前n 项和为Sn，则2Sn+ 48
n
的最小值为( )
A.20
B.25
C.61
2
D.40
(2)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=x3+x，数列{an}是等差数列，且a1 013<0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2
024)+f(a2 025)的值( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不能确定
(3)(2025·辽宁名校联盟模拟)如图，正方形A1B1C1D1的边长为1，取正方形各边的四等分点A2，B2，
C2，D2，得到第2 个正方形A2B2C2D2，再取正方形A2B2C2D2各边的四等分点A3，B3，C3，D3，得到第3
个正方形A3B3C3D3，依此方法一直进行下去，若从第k 个正方形开始，它的面积小于第1 个正方形面积
的1
50，则正整数k 的最小值为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A.8
B.9
C.10
D.11
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.(2025·上饶模拟)某统计数据共有13 个样本xi(i=1，2，3，…，13)，它们依次成公差d=1 的等差数列，若
这组数据的60%分位数是26，则x13为( )
3
A.32
B.31
C.19
D.18
2.(2025·苏州模拟)在平面直角坐标系中，若直线l：3x+4y+n=0 与圆C：(x-2)2+y2=an
2(an>0，n∈N*)相切，则
数列{an}的前10 项和为( )
A.23
2
B.27
2
C.23
D.27
3.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1 的线段AB，作一
个等边三角形ABC，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D(第一段圆弧)，
再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时
针画圆弧…，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15 段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A.44π
B.64π
C.70π
D.80π
4.(2025·长春模拟)已知递减的等比数列{an}的前n 项和为Sn，且满足a1=2，a1+a2=6a3，若N≤Sn- 1
Sn
≤M 恒
成立，则M-N 的最小值为( )
A.4
3
B.3
2
C.2
D.9
4
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.将函数f(x)=sin(ωx −2π
3 )(ω>0，x>0)的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且a1=2
3，则(
)
A.ω=2
B.f(x)在(1，2)上先单调递增后单调递减
C.a10=31
3
D.数列{an}的前n 项和为3n
2+n
6
6.(2025·兰州模拟)如图所示，作边长为3 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作
新三角形的内切圆.如此下去，则( )
4
A.第n 个圆的面积为3 π
4
n
B.这n 个圆的半径成公比为1
2的等比数列
C.第一个圆的面积为3 π
2
D.前n 个圆的面积和为(1−1
4
n)π
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2025·南宁模拟)在公差不为0 的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则1
x + 4
y 的最小值为
.
8.(2025·唐山模拟)设n∈N*，xn是曲线y=x2n-1-2 在点(1，-1)处的切线与x 轴交点的横坐标，记an=n xn xn+1
n+1
，
则数列{an}的前50 项和为 .
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)(2025·广州模拟)已知向量a=(sin π x
2 ，−sin π x
2 )，b=(cos π x
2 ，sin π x
2 )，函数f(x)=a·b，f(x)的
所有大于0 的零点构成递增数列{an}.
(1)写出{an}的前6 项；(8 分)
(2)求{an}的前100 项和S100.(5 分)
5
10.(15 分)(2025·江门模拟)已知数列{an}满足a1=2，且对于任意正整数n，均有nan+1-(n+1)an=n(n+1)，且bn=
an
n .
(1)证明：{bn}为等差数列；(5 分)
(2)设cn=
bn
2
bn，Sn为数列{bn}的前n 项和，Tn为数列{cn}的前n 项和，若3
2-Tn≤k(n+3)
Sn
对任意的n∈N*恒成
立，求实数k 的取值范围.(10 分)
【拓展训练】(每小题5 分，共10 分)
11.(2025·大连模拟)小明同学在如图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A，B，C 三个木
桩，A 木桩上套有编号分别为1，2，3，4，5，6 的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到
另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六
个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少的次数为( )
A.31
B.63
C.127
D.128
12.(5 分)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-nx-1(n∈N*)，xn为函数f(x)的正零点，若an=[xn]([x]表示不超过x
的最大整数)，则数列{
2n+1
an
2an+1
2 }的前10 项和S10= .
6
7
