文档文本内容
高考数学 二级结论篇
（核心二级结论背记手册）
目录
一、集合................................................................................................................................................2
二级结论1. 德摩根公式...............................................................................................................................................2
二级结论2. 容斥定理之集合中元素个数...................................................................................................................2
二、平面向量........................................................................................................................................2
二级结论3. 极化恒等式...............................................................................................................................................2
二级结论4. 爪爪定理...................................................................................................................................................3
二级结论5. 奔驰定理...................................................................................................................................................3
三、不等式与基本不等式....................................................................................................................4
二级结论6. 基本不等式链与糖水不等式...................................................................................................................4
四、三角函数与三角恒等变换............................................................................................................4
二级结论7. 万能公式...................................................................................................................................................4
二级结论8. 和差化积与积化和差...............................................................................................................................5
五、解三角形........................................................................................................................................5
二级结论9. 射影定理...................................................................................................................................................5
二级结论10. 角平分线定理.........................................................................................................................................6
二级结论11. 中线长定理.............................................................................................................................................6
二级结论12. 海伦-秦九韶公式...................................................................................................................................6
二级结论13. 三倍角公式.............................................................................................................................................7
六、函数的基本性质............................................................................................................................7
二级结论14. 奇函数.....................................................................................................................................................7
七、导数................................................................................................................................................8
二级结论15. 常见的近似计算公式.............................................................................................................................8
二级结论16. 函数极值的第二判定定理.....................................................................................................................8
二级结论17. 与 、 有关的常用不等式.............................................................................................................8
二级结论18. 泰勒展开式.............................................................................................................................................9
八、数列...............................................................................................................................................10
二级结论19. 等差与等比数列前n项和的关系.......................................................................................................10
二级结论20. 错位相减---万能公式...........................................................................................................................10
二级结论21. 数列中的构造法...................................................................................................................................10
九、立体几何......................................................................................................................................11
二级结论22. 欧拉公式...............................................................................................................................................11
二级结论23. 求的组合体...........................................................................................................................................11
二级结论24. 多面体的外接球...................................................................................................................................12
十、解析几何......................................................................................................................................14
二级结论25. 切线方程与切点弦方程.......................................................................................................................14
二级结论26. 四点共圆-斜率关系.............................................................................................................................15
二级结论27. 帕斯卡定理...........................................................................................................................................15
二级结论28. 椭圆与双曲线的结论汇总...................................................................................................................15
二级结论29. 抛物线的结论.......................................................................................................................................18
十一、排列组合、二项式定理、概率统计........................................................................................19
二级结论28. 二项式系数的性质...............................................................................................................................19
二级结论29 .随机变量的分布列、期望与方程......................................................................................................19
一、集合二级结论1、德摩根公式
二级结论2、容斥定理之集合中元素个数
card(A∪B)=
card(A∪B∪C)=
二、平面向量
二级结论3、极化恒等式
二级结论4、爪爪定理
（1）、已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 A
，使得 。则 三点共线 。
B D C、已知 在线段 上，且 ，则 。
（2） A
B m D n C
二级结论5、奔驰定理
如图，已知P为 内一点，则有 。.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
已知点 在 内部，有以下四个推论：
①若 为 的重心，则 ；
②若 为 的外心，则 ；或
③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则 也
对.
