第二十一题 随机变量及其分布
高考真题
21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投
篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第
1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则
．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【思路分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【解析】【小问1详解】记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
【小问2详解】设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
【小问3详解】
因为 ， ，
所以当 时， ，故 ．
知识点总结
一、 二项分布
1. 伯努利试验
只包含 两个 可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行 n
次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 .
2. 二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 p(0<p<1)，用X表示
事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量
X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) .
3. 两点分布与二项分布的均值、方差
(1) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__p__，D(X)＝__ p (1 － p ) __.
(2) 若X～B(n，p)，则E(X)＝ n p ，D(X)＝ n p ( 1 － p ) .
二、 超几何分布
一般地，假设一批产品共有 N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取 n件(不放
回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么 X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋
1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，
M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
三. 正态分布定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机
变量X服从正态分布，记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ) .
四. 正态曲线的特点
1. 曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；
2. 曲线在 x ＝ μ 处达到峰值；3. 当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
五. 3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则
1. P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
2. P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
3. P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
六. 正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ μ ，D(X)＝ σ 2 .
七. 常用结论
1. 超几何分布的均值与方差(*)
(1) 均值：根据均值的计算公式，当 X～H(n，M，N)时，E(X)＝∑kP ＝ ，其中 r＝
k
min{n，M}．
(2) 方差：D(X)＝.
2. 若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线 x＝μ对称和曲线
与x轴之间的面积为1解题.
题型展示
二项分布
(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中 3个项目的比
赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动
会上．
(1) 求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
【解答】 由题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每
个事件发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量 ξ，设事件A＝“该运动员至
少能打破2项世界纪录”，则 P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C2＋C3＝.
(2) 若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
【解答】 由(1)可知，X～B，则P(X＝0)＝C3＝，P(X＝1)＝C··2＝，P(X＝2)＝C·2·＝，P(X＝3)＝C·3＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(1) 在求n次独立重复试验中事件恰好发生 k次的概率时，首先要确定好 n和k的值，再
准确利用公式求概率；(2) 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件
与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
超几何分布
(2023·济南期初)为庆祝中国共产主义青年团成立 100周年，某校团委组织团员参加知识
竞赛．根据成绩制成如图所示的频率分布直方图．
(1) 计算x的值；
【解答】 (1) 由频率分布直方图知0.005×10＋0.010×10＋0.015×10＋10x＋0.040×10＝
1，所以x＝0.030.
(2) 采用按比例分层随机抽样的方法从成绩在[80,90)，[90,100]的两组中共抽取7人，再
从这7人中随机抽取3人，记X为这3人中成绩落在[80,90)的人数，求X的分布列和期望．
【解答】 按比例分层随机抽样抽取7人，成绩在[80,90)，[90,100]的人数分别为3,4，所
以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝
＝，则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分
布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某
类个体数X的概率分布．
(2) 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
正态分布的性质已知三个正态密度函数φ(x)＝·e(x∈R, i＝1,2,3)的图象如图所示，则( D )
i
A. μ <μ ＝μ ，σ ＝σ >σ
1 2 3 1 2 3
B. μ >μ ＝μ ，σ ＝σ <σ
1 2 3 1 2 3
C. μ ＝μ <μ ，σ <σ ＝σ
1 2 3 1 2 3
D. μ <μ ＝μ ，σ ＝σ <σ
1 2 3 1 2 3
服从正态分布的概率计算
在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩 ξ 服从正态分布 N(105，σ2)(σ>0)，若
P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝ 0. 5 .
【解析】 因为 ξ～N(105，σ2)，且 P(ξ<120)＝0.75，所以 P(105≤ξ≤120)＝0.25，所以
P(90≤ξ≤105)＝0.25，所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.
解决正态分布问题有三个关键点：(1) 正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2) 标准差σ；(3) 分
布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布
区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下正态密度曲线的对
称轴才为x＝0.
正态分布的应用
某车间生产一批零件，现从中随机抽取 10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：
97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.
(1) 求μ与σ.
【解答】 μ＝(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝(64＋64＋
49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6.
(2) 假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．
①从这批零件中随机抽取 5个，设这 5个零件中内径小于 87cm的个数为 X，求E(4X＋
3)；
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解答】 因为 Z 服从正态分布 N(105,36)，所以 P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－＝0.001
35，则X～B(5,0.001 35)，所以E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.001 35＋3＝3.027.
