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第 32 讲 数列的求和方法
1.基本数列求和公式法
n(a +a ) n(n-1)
(1)等差数列求和公式:S = 1 n =na + d.
n 2 1 2
{ na ,q=1,
1
(2)等比数列求和公式:S n = a -a q a (1-qn)
1 n = 1 ,q≠1.
1-q 1-q
2.几种数列求和的常用方法
(1)倒序相加法：如果一个数列{a}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个
n
数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(2)分组（并项）求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可
用分组求和法，分别求和后相加减．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个
数列的前n项和即可用错位相减法求解．
3.常用结论
(1)一些常见的数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
(2)常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
③＝－.④＝.
考点一 等差等比公式法
考点二 倒序相加法
考点三 分组（并项）求和法
考点四 裂项相消法
考点四 错位相减法
考点一：等差等比公式法
例1．已知数列 ，等差数列 满足 ， ， ．
(1)证明： ；
(2)若 为等差数列，求 的前n项和．
考点二：倒序相加法
例2．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非
欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，
比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等．已知某数列的通项
，则 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
考点三：分组（并项）求和法
例3．求值： （ ）
A．1013 B．－1012 C．－1013 D．1012
例4．数列 的前 项和为 （ ）
A． B．
C． D．考点四：裂项相消法
例5．（2023·江西九江·统考二模）已知数列 的通项为 ，则其前8项和为（ ）
A． B． C． D．
考点五：错位相减法
例6．已知数列 满足 ，则 的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．记 为等比数列 的前n项和．若 ，则 （ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
2．（2023·安徽滁州·校考一模）小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按复利计
算，并从借款后次年年初开始归还，分 次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
3．已知 是数列 的前n项和， ， ， ，记 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，数列 满足 ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
5．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
7．在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，
都有 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
9．已知数列 的前n项和为 ，且 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在任意相邻两项 与 （其中 ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ．
记 为数列 的前n项和，求 的值．
10．（2023·全国·校联考二模）在数列 中， ， .
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
11．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等比数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .12．（2023·四川南充·统考二模）已知数列 前n项和为 ．从下面①②中选择其中一个作为条件解答
试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分．
①数列 是等比数列， ，且 成等差数列；
②数列 是递增的等比数列， ， ；
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 的前n项的和为 ，且 ．证明： ．
13．（2023·江西赣州·统考一模）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
14．（2023·山西太原·太原五中校考一模）数列 满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和为 .
15．（2023·山东德州·统考一模）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ， ，
成等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
16．已知数列 的前n项和为 ，当 时， ；数列 中， ， ．(1)求数列 、 的通项公式 和 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
17．（2023·四川巴中·统考一模）已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
18．（2023·河北唐山·统考二模）已知数列 是正项等比数列，其前 项和为 ， 是等差数列，且
， ，
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和
(3)证明：