若 为 的垂心，则 ，或
④三、不等式与基本不等式
二级结论6、基本不等式链与糖水不等式
（1）、基本不等式链
（2）、糖水不等式
若 , 则一定有
克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
通俗的理解: 就是
四、三角函数与三角恒等变换
二级结论7、万能公式二级结论8、和差化积与积化和差
（1）、和差化积
（2）、积化和差
五、解三角形
二级结论9、射影定理二级结论10、角平分线定理
（1）、在
ΔABC
中，
AD 为∠BAC
的角平分线，则有
（2）、
二级结论11、中线长定理
为 的中线,则中线定理:
二级结论12、海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:二级结论13、三倍角公式
（1）、 ， （2）、
六、函数的基本性质
二级结论14、奇函数
1.常考的奇函数
（1）、 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的 函数
（2）、 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的 函数
（3）、 ，（ 且 ）为 函数，
（4）、 ，（ 且 ）为 函数
2.奇函数+常函数
在定义域内，若
F(x)=f (x)+A
，其中
f (x)
为奇函数，A为常数，有
f (a)+f (−a)=2
即 倍常数七、导数
二级结论15、常见的近似计算公式
1 1
n
√1+x≈1+ x √1+x≈1+ x
2 n
（1）、 （2）、
1
（3）、 ≈1−x
（4）、
1+x
（5）、
ex ≈1+x
（6）、
l
n
(1+x)≈x
（7）、
sinx≈x
（x为弧度）； （8）、
tanx≈x（x为弧度）
二级结论16、函数极值的第二判定定理
若 在 附近有连续的导函数 , 且
（1）若 , 则 在点 处取 ;
（2）若 , 则 在点 处取 ;二级结论17、与 、 有关的常用不等式
（1） （ ）；
（1） （ ）；
（2） （ ）．
（2） （ ）；
（3） （ ）， （
）；
（ 4 ） （ ） ， （
）．
二级结论18、泰勒展开式
1. 常见函数的泰勒展开式
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
2. 常见函数的泰勒展开式的结论结论1 ．
结论2 ．
结论3 （ ）．
结论4 ．
结论5 ； ； ．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
八、数列
二级结论19、等差与等比数列前n项和的关系
（1）、差数列任意前n项和的关系 （2）、等比数列任意前n项和的关系
S =S +S +mnd
m+n m n
二级结论20、错位相减——万能公式
{a } {b } {c } c =a ⋅b {c }
n 为公差为d的等差数列， n 为公比为q的等比数列，若数列 n 满足 n n n，则数列 n 的前
S
n项和 n为二级结论21、数列中的构造法
a =pa+q
（1）已知 n+1 n ，我们用待定系数法构造 ，从而转化为我们熟悉的等比数列求解
a =pa+f (n) a +An+B=p[a +A(n−1)+B]
（2）已知 n+1 n 用 n n−1 求通项
a p a 1
n+1 n
= ⋅ +
（3）已知
a
n+1
=pa
n
+qn 用qn+1 q qn q
求通项公式，其本质是除以一个指数式
a =pa +qa a −ka =h(a −ka)
（4）已知 n+2 n+1 n用 n+2 n+1 n+1 n 求通项公式，其本质是待定系数法
a −a =pa a a a
n−1 n n−1 n用 求通项公式，其本质是除以 n−1 n
（5）已知
ma 1 m 1 m
a = n = +
n+1 pa+q a q a p
已知 n 用 n+1 n 求通项公式，其本质是取到数
（6）
a =pa (p>0,a >0) lga =qlga +lgp
n+1 n q n 用 n+1 n 求通项公式，其本质是取对数
（7）已知
九、立体几何二级结论22、欧拉公式
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1） =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数F与棱数E的关系：
；
（2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数V与棱数E的关系： .
二级结论23、球的组合体
(1)、球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)、球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外
接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)、球与正四面体的组合体:
棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .
二级结论24、多面体的外接球
1、长方体切割体的外接球
设长方体相邻的三条边棱长分别为 ， ， ．
图1墙角体 图1鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体
图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图
和左视图为直角三角形．图4中， ,
．
2、三棱柱的切割体的外接球
图1立着放的模型 图2躺着放的模型
图1：立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形
非直角三角形，将重垂线长度设为 ，底面三角形外接圆半径设为 ， 可以求出，则
；
躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面，
图2：
．
3、切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）图1 图2底面 固定， 在球面上运动， 最值问题
图1：由图可知，小圆 直径 长可以求出，平面 必在大圆上，由 ，解出 ．
图2：先根据 求出底面圆的直径 ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算
出 到底面距离的最大值和最小值．
双半径单交线公式：
注意：常见的切瓜模型中，一旦出现 或 时，则 或 ．
4、全等三角形折叠模型
A'
A
O h O
H
2
D α
C
A E H C E h-r r
1
B
题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角 ,
： 和 分别为 外心， ，
如图，作左图的二面角剖面图如右图
， ，故 ．
凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接
进行处理．
四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用十、解析几何
二级结论25、切线方程与切点弦方程
1. 解析几何中的切线方程
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 P(x ,y )
①过圆 上任意一点 0 0 的切线方程为 .
x2 y2
+ =1(a>0,b>0)
a2 b2 P(x ,y )
②过椭圆 上任意一点 0 0 的切线方程为 .
x2 y2
− =1(a>0,b>0)
a2 b2 P(x ,y )
过双曲线 上任意一点 0 0 的切线方程为 .
③
④ 设 P(x ,y ) 为 抛 物 线 y2=2px 上 的 点 , 则 过 该 点 的 切 线 方 程 为
0 0
.