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了 5个零件，测量其内径(单位：cm)
分别为86,95,103,109,118.以原设备生产性能为标准，试问：这台设备是否需要进一步调试？
请说明理由．参考数据：0.997 34≈0.99.
【解答】 因为 Z 服从正态分布 N(105,36)，所以 P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋
3σ)≈0.997 3，所以 5 个零件中恰有一个内径不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率为 C0.997 34×(1－
0.997 3)＝0.013 365.因为86∉[87,123]，所以试生产的5个零件就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋
3σ]内，出现的频率是0.013 365的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．
真题演练
一、单选题
1．某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
2．某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该
地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
3．已知随机变量 的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．设随机变量 服从标准正态分布 ，已知 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
二、填空题
5．已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 ．
【答案】 / ．
6．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入
盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
【答案】
7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有 个红球，则随机变量 的概率分布为：
．
0 1 2
【答案】
0 1 28．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，
则a＋b＝ .
【答案】
三、解答题
9．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布
直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1) 岁；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，根据对立事件的概率公式 即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以
．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
．
10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 件，假设事件 ：“取出的 件产品中至多有
件是二等品”的概率 ．
(1)求从该批产品中任取 件是二等品的概率 ；
(2)若该批产品共有 件，从中任意抽取 件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概
率 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无
二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．
（2）由上面可以知道其中二等品有 件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有
二等品，用组合数列出结果．
【详解】（1）解：记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则 ， 互斥，且 ，
故
所以 ，
解得 或 （舍去）．
（2）解：记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则 ．
若该批产品共 件，由（1）知其中二等品有 件，
故 ，所以 .
11．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．
三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知， 的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .
12．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比
赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、
乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概
率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属
于中等题.
13．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对
活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案
200人 400人 300人 100人
一方案
350人 250人 150人 250人
二
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的
概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年
级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，该校女生支持方案一的概率为 ；
（Ⅱ） ,（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；
（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；
（Ⅲ）先求 ，再根据频率估计概率 ，即得大小.
【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，
该校女生支持方案一的概率为 ；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持
方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为： ;
（Ⅲ）
【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在
描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格
比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)不变
【分析】（1）计算表格中的 的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第 天的情况.
【详解】（1）根据表格数据可以看出， 天里，有 个 ，也就是有 天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这 天里，有 天上涨， 天下跌， 天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是 ，
， ，
于是未来任取 天， 天上涨， 天下跌， 天不变的概率是
（3）由于第 天处于上涨状态，从前 次的 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 次，不变的
有 次，下跌的有 次，
因此估计第 次不变的概率最大.
模拟训练
一、单选题
1．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两
会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现
从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（
）．A． B． C． D．
【答案】B
2．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽
中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现
自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【答案】B
3．南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但
交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布 ；路线②骑共享单车到地铁站，乘地
铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布 .该小区的甲
乙两人分别有 分钟与 分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为
（ ）
A．①､① B．①､② C．②､① D．②､②
【答案】C
4．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件 “两次掷出的点数之和是6”，事件 “第一次掷出的点数
是奇数”，事件 “两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A与 互斥 B． 与 相互独立
C． D．A与 互斥
【答案】B
二、多选题
5．下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，
这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件 与 ，若 ， ，则事件 与 独立C．若随机变量 ， ，若 最大，则
D．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
【答案】BCD
6．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取
出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，
以 表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件 与事件 相互独立 D． ， ， 两两互斥
【答案】BD
三、填空题
7．设随机变量 （ 且 ），当 最大时，
.
【答案】2
8．若随机变量 ，且 ，则 ．
【答案】0.39/
四、解答题
9．运动会期间，某班组织了一个传球游戏，甲、乙、丙三名同学参与游戏，规则如下：持球者每次将球
传给另一个同学.已知，若甲持球，则他等可能的将球传给乙和丙；若乙持球，则他有 的概率传给甲；若
丙持球，则他有 的概率传给甲，游戏开始时，由甲持球.记经过n次传球后甲持球的概率为 .
(1)若三次传球为一轮游戏，并且每轮游戏开始都由甲持球，规定：在一轮游戏中，若在第3次传球后，持球者是甲，为甲胜利.记随机变量X为3轮游戏后甲胜利的次数，求X的分布列和数学期望；
(2)求 .