2. 解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0
①圆 的切点弦方程为 .
x2 y2 x x y y
+ =1(a>0,b>0) 0 + 0 =1
②椭圆
a2 b2
的切点弦方程为
a2 b2
x2 y2
− =1(a>0,b>0)
a2 b2
③双曲线 的切点弦方程为 .
y2 =2px(p>0) y y=p(x +x)
④抛物线 的切点弦方程为 0 0
x y+y x x +x y +y
Ax x+B 0 0 +Cy y+D 0 +E 0 +F=0
⑤二次曲线的切点弦方程为 0 2 0 2 2二级结论26、四点共圆-斜率关系
若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直
k k
线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有 ,( AC, BD分别表示AC和BD的斜率)
二级结论27、帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
二级结论28、椭圆和双曲线的结论汇总
椭圆 双曲线
标准方程
焦点 焦点
焦半径
为离心率， 为点 的横坐标. 为离心率， 为点 的横坐标.
焦半径范围
为椭圆上一点， 为焦点. 为双曲线上一点， 为焦点.
过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径
通径长为 通径长为
如图，直线 过焦点 与椭圆相交于
两点.则 的周长为 .
（即 ）
如图，直线 过焦点 与双曲线相交于
两点.则 .倾斜角为 的直线 过焦点 与椭圆相交
倾斜角为 的直线 过焦点 与双曲线相
于 两点.
交于 两点.
焦点弦
焦点弦长 .
焦点弦长 .
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
直线 过焦点 与椭圆相交于 两点， 直线 过焦点 与双曲线相交于 两
与
数量关系
则 . 点，则 .
已知点 是椭圆上一点， 坐标原点， 已知点 是双曲线上一点， 坐标原点，
则 . 则 .
如图， 是双曲线上异于实轴端点的一
如图， 是椭圆上异于长轴端点的一点，
点，已知 ， ，
已知 ， ，
，则
，则
（1） ；
（1） ；
焦三角形 （2）离心率 .
（2）离心率 .
如图，已知直线 与椭圆相交于 两 如图，已知直线 与双曲线相交于 两
点，点 为 的中点， 为原点，则 点，点 为 的中点， 为原点，则
垂径定理
. .（注：直线 与双曲线的渐近线相交于
两点，其他条件不变，结论依然成
立）
如图，已知点 椭圆长轴端点（短轴端 如图，已知点 双曲线实轴端点， 是
点）， 是椭圆上异于 的一点， 双曲线上异于 的一点，
则 . 则 .
周角定理 推广：如图，已知点 是椭圆上关于原 推广：如图，已知点 是双曲线上关于
点对称的两点， 是椭圆上异于 的一 原点对称的两点， 是双曲线上异于
点，若直线 的斜率存在且不为 的一点，若直线 的斜率存在且不
零， 为零，
.
直线 过焦点 与椭圆相交于 直线 过焦点 与双曲线相交于
两点，点 ， 两点，点 ，
则 （即 ）. 则 （即 ）.
已知点 是双曲线上一点，则双
已知点 是椭圆上一点，则椭圆
切线方程
曲线在点 处的切线方程为
在点 处的切线方程为 .
.二级结论27、抛物线的结论
如图，抛物线方程为 ，准线 与 轴相交于点 ，过焦点 的直线 与抛物
线相交于 ， 两点， 为原点，直线 的倾斜角为 .
1．
2．焦半径： ， ， .
3．焦点弦： .
4． 的数量关系： ， .
5．三角形 的面积 .
6．以焦点弦 为直径的圆与准线相切；以焦半径 为直径的圆与 轴相切.
7．直线 的斜率之和为零（ ），即 .
8．点 三点共线；点 三点共线.
9．如图，点 是抛物线 ， 为原点，若 ，则直线 过定点 .十一、排列组合、二项式定理、概率统计
二级结论28、二项式系数的性质
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
单调性 当k＜时，二项式系数逐渐增大；当k＞时，二项式系数逐渐减小
最大值 n
C2
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为 n ；
n−1
C 2
当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为 n 或
n+1
C 2
n
二项式系数之和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C
＋…＝C＋C＋C＋…＝2n−1
.
二级结论29、随机变量的分布列、期望与方程
（1） . （2） ； （3） .
1.二项分布
若 ～ ,则 ， .
2.几何分布
若 服从几何分布,且 ，则 .
3.超几何分布 nM M
E(X)=
X~H(n,N,M) N N
若 ，则 (其中 为符合要求元素的频率)，
M M n−1
D(X)=n (1− )(1− )
N N N−1
4.正态分布
，式中的实数μ，σ （ σ>0 ）是参数，分别表
示个体的平均数与标准差.标准正态分布密度函数 .