【答案】(1)分布列见解析， ；
(2) .
【分析】（1）求出每一轮常游戏甲胜的概率，再利用二项分布的概率公式求出分布列及期望.
（2）利用全概率公式求出 与 的关系式，再利用构造法求出 .
【详解】（1）据题意只需关注前3次球由谁持球即可，则持球的所有可能情况为甲乙丙甲，甲丙乙甲，
，
因此一轮游戏甲胜利的概率为 ，随机变量 的可能取值为 ，
，
，
所以 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望 .
（2）设事件 表示 次传球后，球在甲同学手上，事件 表示 次传球后，球在乙同学手上，
事件 表示 次传球后，球在丙同学手上，设 次传球后，乙持球的概率为 ，
则 ，由全概率公式知：
，整理得 ，于是 ，而 ，即 ，
因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即有 ，
所以 .
10．某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个
号码，第1个号码为a，第2个号码为b．设X是不超过 的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代
金券（若 ，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．
(1)已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；
(2)求X的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值及其对应的概率，再由数学期望公式求解即可.
【详解】（1）当 时，该顾客能获得代金券．设“a是偶数”为事件A，“ ”为事件B，
则 ，
，所以 ，
所以当顾客抽到的a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为 ．
（2）X可能的取值为0，1，2，3．
当 时， ，则 ．
当 时， ，若 ，则 ．
对每一个a，b有 种不同的取值，则 共有 种可能的取值．若 ，对每一个a，b有 种不同的取值，则 共有 种可能的取值，
所以 ．
当 时， ．
若 ，则 ．对每一个a，b有 种不同的取值，则 共有 种情况．
若 ，则 ， 共有6种可能的取值．所以 ．
当 时， ， 只有 ， ， 这3种情况，所以 ．
所以 ．
11． 年 月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，
其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳 个项目中任意选择一个参加．某
男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在 个项目中任意选
一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的 个项目中任意选一项训练．
(1)若该男生进行了 天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
(2)设该男生在考前最后 天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分别考虑第一天训练的是和不是“篮球运球上篮”的情况，根据古典概型概率公式可分别
求得对应的概率，加和即可求得结果；
（2）分别求得 每个可能的取值对应的概率，进而确定分布列；根据数学期望公式可求得期望.
【详解】（1）记第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件 ；
第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件 ；
由题意知：三天的训练过程中，所有可能的情况有： 种，
， ，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率 .
（2）由题意知： 所有可能的取值为 ，
考前最后 天训练中，所有可能的情况有： 种；
当 时，第一天有 种选择，之后每天都有 种选择， ；
当 时，若第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有 种选择，之后每天只有 种选择，共 种
选择；
若第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有 种选择，第三天 种，之后每天只有 种选择，共 种
选择；
第三天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有 种选择，第二天有 种选择，第三天 种选择，第四天有
种选择，第五天有 种选择，共 种选择；
第四天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有 种选择，第二天，第三天，第四天均只有 种选择，第
五天有 种选择，共 种选择；
第五天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有 种选择，第二天，第三天，第四天，第五天都只有 种
选择，共 种选择；
；
当 时，只有第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，共有 种选择，
；
，
的分布列为：
.
12．A市天文台在该市朝阳区随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直
方图．(1)估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的 分位数（精确到0.01）；
(2)已知该朝阳区天文爱好者的占比为 ，且该朝阳区年龄位于区间 的人口数占该区总人口数的
．用样本的频率估计总体的概率，从该朝阳区任选1人，若此人的年龄位于区间 ，求此人是天
文爱好者的概率．（计算结果精确到0.01）
【答案】(1)28.21岁
(2)0.12
【分析】（1）设出 分位数为 ，运用百分位数定义解题；
（2）本题是在朝阳区任选1人且年龄位于区间 的条件下求解是天文爱好者的概率，是条件概率问
题，运用条件概率的知识进行求解即可.
【详解】（1）记该朝阳区100名天文爱好者年龄的 分位数为 ，
则 ，
解得 ，
故估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的 分位数为28.21岁；
（2）记事件 为：“任选一人，此人年龄位于区间 ”，
事件 为：“任选一人，此人是天文爱好者”，
由条件概率公式可得，
，故此人是天文爱好者的概率约为0.12．
